Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
Phát triển tư Hình học HƯỚNG DẪN GIẢI Chuyên đề 18 TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC 18.1 (h.18.6) Xét có BE CF hai đường trung tuyến cắt G Giả sử , ta phải chứng minh Ta vẽ thêm đường trung tuyến AD,theo tính chất ba đường trung tuyến ta có AD qua G Xét có: AD chung Nên Xét (định lý hai tam giác có hai cặp cạnh nhau) có: GD chung nên (chứng minh trên) , suy , 18.2 (h.18.7) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vng ta tính Vi N trung điểm HC nên Do Vậy AH trung tuyến Mặt khác nên suy O trọng tâm , Ta có NM đường trung tuyến NM phải qua trọng tâm O Vậy ba điểm N, M, O thẳng hàng 18.3 (h 18.8) a) Xét có nên BO đường trung tuyến Điểm D nằm đường trung tuyến BO mà (vì ) nên D trọng tâm “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Chứng minh tương tự ta E trọng tâm b) Vì D trọng tâm nên đường thẳng AD đường trung tuyến Vì AD cắt BF N nên FN = BN = (1) Chứng minh tương tự ta Ta có = Suy (2) (c.g.c) (3) Từ (1), (2), (3) suy , suy Ta có (kề bù) Suy , ba điểm thẳng hàng (5) Từ (4) (5) suy O trung điểm MN AO đường trung tuyến tâm G có chung đỉnh A, chung đường trung tuyến AO nên có trọng 18.4 (h.18.9) Theo tính chất đoạn chắn song song ta có suy Chứng minh tương tự ta được: Xét ba đường thẳng ba đường trung tuyến nên chúng đồng quy điểm G Gọi M giao điểm điểm với BC ; N giao với AC ; P giao điểm với “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Ta có (c.g.c) suy Vậy AM đường trung tuyến ứng với cạnh BC Chứng minh tương tự ta BN, CP đường trung tuyến ứng với cạnh AC, ABcủa Ba đường trung tuyến AM, BN, CP gặp điểm Mặt khác ba đường thẳng AM, BN, CP ba đường thẳng G trọng tâm Do trọng tâm 18.5 (h.18.10) • Tìm cách giải Giả sử vẽ cho G trọng tâm Tia OG cắt AB trung điểm M Trên tiaOG lấy điểm K cho OK = 3OG Ta chứng minh • ; Suy KA // Oy; KB //Ox Do xác định A B Trình bày lời giải Vẽ tiaOG, lấy điểm K cho OK = 3OG Từ K vẽ KA // Oy (A Ox) ;KB //Ox (B Oy) Vẽ đoạn thẳng AB cắt OK M Khi G trọng tâm Thực vậy, ta có AK = OB (tính chất đoạn chắn song song) , suy MA = MB (1) MK = MO Vì OK = 3OG nênOM = hay OG = (2) Từ (1) (2) suy G trọng tâm 18.6(h.18.11) Vẽ đường trung tuyến AD, BM cắt G Ta có Suy DB = DC = 12cm; Áp dụng định lý Py-ta-go vào ABD vuông D ta “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Vì G trọng tâm ABC nên GD = = 5cm Áp dụng định lý Py-ta-go vào GBD vuông D ta Suy BM = 18.7(h.18.12) Vì G trọng tâm ABC nên BE = ; CF= • Xét ABE vng A ta có: (1) • Xét ACF vng A ta có: (2) Từ (1) (2), suy , mặt khác (3) Suy Ta viết (3) thành (*) Mà theo (1) (**) “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học So sánh (*) (**) ta = 6084 – 2196 = 3888 Từ ta tính Vậy chu vi ABC là: 78 + 72 + 30 = 180 (cm) 18.8 (h18.13) Đặt Áp dụng định lí Py-ta-go cho ta có: Áp dụng định lí Py-ta-go cho Gọi vng trọng tâm tam giác Xét mà vng ta có: , ta có: có nên Do theo định lí Py-ta-go đảo ta vuông Suy 18.9 (h18.14) “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Xét có đường trung tuyến Xét ta có cắt (1) Tương tự, ta có (2) (3) Cộng vế bất đẳng thức (1); (2); (3) ta được: Suy * Nhận xét :Trong 17.7 ta chứng minh lớn chu vi tam giác Như kết mạnh kết 17.7 18.10 (h 18.15) Xét Vì có hai đường trung tuyến trọng tâm nên Do đó, Ta có : (c.g.c) dẫn tới Gọi giao điểm đường thẳng Do trọng tâm nên với đường trung tuyến Suy “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Ta có : (c.c.c), Hình 18.15 18.11 (H 18.16) Xét có đường trung tuyến Mặt khác Nên trọng tâm Suy đường thẳng ứng với cạnh chứa đường trung tuyến Do Ta có (c.c.c) Do đó, (vì ) Hình 18 16 18.12 (h 18.17) *Chứng minh mệnh đề cân Ta chứng minh phản chứng Giả sử (1) Vẽ tia cắt Khi đường trung tuyến nên Xét có : chung ; Nên (định lí tam giác có hai cặp cạnh nhau) Xét Hình 18.17 có chung, = (c.g.c) (2) “Trên đường thành công dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Từ (1) (2) suy ra: (trái giả thiết) Vậy điều giả sử Nếu sai (*) ta đến mâu thuẫn Từ (*) (**) suy Chứng minh mệnh đề Gọi giao điểm sai (**) cân cân với giao điểm với Khi đó, (c.g.c) , Suy dẫn tới 18.13 (H 18.8) *Chứng minh mệnh đề Ta chứng minh phản chứng: Giả sử thiết , Giả sử , trái giả , tức Xét có Xét có Hình 18.18 Do đó, Suy Vậy , trái giả thiết “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học *Chứng minh mệnh đề Ta có tức Xét có Xét có : Do đó, Suy 18.14 (H 18.19) Gọi giao điểm Ta có: với đường trung tuyến Xét có Suy (xem 17.13) Do Trên tia (gt) (1) lấy điểm cho (c.g.c) Suy Xét có Do đó: (2) Từ (1) (2), suy 18.19 “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Hình Page ... AM đường trung tuyến ứng với cạnh BC Chứng minh tương tự ta BN, CP đường trung tuyến ứng với cạnh AC, ABcủa Ba đường trung tuyến AM, BN, CP gặp điểm Mặt khác ba đường thẳng AM, BN, CP ba đường. .. điểm thẳng hàng (5) Từ (4) (5) suy O trung điểm MN AO đường trung tuyến tâm G có chung đỉnh A, chung đường trung tuyến AO nên có trọng 18.4 (h.18.9) Theo tính chất đoạn chắn song song ta có suy... 18.10 (h 18.15) Xét Vì có hai đường trung tuyến trọng tâm nên Do đó, Ta có : (c.g.c) dẫn tới Gọi giao điểm đường thẳng Do trọng tâm nên với đường trung tuyến Suy “Trên đường thành cơng khơng có