Các bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng

1 Chủ đề Chủ đề 5: Chứng minh điểm thẳng hàng CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐIỂM THẲNG HÀNG E CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY – THẲNG HÀNG MỤC LỤC 10 phương pháp chứng minh điểm thẳng hàng Ví dụ minh họa Dạng 1: chứng minh qua điểm xác định góc bẹt (tổng hai góc chung đỉnh 180 độ) Dạng 2: Sử dụng tính chất đường chéo hình đặc biệt (vd: hình bình hành) Dạng 3: Sử dụng tính chất tâm đường kính đường trịn Dạng 4: Tiên đề Ơ-Clit: Qua điểm nằm đường thẳng ta vẽ đường thẳng song song với đường thẳng cho Qua điểm nằm đường thẳng ta vẽ đường thẳng vng góc với đường thẳng cho Một số tập 10 Chủ đề vận dụng tốn liên quan đến đường trịn CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG Chứng minh qua điểm xác định góc bẹt (1800) Chứng minh điểm xác định hai đường thẳng vng góc hay song song với đường thẳng thứ (Tiên đề Ơclit) Sử dụng tính chất đồng quy đường: trung tuyến, phân giác, đường cao tam giác Sử dụng tính chất đường chéo tứ giác đặc biệt: hình vng, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành, hình thang Chúc em học sinh học tập tốt! Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 2 Chủ đề 5: Chứng minh điểm thẳng hàng CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG 10 phương pháp chứng minh điểm thẳng hàng Chứng minh điểm A thuộc đoạn thẳng BC Chứng minh qua điểm xác định góc bẹt (1800) Chứng minh hai góc vị trí đối đỉnh mà Chứng minh điểm xác định hai đường thẳng vng góc hay song song với đường thẳng thứ (Tiên đề Ơclit) Dùng tính chất đường trung trực: chứng minh điểm cách hai đầu đoạn thẳng Dùng tính chất tia phân giác: chứng minh điểm cách hai cạnh góc Sử dụng tính chất đồng quy đường: trung tuyến, phân giác, đường cao tam giác Sử dụng tính chất đường chéo tứ giác đặc biệt: hình vng, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành, hình thang Sử dụng tính chất tâm đường kính đường trịn 10 Sử dụng tính chất hai đường trịn tiếp xúc Ví dụ minh họa Dạng 1: chứng minh qua điểm xác định góc bẹt (tổng hai góc chung đỉnh 180 độ) Bài 1: Cho tam giác ABC có góc B C nhọn, đường cao AH Dựng phía ngồi   tam giác ABC tam giác vuông cân ABD , ACE ( BA = D CA = E 90o ) Gọi M trung điểm F DE Chứng minh H , A , M thẳng hàng E Hướng dẫn giải M Dựng hình bình hành AEFD ⇒ M trung điểm AF (t/c hình bình hành) = EF DA = BA D    Mặt khác EA = CA (gt); AEF = CAB (cùng bù với DAE ) A1 ⇒ ∆EFA = ∆ABC (c – g – c)   ( Hai góc tương ứng) A =C = Mà  A1 + C 90o Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp B H C Chủ đề 5: Chứng minh điểm thẳng hàng 90o ⇒ A1 +  A2 =  ⇒ A1 +  A2 +  A3 = 180o hay F = H 180o ⇒ M , A , H thẳng hàng A Dạng 2: Sử dụng tính chất đường chéo hình đặc biệt (vd: hình bình hành) Bài 2: Cho ∆ABC có trực tâm H nội tiếp ( O ) đường kính CM , gọi I trung điểm AB Chứng minh H , I , M thẳng hàng A Hướng dẫn giải M MB ⊥ BC , AH ⊥ BC (suy từ giả thiết) I H O ⇒ MB //AH C B Mà MA//BH (cùng vng góc với AC ) ⇒ AMBH hình bình hành ⇒ AB cắt MH trung điểm I AB MH (t/c hình bình hành) Suy H , I , M thẳng hàng Dạng 3: Sử dụng tính chất tâm đường kính đường tròn Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vng trung điểm cạnh huyền Đường kính đường trịn qua tâm Bài 3: Cho ( O ) đường kính AB Điểm M chuyển động ( O ) , M ≠ A ; M ≠ B Kẻ MH vng góc với AB Vẽ đường trịn ( O1 ) đường kính MH cắt đường thẳng MA MB C D Chứng minh rằng: a) C , D , O1 thẳng hàng b) ABCD nội tiếp Hướng dẫn giải M a) Ta có : D  AMB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa ( O ) ) = ⇒ CMD 90o ⇒ CD đường kính ( O1 ) Suy C , D , O1 thẳng hàng b) MCHD hình chữ nhật nội tiếp ( O1 ) =   ) ⇒ MCD MH D ( góc nội tiếp chắn CD   ⇒ MCD + + D= B ACD = B ACD = 180o Mà MC Vậy ABCD nội tiếp Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp C A O H O B Chủ đề 5: Chứng minh điểm thẳng hàng Dạng 4: Tiên đề Ơ-Clit: Qua điểm nằm đường thẳng ta vẽ đường thẳng song song với đường thẳng cho • Nếu qua điểm M nằm ngồi đường thẳng a có đường thẳng song song với a chúng trùng • Cho điểm M đường thẳng a Đường thẳng qua M song song với a Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có O giao điểm đường chéo Điểm M đoạn OB , lấy E đối xứng với A qua M ; H hình chiếu điểm E BC , vẽ hình chữ nhật EHCF Chứng minh M , H , F thẳng hàng Hướng dẫn giải A B M Gọi I giao điểm HF CE ⇒ H , I , F thẳng hàng (*) (t/c hình chữ nhật) O Cần chứng minh: M , I , F thẳng hàng MA = ME = 1 = OC = AC (t/c hình chữ nhật) AE (gt) OA 2 E H I D ⇒ OM đường trung bình ∆ACE =  ( góc đồng vị) ⇒ OM //CE ⇒ ODC ICF C F  = OCD  ICF  = IFC  (vì ∆OCD cân O , ∆ICF cân I , t/c hình chữ nhật) Mà ODC  =IFC  ⇒ IF //AC mà IM //AC (do IM đường trung bình ∆ACE ) ⇒ OCD ⇒ M , I , F thẳng hàng (tiên đề Ơclít) Kết hợp với (*) ta có: M , H , F thẳng hàng Bài 5: Cho ∆ABC nhọn, đường cao AH , BD CE Gọi M , N , P , Q thứ tự hình chiếu H AB , BD , CE AC Chứng minh M , N , P , Q thẳng hàng Hướng dẫn giải + Từ (gt) ⇒ MH //CE ; NH //AC ⇒ BM BH BN (định lý Talét) = = BE BC BD ⇒ MN //ED (1) (định ký Talét đảo) + Chứng minh tương tự ta có: PQ //ED ( ) Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 5 Chủ đề 5: Chứng minh điểm thẳng hàng + Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng HAC HAB ta có: = AH AQ = AC AM AB ⇒ ⇒ AB AD AQ AB (vì ∆DAB ∽ ∆EAC (g.g)) = =mà AM AC AC AE AQ AM AQ AD ⇒ MQ //ED (định lý =hay = AM AE AD AE A D Talét đảo) Q E Kết hợp với (1) , ( ) ta có: P M , N , Q thẳng hàng M , P , Q thẳng hàng (tiên đề Ơclít) M Do M , N , P , Q thẳng hàng N C B H Qua điểm nằm đường thẳng ta vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho • Nếu qua điểm M nằm ngồi đường thẳng a có đường thẳng vng góc với a chúng trùng • Cho điểm M đường thẳng a Đường thẳng qua M vng góc với a Bài 6: Cho đường tròn (O; R) điểm A nằm ngồi đường trịn (O) cho OA = R Từ A vẽ tiếp tuyến AB đường tròn (O) (B tiếp điểm) 1) Chứng minh tam giác ABO vng B tính độ dài AB theo R 2) Từ B vẽ dây cung BC (O) vng góc với cạnh OA H Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn (O) 3) Chứng minh tam giác ABC 4) Từ H vẽ đường thẳng vng góc với AB D Đường trịn đường kính AC cắt cạnh DC E Gọi F trung điểm cạnh OB Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng Hướng dẫn giải  = 900 (AB tiếp tuyến của(O) B) 1) Ta có: ABO ⇒ ∆ABO vng B ⇒ AB + OB = OA2 (Đ/L Pytago) ⇒ AB = OA2 − OB = ( R ) − R = R − R = 3R ⇒ AB = R Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 6 Chủ đề 5: Chứng minh điểm thẳng hàng 2) Ta có ∆BOC cân O (OB = OC = R) B Mà OH đường cao ( BC ⊥ OA H) I O  = 900 (AB tiếp tuyến của(O) B) Mà ABO C ⇒ AC ⊥ OC ⇒ Mà C thuộc (O) ⇒ AC tiếp tuyến đường tròn (O) 3) Chứng minh ∆ABC cân A ( 1) Xét ∆ABO vng 0, có OB R = = OA R  = 300 ⇒ BAO Ta có: AO tia phân giác góc BAC (T/c tiếp tuyến cắt nhau)   ⇒ BAC = BAO = 2.30 = 600 (2) Từ (1) (2) suy ∆ABC 4) Gọi I giao điểm AF HD Áp dụng hệ Talet để I trung điểm HD Gọi K trung điểm BD Chứng minh KI đường trung bình ∆BHD ⇒ KI // HB Mà HB ⊥ OA H (gt) ⇒ KI ⊥ AH Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp A M  = 900 ⇒ ACO  = Sin ABO E H Chứng minh ∆AOC = ∆AOB (c-g-c)  = ABO  ⇒ ACO D F ⇒ OH đường phân giác ∆BOC  = COA  ⇒ BOA K Chủ đề 5: Chứng minh điểm thẳng hàng Chứng minh I trực tâm ∆AHK ⇒ AI đường cao ∆AHK ⇒ AF ⊥ HK (3) Chứng minh HK đường trung bình ∆BDC ⇒ HK // CD (4) Từ (3) (4) ⇒ AF ⊥ CD Ta có: ∆AEC nội tiếp đường trịn đường kính AC ⇒ ∆AEC vng E ⇒ AE ⊥ CD Mà AF ⊥ CD Vậy Ba điểm A, E, F thẳng hàng Dạng 5: Sử dụng tính chất đồng quy đường: trung tuyến, phân giác, đường cao tam giác Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A, M trung điểm cạnh AC Đường trịn đường kính MC cắt BC N Đường thẳng BM cắt đường trịn đường kính MC D 1) Chứng minh tứ giác BADC nội tiếp Xác định tâm O đường trịn 2) Chứng minh DB phân giác góc ADN 3) Chứng minh OM tiếp tuyến đường trịn đường kính MC 4) BA CD kéo dài cắt P Chứng minh ba điểm P, M, N thẳng hàng Hướng dẫn giải   = BDC = 90o (gt) nên tứ giác BADC nội a) BAC tiếp đường tròn tâm O trung điểm BC  ADB b)=  ( = BDN  ACB) (hai góc nội tiếp chắn cung đường tròn ngoại tiếp tứ giác BADC, NMDC) nên DB phân giác góc AND c) OM ⊥ AC (OM đường trung bình tamgiác ABC) nên suy MO tiếp tuyến đường tròn đường kính MC Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 8 Chủ đề 5: Chứng minh điểm thẳng hàng d) MN ⊥ BC (góc MNC nội tiếp nửa đường trịn đường kính MC) PM ⊥ BC (M trực tâm tam giác PBC) Suy P, M, N thẳng hàng Bài 8: Tuyển sinh 10 Hà Nam 15 – 16 Cho đường tròn (O) điểm A nằm đường tròn Gọi d tiếp tuyến (O) A Trên d lấy điểm D (D không trùng với A), kẻ tiếp tuyến DB (O) (B điểm, B không trùng với A) a) Chứng minh tứ giác AOBD nội tiếp b) Trên tia đối tia BA lấy điểm C Kẻ DH vng góc với OC (H thuộc OC) Gọi I giao điểm AB OD Chứng minh OH.OC = OI OD c) Gọi M giao điểm DH với cung nhỏ AB (O) Chứng minh CM tiếp tuyến (O) d) Gọi E giao điểm DH CI Gọi F giao điểm thứ hai đường trịn đường kính OD đường trịn ngoại tiếp tam giác OIM Chứng minh O, E, F thẳng hàng Hướng dẫn giải a) DA DB tiếp tuyến (O) nên   OBD = OAD = 90o  + OAD = 180o , mà Xét tứ giác AOBD có OBD hai góc vị trí đối diện nên tứ giác AOBD nội tiếp b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có DA = DB DO tia phân giác ABD Do tam giác ABD cân D có DO đường phân giác nên đồng thời đường trung trực  OHD  OIC = 90o ; Xét ∆OIC ∆OHD có =  chung nên DOC ∆OIC ” ∆OHD (g.g) OI OC = ⇒ OH OC = OI OD(1) OH OD Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 9 Chủ đề 5: Chứng minh điểm thẳng hàng c) Xét tam giác AOD vuông A có AI đường cao nên OA2 = OH OD (2) Mà OM = OA (là bán kính (O) ) (3) OM OC = OH OM  ; OM = OC nên ∆OHM ” ∆OMC (c.g.c) Xét ∆OHM ∆OMC có chung MOC OH OM o   = OIC = 90 nên CM tiếp tuyến (O) => OMC Từ (1), (2) (3) suy OM2 = OH OC ⇒   = OIC = 90o nên tứ giác OIMC nội tiếp đường trịn đường kính OC d) Do OMC Đường tròn ngoại tiếp tam giác CIM đường trịn đường kính OC  = 90o => OFC  = 90o Như OFC;OFD kề bù suy ba điểm C, F, D thẳng hàng Mặt khác ta có OFD Xét tam giác OCD có ba đường cao CH, DI, OF mà có E giao điểm CH, DI nên ba điểm O, E, F thẳng hàng Bài 9: Tuyển sinh 10 Hải Dương 15 – 16 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Gọi C điểm cố dịnh thuộc đoạn thẳng OB (C khác O B) Dựng đường thẳng d vng góc với AB điểm C, cắt nửa đường tròn (O) điểm M Trên cung nhỏ MB lấy điểm N (N khác M B), tia AN cắt đường thẳng d điểm F, tia BN cắt đường thẳng d điểm E Đường thẳng AE cắt nửa đường tròn (O) điểm D (D khác A) a) Chứng minh AD AE = AC.AB b) Chứng minh: Ba điểm B, F, D thẳng hàng F tâm đường tròn nội tiếp ∆ CDN c) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ AEF Chứng minh điểm I nằm đường thẳng cố định điểm N di chuyển cung nhỏ MB Hướng dẫn giải ADB=  ANB= 90° (góc nội tiếp chắn a) Có  nửa đường trịn)  ABD =  AEC ( phụ góc BAE) => Tam giác ADB đồng dạng với tam giác ACE(g-g) AD AB = > = ⇒ AD ⋅ AE = AC AB AC AE Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 10 Chủ đề 5: Chứng minh điểm thẳng hàng b) Có AN ⊥ EB, EC ⊥ AB , EC giao AN F nên F trực tâm tam giác AEB ⇒ BF ⊥ EA Mà BD ⊥ EA ⇒ B, D, F thẳng hàng  = DAF  + Tứ giác ADFC có hai góc đối 90o nên tứ giác nội tiếp, suy DCF = NBF Tương tự ta có: NCF =  = NCF  NBF (cùng phụ với góc AEB) => DCF Mà DAF Suy CF phân giác góc DCN Tương tự ta có DF phân giác góc NDC Vậy F tâm đường tròn nội tiếp tam giác DCN c) Gọi J giao (I) với đoạn AB (   Có FAC = CEB = 90o −  ABE => ) => tam giác FAC đồng dạng với tam giác BEC(g-g) FC AC == > CF ⋅ CE = BCAC BC EC (   Vì AEFJ tứ giác nội tiếp nên FJC = FEA = 180o −  AJF => ∆CFJ ” ∆  CAE (g-g) => ) CF CJ = ⇒ CF ⋅ CE = CA.CJ CA CE Suy BC AC = CA.CJ ⇒ BC = CJ ⇒ C trung điểm BJ (vì J ≠ B) Suy J điểm cố định Có IA = IJ nên I ln thuộc đường trung trực AJ, đường cố định Một số tập Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A Đường trịn (O) đường kính AB cắt đường trịn (O’) đường kính AC D, M điểm cung nhỏ DC, AM cắt đường tròn (O) N, cắt BC E Chứng minh O, N, O’thẳng hàng Hướng dẫn giải    = sdAD + sdCM ( góc có đỉnh bên Xét (O’) có: AEB đường trịn) A  sd AD  + sd MD   sdADM = = BAM ( góc tạo tia tiếp tuyến 2 N O B D E O' dây cung) M  = AEB  ⇒ tam giác ABE cân B nên BN vừa Suy BAM đường cao vừa trung tuyến ⇒ NA = NE OA = OB, O’A = O’C ⇒ NO, NO’ đường trung bình tam giác ACE, ABE nên O’N // CE, NO // EB O, N, O’ thẳng hàng Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp C 11 Chủ đề 5: Chứng minh điểm thẳng hàng Bài 2: Hai đường tròn ( O; R ) ( O '; r ) tiếp xúc C ( R > r ) gọi AC BC hai đường kính qua C đường trịn ( O ) ( O ') DE dây cung đường trịn ( O ) vng góc với AB trung điểm M AB Tia DC cắt đường tròn ( O ') điểm thứ F a) Tứ giác ADBE hình gì? Vì sao? b) Chứng minh ba điểm B, F, E thẳng hàng c) DB cắt đường tròn ( O ') điểm thứ hai G Chứng minh DF, EG AB đồng quy d) Chứng minh MF tiếp tuyến ( O ') Hướng dẫn giải a) Tứ giác ADBE hình thoi AM = MB; MD = ME DE ⊥ AB  ADF = BFD = 900 ⇒ BF / / DA Như BE / / DA b) Ta có BE / / DA Nối BF ta có  BF / / DA mà qua B có đường thẳng song song với DA điểm B, F, E phải thẳng hàng c) Ta có CG vng góc với DB, mặt khác EC vng góc với DB Nhưng qua C tồn đường vng góc với DB nên E, C , G phải thẳng hàng DF, EG, AB phải đồng quy điểm C, trực tâm tam giác EDB   +O =F  O +F =   mà MEF ' BF = 900 nên F d) Nhận thấy MEF 900 , suy ' BF = F 1 2 ' = 900 Vậy MF tia tiếp tuyến đường tròn tâm O’ MFO Bài 3: Cho nửa đường trịn đường kính AB có điểm M Trên đường kinh AB lấy điểm C cho AC < CB Trên nửa mặt phằng bờ AB có chứa điểm M, người ta kẻ tia Ax, By vng góc với AB; đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 12 Chủ đề 5: Chứng minh điểm thẳng hàng P; đường thẳng qua C vng góc với CP cắt By Q Gọi D giao điểm CP AM; E giao điểm CQ BM a) Chứng minh tứ giác ACMP, CDME nội tiếp b) Chứng minh hai đường thẳng AB, DE song song c) Chứng minh ba điểm P,M, Q thẳng hàng d) Ngồi điểm M ra, đường trịn ngoại tiếp tam giác DMP, EMQ điểm chung khơng? Vì sao? Lời giải: A M  = 900 nên nội tiếp a) Tứ giác ACMP có =  M  = = 900 nên nội tiếp Tứ giác CDME có C  = MPC  , MDE  mà  = MCE b) Do tứ giác ACMP CDME nội tiếp nên MAC  = MCE  ( phụ với góc MCP  Vậy AB song song với DE  ) nên MAC  = MDE MPC  ( phụ   = MAC    nên MCQ  = MBQ  Suy ABM ) MAC = MDE = MCQ c) Do MBQ  = 900 Vậy P, M, Q thẳng hàng tứ giác CMQB nội tiếp CMQ d) Trên nửa mặt phẳng bờ MC không chứa điểm D , kẻ tia tiếp tuyến Mt đường  mà MQC  nên  phụ với MPC AMt = MPD tròn ngoại tiếp tam giác DMP suy   = MQC  Suy Mt tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác EMQ Do hai BMt đường trịn ngoại tiếp tam giác DMP EMQ tiếp xúc Vậy có điểm M điểm chung hai đường trịn nói Nhận xét Bạn chứng minh DE tiếp tuyến chung hai đường tròn ngoại tiếp tam giác DMP, EMQ Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 13 Chủ đề 5: Chứng minh điểm thẳng hàng Bài 4: Cho đường trịn (O) đường kính AB=2R điểm C đường trịn (C khơng trùng với A B Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C, kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O) Gọi M điểm cung nhỏ AC; P giao điểm AC, BM Tia BC cắt tia AM, Ax N Q a) Chứng minh tam giác ABN cân b) Tứ giác APNQ hình gì? Vì sao? c) Gọi K điểm cung AB khơng chứa C Hỏi xảy ba điểm Q, M, K thẳng hàng khơng? Vì sao? d) Xác định vị trí điểm C để đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ tiếp xúc với đường tròn (O) Hướng dẫn giải a) Tam giác ABN có đường cao BM đồng thời đường phân giác nên tam giác ABN cân B b) Vì P trực tâm tam giác ABN nên NP ⊥ AB ⇒ NP // AQ, APNQ hình thang c) Nếu Q , M , K thẳng hàng từ tính chất góc có đỉnh bên ngồi đường trịn, ta có QM đường phân giác góc AQB Mặt khác , BM phân giác góc ABQ nên AM phân giác góc BAQ, vô lý Vậy ba điểm Q , M , K khơng thẳng hàng Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 14 Chủ đề 5: Chứng minh điểm thẳng hàng d) Tại điểm M, kẻ tiếp tuyến yMy’ với (O) cho My MA phía với đường thẳng MQ Ta có đường trịn ngoại tiếp tam giác MNQ tiếp xúc với (O) yMy’ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ M Điều tương đương  =NMy ' ⇔ NQM  =AMy  ⇔ NQM  =ABM  ⇔ NQM  =MBC  với NQM ⇔ MB = MQ ⇔ BC = NQ ( ∆MNC cân) 2 Mà AB= BC.BQ ⇔ AB= BC ( BN + NQ ) ⇔ R= BC ( R + BC ) ⇔ BC= R ( Vậy= BC R ) −1 ( ) − đường tròn ngoại tiếp ∆MNQ tiếp xúc với (O) Bài 5: Cho tam giác vng ABC nội tiếp đường trịn tâm O đường kính AB Trên tia đối tia CA lấy điểm D cho CD = AC a) Chứng minh tam giác ABD cân b) Đường thẳng vuông góc với AC A cắt đường trịn (O) E Trên tia đối tia EA lấy điểm F cho EF= AE Chứng minh ba điểm D, B, F thẳng hàng c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADF tiếp xúc với đường tròn (O) Hướng dẫn giải a) Xét ∆ABD có BC ⊥ DA , CA = CD nên BC vừa đường cao vừa đường trung tuyến, ∆ABD cân B  = 90 nên CE đường kính đường tròn b) CAE (O) ⇒ C, O, E thẳng hàng Ta có CO đường trung bình tam giác ABD ⇒ CO//DB ⇒ CE// BD Tương tự, OE đường trung bình ∆ABF ⇒ OE//BF ⇒ CE//BF Suy B, D, F thẳng hàng ( theo tiên đề Owclit) có OC c) Theo tính chất đường trung bình ∆ABD; ∆ABF ta= OC =OE ⇒ BD = BF = AB Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 1 = DB; OE BF mà 2 15 Chủ đề 5: Chứng minh điểm thẳng hàng ⇒ B tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADF ⇒ BA bán kính Mà OB = AB – OA nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ADF tiếp xúc với đường tròn (O) A Bài 6: Cho tam giác ABC vuông C BC < CA Gọi I điểm AB IB < IA Kẻ đường thẳng d qua I vuông góc với AB Gọi giao điểm d với AC, BC F E Gọi M điểm đối xứng với B qua I a) Chứng minh tam giác IME đồng dạng với tam giác IFA IE IF = IA IB b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF cắt AE N Chứng minh F, N, B thẳng hàng  = 900 Chứng minh đường tròn ngoại c) Cho AB cố định, C thay đổi cho BCA tiếp tam giác AEF qua hai điểm cố định tâm đường tròn nằm đường thẳng cố định Hướng dẫn giải a) Ta có IE đường trung trực BM =  ⇒ ∆EBM cân M ⇒ B M 1    Mà B1 = F1 ( phụ với A1 ) ⇒ ∆IME ” ∆IFA ( g g ) IM IE = ⇒ IE.IF =IA.IM IF IA ⇒ IE.IF = IA.IB   =900 b) Ta có ECF =900 ⇒ ENF ⇒ Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 16 Chủ đề 5: Chứng minh điểm thẳng hàng Xét ∆BAE có EI, AC đường cao cắt F nên BF ⊥ EA mà FN ⊥ EA ⇒ B, F , N thẳng hàng = Ta có E A1 suy tứ giác AMFE nội tiếp Từ suy đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF ln qua hai điểm A, M cố định Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF nằm đường trung trực AM cố định Bài 7: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường cao BD CE tam giác ABC cắt H Vẽ đường kính AF đường tròn (O ) a) b) c) d) Chứng minh BH / / FC Chứng minh tứ giác BHCF hình bình hành Vẽ OM ⊥ BC M Chứng minh H , M , F thẳng hàng Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh S AHG = 2S AGO Hướng dẫn giải a) ACF nội tiếp đường trịn đường kính AF ACF vng C A Ta có: BH ⊥ AC , FC ⊥ AC D ⇒ BH / / FC b) BH / / FC (câu a) Chứng minh tương tự câu a) Có: CH / / FB Tứ giác BHCF có BH / / FC E B H G O C M Và CH / / FB nên hình bình hành F c) OM  BC (gt)  M trung điểm BC (Định lý đường trịn vng góc dây cung) Tứ giác BHCF hình bình hành, M trung điểm BC nên M trung điểm HF ⇒ H , M , F thẳng hàng d) Tứ giác ABC có AM đường trung tuyến, G trọng tâm (gt) Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 17 Chủ đề 5: Chứng minh điểm thẳng hàng  G thuộc đoạn thẳng AM , AG  AM Tam giác AHF có AM đường trung tuyến, G thuộc đoạn thẳng AM , AG = AM  G trọng tâm tam giác AHF HO đường trung tuyến tam giác AHF  HO qua G , HG = 2GO Hai tam giác AHG, AGO có chung đường cao vẽ từ A đến HG, HG = 2GO Do S AHG = 2S AGO Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Đường cao AH tam giác ABC cắt đường tròn (O ) D (khác A ) Từ D vẽ đường thẳng song song với BC cắt đường tròn (O ) điểm E (khác D ) a) Chứng minh A,O, E thẳng hàng b) Chứng minh tư giác BCED hình thang cân c) Tính AB  BD  CD  AC theo R Hướng dẫn giải a) BC / / DE (gt), AD ⊥ BC (gt) A ⇒ AD ⊥ DE  ADE = 900  AE đường kính đường trịn (O )  A,O, E thẳng hàng O B b) Vẽ OM ⊥ BC ( M ∈ BC ) OM cắt DE N DE / / BC (gt) có ON ⊥ DE , tứ giác BCDE hình thang OM ⊥ BC ⇒ M trung điểm BC ON ⊥ DE ⇒ N trung điểm DE MN trục đối xứng hình thang cân c) BE  CD ( BCED hình thang cân) Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp A' D C M N E 18 Chủ đề 5: Chứng minh điểm thẳng hàng AE   900 đường kính nên ABE ABE vng E , theo định lí Py-ta-go có: AB + BE = OE AB + CD = (2 R) AB + CD = 4R2 Chứng minh tương tự có: AC  BD  4R2 Ta có: AB + BD + CD + AC = 8R Bài 9: Cho hai đường tròn (O ) (O ) cắt A B Vẽ đường kính AC AD a) Chứng minh B,C , D thẳng hàng b) Đường thẳng d di động qua A cắt (O ),(O ) E , F ( E , F khác A , A nằm E , F ) 1) Chứng minh BEF ∽ ACD 2) Xác định vị trí d để chu vi tam giác BEF lớn nhất, diện tích tam giác BEF lớn Hướng dẫn giải a)   900 ABC (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  AB  BC E Tương tự có AB  BD b) 1) Xét BEF ACD có: O' O Suy B,C , D thẳng hàng C B   ACD  BEF (hai góc nội tiếp chắn cung AB đường tròn (O ) )   ACD  BEF (hai góc nội tiếp chắn cung AB đường trịn (O ) ) Do BEF ” ACD 2) * BEF ” ACD ( kí hiệu CV = chu vi)  d F A CV (BEF ) BE CV (ACD ) CV (ACD )  không đổi  CV (BEF )  BE , CV (ACD ) AC AC AC Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp D 19 Chủ đề 5: Chứng minh điểm thẳng hàng Do đó: CV (BEF ) lớn  BE lớn  BE đường kính đường trịn (O )   900  d  AB  BAE A Vậy d vng góc với AB A chu vi tam giác BEF lớn * BEF ” ACD   S BEF  S ACD AC BE , S BEF lớn S BEF S ACD S ACD AC 2  BE      AC  không đổi  BE lớn  BE lớn  BE đường kính đường trịn (O )   900  d  AB  BAE A Vậy d vng góc với AB A diện tích tam giác BEF lớn Bài 10: Trên cạnh CD hình vng ABCD , lấy điểm M , vẽ đường trịn tâm O đường kính AM Gọi E giao điểm đường tròn tâm (O ) đường kính CD Hai đường trịn cắt điểm thứ hai N Tia DN cắt BC P Chứng minh rằng: a) Ba điểm E , N ,C thẳng hàng b) CA ⊥ MP Hướng dẫn giải a) Ta có D giao điểm thứ (O ) (O ) E A B Dễ thấy AEMD hình chữ nhật ED đường kính (O )   900 (góc nội tiếp chắn nửa cung đường tròn) Nên END O Mặt khác CD đường kính (O )   900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) nên DNC   DNC   1800 hay ba điểm E , N ,C thẳng hàng  END Ta có AEMD hình chữ nhật Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp D N O' M P C 20 Chủ đề 5: Chứng minh điểm thẳng hàng  AECM hình chữ nhật   CM   EB E A (1) B Xét CBE CDP có BCE  CDP (hai góc phụ với góc DPC ) O N CB  DC ; B  C  900 (gt) Do đó: CBE  DCP (g.c.g)  EB  CP O' D (2) M P C Từ (1) (2)  CM  CP hay PCM cân có CA đường phân giác  CA đồng thời đường cao Vậy CA  MP Bài 11: Cho đường tròn (O ) , M điểm (O ) , hai tiếp tuyến MA MB ( A , B hai tiếp tuyến), C điểm đường trịn tâm M bán kính MA nằm đường tròn (O ) Các tia AC BC cắt đường tròn (O ) E D Chứng minh ba điểm D,O, E thẳng hàng Hướng dẫn giải   AOD  Trong đường trịn (O ) ta có: ABD Mặt khác đường trịn (M ) có:   AMC  (góc nội tiếp nửa góc tâm chắn cung) ABC   AOD   AMC A (1)   BOE  Tương tự ta có: BMC (2) Do MA MB tiếp tuyến (O ) nên:   MAO = MBO = 900   MBO   1800 Hay MAO Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp D cO M B E 21 Chủ đề 5: Chứng minh điểm thẳng hàng   1800   AOB  AMB   BMC   AOB   1800 (3) Hay AMC Từ (1), (2) (3) ta có: AOD  BOE  AOB  1800 Vậy ba điểm D,O, E thẳng hàng Bài 12: Gọi M điểm đường tròn ngoại tiếp ABC ; P,Q, R hình chiếu M đường thẳng BC , CA Chứng minh rằng: a) Các điểm M , B, P, R thuộc đường tròn b) Các điểm R, P,Q thẳng hàng Hướng dẫn giải   BPM   900  900  1800 a) BRM  Tứ giác RBPM nội tiếp  Các điểm M , P, B,C thuộc đường tròn b) Chứng minh tương tự a) có tứ giác MPQC nội tiếp A   MCQ   1800  MPQ Q   RPM  (tứ giác RBPM nôi tiếp) Mà RBM   MCQ  (tứ giác Và RBM ABMC nội tiếp)   MCQ  Do đó: RPM B R   MPQ   MCQ   MPQ   1800  R, P,Q thẳng hàng Ta có: RPM P M Tổng hợp Toán Họa – 0986 915 960 Nguồn tập: Các sách tham khảo, đề thi Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp C ... 5: Chứng minh điểm thẳng hàng CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG 10 phương pháp chứng minh điểm thẳng hàng Chứng minh điểm A thuộc đoạn thẳng BC Chứng minh qua điểm xác định góc bẹt (1800) Chứng minh. .. đề 5: Chứng minh điểm thẳng hàng P; đường thẳng qua C vng góc với CP cắt By Q Gọi D giao điểm CP AM; E giao điểm CQ BM a) Chứng minh tứ giác ACMP, CDME nội tiếp b) Chứng minh hai đường thẳng. .. 1800 Vậy ba điểm D,O, E thẳng hàng Bài 12: Gọi M điểm đường tròn ngoại tiếp ABC ; P,Q, R hình chiếu M đường thẳng BC , CA Chứng minh rằng: a) Các điểm M , B, P, R thuộc đường tròn b) Các điểm R,