Bàn về một cách tiếp cận khác cho bài toán tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Trao đổi kinh nghiệm dạy học theo định hướng tiếp cận lực người học Bàn cách tiếp cận khác cho tốn tính góc đường thẳng mặt phẳng Ths HOÀNG MINH QUÂN GV Trường THPT chuyên Nguyễn Huệ, Hà Nội Trong chương trình tốn THPT, tốn góc đường thẳng mặt phẳng khơng Song, mang tính thời kiểm tra định kì, kì thi học sinh giỏi, kì thi tốt nghiệp trung học phổ thơng năm Bài viết sau khai thác hướng tiếp cận khác cho tốn tính góc đường thẳng với mặt phẳng Kiến thức 1.1 Định nghĩa Cho đường thẳng a mặt phẳng   Góc đường thẳng a hình chiếu a mặt phẳng   gọi góc đường thẳng a mặt phẳng   1.2 Các xác định góc đường thẳng a mặt phẳng    Cách 1: Bước Tìm O  a    A a Bước Lấy A  a dựng AH    H Khi  a ,      a , a     AOH  a'  AOH Bước Tính số đo góc  O H  Chú ý: 0   a,     90  Cách 2: Tính gián hai hướng sau: Hướng 1: Chọn đường thẳng d // a mà góc d   tính ,    d ,   Từ ta có: a     Hướng 2: Chọn mặt phẳng    //   mà góc a    tính ,    a ,  Từ ta có: a     https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Tuy nhiên việc xác định hình chiếu điểm lên mặt phẳng khơng phải lúc thuận lợi Chính vậy, việc đưa cách tiếp cận khác sử dụng khoảng cách để tính góc đường thẳng với mặt phẳng nhằm khắc phục khó khăn 1.3 Định hướng tiếp cận Cho đường thẳng a mặt phẳng   Để tính góc  đường thẳng a mặt phẳng   , ta tiếp cận thông qua ý tưởng đơn giản khác sau : A a Bước 1: Tìm O  a    Bước 2: Tính sin   d  A,     a'  OA O H Cách tiếp cận thích hợp cho học sinh nắm việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Sau chúng tơi đưa số ví dụ minh hoạ với lời giải theo hướng tiếp cận sử dụng khoảng cách để tính góc đường thẳng với mặt phẳng Ví dụ minh họa 2.1 Áp dụng cho tốn khối chóp Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA   ABCD  Gọi G trọng tâm tam giác ACD , I trung điểm SB Biết độ dài đoạn SA  a , AB  a , 3a Góc đường thẳng IG mặt phẳng  SCD  AD  3 3 A arcsin B arcsin C arcsin D arcsin 16 16 13 13 Lời giải Chọn A S H I A D G B C Có SB  2a nên tam giác SAI cạnh a BG BI Gọi H trung điểm SI nên IG // HD , hay  IG,  SCD     HD,  SCD    BH BD a 3a Có AH  , AD  tam giác AHD vuông A , suy HD  a 2 1 1 Vì HS  BS nên d  H ,  SCD    d  B,  SCD    d  A,  SCD    d 4 4 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM 3a 3a 1 13 1  d  H ,  SCD     2    d  2 d SA 9a AD a 9a 13 13 d  H ,  SCD   3a   Suy sin  HD,  SCD    HD 13.a 13 Mà Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a SA  a Gọi M , N trung điểm SD BO Gọi  góc đường thẳng MN mặt phẳng  SCD  giá trị sin  A 3 B C D Lời giải Chọn A S M A D N O B C   60 SO  a Ta có: SBD tam giác nên SDB 2 a 3a a a 9a Suy MN  MD  ND  MD.ND cos 60     8 a 14  MN  Mặt khác d  N ,  SCD    d  O,  SCD   1 1 2 14 Mà     2 2  2 2 OD OS a a 3a 3a d  O,  SCD   OC 3a 42 3a a 42  d  O,  SCD     d  O,  SCD     d  N ,  SCD    14 14 28 d  N ,  SCD   3a 42 3  sin     28 a 14 MN   60 , SA  a Tam giác SAB Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi, BAC tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng  ABCD  Gọi  Câu 3: góc tạo đường thẳng SB mặt phẳng  SCD  Khi sin A B C D Lời giải Chọn C Gọi M trung điểm AB Vì tam giác SAB tam giác nên SM  AB https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM  SAB    ABCD   Ta có:  SAB    ABCD   AB  SM   ABCD    SM  AB, SM   SAB  S B d (B,(SCD)) C B S M H SCD A D Gọi H hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng  SCD  Suy BH   SCD  Suy HS hình chiếu vng góc BS lên mặt phẳng  SCD  , đó:  SB, SH   BSH SB,  SCD      d   BH   B , SCD  Ta có: sin  sin BSH SB SB Do BM //  SCD   d B , SCD   d M , SCD   SM d M ,CD  SM  d 2 M ,CD   SM d B ,CD  SM  d 2 B ,CD  a a 2  a 3 a 3          6a 6a d B; SCD  BH     Vậy sin  sin BSH SB SB a 2.2 Áp dụng cho tốn khối lăng trụ Câu 4: Cho hình lập phương ABCD ABCD có cạnh a Góc đường thẳng AD mặt phẳng  ABD  A arcsin B arcsin C arcsin D arcsin Lời giải Chọn B D' A' C' B' I D A O B https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM + Do AD / / BC nên góc đường thẳng AD mặt phẳng  A ' BD  góc đường thẳng BC ' mặt phẳng  A ' BD  + Do AA ' BD tứ diện vuông nên 1     2 2 AB AD a d  A,  A ' BD   AA ' a + Gọi  góc đường thẳng BC ' mặt phẳng  ABD   d  A,  ABD    2a    Ta có sin   BC  BC  a Cho hình lăng trụ ABC ABC có cạnh đáy a , AA  a Giá trị sin góc đường thẳng BC mặt phẳng  ABC  d  C ,  ABD   Câu 5: A 15 10 B 2d  A,  ABD   10 15 C D 65 10 Lời giải Chọn A C' A' B' H C A M B Gọi  góc đường thẳng BC mặt phẳng  ABC  Ta có: sin   d  C ,  ABC   C B  d  A,  ABC   C B (vì AC    ABC   O với O trung điểm AC ) Gọi M trung điểm BC , H hình chiếu A lên AM AM  BC    BC   AAM  hay BC  AH AA  BC  Mặt khác AH  AM nên AH   ABC  hay d  A;  ABC    AH AM  a ; AH  AA AM AA2  AM  a 15 ; C B  BB2  BC 2  2a 15 10 Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD có AB  1, AD  2, AA    mặt phẳng di  sin   Câu 6: động qua B song song với AC Gọi  góc   với đường thẳng CD Giá trị lớn sin https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM A 10 10 10 Lời giải B C D Chọn A A' D' B' C' d A D K H B C   ,    BA ,   Ta có: CD // BA  CD     Do   // AC nên   chứa đường thẳng d qua B song song với AC  sin   d  A;   AB  d  A; d  AB AB  AA2  AB  10 Dựng AH  d H  AH  d  A; d   d  AA  d   AHA  AH  d Ta có   d  AH Kẻ BK  AC K AH  sin    AH  AH  AA2   AB 5 10 Dấu “ =” xảy    AH  AH  BK  Vậy max  sin    10 2.3 Bài tập tự luyện Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  2a, BC  a Cạnh bên SD  a SD vng góc với mặt phẳng đáy Sin góc tạo đường thẳng SB mặt phẳng  SAC  6 30 B C D 9 15 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA  AB  a Gọi M trung điểm cạnh BC Tang góc tạo đường thẳng DM với mặt phẳng  SAB  bằng? A Câu 2: 13 15 B tan   C tan   13 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy trung điểm SA BC Biết góc MN A tan   Câu 3: MN mặt phẳng  SBD  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 26 D tan   13 a , tâm O Gọi M N  ABCD  60 , cosin góc NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM 41 5 41 B C D 41 5 41 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Gọi O tâm đáy, E trung điểm cạnh AD Gọi  góc đường thẳng CD mặt phẳng  SBE  Biết A Câu 4: SO  C D 6 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AB  2a , BC  a ,  ABC  120 Cạnh bên SD  a SD vng góc với mặt phẳng đáy Giá trị sin góc tạo SB mặt phẳng  SAC  A Câu 5: a sin  B 3 B C D 4 Cho hình hộp chữ nhật ABCDABCD có đáy ABCD hình vng Giá trị lớn góc tạo BD với mặt phẳng  BDC   A Câu 6: Câu 7: 1 1 B arcsin C arcsin D arcsin A arcsin 3 3 Cho hình hộp ABCD ABC D  có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh AB  a; AD  2a ; I trọng tâm tam giác  AC D  Gọi  góc đường thẳng ID mặt phẳng  ICB  , biết AB  a Giá trị sin  23 6 B C D 11 253 253 11 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cân C , AB  2a  ACB  1200 Biết AA '  a Gọi I trung điểm AB sin góc đường thẳng IA ' mặt phẳng  C ' AB  A Câu 8: 2 15 B C D 3 Cho lăng trụ tam giác ABC ABC , gọi I trung điểm A ' B ' Gọi  góc tạo A Câu 9: AC '  BIC ' Biết AA '  a; AB  2a giá trị cos  15 10 B C D 5 5  Câu 10: Cho lăng trụ tam giác ABC có AB  a , BC  a , ABC  60 Hình chiếu vng góc A ' lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm G tam giác ABC góc AA ' tạo A với mặt phẳng  ABC  60 Sin góc tạo AA ' mặt phẳng  A ' BC  A 41 B 51 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C 51 D 41 ... mặt phẳng khơng phải lúc thuận lợi Chính vậy, việc đưa cách tiếp cận khác sử dụng khoảng cách để tính góc đường thẳng với mặt phẳng nhằm khắc phục khó khăn 1.3 Định hướng tiếp cận Cho đường thẳng. .. Cách tiếp cận thích hợp cho học sinh nắm việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Sau chúng tơi đưa số ví dụ minh hoạ với lời giải theo hướng tiếp cận sử dụng khoảng cách để tính góc đường thẳng. .. mặt phẳng   Để tính góc  đường thẳng a mặt phẳng   , ta tiếp cận thông qua ý tưởng đơn giản khác sau : A a Bước 1: Tìm O  a    Bước 2: Tính sin   d  A,     a'  OA O H Cách