Một số bài toán cực trị hình học không gian

Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN Câu Câu Câu Một khối gỗ hình hộp chữ nhật có kích thước thoả mãn: Tổng chiều dài chiều rộng 12 cm ; tổng chiều rộng chiều cao 24 cm Hỏi thể tích lớn mà khối hộp đạt bao nhiêu? A 288cm3 B 384 cm C 1782cm D 864cm3 Trong không gian cho bốn mặt cầu có bán kính 2;3;3; đôi tiếp xúc Mặt cầu nhỏ tiếp xúc ngồi với bốn mặt cầu nói có bán kính A B C D 15 11 Cho hình chóp S ABC có SA   ABC  , SB  a , hai mặt phẳng  SAB   SBC  vng góc với Góc SC  SAB  450 , góc SB mặt đáy      90  Xác định  để thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị lớn Câu A   600 B   300 C   450 D   700 Cho hình chóp S ABC có SA   ABC  , SB  a , hai mặt phẳng  SAB   SBC  vng góc với Góc SC  SAB  45o , góc SB mặt đáy  ,  0o    90o  Xác định  để thể tích khối chóp S ABC lớn Câu A   60o B   30o C   45o D   70o Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân đáy AB , nội tiếp đường tròn tâm O , bán kính R Biết AC  BD I , đồng thời I hình chiếu S lên  ABCD S AC vuông S Thể tích lớn khối chóp S ABCD theo R A R Câu Trong B không gian R Oxyz C cho mặt R D 3 R phẳng   : x  y   , 2 mặt cầu  S1  :  x  1  y  z  mặt cầu  S2  :  x     y    z  Điểm A thuộc mặt phẳng   , điểm M thuộc mặt cầu  S1  , điểm N thuộc mặt cầu  S2  Khi dó AM  AN nhỏ A B Câu Câu D C 11   60 Thể tích khối chóp Cho lăng trụ đứng ABC ABC  có AB  6; BC  12; ABC C  ABBA 216 Gọi M điểm nằm tam giác ABC  cho tổng diện tích mặt bên hình chóp M ABC đạt giá trị nhỏ Tính cosin góc đường thẳng B M , AC  ? 2 A B C D 2 Trong không gian hai mặt cầu Oxyz cho  S1  :  x    y  z  16 ,  S2  :  x    y  z  36 điểm A  4;0;0  Đường thẳng  di động tiếp xúc với  S1  đồng thời cắt  S2  hai điểm B, C Tam giác ABC có diện tích lớn A 28 B 72 Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp C 48 D 24 Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Câu Lớp Toán Thầy Nghiệp Cho hình chóp S ABCD , có đáy hình bình hành, M trung điểm cạnh SC Mặt phẳng ( P ) chứa AM cắt cạnh SB , SD B ' , D' Giá trị lớn SB ' SD ' a *  , (a, b  N ) tối giản Tích a.b bằng: SB SD b A B 12 C 15 D Câu 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi I điểm thuộc đoạn SO cho SI  SO Mặt phẳng   thay đổi qua B I   cắt cạnh SA , SC , SD M , N , P Gọi m , n giá trị lớn giá trị V nhỏ S MBNP Giá trị m  n VS ABCD 14 A B C D 15 75 75 Câu 11 Cho hình chóp SABC có đáy tam giác cạnh biết mặt bên u hình chóp có diện tích cạnh bên Tính thể tích nhỏ khối chóp SABC A B 2 C D Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A  4;0;0  , B  0;4;0  , S  0;0; c  x 1 y 1 z 1 Gọi A, B hình chiếu vng góc   1 O lên SA, SB Khi góc đường thẳng d mặt phẳng  OAB  lớn nhất,mệnh đề đường thẳng d : sau đúng?  17 15  D c    ;   2  Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Điểm M nằm cạnh AA ' cho góc A c   8; 6  Câu 13 B c   9; 8  C c   0;3 ' lớn nhất, đặt góc lớn  Biết cos   a ; a, b  ;  a, b   1; b  Mệnh BMD b đề sau đúng? A a  b  B a  b  C a  b  D a  b  Câu 14 Cho khối chóp S ABC có SA vng góc với đáy, tam giác ABC vng B Biết thể tích khối chóp giá trị nhỏ diện tích tồn phần chóp S ABC 24 2 p  q p, q   Tính giá trị biểu thức: p  q  ? 37 37 25 A p  q  B p  q  C p  q  D p  q  16 36 Câu 15 Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi I điểm thuộc đoạn SO cho SI  SO Mặt phẳng   thay đổi qua B I   cắt cạnh V SA, SC , SD M , N , P Gọi m, n GTLN, GTNN S BMPN Tính VS ABCD m ? n 14 A B C D 75 Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Câu 16 Trong khơng gian cho bốn mặt cầu có bán kính 2;3;3;2 đơi tiếp xúc Mặt cầu nhỏ tiếp xúc với bốn mặt cầu nói có bán kính A B C D 15 11 Câu 17 Cho tứ diện SABC G trọng tâm tứ diện Một mặt phẳng   quay quanh AG cắt cạnh SB , SC M N ( M , N không trùng S ) Gọi V thể tích tứ diện SABC , V1 thể tích tứ diện SAMN gọi m, n giá trị lớn V giá trị nhỏ Hãy tính m  n V 17 18 19 A m  n  B m  n  C m  n  D m  n  18 19 20 Câu 18 Cho hình nón ( H ) có đỉnh S , chiều cao h mặt phẳng ( P ) song song với mặt phẳng đáy khối nón Một khối nón (T ) có đỉnh tâm đường tròn đáy ( H ) đáy (T ) thiết diện ( P ) với hình nón Thể tích lớn (T ) bao nhiêu? 4 R h 4 R h  R2h  R2h2 A B C D 81 27 24 Câu 19 Cho hình chóp S ABC có AB  1,  ASB  30 Lấy điểm B ', C ' thuộc cạnh SB , SC cho chu vi tam giác AB ' C ' nhỏ Tính chu vi A B 1 C D  1 Câu 20 Trong mặt phẳng  P  cho tam giác ABC cạnh 8cm điểm S di động mặt phẳng  P  cho tam giác MAB ln có diện tích 16 3cm2 , với M trung điểm SC Gọi  S  mặt cầu qua bốn đỉnh M , A , B , C Khi thể tích hình chóp S ABC lớn nhất, tính bán kính nhỏ  S  : 16 4 15 39 cm cm cm cm B C D 3 Câu 21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD đáy hình vng cạnh a , SA  a Và SA vng góc với đáy M N hai điểm thay đổi thuộc hai cạnh BC CD   450 Tính tỉ số giá trị lớn giá trị nhỏ thể tích khối cho MAN A chóp S AMN 1 1 C 2 1 D Câu 22 Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD có tổng diện tích tất mặt 36 , độ dài đường chéo AC  Hỏi thể tích khối hộp chữ nhật lớn bao nhiêu? A 2  2 B A B 6 C 24 D 16 Câu 23 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a đường cao SA  2a MNPQ thiết diện song song với đáy, M  SA AM  x Xét hình trụ có đáy đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNPQ đường sinh MA Giá trị x để thể tích khối trụ lớn a 2a a 3a A x  B x  C x  D x  3 Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Câu 24 Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cạnh 2a tam giác ABD vuông D , a AD  Khoảng cách lớn từ B đến mặt phẳng  ACD  là? 2a a A B a C D 2a Câu 25 Cho khối chóp tứ giác S ABCD mà khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SCD  2a Gọi  góc mặt bên hình chóp với đáy hình chóp Với giá trị  thể tích khối chóp S ABCD đạt giá trị nhỏ nhất? 2 A   arcsin B   450 C   arccos D   60 3 Câu 26 Cho hình chóp SABCD , có đáy ABCD hình thoi cạnh a , SA  SB  SC  a Đặt x  SD  x  a Tìm x theo a để tích AC.SD đạt giá trị lớn   a a a B x  C x  D Đáp án khác Câu 27 Cho tứ diện S ABCD M điểm di động, nằm bên tam giác ABC Qua M kẻ đường thẳng song song với SA, SB, SC cắt mặt phẳng tương ứng A x   SBC  ,  SAC  ,  SAB  A ', B ', C ' Khi giá trị lớn biểu thức MA ' MB ' MC ' MA ' MB ' MC '    SA SB SC SA SB SC 28 62 13 A B C D 27 27 Câu 28 Trong không gian với hệ trục tọa độ O.xyz , cho điểm A  a; b; c  với a; b; c số T thực dương thỏa mãn  a  b  c    ab  2bc  ca  Q  a có  b  c  a  b  c 3 giá trị lớn Gọi M , N , P hình chiếu vng góc A lên tia Ox; Oy; Oz Phương trình mặt phẳng  MNP  A x  y  z 12  C x  y  z  Câu 29 B 3x 12 y 12z 1  D 3x  12 y  12 z   Trong mặt phẳng   cho đường tròn T  đường kính AB  R Gọi C diểm di động T  Trên đường thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng   lấy điểm S cho SA  R Hạ AH  SB H , AK  SC K Tìm giá trị lớn Vmax thể tích tứ diện SAHK R3 R3 R3 R3 B Vmax  C Vmax  D Vmax  75 25 27 Câu 30 Cho tứ diện ABCD có cạnh Hai điểm M , N di động cạnh AB , AC cho mặt phẳng  DMN  vng góc mặt phẳng  ABC  Gọi S1 , S S diện tích lớn nhỏ tam giác AMN Tính T  S2 9 A T  B T  C T  D T  7 Câu 31 Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' với độ dài tất cạnh a Xét tất đoạn thẳng song song với mặt phẳng  ABB ' A '  có đầu E nằm A Vmax  Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp đường chéo A ' C mặt bên AA ' C ' C , đầu F nằm đường chéo BC ' mặt bên BB ' C ' C Hãy tìm độ dài ngắn đoạn thẳng a 2a 2a a A B C D 5 5 Câu 32 Cho hình chóp tứ giác S ABCD mà khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  b Góc mặt bên mặt đáy hình chóp  Tìm  để thể tích khối chóp S ABCD nhỏ  3 1 2 A   arccos  D   arccos    B   arccos C   arccos    3 3   Câu 33 Cho hình lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh đáy a Điểm M N thay đổi cạnh BB ' DD ' cho  MAC    NAC  BM  x, DN  y Tìm   giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện ACMN a3 a3 a3 a3 A B C D 2 2 Câu 34 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA  b vuông góc với  ABCD  Điểm M thay đổi cạnh CD với CM  x   x  a  H hình chiếu vng góc S BM Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp S ABH theo a , b a 2b a 2b a 2b a 2b B C D 12 18 24 Câu 35 Cho tứ diện SABC có D điểm thuộc cạnh AB cho BD  AD , I trung điểm SD Một đường thẳng d thay đổi qua I cắt cạnh SA , SB M , A 3 m a N Biết AB  2a Khi d thay đổi, thể tích khối chóp S.MNC nhỏ   , m n với m, n  ,  m, n   Tính m  n A m  n  B m  n  C m  n  D m  n  Câu 36 Cắt khối trụ trịn có chiều cao h mặt phẳng song song với hai mặt đáy ta thu hai khối trịn nhỏ Một hai khối ngoại tiếp lăng trụ đứng thể tích V có đáy tam giác có chu vi p Khối cịn lại ngoại tiếp khối nón có bán kính R Tìm giá trị R cho thể tích khối nón lớn nhất?  p3 hp  p3 p3 A R  B R  C R  D R  162V 162V 162 162V Câu 37 Người ta cần trang trí kim tự tháp hình chóp tứ giác S ABCD cạnh bên ASB  150 đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp 200 m ,  AEFGHIJKLS điểm L cố định LS  40m Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Khi cần dùng mét dây đèn led để trang trí? B 20 111  40 mét C 40 31  40 mét D 40 111  40 mét Chohình chóp S ABC có cạnh bên Mặt phẳng   thay đổi qua A 40 67  40 mét Câu 38 trọng tâm hình chóp, cắt ba cạnh bên SA, SB , SC D, E , F Tìm giá trị 1 lớn Pmax P    SD.SE SE.SF SF SD 16 A B C D 3 Câu 39 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a G trung điểm BD ' , mặt phẳng  P  thay đổi qua G cắt AD ', CD ', B ' D ' tương ứng H , I , K Tìm giá trị lớn biểu thức T  1   D ' H D ' I D ' I D ' K D ' K D ' H 16a 8a 16 B C D 3a 3a 3 Câu 40 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AC  a , AD '  b, CD '  c Tìm thể tích lớn hình chữ nhật cho a , b, c thay đổi, chu vi tam giác ACD ' không A đổi Câu 41 Cho tứ diện ABCD, AB  x, CD  y, cạnh lại tứ diện a 2, x, y thay đổi cho x  y  2a Khi VABCD đạt giá trị nhỏ nhất, tính cosin góc  ABC   ABD  Câu 42 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh SA  a vng góc với mp ( ABCD ) M điểm di động đoạn BC BM  x   x  a  , K hình chiếu S DM a) Tính độ dài đoạn SK theo a x b) Tìm đoạn SK Câu 43 Cho hình chóp S ABCD có tứ giác ABCD hình bình hành tâm O Điểm C  di động cạnh SC ( C  khác điểm S C ) Mặt phẳng  R  chứa đường thẳng AC  song song với BD Mặt phẳng  R  cắt đường thẳng SB , SD B , D 1/ Gọi F giao điểm AD với BC  Chứng minh F di động đường thẳng cố định C  di động SC SC  BB SD 3  2/ Xác định vị trí điểm C  cho tổng đạt giá trị nhỏ CC  SB DD Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Câu 44 Trong mặt phẳng  cho hình chữ nhật ABCD có AB  a; BC  a Các điểm M , N di chuyển đường thẳng m, n vng góc với mặt phẳng   A, B cho DM  CN Tìm giá trị nhỏ khối tứ diện CDMN Câu 45 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AB song song với CD , AB  2CD , cạnh bên có độ dài Gọi O  AC  BD , I trung điểm SO Mặt phẳng   thay đổi qua I cắt cạnh SA, SB , SC , SD M , N , P, Q 1 1   2 2 SM SN SP SQ Câu 46 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi E trung điểm SC Mặt phẳng   thay đổi chứa AE cắt SB , SD M , N Xác Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  SM SN đạt giá trị lớn  SB SD Câu 47 Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc Gọi M điểm thuộc miền tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ biểu thức MA2 MB MC T   OA2 OB OC BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.C 3.C 4.C 5.B 6.A 7.C 8.D 9.B 10.C 11.A 12.D 13.D 14.D 15.C 16.C 17.B 18.A 19.D 20.C 21.D 22.A 23.B 24.B 25.A 26.C 27.B 28.B 29.A 30.B 31.B 32.A 33.A 34.A 35.D 36.B 37.C 38.B 39.A định vị trí M , N cạnh SB , SD cho Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Câu Lớp Toán Thầy Nghiệp LỜI GIẢI THAM KHẢO Một khối gỗ hình hộp chữ nhật có kích thước thoả mãn: Tổng chiều dài chiều rộng 12 cm ; tổng chiều rộng chiều cao 24 cm Hỏi thể tích lớn mà khối hộp đạt bao nhiêu? A 288cm3 B 384 cm C 1782cm D 864cm3 Lời giải Gọi chiều dài, chiều rộng chiều cao khối hộp chữ nhật x , y , z  x, y , z    x  y  12  x  12  y  y  12   y  12 Theo giả thiết ta có:  Vì x, z  nên   y  z  24  z  24  y  y  24 Thể tích khối hộp V  xyz  12  y  y  24  y   y  36 y  288 y Xét hàm số f  y   y  36 y  288 y khoảng  0;12  f   y   y  72 y  288 ;  y  12  f  y    y  12   Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có: max f  y   384  0;12  Câu Vậy thể tích lớn mà khối hộp đạt 384 cm Trong khơng gian cho bốn mặt cầu có bán kính 2;3;3; đơi tiếp xúc Mặt cầu nhỏ tiếp xúc với bốn mặt cầu nói có bán kính A B C D 15 11 Lời giải Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp B M I D A N C Gọi A, B, C , D tâm bốn mặt cầu nói I , x (  0) tâm, bán kính mặt cầu cần tìm  IA  IC  x  Mặt cầu I tiếp xúc với bốn mặt cầu nêu nên  Do đó, I nằm  IB  ID  x  giao tuyến hai măt phẳng trung trực AC , BD Vì bốn mặt cầu đơi tiếp xúc nên DA  DC  BA  BC Gọi M , N trung điểm BD , AC Khi đó, MN đoạn vng góc chung AC BD nên I thuộc đường thẳng MN Ta có, DN  DC  CN  25   21, MN  DN  DM  21    x  2 Xét AIN vuông N IN   x  3 Xét BIM vng M có IM   22  32 Vì IM  IN  MN nên dấu ‘‘=’’ xảy I  MN Khi đó, IM  IN  MN   x  2  22   x  3  32  11 Cho hình chóp S ABC có SA   ABC  , SB  a , hai mặt phẳng  SAB   SBC   11x  60 x  36   x  Câu vng góc với Góc SC  SAB  450 , góc SB mặt đáy      90  Xác định  để thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị lớn A   600 B   300 Giaùo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp C   450 Lời giải D   700 Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Ta thấy SA   ABC    SAB    ABC 1 Theo giả thiết  SAB    SBC   Từ ta có BC  ( SAB )  BC  AB BC  SB   450 Trong tam giác vng cân SBC có Góc SC  SAB  góc BSC SB  BC  a Tam giác vuông SAB cạnh AB  SB.cos   a cos  ; SA  SB.sin   a 2.sin  Câu 1 VS ABC  S ABC SA  2.a sin 2  a 6 Vmax  a  sin 2  1    90     450 Cho hình chóp S ABC có SA   ABC  , SB  a , hai mặt phẳng  SAB   SBC  vng góc với Góc SC  SAB  45o , góc SB mặt đáy  ,  0o    90o  Xác định  để thể tích khối chóp S ABC lớn A   60o B   30o C   45o Lời giải D   70o Ta có: SA   ABC    SAB    ABC  Mà  SAB    SBC  ,  ABC    SBC   BC Nên BC   SAB   BC  AB  ABC vuông B   45o  Góc SC  SAB  CSB  BC  SB  a     AB  SB.cos  ; SA  SB.sin  Góc SB mặt đáy SBA Thể tích khối chóp S ABC là: Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 10 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Cách 1: Gọi I trung điểm AC, đặt BB '  b, ta có: 1 VACMN  VAMNI  VCMNI  IC S IMN  IA S IMN  AC S IMN 3  a  S BDD ' B '  SMND ' B '  S BIM  S IDN    2b  x  y  a  x.a  y.a   a  ab    4    x.a y.a   a     a  x  y  4   Vì  MAC    NAC  nên a2 a2 a2 2 MI  IN  IM  IN  MN  x   y   2a   x  y   xy  2 Do 1 a3 VACMN  a  x  y   a xy  3 a3 Vậy thể tích khối tứ diện ACMN đạt giá trị nhỏ x  y Cách 2: Gọi I trung điểm AC Dễ thấy ΔMAC , ΔNAC cân M , N nên MI  AC , NI  AC  AC   MIN  2 2 Lại có AC   MAC    NAC  ;  MAC    NAC   MI   NAC   MI  NI a2 a2 a2  y   2a   x  y   xy  2 1  CI S IMN  AC.S IMN  IM IN AC 3 Khi MI  IN  MN  x  VACMN  VAMNI  VCMIN  AI S IMN  VACMN a2 a2 a 2  a x  y   2 a2 a4  xy    x  y   a2 a a2  a4 a2  Mà xy  nên VACMN   x  y   xy     x  y   Do 1 a3 VACMN  a  x  y   a xy  3 a3 Vậy thể tích khối tứ diện ACMN đạt giá trị nhỏ x  y Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 39 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Câu 34 Lớp Toán Thầy Nghiệp Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA  b vng góc với  ABCD  Điểm M thay đổi cạnh CD với CM  x   x  a  H hình chiếu vng góc S BM Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp S ABH theo a , b A a 2b 12 B a 2b 24 C a 2b D a 2b 18 Lời giải 1 b b AH  BH Ta có VSABH  SA.S ABH  b AH BH  AH BH  3 6 2 b b.a  VSABH  AB  VSABH  12 12 Dấu “=” xảy AH  BH  ABH  45o  ABM  45o  M  D Câu 35 Cho tứ diện SABC có D điểm thuộc cạnh AB cho BD  AD , I trung điểm SD Một đường thẳng d thay đổi qua I cắt cạnh SA , SB M , 3 m a N Biết AB  2a Khi d thay đổi, thể tích khối chóp S.MNC nhỏ   , m n với m, n  ,  m, n   Tính m  n A m  n  B m  n  Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp C m  n  Lời giải D m  n  Trang - 40 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Gọi H tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Vì SABC tứ diện AB  2a nên suy SH   ABC  , H trọng tâm tam giác ABC 2a 2a AH   3 2 Từ suy SH  SA  AH   2a   2a  2a     3   1 2a  a  a  Vậy VSABC  SH SABC  1 3 SM SN Đặt  k,  l ,  k, l  SA SB S SM SN Ta có: SMN  S SAB SA SB S S 2S SM SI SN SI Mặt khác SMN  SMI  SNI   S SAB 3S SAD 3S SBD SA SD SB SD 1 k Nên ta có k l  k  l  6kl  k  2l  l   2 3 2  3k  1 0  k  0  k     k   3k   k Vì  nên  0  l  0   3k  1   V SM SN SC Ta có: SMNC   k l  VSMNC  k l.VSABC  3 VSABC SA SB SC Từ 1 ,   ,  3 ta có VS MNC  k k 2a a 9k   3k  1 27 3k  a3   a3    3k    3k    2  27  3k   27  3k   Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số dương, ta có:  4a  3 a a3  VS MNC    3k  1      27  3k  27 3  2 Dấu “=” xảy  3k     3k  1   k  3k  3 2 a Vậy VS MNC    k 3  VS MNC  3 m a Theo đề bài, thể tích khối chóp S.MNC nhỏ   , với m, n  , m n  m, n   nên ta có m  2, n  , suy m  n  Câu 36 Cắt khối trụ trịn có chiều cao h mặt phẳng song song với hai mặt đáy ta thu hai khối trịn nhỏ Một hai khối ngoại tiếp lăng trụ đứng thể tích V có đáy tam giác có chu vi p Khối cịn lại ngoại tiếp khối nón có bán kính R Tìm giá trị R cho thể tích khối nón lớn nhất?  p3 hp  p3 p3 A R  B R  C R  D R  162V 162V 162 162V Lời giải Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 41 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Hình lăng trụ có đáy tam giác có độ dài cạnh a,b,c có chiều cao x Khi S  abc abc abc thể tích hình lăng trụ V  x .Suy R  x 4R 4R 4V Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương a,b,c ta có a  b  c R  x p3  x 27.4V 108.V 1 x2 p6 Mặt khác V H    h  x   R   h  x   3 108V  Xét hàm số f  x    h  x  x với  x  h f   x   3 x  2hx Suy f   x    3x  2hx   x  2h Bảng biến thiên  2h  Từ f  x   f    h   27 p6 Do V H    h3 27 108V  2h p6 x  a  b  c V H   max    h3 3 27 108V  2h p hp3  108.V 162.V Câu 37 Người ta cần trang trí kim tự tháp hình chóp tứ giác S ABCD cạnh bên ASB  150 đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp 200 m ,  AEFGHIJKLS điểm L cố định LS  40m Khi R  Khi cần dùng mét dây đèn led để trang trí? A 40 67  40 mét B 20 111  40 mét C 40 31  40 mét Lời giải Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp D 40 111  40 mét Trang - 42 - Taøi liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Cắt hình chóp theo SA trải phẳng ( H trùng với H  ) Lấy điểm L A cho SL  SL , P đối xứng với L  qua SA Ta có: AE  EF  FG  GH  H I  IJ  JK  KL  AH  H L  AH  HL  AH  HP  AP Áp dụng định lí Cơ-sin ASP ta được: AP  AS  SP  AS SP.cos  ASP  2002  402  2.200.40.cos1200  49.600  AP  40 31 Vậy độ dài đèn led ngắn 40 31  40 Câu 38 Chohình chóp S ABC có cạnh bên Mặt phẳng   thay đổi ln qua trọng tâm hình chóp, cắt ba cạnh bên SA, SB , SC D, E , F Tìm giá trị 1 lớn Pmax P    SD.SE SE.SF SF SD 16 A B C D 3 Lời giải Gọi I trọng tâm ABC Ta có:      SA  SB  SC  3SI  Ta có:   SA   SB   SC  SD ; SB  SE ; SC  SF  SA  SD SE SF  Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 43 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học      Mà ta có SG  SI  SA  SB  SC 4      4SG  SA  SB  SC  Lớp Toán Thầy Nghiệp   SA  SB  SC   SG  SD  SE  SF SD SE SF  SA  SB  SC   SG  SD  SE  SF SD SE SF      SG  SD  SE  SF SD SE SF Do đồng D, E , F , G phẳng nên 1   1 SD SE SF 1 1  1       4  1  SD SE SF  SD SE SF 1 1 1  Ta lại có P         SD.SE SE.SF SF SD  SD SE SF  Dấu "  " xảy SD  SE  SF 1 1 1  16 Vậy P          SD.SE SE.SF SF SD  SD SE SF  3 Dấu "  " xảy SD  SE  SF  SA 16 Vậy PMax  Câu 39 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a G trung điểm BD ' , mặt phẳng  P  thay đổi qua G cắt AD ', CD ', B ' D ' tương ứng H , I , K Tìm giá trị lớn biểu thức T  1   D ' H D ' I D ' I D ' K D ' K D ' H 8a 16 C D 3a Lời giải Bổ đề: Cho tứ diện SABC có SA  SB  SC  a Một mặt phẳng ( P ) thay đổi qua trọng 1 tâm G tứ diện cắt SA, SB , SC M , N , P CMR :    SM SN SP a Chứng minh: A 3a 16a B Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 44 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Gọi G trọng tâm ABC Theo tính chất trọng tâm tứ diện ta có S , G , G  thẳng SG hàng  SG  Thêm VSABG  VSBCG   VSGCA  VSABC Ta có: VSMNG SM SN SG 3V V 3SM SN SM SN   SMNG   SMNG  1 VSABG SA SB SG VSABC 4a VSABC 4a V V SN SP SP.SM Lập luận tương tự thu SNPG    SGPM   3 VSABC 4a VSGCA 4a Cộng theo vế đẳng thức 1 ,   ,  3 ta VSMNP SM SN  SN SP  SP.SM SM SN SP SM SN  SN SP  SP.SM    VSABC 4a SA SB SC 4a 1  4a SM SN SP   SM SN  SN SP  SP.SM  a     SM SN SP a Xét hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Ta có hình chiếu D ' B lên mặt phẳng  ABCD  DB ,  ABCD  ta có DB  AC nên D ' B  AC Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 45 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Tương tự, ta có D ' B  B ' C Từ suy D ' B   B ' AC  Xét tứ diện D ' AB ' C tứ diện cạnh a Vì D ' B   B ' AC  nên D ' B đường cao tứ diện Gọi G ' giao điểm D ' B với  B ' AC  , ta chứng minh D ' G  D 'G ' Vì tứ diện D ' AB ' C tứ diện nên G trọng tâm tam giác BAC , suy G trọng tâm tứ diện DABC Ta có: T  1 1 1         D ' H D ' I D ' I D ' K D ' K D ' H  D ' H D ' I D ' K  1 ÁP DỤNG Bổ đề trên: Xét tứ diện D ' AB ' C tứ diện cạnh a , ta có 1     2 D'H D'I D'K a Từ 1 ,   ta 2 1 1 1    T            D ' H D ' I D ' I D ' K D ' K D ' H  D ' H D ' I D ' K   a  3a Câu 40 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AC  a , AD '  b, CD '  c Tìm thể tích lớn hình chữ nhật cho a , b, c thay đổi, cịn chu vi tam giác ACD ' khơng đổi Lời giải Đặt AD  d , C D  r , DD '  h Ta có: a  d  r  2dr   b2  d  h2  2dh   a 2b 2c  8d h r  abc  2dhr  V  abc  2  c  h2  r  2hr   a  b  c  k3 k3  Mà abc   nên Vmax      27 108  d rh   k  d rh Dấu "  " xảy  k  a  b  c     Giaùo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 46 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Câu 41 Cho tứ diện ABCD, AB  x, CD  y, cạnh lại tứ diện a 2, x, y thay đổi cho x  y  2a Khi VABCD đạt giá trị nhỏ nhất, tính cosin góc  ABC   ABD  Lời giải -Gọi M , N trung điểm AB, CD  MN  AB, CD   MCD   AB  -Gọi    ABC ,  ABD      MD, MC  -Coi a   x  y   x2  y  1 VABCD  AB.S MCD  xy  xy  xy 12 ( x  y)  -Đặt t  xy   t Xét hàm số f t   t  2t , với  t  12    3t  1 t      0, t  0; 1 Ta có: f  t     2t   12   2t  12   2t   Maxf t   f 1   MaxVABCD  12 12 "  "  x  y   MC  MD   cos DMC Câu 42 2 MC  CD 5   cos   2MC 7 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh SA  a vng góc với mp ( ABCD ) M điểm di động đoạn BC BM  x   x  a  , K hình chiếu S DM a) Tính độ dài đoạn SK theo a x Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 47 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp b) Tìm đoạn SK Lời giải S A D K x B a-x M C a) Do DM  SA DM  SK nên DM  AK Ta có: a   AK  DC  AK  sin  ADK  cos MDC  AK  2 a AD DM a  a  x Suy SK  SA2  AK  a  b) Do SK  a  a2 a  a  x a4 a2   a  x  a 1 a2 a2   a  x  a2 a2   a  x  2 nên SK nhỏ  a  x  lớn hay x  a x  Câu 43 Cho hình chóp S ABCD có tứ giác ABCD hình bình hành tâm O Điểm C  di động cạnh SC ( C  khác điểm S C ) Mặt phẳng  R  chứa đường thẳng AC  Vậy minSK  song song với BD Mặt phẳng  R  cắt đường thẳng SB , SD B , D 1/ Gọi F giao điểm AD với BC  Chứng minh F di động đường thẳng cố định C  di động SC SC  BB SD 3  2/ Xác định vị trí điểm C  cho tổng đạt giá trị nhỏ CC  SB DD Lời giải 1/ Qua S kẻ đường thẳng d //AD   SAD    SBC   d Xét mặt phẳng  SAD  ,  SBC  ,  ABC D  có: Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 48 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghieäp  SAD    SBC   d   SAD    ABC D   AD nên d , AD, BC  đồng quy F   SBC    ABC D   BC   AD  BC   F  Khi J  d cố định SA SC SB SD SC SB     1 2 2/ Ta có: SA SC  SB SD SC  SB Lại có: SC  1 1 1 i)       1 CC  CC  SC  SC  SC  SC   2 SB   SB  2  1 SC  SC  SC  SC  SB  SB  BB SB  SB   SB  ii) 3  3  1  2  SB  SB  SB   SD 5 5 iii)      3 DD DD  SD  SD   SD   SB  2  1   1 SD SD  SD   SB  SC  BB SD  SB  3  Từ , , ta có:   3  1  CC  SB DD  SB   SB   SB  1 2  1     SB   SB   SB    3  1  SB     SB     1 SB   SB SB SC 1   2  Dấu xảy  SB SB SC  SC  Vậy tổng nhỏ C  thuộc đoạn SC thỏa SC  Câu 44 Trong mặt phẳng  cho hình chữ nhật ABCD có AB  a; BC  a Các điểm M , N di chuyển đường thẳng m, n vng góc với mặt phẳng   A, B cho DM  CN Tìm giá trị nhỏ khối tứ diện CDMN Lời giải Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ, coi a  Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 49 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Do A  0;0;0  , B 1;0;0  , C 1; 2;0  , D  0; 2;0    Đặt AM  x, BN  y  M  0;0; x  , N 1;0; y  suy DM  0; 2; x  , CN  0; 2; y    Mà DM  CN nên DM CN  4  0.0   2   2   xy   xy  4  y  x    CD  1;0;0  ; CM  1; 2; x  ; CN  0; 2; y        CD, CM    0; x;   CD, CM  CN  2 x  y     VCDMN  CD , CM  CN  2 x  y 6 4  VCDMN   x   x  x x Vậy VCDMN  Câu 45 4a Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AB song song với CD , AB  2CD , cạnh bên có độ dài Gọi O  AC  BD , I trung điểm SO Mặt phẳng   thay đổi qua I cắt cạnh SA, SB , SC , SD M , N , P, Q 1 1   2 2 SM SN SP SQ Lời giải Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  Nhận xét:    I thuộc đoạn MP với điểm S bất kỳ, ta có mSI  nSM  pSP  m  n  p SA SC ;y SM SP                SI  SO  SA  AO   SA  AC    SA  SC  SA   SA  SC 2 2 3   2   x y  SM  SP Đặt x    Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 50 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghieäp x y SA SC   x  2y   2 6  6 SM SP SM SP  6 Chứng minh tương tự SN SQ Vì I thuộc đoạn MP nên   1 2 2  Ta có     12  12       SM SN SP SQ  SM SN SP SQ   1 1  144 72  12  12  22  22    2  10T  T   2  SN SP SQ  10  SM 1 1 1 72      SM  SN  ; SP  SQ  Vậy Tmin  , đạt SM SN 2SP SQ Câu 46 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi E trung điểm SC Mặt phẳng   thay đổi chứa AE cắt SB , SD M , N Xác   định vị trí M , N cạnh SB , SD cho SM SN đạt giá trị lớn  SB SD Lời giải S M E I A N D B O C Trong  ABCD  gọi O  AC  BD , mp   gọi I  AE  MN Khi ta có  I  AE   SAC  +  I  SO   SAC    SBD  suy I trọng tâm tam giác SAC  I  MN   SBD  V V SM SE SM + S AME  S AME   VS ABCD 2VS ABC SB SC SB V V SN SE SN + S ANE  S ANE   VS ABCD 2VS ACD SD SC SD V V  VS AME  SN SM     Suy S AMEN  S ANE  1 VS ABCD VS ABCD  SD SB  V V SM SN + S AMN  S AMN  VS ABCD 2VS ABD SB SD V V SM SN SE SM SN + S MEN  S MEN   VS ABCD 2VS BCD SB SD SC SB SD V V  VS MEN SN SM Suy S AMEN  S AMN   2 VS ABCD VS ABCD SD SB Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 51 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Từ 1   ta có  SN SM    SD SB Lớp Toán Thầy Nghiệp SN SM SN SM  SN SM   3  SD SB SD SB  SD SB  SN  SD  x x 1 x , y  Đặt    x 1   x, y  1 ta có x  y  xy suy y  SM x   y  SB SM SN x 1 Ta có   x y  x  x   f  x SB SD 3  x  1  3x  1 1 1  , x   ;1 Xét f  x   x   3  3x  1 3  f ' x  1 1   3x  1 x ;1 3 x   3  0  x   x   1 Bảng biến thiên  x 1 y    SM SN  Vậy ta có Max     max f  x   đạt  SB SD   1  x   y   ;1  Khi N  D , M trung điểm SB M  B , N trung điểm SD Câu 47 Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc Gọi M điểm thuộc miền tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ biểu thức MA2 MB MC T   OA2 OB OC Lời giải Gọi N  AM  BC , kẻ MM1 / / OA ta có Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 52 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp  OA  (OBC)    MM1  (OBC)    MM1 / /OA kẻ MA1  OA,A1  OA Khi AM  AA12  MA12  AA12  MO  OA12  OM  AA1  OA1 AA1  OA1   OM  OA OA  2OA1   OM  OA  2OA  OA1 AM OM 2OA1   1 (1) Suy 2 OA OA OA Tương tự gọi B1 ,C1 điểm tương tự  A1 ta có MB2 OM 2OB1   1 2 OB OB OB 2 MC OM 2OC1   1 (3) 2 OC OC OC   OA1 OB1 OC1  1           OA OB2 OC   OA OB OC  Gọi H trực tâm tam giác ABC ta dã biết kết quen thuộc  OA1 OB1 OC1  1 1 OM    nên T   2    2 2  OA OA OB OC OH OH OB OC  OA1 NM SMhC   Mặt khác OA NA SABC OA1 OB1 OC1 OB1 SMAC OC1 SMAB   1  ,  Tương tự nên OA OB OC OB S ABC OC SABC Từ (1),(2),(3) ta có T  OM  OM   OM  OH Do T  OH Vậy T  M  H HẾT Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 53 - ... liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Câu Lớp Toán Thầy Nghiệp Cho hình chóp S ABCD , có đáy hình bình hành, M trung điểm cạnh SC Mặt phẳng ( P ) chứa AM cắt cạnh SB , SD B ' , D' Giá trị. .. ACMN đạt giá trị nhỏ x  y Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 39 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Câu 34 Lớp Toán Thầy Nghiệp Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng... tổng đạt giá trị nhỏ CC  SB DD Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Câu 44 Trong mặt phẳng  cho hình chữ nhật