Các bài toán chứng minh cực trị hình học

1 Chủ đề Chủ đề 7: Cực trị hình học CÁC BÀI TỐN CHỨNG MINH CỰC TRỊ HÌNH HỌC F CÁC BÀI TỐN CHỨNG MINH CỰC TRỊ HÌNH HỌC MỤC LỤC F CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH CỰC TRỊ HÌNH HỌC A Phương pháp giải tốn cực trị hình học Dạng chung tốn cực trị hình học: 2 Hướng giải tốn cực trị hình học: Cách trình bày lời giải tốn cực trị hình học B Các kiến thức thường dùng giải toán cực trị hình học Sử dụng quan hệ đường vng góc, đường xiên, hình chiếu Sử dụng quan hệ đường thẳng đường gấp khúc Sử dụng bất đẳng thức đường tròn Sử dụng bất đẳng thức lũy thừa bậc hai 10 Sử dụng bất đẳng thức Cô-si 12 Sử dụng tỉ số lượng giác 15 C Một số toán ôn luyện có hướng dẫn 18 D Bài tập tự luyện 36 E Rèn luyện tổng hợp 41 Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp Chủ đề 7: Cực trị hình học A Phương pháp giải tốn cực trị hình học Dạng chung tốn cực trị hình học: “Trong tất hình có chung tính chất, tìm hình mà đại lượng (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích …) có giá trị lớn giá trị nhỏ nhất.” cho dạng : a) Bài tốn dựng hình Ví dụ: Cho đường tròn (O) điểm P nằm đường tròn, xác định vị trí dây qua điểm P cho dây có độ dài nhỏ b) Bài tốn vể chứng minh Ví dụ: Chứng minh dây qua điểm P đường trịn (O), dây vng góc với OP có độ dài nhỏ c) Bài tốn tính tốn Ví dụ: Cho đường tròn (O;R) điểm P nằm đường trịn có OP = h , tính độ dài nhỏ dây qua P Hướng giải tốn cực trị hình học: a) Khi tìm vị trí hình H miền D cho biểu thức f có giá trị lớn ta phải chứng tỏ : + Với vị trí hình H miền D f ≤ m ( m số ) + Xác định vị trí hình H miền D cho f = m b) Khi tìm vị trí hình H miền D cho biểu thức f có giá trị nhỏ ta phải chứng tỏ : + Với vị trí hình H miền D f ≥ m ( m số ) + Xác định vị trí hình H miền D để f = m Cách trình bày lời giải tốn cực trị hình học + Cách 1: Trong hình có tính chất đề bài, hình chứng minh hình khác có giá trị đại lượng phải tìm cực trị nhỏ (hoặc lớn hơn) giá trị đại lượng hình Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp Chủ đề 7: Cực trị hình học + Cách 2: Biến đổi tương đương điều kiện để đại lượng đạt cực trị đại lượng khác đạt cực trị trả lời câu hỏi mà đề yêu cầu Ví dụ : Cho đường tròn (O) điểm P nằm đường trịn( P khơng trùng với O) Xác định vị trí dây qua điểm P cho dây có độ dài nhỏ Hướng dẫn giải +Cách : Gọi AB dây vng góc với OP P , dây CD dây qua P không trùng với AB ( h.1) C Kẻ OH ⊥ CD ∆OHP vuông H ⇒ OH < OP ⇒ CD > AB Như tất dây qua P , dây vuông góc với OP P có độ dài nhỏ O A H P h B D + Cách : Xét dây AB qua P ( h.2) Kẻ OH ⊥ AB Theo liên hệ dây khoảng cách đến tâm: A AB nhỏ ⇔ OH lớn O H Ta lại có OH ≤ OP P OH = OP ⇔ H ≡ P h B Do maxOH = OP Khi dây AB vng góc với OP P B Các kiến thức thường dùng giải toán cực trị hình học Sử dụng quan hệ đường vng góc, đường xiên, hình chiếu a-Kiến thức cần nhớ: A B K A A h.3 C a B Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp H h.4 C H h.5 a B b Chủ đề 7: Cực trị hình học a1) ∆ABC vng A (có thể suy biến thành đoạn thẳng) ⇒ AB ≤ BC Dấu “=” xảy ⇔ A ≡ C ( h.3 ) a2) ( h.4 ) + AH ⊥ a ⇒ AH ≤ AB Dấu “=” xảy ⇔ B ≡ H + AB < AC ⇔ HB < HC a3) ( h.5 ) A,K ∈a; B, H ∈b; a // b ; HK ⊥ a ⇒ HK ≤ AB Dấu “=” xảy ⇔ A ≡ K B ≡ H b- Các ví dụ: Ví dụ 1: Trong hình bình hành có hai đường chéo cm cm, hình có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn Hướng dẫn giải B A B C H O D A h.6 O≡H C D h.7 Xét hình bình hành ABCD có AC = cm; BD = cm ( h.6) Gọi O giao điểm hai đường chéo Kẻ BH ⊥ AC Ta có : SABCD = 2SABC = AC.BH Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm Do : SABCD ≤ 8.3 = 24 (cm2) SABCD = 24 cm2 ⇔ BH ≡ BO ⇔ H ≡ O ⇔ BD ⊥AC Vậy max SABCD = 24 cm2 Khi hình bình hành ABCD hình thoi (h.7) có diện tích 24cm2 Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp Chủ đề 7: Cực trị hình học Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA ta lấy theo thứ tự điểm E,F,G,H cho AE = BF = CG = DH Xác định vị trí điểm E, F,G,H cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ Giải : A E K B ∆HAE = ∆EBF = ∆FCG = ∆GHD F ⇒ HE = EF = FG = GH ⇒ EFGH hình thoi  = BEF  AHE  + AEH =  + AEH = ⇒ AHE 900 ⇒ BEF 900 H O D G C h.8  = 900 ⇒ HEF ⇒ EFGH hình vng Gọi O giao điểm AC EG Tứ giác AECG có AE = CG, AE //CG nên hình bình hành suy O trung điểm AC EG , O tâm hai hình vng ABCD EFGH ∆HOE vng cân : HE2 = 2OE2 ⇒ HE = OE Chu vi EFGH = 4HE = OE Do chu vi EFGH nhỏ ⇔ OE nhỏ Kẻ OK ⊥AB ⇒ OE ≥OK ( OK không đổi ) OE = OK ⇔ E ≡ K Do OE = OK Như vậy, chu vi tứ giác EFGH nhỏ E,F,G,H trung điểm AB , BC, CD, DA Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp Chủ đề 7: Cực trị hình học Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a Vẽ phía AB tia Ax By vng góc với AB Qua trung điểm M AB có hai đường thẳng thay đổi ln vng góc với cắt Ax, By theo thứ tự C D Xác định vị trí điểm C,D cho tam giác MCD có diện tích nhỏ Tính diện tích tam giác x y Hướng dẫn giải D Gọi K giao điểm CM DB 12 = B = 900 , AMC  = BMK  MA = MB ; A H ⇒ ∆MAC = ∆MBK ⇒ MC = MK C Mặt khác DM ⊥CK A 1 = D 2 ⇒ ∆DCK cân ⇒ D B M K Kẻ MH ⊥ CD h.9 ∆MHD = ∆MBD ⇒ MH = MB = a ⇒ SMCD = CD.MH ≥ 1 AB.MH = 2a.a= a2 2  =450  = 450 ; BMD SMCD = a2 ⇔ CD ⊥ Ax AMC Vậy SMCD = a2 Các điểm C,D xác định Ax; By cho AC = BD =a  góc tù , điểm D di chuyển cạnh BC Xác định vị trí Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có B điểm D cho tổng khoảng cách từ B C đến đường thẳng AD có giá trị lớn Hướng dẫn giải A Gọi S diện tích ∆ABC Khi D di chuyển cạnh BC ta có : E SABD + SACD = S Kẻ BE ⊥AD , CF ⊥ AD 2 ⇒ AD.BE + AD.CF = S ⇒ BE +CF = H B h.10 2S AD Do BE + CF lớn ⇔ AD nhỏ ⇔hình chiếu HD nhỏ Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp C D F Chủ đề 7: Cực trị hình học  >900 ) HD = HB ⇔ D ≡ B Do HD ≥ HB ( ABD Vậy Khi D ≡ B tổng khoảng cách từ B C đến AD có giá trị lớn Sử dụng quan hệ đường thẳng đường gấp khúc a Kiến thức cần nhớ: Với ba điểm A,B,C ta có : AC + CB ≥ AB AC + CB = AB ⇔ C thuộc đoạn thẳng AB b Các ví dụ:  điểm A nằm góc Xác định điểm B thuộc tia Ox, điểm C Ví dụ 5: Cho góc xOy thuộc tia Oy cho OB = OC tổng AB +AC nhỏ Hướng dẫn giải m Kẻ tia Om nằm ngồi góc xOy cho D  = xOA  Trên tia Om lấy điểm D yOm cho OD = OA Các điểm D A cố định C   = BOA OD =OA, OC = OB , COD ⇒ ∆DOC = ∆AOB ⇒ CD = AB Do AC +AB = AC +CD y A O B h.11 x Mà AC +CD ≥ AD ⇒AC +AB ≥ AD Xảy đẳng thức C ∈AD Vậy min(AC+AB) =AD Khi C giao điểm AD Oy, B thuộc tia Ox cho OB = OC Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp Chủ đề 7: Cực trị hình học Ví dụ 6: Cho hình chữ nhật ABCD điểm E thuộc cạnh AD Xác định vị trí điểm F thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ A F I E K D M H B Hướng dẫn giải G C A F I B E K M D h.12 h.13 H G C Gọi I ,K, L theo thứ tự trung điểm EF, EG , EH (h.12) ∆AEF vng A có AI trung tuyến ⇒ AI = EF ∆CGH vuông C có CM trung tuyến ⇒ CM = GH IK đường trung bình ∆EFG ⇒ IK = FG KM đường trung bình ∆EGH ⇒ KM = EH Do : chu vi EFGH = EF +FG +GH +EH =2(AI + IK + KM + MC) Ta lại có : AI + IK + KM + MC ≥ AC Suy chu vi EFGH ≥ 2AC ( độ dài AC không đổi ) Chu vi EFGH nhỏ 2AC ⇔ A,I,K,M,C thẳng hàng    nên EF//DB , tương tự GH//DB = EAI = ADB Khi ta có EH//AC,FG//AC, AEI Suy tứ giác EFGH hình bình hành có cạnh song song với đường chéo hình chữ nhật ABCD (h.13) Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp Chủ đề 7: Cực trị hình học Sử dụng bất đẳng thức đường tròn a Kiến thức cần nhớ: C A D O H A B C B O O K h.14 D h.15 C D C D B B A A h.16 h.17 a1) Trong dây đường tròn, dây lớn đường kính AB đường kính, CD dây ⇒ CD ≤ AB (h.14) a2) Trong hai dây đường tròn Dây lớn dây gần tâm Dây gần tâm dâu lớn OH, OK khoảng cách từ tâm đến dây AB CD : AB ≥ CD ⇔ OH ≤ OK (h.15)  ≥ COD  (h.16) a3) AB,CD cung nhỏ (O) : AB ≥ CD ⇔ AOB  ≥ CD  a4) AB,CD cung nhỏ (O) : AB ≥ CD ⇔ AB (h.17) b Các ví dụ: Ví dụ 7: Cho hai đường trịn (O) (O’) cắt A B, cát tuyến chung CBD (B nằm C D) cắt đường tròn (O) (O’) C D Xác định vị trí cát tuyến CBD để ∆ACD có chu vi lớn Hướng dẫn giải  = sđ C   = sđ AnB  sđ AmB ; sđ D 2 ⇒ số đo góc ∆ACD khơng đổi (do A, B cố định) Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp A D O n C’ m B C h.18 O’ D’ 10 Chủ đề 7: Cực trị hình học ⇒ ∆ACD có chu vi lớn cạnh lớn , chẳng hạn AC lớn AC dây đường trịn (O), AC lớn AC đường kính đường trịn (O), AD đường kính đường trịn (O’) Cát tuyến CBD vị trí C’BD’ vng góc với dây chung AB Ví dụ 8: Cho đường trịn (O) điểm P nằm đường tròn Xác định dây AB  có giá trị lớn qua P cho OAB Hướng dẫn giải  lớn Xét tam giác cân OAB , góc đáy OAB  nhỏ góc đỉnh AOB   = sđ AB AOB A  nhỏ ⇔ dây AB  nhỏ ⇔ Cung AB Góc AOB nhỏ ⇔ Khoảng cách đến tâm OH lớn ) H A’ Ta có OH ≤ OP OH =OP ⇔ H ≡ P nên max OH = OP ⇔ AB ⊥ OP Suy dây AB phải xác định dây A’B’ vng góc với OP P Sử dụng bất đẳng thức lũy thừa bậc hai a Kiến thức cần nhớ: Các bất đẳng thức lũy thừa bậc hai sử dụng dạng : A2 ≥ ; −A2 ≤ Do với m số , ta có : f =A2 + m ≥ m ; f = m với A = f = − A2 + m ≤ m ; max f = m với A = Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp B’ O P h.19 B 36 Chủ đề 7: Cực trị hình học D Bài tập tự luyện Bài tập Cho nửa đường trịn đường kính AB C điểm nằm hai điểm A B Trên nửa mặt phẳng có bờ AB chứa nửa đường tròn, vẽ hai tia Ax By tiếp xúc với nửa đường tròn cho Trên tia Ax lấy điểm I (với I khác A); đường thẳng vuông góc với CI C cắt tia By K Đường trịn đường kính IC cắt tia IK E Chứng minh tứ giác CEKB nội tiếp đường tròn Chứng minh AI BK = AC.CB Chứng minh điểm E nằm nửa đường trịn đường kính AB Cho điểm A; B; I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang ABKI lớn Bài tập Cho tam giác ABC vuông cân A, cạnh BC lấy điểm M Gọi (O1) đường tròn tâm O1 qua M tiếp xúc với AB B, gọi (O2) đường tròn tâm O2 qua M tiếp xúc với AC C Đường tròn (O1) (O2) cắt D (D không trùng với A) 1) Chứng minh tam giác BCD tam giác vuông 2) Chứng minh O1D tiếp tuyến (O2) 3) BO1 cắt CO2 E Chứng minh điểm A, B, D, E, C nằm đường tròn 4) Xác định vị trí M để O1O2 ngắn Bài tập Cho tam giác ABC, cạnh BC lấy điểm E, qua E kẻ đường thẳng song song với AB AC chúng cắt AC P cắt AB Q 1) Chứng minh BP = CQ 2) Chứng minh tứ giác ACEQ tứ giác nội tiếp Xác định vị trí E cạnh BC để đoạn PQ ngắn 3) Gọi H điểm nằm tam giác ABC cho HB = HA2 + HC Tính góc AHC Bài tập Cho hình vng ABCD, M điểm đường chéo BD, gọi H, I K hình chiếu vng góc M AB, BC AD 1) Chứng minh: ∆ MIC = ∆ HMK 2) Chứng minh CM vng góc với HK 3) Xác định vị trí M để diện tích tam giác CHK đạt giá trị nhỏ Bài tập Cho nửa đường trịn đường kính MN Lấy điểm P tuỳ ý nửa đường tròn (P ≠ M, P ≠ N) Dựng hình bình hành MNQP Từ P kẻ PI vng góc với đường thẳng MQ I từ N kẻ NK vng góc với đường thẳng MQ K 1) Chứng minh điểm P, Q, N, I nằm đường tròn 2) Chứng minh: MP PK = NK PQ 3) Tìm vị trí P nửa đường trịn cho NK.MQ lớn Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 37 Chủ đề 7: Cực trị hình học Bài tập Cho điểm A ngồi đường trịn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) M điểm cung nhỏ BC (M ≠ B, M ≠ C) Gọi D, E, F tương ứng hình chiếu vng góc M đường thẳng AB, AC, BC; H giao điểm MB DF; K giao điểm MC EF 1) Chứng minh: a) MECF tứ giác nội tiếp b) MF vuông góc với HK 2) Tìm vị trí điểm M cung nhỏ BC để tích MDME lớn Bài tập Cho đường trịn tâm 0, đường kính AB = 2R, C trung điểm OA, kẻ dây cung MN vng góc với OA C Lấy điểm K tuỳ ý thuộc cung BM nhỏ Gọi H giao điểm AK MN a) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp b) Tính AH AK theo R c) Xác định vị trí điểm K để tổng KM + KN + KB đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị lớn Bài tập Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R) M di động AB N di động tia đối tia CA cho BM = CN a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) A D Chứng minh D cố định b) Tính góc MDN c) MN cắt BC K Chứng minh DK vng góc với MN d) Đặt AM = x Tính x để diện tích tam giác AMN lớn Bài tập Hai đường tròn tâm O tâm I cắt hai điểm A B Đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) (I) P, Q Gọi C giao điểm hai đường thẳng PO QI a) Chứng minh tứ giác BCQP, OBCI nội tiếp b) Gọi E, F trung điểm AP, AQ, K trung điểm EF Khi đường thẳng d quay quanh A K chuyển động đường nào? c) Tìm vị trí d để tam giác PQB có chu vi lớn Bài tập 10 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), H trực tâm tam giác ABC, M điểm cung BC không chứa điểm A a Xác định vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành b Gọi N E điểm đối xứng M qua AB AC Chứng minh ba điểm N H, E thẳng hàng c Xác định vị trí M để NE có độ dài lớn Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 38 Chủ đề 7: Cực trị hình học Bài tập 11 Cho (O) điểm A nằm (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với (O) (B, C, M, N thuộc (O); AM