Một số giải pháp nhằm nâng cao kỹ năng giải các bài toán về quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không g

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài : Trong mơn tốn trường phổ thơng phần hình học khơng gian giữ vai trò, vị trí quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ giải tốn hình học khơng gian, rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: Cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư sáng tạo cho học sinh Tuy nhiên q trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh lớp 11CB e ngại học môn hình học khơng gian em nghĩ trừu tượng, khó vẽ hình, thiếu tính thực tế Chính mà có nhiều học sinh học yếu môn học Qua nhiều năm giảng dạy môn học đúc kết “Một số giải pháp nhằm nâng cao kỹ giải toán quan hệ song song đường thẳng mặt phẳng khơng gian - sách giáo khoa hình học 11” nhằm giúp em tiếp thu kiến thức tốt hơn, từ mà chất lượng giảng dạy học tập học sinh ngày nâng lên 1.2 Mục đích nghiên cứu: Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh lớp 11 có thêm số kỹ vẽ hình biểu diễn hình khơng gian phương pháp giải số dạng toán chương - sách giáo khoa hình học 11 Để học sinh thơng hiểu trình bày tốn trình tự, logic, không mắc sai lầm làm tập bắt buộc sách giáo khoa Hình học lớp 11CB 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Sử dụng kiến thức về: “Đường thẳng mặt phẳng không gian Quan hệ song song” để phân loại đưa phương pháp giải số toán thường gặp chương - Hình học lớp 11 Lớp áp dụng đề tài sáng kiến kinh nghiệm: 11B3, 11B4 Lớp đối chứng: 11B2 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lí luận chung; khảo sát điều tra thực tế dạy học; tổng hợp so sánh, đút rút kinh nghiệm; trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến đồng nghiệp 1.5 Điểm sáng kiến kinh nghiệm: Nâng cao chất lượng giáo dục xác định nhiệm vụ trọng tâm năm học trường phổ thơng nói chung thầy giáo nói riêng Vì vậy, việc đổi phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh vấn đề quan trọng đặt giáo viên đứng lớp Từ giúp học sinh tiếp thu kiến thức ngày tốt hơn, hiệu giảng dạy giáo viên nâng dần Điểm kết nghiên cứu tính hệ thống, mà học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải toán NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận: Những trường THPT có chất lượng đầu vào thấp em bị khơng có hứng thú với việc học Có nhiều em đến trường ngồi cho có lớp, cho vừa lòng cha mẹ khơng có mục tiêu học tập Bên cạnh đó, có em đến trường để thực ước mơ nghề nghiệp sau kiến thức học lên cao khó, để học tốt mơn tốn em phải nắm vững kiến thức lớp em lại bị hổng kiến thức bản, học lên cấp ba em nghe thầy giảng thấy hay vẫn khơng hiểu Cứ vậy, em sinh chán học, thiếu tự tin học tập Nâng cao chất lượng giáo dục xác định nhiệm vụ trọng tâm năm học trường phổ thơng nói chung thầy giáo nói riêng Vì vậy, việc dạy học phù hợp với đối tượng học sinh vấn đề quan trọng đặt giáo viên đứng lớp Từ giúp học sinh tiếp thu kiến thức ngày tốt hơn, hiệu giảng dạy giáo viên nâng dần 2.2 Thực trạng: Trong năm học 2017-2018 tơi nhà trường phân cơng dạy tốn lớp 11B2, 11B3, 11B4 Sau bảng số liệu thống kê kết học tập mơn tốn HS lớp 11B2, 11B3, 11B4 trường THPT Thường Xuân kỳ thi khảo sát hai tháng đầu năm năm học 2017 – 2018: Giỏi Khá TB Yếu Kém ≤ Điểm ≤ 10 6.5 ≤ Điểm < ≤ Điểm < 6.5 3.5 ≤ Điểm < ≤ Điểm < 3.5 Lớp Tổng số HS 11B2 35 0% 0% 12 34.29% 12 34.29% 17 48.57% 11B3 42 2.38% 19.05% 14.29% 10 23.81% 16.67% 11B4 35 0% 0% 5.71% 10 28.57% 23 65.71% SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL Thống kê cho ta thấy lực học mơn tốn học sinh đa số thấp Việc đổi phương pháp dạy học cho phù hợp với đối tượng học sinh việc làm cấp bách Đặc biệt mơn hình học khơng gian, làm tốn, học sinh phải vẽ hình tìm hướng giải Đối với học sinh trung bình, yếu, việc khó khăn đòi hỏi học sinh phải hình dung hình vẽ, kẻ thêm đường phụ giải toán nào? Trong đầu em đặt câu hỏi lại kẻ thêm đường phụ vậy? Và bước phải làm giải toán? Hiểu tâm lý học sinh vậy, nên đưa đề tài thực theo hướng sau: + Một số kỹ vẽ hình biểu diễn hình học khơng gian + Phân loại theo dạng toán, đưa phương pháp giải Kèm theo ví dụ minh họa cho dạng có lời bình, giải thích ta lại làm vậy? + Các tập tương tự để học sinh luyện tập 2.3 Biện pháp giải vấn đề Để giải hình học tốt theo tơi nghĩ có số giải pháp tăng cường kỹ kiến thức cho học sinh là: * Đối với học sinh: - Nắm vững lý thuyết - Vẽ hình – trực quan gợi mở tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải tốn phát huy trí tưởng tượng khơng gian, phát huy tính tích cực niềm say mê học tập học sinh Vẽ – trực quan hình vẽ giúp học sinh tránh sai lầm đáng tiếc * Đối với giáo viên: - Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh hiểu rõ khái niệm hình học khơng gian : hình chóp; tứ diện; hình hộp; hình hộp chữ nhật; ….; quan hệ song song hai đường thẳng; hai mặt phẳng; đường thẳng mặt phẳng,… - Dạy học theo chủ đề, dạng toán, mạch kiến thức mà giáo viên phân chia từ khối lượng kiến thức chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu kiến thức mà có, vận dụng chúng cách tốt Biện pháp 1: Hướng dẫn học sinh cách vẽ hình biểu diễn hình khơng gian(sách giáo khoa hình học 11- trang 45): - Dùng nét liền biểu diễn cho đường nhìn thấy, nét đứt biểu diễn cho đường bị che khuất - Hình bình hành biểu diễn cho: Mặt phẳng, Hình bình hành, Hình chữ nhật, Hình thoi, Hình vng - Một tam giác biểu diễn cho tam giác - Bảo toàn: Sự song song, tỷ lệ đoạn thẳng phương, quan hệ thuộc, thẳng hàng, thứ tự điểm - Khơng bảo tồn: Độ lớn góc, góc nhau, đoạn thẳng nhau, tỷ lệ đoạn thẳng không phương - Nên đọc hết tốn trước vẽ hình Vừa đọc vừa dựa vào lí thuyết, giả thiết đến điều cần phải chứng minh để chọn cách vẽ hình rõ ràng tốt Biện pháp : Phân dạng tập phương pháp giải dạng tập chương Dạng 1: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (α) ()(Sách tập hình học 11 – trang 57) Phương pháp giải: Cách 1: Xác định hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng  A         Nếu:  B         A B  AB =       Hình Cách 2: Xác định điểm chung sử dụng quan hệ song song Dựa vào định lý sau: ( ) �( )  a � � * Định lý 2: (SGK trang 57) Nếu �(  ) �( )  b � ( ) �(  )  c � * Hệ quả: Hình �a / / b � Nếu �a �( ), b �(  ) � ( ) �(  )  d � d / / a / /b � � d tru� ng v� � ia � � d tru� ng v� � ib � Hình a / /( ) � � * Định lý 2: (SGK trang 61) Nếu �a �(  ) � ( ) �(  )  b � * Hệ : a / /b / / c � � a , b, c � o� ng quy � ( ) / / d � � Nếu �(  ) / / d � ( ) �(  )  a � ( ) / /(  ) � ( ) �( )  a � * Định lý 3: (SGK trang 67) Nếu � Hình a // b (hình 5) (hình 6) a // d ( ) �(  )  b � �a / / b � (hình 7) Hình Hình Hình * Nhận xét: - Cách giải 1: Học sinh sử dụng cách để làm tập tìm giao tuyến sách giáo khoa sau - Cách giải 2: Học sinh sử dụng từ sau học trở - Để làm tốn tìm giao tuyến hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách tìm hai điểm chung nằm hai mặt phẳng Ví dụ 1: Trong mp(α) cho tứ giác ABCD có AB CD cắt E, AC BD cắt F Gọi S điểm nằm mp(α) Tìm giao tuyến mp sau: a) mp(SAC) mp(SBD) b) mp(SAB) mp(SCD) c) mp(SEF) mp(SAD) Nhận xét: Với câu a, b học sinh dễ dàng tìm giao tuyến Với câu c GV cần gợi ý cho HS phát điểm chung thứ hai Lời giải: a) Ta có: S  (SAC)  (SBD) (1); F = AC  BD  F  (SAC)  (SBD) (2) Từ (1) (2) suy : SF = (SAC)  (SBD) b) Ta có: S (SAB)  (SCD) (1); E = AB  CD  E  (SAB)  (SCD) (2) Từ (1) (2) suy : SE = (SAB)  (SCD) c) Trong mp(ADE) kéo dài EF cắt AD N Xét hai mp(SAD) (SEF) có: S  (SAD)  (SEF) ; N  (SAD)  (SEF) Vậy : SN = (SAD)  (SEF) Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thang (AB // CD, AB > CD) a) Tìm giao tuyến hai mp(SAD) (SBC) b) Tìm giao tuyến hai mp(SAB) (SDC) Nhận xét: Với câu a, b học sinh dễ dàng tìm điểm chung thứ S Với câu a học sinh tìm điểm chung thứ hai dựa vào giả thiết AB>CD nên AD cắt BC Đối với câu b học sinh dùng giả thiết AB//CD để áp dụng hệ nêu Lời giải: a) Ta có S điểm chung thứ Trong mp(ABCD) có AD cắt BC E �E �AD �E �( SAD ) �� �� �E �BC �E �( SBC ) Suy : SE = (SAD)  (SBC) b) Ta có S điểm chung thứ �AB �( SAB ) � Lại có: �CD �( SCD) � ( SAB) �( SCD)  S x S x / / AB / /CD �AB / / CD � Dạng : Tìm giao điểm đường thẳng d mp(α) Hình Hình Phương pháp giải(Sách tập hình học 11 – trang 58) : - Trường hợp 1: Trong mp(α) có sẵn đường thẳng a cắt d A Ta có ngay: d  ( )  A - Trường hợp 2: Trong mp(α) khơng có sẵn đường thẳng a cắt d Khi ta thực sau: Chọn mặt phẳng phụ (  ) chứa d (  )    a Đặt A = a  d Ta có: d  ( )  A * Nhận xét : Vấn đề toán xác định cho đường thẳng a Nhiệm vụ giáo viên hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường thẳng a phải chọn mp() cần chọn cho tìm giao tuyến a dễ Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AB AD cho AJ  AD Tìm giao điểm đường thẳng IJ với mp(BCD) Nhận xét : - HS dễ dàng phát đường thẳng a đường thẳng BD - GV cần lưu ý cho học sinh điều kiện để hai đường thẳng cắt hai đường thẳng phải nằm mặt phẳng không song song Lời giải : �K �IJ Gọi K  IJ �BD � � �K �BD �( BCD ) Trong ABD có: AJ  AD AI  AB , suy IJ không song song BD Vậy K = IJ  (BCD) Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang (AB // CD) Gọi I, J trung điểm SA SB, M điểm tùy ý thuộc đoạn SD a) Tìm giao điểm đường thẳng BM với mp(SAC) b) Tìm giao điểm đường thẳng IM với mp(SBC) c) Tìm giao điểm đường thẳng SC với mp(IJM) Nhận xét: Câu a) - HS dễ nhầm lẫn đường BM cắt SC Khơng nhìn đường thẳng nằm mp(SAC) để cắt BM - GV gợi ý cho HS biết chọn mp phụ chứa BM mp(SBD) xác định giao tuyến 2mp(SBD) (SAC) Câu b) - HS gặp khó khăn khơng nhìn đường nằm mp(SBC) để cắt IM - GV cần hướng dẫn HS chọn mp phụ thích hợp chứa IM Câu c) - Tương tự câu a) ta cần chọn mp phụ chứa SC tìm giao tuyến mp với mp(IJM) Có mp chứa SC? - Giáo viên hướng dẫn học sinh chọn mp cho việc tìm giao tuyến với (IJM) thuận lợi Lời giải: a) Ta có BM  (SBD) Xét mp(SAC) (SBD) có S điểm chung thứ (1) Gọi O = AC  BD  O điểm chung thứ hai (2) Từ (1) (2)  SO = (SAC)  (SBD) Trong mp(SBD) có BM cắt SO P Vậy P = BM  (SAC) b) Ta có IM  (SAD) Xét hai mp(SAD) (SBC) có: S điểm chung thứ Gọi E = AD  BC  E điểm chung thứ hai  SE = (SAD)  (SBC) Trong mp(SAE) có IM cắt SE F Vậy F = IM  (SBC) c) Ta có SC  (SBC) Xét mp(IJM) (SBC) ta có : JF = (IJM)  (SBC) Trong mp(SBE) có JF cắt SC H Vậy H = SC  (IJM) Dạng 3: Chứng minh điểm thẳng hàng Phương pháp giải(Sách tập hình học 11 – trang 58): Để chứng minh điểm hay nhiều điểm thẳng hàng ta chứng minh điểm thuộc mặt phẳng phân biệt Ví dụ 5: Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N điểm cạnh SA, SB AC cho LM không song song với AB, LN không song song với SC a Tìm giao tuyến mp (LMN) (ABC) b Tìm giao điểm I = BC  ( LMN) J = SC  ( LMN) c Chứng minh M , I , J thẳng hàng Giải S L C N A I M B J K a Tìm giao tuyến mp (LMN) (ABC) Ta có : N điểm chung (LMN) (ABC) Trong (SAB) , LM không song song với AB Gọi K = AB  LM K  LM mà LM  (LMN )  K  (LMN ) K  AB mà AB  ( ABC)  K  ( ABC)  (ABC)  ( LMN) = NK b Tìm giao điểm I = BC  ( LMN) Trong (ABC), gọi I = NK  BC I BC I NK mà NK  (LMN )  I  (LMN) Vậy : I = BC  ( LMN) Tìm giao điểm J = SC  ( LMN) Trong (SAC), LN không song song với SC Gọi J = LN  SC J SC J LN mà LN  (LMN )  J  (LMN) Vậy : J = SC  ( LMN) c Chứng minh M , I , J thẳng hàng Ta có : M , I , J điểm chung (LMN) ( SBC) Vậy : M , I , J thẳng hàng Dạng 4: Tìm thiết diện mặt phẳng hình Phương pháp giải (Ví dụ – sách giáo khoa hình học 11): - Xác định giao tuyến mặt phẳng với mặt hình - Xác định giao điểm giao tuyến với cạnh hình đến ta thu đa giác khép kín, đa giác khép kín thiết diện Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD Gọi M điểm nằm tam giác SCD a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SBM) (SAC) b) Tìm giao tuyến đường thẳng BM mp(SAC) c) Xác định thiết diện hình chóp cắt mp (ABM) Bài giải: S a) Gọi N  SM �CD, O  AC �BN Ta thấy SO=(SAC) �(SBM) b) Trong mp (SBM), đường thẳng BM cắt SO I M Ta có I  BM � SAC  I P D c) Trong mp (SAC), đường thẳng AI A cắt SC P, ta có P M hai điểm N O chung mp (ABM) mp (SCD) B C Vậy  ABM  � SCD   MP đường thẳng PM cắt SD Q.Thiết diện hình chóp cắt mp (ABM) tứ giác ABPQ Dạng 5: Chứng minh đường thẳng d song song với mp(α) Phương pháp giải: (Định lí SGK trang 61) �d �( ) � Tóm tắt: Nếu �d / / a d // (α) �a �( ) � Nhận xét: Vấn đề nêu lên đường thẳng a có hình vẽ hay chưa, xác định nào, làm để xác định GV cần làm cho HS biết hướng giải toán dựa vào giả thiết toán mà xác định đường thẳng a cho phù hợp 10 Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ tam giác ACB.A’B’C’ Gọi H trung điểm A’B’ a) Tìm giao tuyến hai mp(AB’C’) (ABC) b) Chứng minh CB’ // (AHC’) Lời giải: �A �( AB ' C ') �A �( ABC ) C' a) Ta có : � H A' B'  A điểm chung (AB’C’) (ABC) �B ' C '/ / BC � Mà �B ' C ' �( AB ' C ') �BC �( ABC ) � nên (AB’C’)  (ABC) = Ax Ax // BC // B’C’ I C A x B b) Ta có tứ giác AA’CC’ hình bình hành Suy A’C cắt AC’ trung điểm I đường Do IH // CB’ (IH đường trung bình CB’A’) Mặt khác IH  (AHC’) nên CB’ // (AHC’) Dạng : Chứng minh hai mp(α) mp() song song với Phương pháp giải: (Định lí SGK trang 64) Tóm tắt : a, b �( P ) � � Nếu �a �b  I (P) // (Q) � a / /(Q), b / /(Q ) � * Nhận xét : Tương tự toán chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, vấn đề đặt chọn hai đường thẳng a, b ? Nằm mặt phẳng (P) hay mp(Q) ? GV cần hướng dẫn, gợi mở cho HS phát vấn đề tốn Ví dụ 8: Cho hình chóp SABCD đáy hình bình hành ABCD, AC cắt BD O Gọi M, N trung điểm SC, CD Chứng minh (MNO) // (SAD) Lời giải : Trong SCD có MN đường trung bình  MN // SD mà SD  (SAD)  MN // (SAD) (1) Trong SAC có MO đường trung bình  MO // SA mà SA  (SAD) 11  MO // (SAD) (2) Từ (1) (2) suy (MNO) // (SAD) Biện pháp 3: Bài tập rèn luyện : Bài : Cho hình bình hành ABCD nằm mp(P) điểm S nằm mp(P) Gọi M điểm nằm S A; N điểm nằm S B; giao điểm hai đường thẳng AC BD O a) Tìm giao điểm đường thẳng SO với mp(CMN) b) Tìm giao tuyến hai mp(SAD) (CMN) c) Tìm thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mp(CMN) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD Trong SBC lấy điểm M, SCD lấy điểm N a) Tìm giao điểm đường thẳng MN với mp(SAC) b) Tìm giao điểm SC với mp(AMN) c) Tìm thiết diện hình chóp cắt mp(AMN) Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB, CD Gọi E điểm thuộc đoạn AN ( không trung điểm AN) Q điểm thuộc đoạn BC a) Tìm giao điểm EM với mp(BCD) b) Tìm giao tuyến hai mp(EMQ) (BCD) ; (EMQ) (ABD) c) Tìm thiết diện cắt tứ diện mp(EMQ) Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SA 1) Xác định giao tuyến d hai mp (MBD) (SAC) Chứng tỏ d // mp(SCD) 2) Xác định thiết diện hình chóp cắt mp (MBC) Thiết diện hình gì? Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SB, SC 1) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD) Tìm giao điểm H đường thẳng AN mặt phẳng (SBD) 2) Gọi I giao điểm AM DN Chứng minh SI // (ABCD) 12 2.4 Hiệu sáng kiến Với kinh nghiệm áp dụng để ôn tập cho học sinh lớp 11B3, 11B4 năm học 2017 – 2018 thu kết sau: - Đa số học sinh áp dụng để giải tập sách giáo khoa hình học 11 - Chương - Kết cụ thể thể rõ qua kiểm tra sau: * Đối với lớp không áp dụng đề tài: Giỏi Khá TB Yếu Kém ≤ Điểm ≤ 10 6.5 ≤ Điểm < ≤ Điểm < 6.5 3.5 ≤ Điểm < ≤ Điểm < 3.5 Lớp Tổng số HS 11B2 35 SL TL 0% SL TL 2.86% SL 17 TL 48,57% SL 10 TL 28.57% SL TL 20% * Đối với lớp áp dụng đề tài: Giỏi Khá TB Yếu Kém ≤ Điểm ≤ 10 6.5 ≤ Điểm < ≤ Điểm < 6.5 3.5 ≤ Điểm < ≤ Điểm < 3.5 Lớp Tổng số HS 11B3 42 11.90% 11 26.19% 12 28.57% 14 33.33% 0% 11B4 35 2.86% 8.57% 13 37.14% 18 51.43% 0% SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL - Kết kiểm tra học kỳ cho thấy số học sinh làm tốn hình nhiều so với năm học trước - Đa số học sinh khơng tâm lý "sợ" học hình khơng gian học kỳ 13 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Với mục đích nâng cao chất lượng dạy học, khơi dậy phát huy khả tìm tòi, sáng tạo học sinh tơi mạnh dạn đưa sáng kiến nhỏ Kính mong người đọc đồng nghiệp góp ý để viết tơi hồn thiện 3.2 Kiến nghị Nhằm giúp cho học sinh học tốt với môn học, thân có kiến nghị với nhà trường có kế hoạch mua bổ sung số mơ hình hình khơng gian, số tranh minh họa nội dung thể sách giáo khoa nhằm giúp cho việc giảng dạy giáo viên thuận lợi XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 12 tháng 05 năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Đỗ Thị Oanh 14 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa hình học 11 – NXB Giáo Dục Sách tập hình học 11 – NXB Giáo Dục Sách giáo viên hình học 11 – NXB Giáo Dục 15 ... đường thẳng cắt hai đường thẳng phải nằm mặt phẳng không song song Lời giải : �K �IJ G i K  IJ �BD � � �K �BD �( BCD ) Trong ABD có: AJ  AD AI  AB , suy IJ không song song BD Vậy K = IJ  (BCD)... trung điểm AB AD cho AJ  AD Tìm giao điểm đường thẳng IJ với mp(BCD) Nhận xét : - HS dễ dàng phát đường thẳng a đường thẳng BD - GV cần lưu ý cho học sinh điều kiện để hai đường thẳng cắt hai đường. ..  � SCD   MP đường thẳng PM cắt SD Q.Thiết diện hình chóp cắt mp (ABM) tứ giác ABPQ Dạng 5: Chứng minh đường thẳng d song song với mp(α) Phương pháp giải: (Định lí SGK trang 61) �d �( ) �