Thông tin tài liệu
PHẦN 2 CÁC BÀI TỐN TẬP HỢP ĐIỂM. GTLN – GTNN. Trong phần 2 này chúng ta nghiên cứu các bài tốn có nội dung về quỹ tích và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Thơng thường: Các bài tốn tập hợp điểm cũng chính là các bài tốn về min – max bởi vì khi tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện nhất định thì sẽ đạt min – max. Tuy nhiên: Bài tốn tập hợp điểm thiên về vị trí tương đối và tính tốn, cịn bài tốn về min – max thiên về khảo sát hàm số và bất đẳng thức. Từ đó chúng ta cũng thấy được phương pháp giải có đặc trưng riêng Bài tốn tập hợp điểm: Thường sử dụng phương pháp véc tơ, các định lý trong tam giác, hình bình hành, sự đối xứng, song song, vng góc, … Bài tốn min – max: Thường sử dụng phương pháp khử dần ẩn (Thêm biến, đổi biến, dồn biến), khảo sát cực trị, bất đẳng thức B.C.S , Mincopxki, … Như vậy trong phần này các bài tốn có mức độ Vận dụng – Vận dụng cao. Để giải nhanh thì chúng ta khơng chỉ nắm vững kiến thức mà cịn sử dụng một số cơng thức tính nhanh, kỹ năng sử dụng CASIO. Nếu chỉ làm tự luận thì cũng có kết quả nhưng thi trắc nghiệm thì thời gian khơng nhiều!. Các em cần tính tổng thời gian của quy trình giải một bài tốn khó như sau: ‐ Đọc hiểu đề và u cầu của bài tốn: Đọc để hiểu nội dung của bài tốn là gì? ‐ Tái hiện kiến thức: Trong bài tốn chúng ta cần thiết những kiến thức nào? ‐ Xác định các yếu tố cần giải: Chẳng hạn mặt cầu thì cần biết tâm, bán kính,… ‐ Biến đổi, tính tốn: Đây là quy trình cuối cùng dẫn đến kết quả và trả lời, có nhiều khi phải vẽ hình minh họa thì càng mất nhiều thời gian. Trong phần này, các bài tốn có chọn lọc và được biên soạn theo chủ đề: Điểm – mặt phẳng, Điểm – Mặt cầu, Điểm – Đường thẳng, và tổ hợp của các yếu tố trên. Trong phần 1, tơi đã đưa ra một số kiến thức bổ xung và cơng thức tính nhanh, nên phần này tơi khơng nêu ra. Tuy nhiên, trong phần này cũng có kiến thức bổ xung hữu ích để giúp chúng ta giải nhanh, từ đó mới tiết kiệm được thời gian tồn bài thi. Đặc biệt trong phần này ta nghiên cứu bài tốn mà tạm gọi là “Định luật phản xạ ánh sáng đối với gương phẳng”. GV: Nguyen Xuan Chung I. BỔ XUNG ‐ BÀI TOÁN VỀ TÂM TỈ CỰ. 1. Kiến thức bổ xung. Với hai điểm A, B và , là các số sao cho Điểm I thỏa mãn IA IB gọi là tâm tỉ cự của hai điểm A, B Khi đó tọa độ I tính theo cơng thức: xI x A xB y A yB z zB , yI , zI A Chứng minh: (Hoàn toàn tương tự với bộ n điểm) IA IB OA OI OB OI OI OA OB hay ta có OI Chú ý: OA OB Chuyển về tọa độ ta có đpcm. Điểm I thuộc đường thẳng AB. Nếu đặt OI kOA 1 k OB k thì k và ta có Đặc biệt khi thì I là trung điểm của AB. Mở rộng đối với ba điểm A, B, C và bộ ta có IA IB IC thì I là tâm tỉ cự của ba điểm đó. Hơn nữa với tam giác ABC thì ta hay sử dụng GA GB GC , với 2. Các ví dụ giải tốn. Ví dụ 1. Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A 4; 3; , B 2; 5; 1 Tìm tọa độ điểm K thỏa mãn đẳng thức KA KB Hướng dẫn giải x xB y yB z zB K 0; 13; 4 KA KB xK A , yK A , zK A 1 1 1 Lưu ý. A 2B Để tránh sai sót về dấu, dùng Casio ghi CALC nhập (lần 1 hồnh 1 độ tương ứng của A, B ) CALC lần 2 nhập tung độ, CALC lần 3 nhập cao độ. Ví dụ 2. Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm E 3; 3;5 , F 7; 1;3 Tìm tọa độ điểm K thuộc trục Oy sao cho 3KE KF đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn giải Gọi I là điểm thỏa mãn 3IE 2IF I 5; 11;9 Khi đó 3KE KF KI IE KI IF KI KI đạt giá trị nhỏ nhất K là hình chiếu của I trên trục Oy, vậy điểm K cần tìm là K 0; 11;0 Ví dụ 3. Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 2; 0; 1 , B 5; 7; 1 , C 1; 5; 7 và M là một điểm thay đổi trên mặt phẳng Oxy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P MA MB MC GV: Nguyen Xuan Chung Hướng dẫn giải Gọi G là trọng tâm tam giác ABC G 2; 4; 3 Ta có MA MB MC 3MG 3MG nhỏ nhất M là hình chiếu của G trên Oxy M 2; 4;0 và khi đó MG 3 Vậy Pmin Ví dụ 4. Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm P 1; 4; 3 , Q 5; 2;5 Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Ox sao cho MP MQ đạt giá trị nhỏ nhất. A. 2; 3;0 B. 0; 3;0 C. 6; 0;0 D. 2; 0;0 Hướng dẫn giải Gọi I là trung điểm của PQ ta có tọa độ I 2; 3;1 Khi đó MP MQ MI MI nhỏ nhất M là hình chiếu vng góc của I trên trục hồnh. Vậy tọa độ M 2; 0; Chọn D. Ví dụ 5. Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm A 2; 1; , B 5; 0;1 , C 3; 2; 1 Tọa độ điểm M thỏa mãn đẳng thức MA 11MB MC là A. 4; 3;5 B. 3; 4; 5 C. 4; 3; 5 D. 4; 3; 5 Hướng dẫn giải x 11xB xC Ta có MA 11MB MC xM A ; M 4; 3; 5 Chọn C. 11 Ví dụ 6. Trong khơng gian Oxyz , cho ba điểm A (-1; 2; -3) , B (1; 0; 2) , C ( x; y; -2) thẳng hàng. Khi đó x + y bằng A. x + y = B. x + y = 17 C. x + y = - 11 D. x + y = 11 Hướng dẫn giải x k k Ta có ba điểm A, B, C thẳng hàng OC kOA 1 k OB y 2k 2 3k k 3 k , x , y x y Chọn A. (Có thể cộng x + y từ hệ mà khơng cần giải) 5 Ví dụ 7. Trong khơng gian Oxyz , cho điểm A 2; 4; 1 , B 1; 4; 1 , C 2; 4;3 , D 2; 2; 1 , biết tọa độ M x; y ; z để T MA2 MB MC MD đạt giá trị nhỏ nhất thì x y z bằng A. B. 21 C. D. Hướng dẫn giải 14 Gọi I là điểm thỏa mãn IA IB IC ID I ; ;0 4 Ta có T MI IA2 IB IC ID nên T nhỏ nhất khi M trùng I. Vậy x y z GV: Nguyen Xuan Chung 21 3. Bài tập đề nghị. Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 3; 4; , B 1; 0;1 , C 2; 7; 2 Tọa độ điểm M thỏa mãn đẳng thức MA MB MC là 1 A. M ; ; 2 B. M ; ;3 C. M ; ;3 2 1 D. M ; ; 3 2 Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 2; 1;1 , B 4; 3; 3 , C 5; 0;5 M là điểm thuộc trục hoành sao cho MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó hồnh độ điểm M thuộc khoảng nào sau đây? A. 1; 1 B. 1; 3 C. 3; D. 5; Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm B 1; 2; 3 , C 7; 4; 2 Nếu điểm E thỏa nãm đẳng thức CE EB thì tọa độ điểm E là: 8 A. 3; ; 3 8 8 B. ;3; 3 3 8 C. 3;3; 3 1 D. 1; 2; 3 Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz , tam giác ABC với A 1; 3;3 ; B 2; 4;5 , C a; 2; b nhận điểm G 1; c;3 làm trọng tâm của nó thì giá trị của tổng a b c bằng. A. 5 B. C. D. 2 Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 2; 1;5 , B 5; 5; , M x; y;1 Với giá trị nào của x, y thì A, B, M thẳng hàng. A. x 4; y B. x 4; y 7 C. x 4; y 7 D. x 4; y Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 0;1; 2 và B 3; 1;1 Tìm tọa độ điểm M sao cho AM AB A. M 9; 5;7 B. M 9;5; C. M 9;5; 7 D. M 9; 5; 5 Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 2;1 , B 0;1; Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng Oxy sao cho ba điểm A , B , M thẳng hàng là A. M 4; 5;0 B. M 2; 3;0 C. M 0; 0;1 D. M 4;5;0 Câu 8: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A 2; 3; , B 0; 4;1 , C 3; 0;5 và D 3;3;3 Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng Oyz sao cho biểu thức MA MB MC MD đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tọa độ của M là: A. M 0;1; 4 B. M 2;1; C. M 0;1; 2 D. M 0;1; Câu 9: Trong không gian cho ba điểm A 1;1;1 , B 1; 2;1 , C 3; 6; 5 Điểm M thuộc mặt phẳng Oxy sao cho MA2 MB MC đạt giá trị nhỏ nhất là A. M 1; 2; B. M 0; 0; 1 C. M 1;3; 1 D. M 1;3; GV: Nguyen Xuan Chung II. BÀI TOÁN VỀ TỔ HỢP VÉC TƠ. 1. Đặc điểm dạng tốn và ví dụ. Đặc điểm dạng tốn: Những biểu thức có dạng tổ hợp các véc tơ hay tổ hợp bình phương các véc tơ thì chúng ta đều có thể dồn điểm đưa về tâm tỉ cự để giải. Cụ thể như: MA MB MC hoặc như MA MB MC với Phương pháp giải: Gọi I là điểm thỏa mãn IA IB IC khi đó biến đổi biểu thức thành: MA MB MC MI hoặc như MA MB MC MI IA2 IB IC , đến đây ta biện luận M theo điểm I. Ví dụ 8. [MH2_2017_BGD] Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A 2;3;1 và B 5; 6; Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oxz tại điểm M Tính tỉ số A. AM BM B. AM BM C. AM BM AM BM AM D. BM Hướng dẫn giải Cách 1. (Tâm tỉ cự) Gọi tọa độ M x ; 0; z , ta có ba điểm A, B, M thẳng hàng khi và chỉ khi: x 2k 5(1 k ) OM kOA 1 k OB 0 3k 6(1 k ) k 2, x 9, z M 9;0;0 z k 1 k Khi đó AM 32 12 Chọn A. 2 BM 14 2 Cách 2. (Vị trí tương đối – Tổng qt) Xét tam giác đồng dạng, ta có AM d a d A, (Oxz ) Chọn A. BM db d B, (Oxz ) Lời bình. Theo cách 1 thì chúng ta thực hiện nhiều biến đổi và tính tốn nên mất nhiều thời gian khơng cần thiết. Trong cách 2 thì chúng ta sử dụng tính chất hình học nên ngắn gọn và nhanh chóng hơn nhiều. Mở rộng bài tốn trên ta có hai bài tốn xuất hiện tương đối nhiều trong các bài kiểm tra hay đề thi là: Tìm ( MA + MB ) hoặc max MA - MB Các bài tốn này ta giải tương tự, tuy nhiên có khác. Nhưng trước hết ta xét các bài tốn liên quan đến “Tâm tỉ cự” có dạng dồn điểm suy ra dồn biến. GV: Nguyen Xuan Chung Ví dụ 9. [THPT Hồng Hoa Thám‐Hưng n] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A( 1; 2; 1) , B ( 2; 1; 3) , C ( 3; 5; 1) Điểm M ( a; b; c ) trên mặt phẳng Oyz sao cho MA MB CM đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2b c bằng A. 1. B. D. 4 C. 1. Hướng dẫn giải Chọn B 3 3 Gọi I ; ; là điểm thỏa mãn IA + IB + IC = Ta có MA MB MC MI nhỏ 2 ổ 3ử nhtkhiMlhỡnhchiucaItrờnOyz.Doúta M ỗỗ0; ; ữữữ 2b + c = ỗố ứ Ví dụ 10. [THPT Lê Lai – Thanh Hóa] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 3; 0; , B 0;0;3 , C 0; 3;0 và mặt phẳng P : x y z Tìm điểm M thuộc P sao cho MA MB MC nhỏ nhất. A. M 3; 3;3 B. M 3;3; 3 C. M 3; 3;3 D. M 3;3;3 Hướng dẫn giải Gọi I 3;3;3 là điểm thỏa mãn IA + IB - IC = Ta có MA MB MC MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên (P). Mặt khác ta có I thuộc (P) nên M trùng I. Chọn D. Ví dụ 11. [Đề tham khảo ‐BGD] Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A (2; -2; ) , B (- 3; 3; - 1) và mặt phẳng (P ) : 2x - y + 2z - = Xét M là điểm thay đổi thuộc (P ) , giá trị nhỏ nhất của 2MA2 + 3MB bằng A. 145 B. 135 C. 105 D. 108 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi I (- 1;1;1) là điểm thỏa mãn 2MA + 3MB = . Ta có 2MA2 + 3MB nhỏ nhất M là hình chiếu của I trên (P). Ghi x y 2z CALC nhập tọa độ I bấm STO M bấm AC ( ) Ghi (2M + x - 2)2 + (-M + y + 2)2 + (2M + z - 4)2 = kết quả 2AM = 12 ( ) Sửa thành (2M + x + 3)2 + (-M + y - 3)2 + (2M + z + 1)2 = kết quả 3BM = 123 ( ) Vậy 2MA2 + 3MB = 12 + 123 = 135 Ví dụ 12. [Chun Lam Sơn‐ Thanh Hóa] Trong hệ trục Oxyz, cho 3 điểm A 1;3; , B 2; 6; 1 , C 4; 12;5 và mặt phẳng P : x y z Gọi M là điểm di động trên P Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S MA MB MC là A. 42 B. 14 C. 14 Hướng dẫn giải GV: Nguyen Xuan Chung D. 14 Gọi G 1; 1;3 là trọng tâm tam giác ABC Ta có S MA MB MC 3MG nhỏ nhất khi MG là khoảng cách từ G đến (P). Ghi x y 2z CALC nhập tọa độ G, kết quả bằng 14. Chọn B. Ví dụ 13. [Chun Hùng Vương‐Phú Thọ] Trong khơng gian Oxyz , cho ba điểm A 1;1; , B 1;0; , C 0; 1;3 và điểm M thuộc mặt cầu S : x y z 1 Khi biểu thức MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất thì độ đài đoạn AM bằng A. C. B. D. Hướng dẫn giải Cách 1. Phương pháp véc tơ. Gọi I(0 ; 0 ; 1) là tâm mặt cầu, bán kính R , ta có IA IB IC 0;0;6 IK Ta có : MA2 MB MC 3MI IA2 IB IC MI IK Vậy để tổng nhỏ nhất thì MI , IK ngược hướng nhau IM t IK t 0;0;6 , t R IM 0;0;6 0;0;1 M 0;0; AM Chọn A. Suy ra t IK 6 Cách 2. Khảo sát ‐ BĐT. Gọi M x; y; z S , từ giả thiết ta có 1 z Đặt T MA2 MB MC , ta có T x 1 y 1 z x 1 y z x y 1 z 2 2 2 T x y z 1 12 z 1 21 12 z 1 Dấu bằng tại z 1, x y M 0;0;2 MA Ví dụ 14. [THPT Lê Q Đơn‐Qng Trị] Trong khơng gian Oxyz , cho điểm A 3; 2;3 , B 1; 0;5 và đường thẳng d : x 1 y z Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng 2 d sao cho MA2 MB đạt giá trị nhỏ nhất. A. M 1; 2;3 B. M 2; 0;5 C. M 3; 2; D. M 3; 0; Hướng dẫn giải Cách 1. Tâm tỉ cự. Gọi I 2; 1; là trung điểm của AB Ta có MA2 MB 2MI IA2 IB nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên d. x - y + 2z Ghi CALC (nhập bộ khi thay I vào tử của d) 1 = -3 = == STO M bấm AC Ghi + M : - M : + M === ta được M (2; 0;5) Chọn B. Cách 2. Khảo sát Parabol. Gọi M 1 t ; 2t ;3 2t d , khi đó MA2 MB t 2t 5t 2t là Parabol đối với t, nên đạt GTNN tại t = - -4 -16 -16 = M (2; 0;5) Chọn B. 2.18 GV: Nguyen Xuan Chung Ví dụ 15. Trong khơng gian Oxyz , cho A 4; 2; ; B 2; 4; ; M : x y z sao cho MA.MB nhỏ nhất, khi đó tọa độ của M là 29 58 A. ; ; 13 13 13 B. 4; 3;1 C. 1; 3; 37 56 68 ; D. ; 3 3 Hướng dẫn giải Gọi M x; y; z x y z (1). MA.MB MO OA.OB MO OA OB x y z 12 x y z 1 x 32 y 12 z 2 14 14 (1) B C S 1 Suy ra MA.MB x y z 12 2 14 14 14 Dấu bằng có khi và 14 14 x y 1 z chỉ khi x; y; z & M 4;3;1 Chọn B. 3 x y 1 z 14 2 Cách 2. Tâm tỉ cự Gọi I 3;1; là trung điểm của AB Ta có MA.MB MI IA.IB MI IA IB hay MA.MB MI AB nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên ( ) x + y - 3z - CALC (nhập tọa độ I ) STO M bấm AC Ghi 14 Ghi M + x : M + y : -3M + z bấm = = = ta được M (4;3;1) Chọn B. Nhận xét. Trong cách 1, chúng ta biến đổi đai số tích MA.MB thành “dạng mặt cầu” sau đó cịn phải suy nghĩ áp dụng bất đẳng thức B.C.S hợp lý để sử dụng giả thiết, ngồi ra khi tìm tọa độ của M thì cịn phải tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Trong cách 2, chúng ta phân tích véc tơ hợp lý thì ngắn gọn và dễ hiểu hơn nhiều. Ví dụ 16. Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A( 2; 2; 2) và B (3; 3;3) Xét điểm M thay đổi sao cho MA Giá trị lớn nhất của OM bằng MB A. 12 B. C. D. Hướng dẫn giải Cách 1. Phương pháp véc tơ. Từ giả thiết ta có: AM BM OM OA2 2OM OA OM OB 2OM OB 5OM 4OB 9OA2 2OM 9OA 4OB (1). Từ đó OM lớn nhất khi và chỉ khi OM và 9OA 4OB 30;30; 30 cùng hướng. 180 12 Ta có: 4OB 9OA2 , đặt OM t 1;1; 1 , từ (1) 15t 180t t 15 Vậy OM 12 1;1; 1 OM 12 Chọn A. GV: Nguyen Xuan Chung Cách 2. Phương pháp hình học. Nhận xét được MA OA , do đó gọi D là chân đường phân giác trong của MB OB 3 góc O tam giác AOB, C là chân đường phân giác ngồi của góc O của tam giác thì M trùng C. Tọa độ 3CA 2CB C 12;12; 12 M OM 12 Chọn A. Ví dụ 17. Trong khơng gian xét mặt cầu S đi qua hai điểm A 0;0; , B 0; 2;0 và có tâm thuộc mặt phẳng ( P ) : x y Giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ( S ) là A. B. 2 C. D. Hướng dẫn giải Tâm I mặt cầu thuộc mặt phẳng trung trực của AB có phương trình (Q ) : y z Do đó, từ phương trình ( P ) và (Q ) , ta có tọa độ I ( x; x 4; x 4) , suy ra: R AI x ( x 4) ( x 2) 3x 12 x 20 2 Chọn B. Ví dụ 18. Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P đi qua điểm M 2;1; và cắt 3 tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại 3 điểm A, B, C sao cho OB 4OC Khi VOABC nhỏ nhất, mặt 1 phẳng P có phương trình: ax by cz Tính ? a b c 37 303 A. B. C. 21 D. 102 Hướng dẫn giải Phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn: Hay ta viết lại P : Ta có x y z , với m, n, p 0, n p m n p x y z , mà mp P đi qua M nên m 4p p m 4p p 17 17 2.17.17 1 33 m.4 p 27.2.17.17 m 8p 8p m.64 p 6.16 Suy ra VOABC 2601 17 51 khi 4mp m 6, p m 8p 16 1 255 303 Chọn B. Suy ra m n p m p a b c 8 Nhận xét. Bài toán tổng quát: mặt phẳng P đi qua M x0 ; y0 ; z0 và x0 y0 z0 , với m n p m, n, p 0, x0 , y0 , z0 Khi áp dụng bất đẳng thức AM‐GM, và chẳng hạn m kn , thì khi đó z0 p z0 , cịn lại hai thành phần kia ta quy đồng rồi suy ra n p GV: Nguyen Xuan Chung Đến đây các em cần có cách nhìn nhận khái qt để giải ra nhanh nhất mà khơng phải biến đổi tự luận như trên. Ví dụ 19. [THPT Lê Q Đơn‐Hà Nội] Trong khơng gian Oxyz , cho điểm M 1;1;1 Mặt phẳng P đi qua M và cắt chiều dương của các trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại các điểm A , B , C thỏa mãn OA 2OB Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC 64 10 81 B. C. D. A. 27 16 Hướng dẫn giải Ta có VOABC Khi đó VOABC 1 1 9 abc tại : c và b , a c 2b b 9 81 Chọn D. 16 Ví dụ 20. Cho tứ diện ABCD có AB, AC , AD đơi một vng góc và AB a, AC 2a, AD 3a Gọi M là điểm thuộc miền trong của tam giác BCD , qua M kẻ các đường thẳng d1 , d2 , d3 lần lượt song song với AB, AC , AD và cắt các mặt phẳng tương ứng ACD , ABD , ABC tại B1, C1 , D1 Thể tích khối MB1C1D1 lớn nhất bằng A. a3 B. a3 C. a3 27 D. 2a Hướng dẫn giải Cách 1. Hệ tọa độ. z D B1 z M y C C1 y D1 A x B x Lấy a Dựng hệ tọa độ Axyz như hình vẽ, với B 1; 0;0 , C 0; 2;0 , D 0;0;3 , khi đó x y z x y z Điểm M x; y; z thuộc mặt phẳng đó sao cho x, y, z và thể tích khối MB1C1D1 là: phương trình mặt phẳng (BCD) là a3 x.3 y.2 z x y z Nên max VMB1C1D1 Chọn C. xyz 27 216 27 216 27 VMB1C1D1 GV: Nguyen Xuan Chung 10 Câu 111. [SGD Thanh Hóa] Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng P : y , đường thẳng x 1 d : y t và hai điểm A 1; 3;11 , B ; 0;8 Hai điểm M , N thuộc mặt phẳng 2 z P sao cho d M , d và NA 2NB Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn MN B. MN A. MN C. MN 2 D. MN 2. Hướng dẫn giải bài tập cuối phần 2. Câu 90. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2; 2;4 , B 3;3; 1 và mặt cầu S : x 1 y 3 z 3 Xét điểm M thay đổi thuộc mặt cầu S , 2 giá trị nhỏ nhất của 2MA2 3MB bằng A. 103 B. 108 C. 105 D. 100 Hướng dẫn. Chọn C Tính IA 1; 5;1 , IB 4;0; 4 IA 3IB 10; 10; 10 IK Khi đó T MA2 3MB 5MI IA2 3IB MI IK 165 MI IK Để T nhỏ nhất thì MI , IK ngược hướng, suy ra: T 165 2.R.IK 165 3.10 105 Câu 91. [Đồn Thượng – Hải Dương] Trong khơng gian Oxyz cho A1; 1;2 , B 2;0;3 , C 0;1; 2 Gọi M a; b; c là điểm thuộc mặt phẳng Oxy sao cho biểu thức S MA.MB 2MB.MC 3MC.MA đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó T 12a 12b c bằng A. T B. T 3 C. T D. T 1 Hướng dẫn. 1 7 Gọi IA IB IB IC IC IA I ; ; 12 12 Khi đó S MI IA.IB IB.IC 3IC.IA 1 Để S nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất, suy ra M ; ;0 Vậy T 1 Chọn D. 12 Câu 92. [HSG Nam Định] Trong không gian Oxyz, cho các điểm A 4;1;5 , B 3; 0;1 , C 1; 2; và điểm M a; b; c thỏa mãn MA.MB 2MB.MC 5MC.MA lớn nhất. Tính P a 2b 4c A. P 23 C. P 11 B. P 31 D. P 13 Hướng dẫn. 17 4 Gọi IA IB IB IC IC IA I 1; ; Khi đó S 2 MI IA.IB IB.IC IC.IA 17 Để S lớn nhất thì MI nhỏ nhất, suy ra M 1; ; I Vậy P 13 Chọn D. 4 GV: Nguyen Xuan Chung 85 Câu 93. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A ; ; 2 , B 1 ; 1; 0 và mặt cầu S : x2 y z 1 Xét điểm M thay đổi thuộc S Giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA2 2MB bằng A. B. Chọn C 19 Hướng dẫn. C. D. 21 Tính IA 0;0;1 , IB 1;1; 1 IA IB 2; 2; 1 IK 31 Khi đó T MA2 MB 3MI IA2 IB MI IK MI IK Để T nhỏ nhất thì MI , IK ngược hướng, suy ra: 31 31 19 2.R.IK .3 4 Câu 94. [SGD Thanh hóa] Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A 2;3;5 , B 1;3; , T C 2;1;3 và D 5;7; Gọi M a; b; c là điểm thuộc mặt phẳng Oxy sao cho biểu thức T 4MA2 5MB 6MC MD4 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a b c bằng A. 12 C. 11 B. 11. D. Hướng dẫn. Chọn A. Gọi IA IB IC I 5;7; D Khi đó T 3MD DA2 DB DC MD nhỏ nhất khi M là hình chiếu của D trên mp Oxy Tọa độ M 5; 7; nên a b c 12 Câu 95. [Chun Quang Trung‐ Bình Phước] Trong khơng gian Oxyz cho hai đường thẳng x y z -1 x -1 y z và D ' = = = = = Xét điểm M thay đổi trong không gian, gọi 1 1 a , b lần lượt là khoảng cách từ M đến D và D ' Biểu thức a + 2b đạt giá trị nhỏ nhất D: khi và chỉ khi M º M ( x0 , y0 , z0 ) Khi đó giá trị x0 + y0 bằng A. B. Hướng dẫn. D. C. Ta có D và D ' chéo nhau, gọi A a; a; a 1 , B b 1; 2b; b ' sao cho AB là đoạn vng góc chung. Tính AB b a; 2b a; b a cùng phương u 1;0; 1 , suy ra: a = 2b = và A 0; 0;1 , B 1; 0;0 Lấy M thuộc đoạn AB thì a = MA, b = MB Khi đó MA2 + 2MB = 3MI + IA2 + IB + 2MI IA + IB Chọn M I thỏa mãn: ( 1 IA IB I ;0; Vậy x0 + y0 = Chọn C. 3 GV: Nguyen Xuan Chung 86 ) Câu 96. [Nho Quan A ‐ Ninh Bình] Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 0; 1; 1 , B 1; 3;1 Giả sử C, D là hai điểm di động trên mặt phẳng P :2 x y z sao cho CD và A, C, D thẳng hàng. Gọi S1 , S2 lần lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác BCD Khi đó tổng S1 S có giá trị bằng A. 34 B. 37 11 Hướng dẫn. C. D. 17 Chọn A Do CD khơng đổi nên ta tìm h d B, CD lớn nhất và nhỏ nhất. Ta có max h BA và h d B,( P ) Khi đó S1 S 34 CD BA BH , mặt phẳng P : x y z và điểm A 1;1;1 Điểm M thay đổi trên đường trịn giao tuyến của Câu 97. Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 y 1 z 2 P và S Giá trị lớn nhất của AM là: A. B. C. D. 35 Hướng dẫn. Chọn D Mặt cầu có tâm I 1; 1;0 , R Suy ra KI 1 1 Hạ IH , AK vng góc với P Tọa độ K ; ; 3 3 IM IN nên điểm K nằm ngoài đoạn MN. Bán kính đường trịn giao tuyến là: r MH R IH Ta có KH KI IH Từ đó suy ra AM lớn nhất là: 3 max AM AK KH r 2 2 35 35 max AM 6 GV: Nguyen Xuan Chung 87 Câu 98. [Yên Phong‐Bắc Ninh] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 1;0;0 , B 3; 2;0 , C 1; 2; Gọi M là điểm thay đổi sao cho đường thẳng MA , MB , MC hợp với mặt phẳng ABC các góc bằng nhau; N là điểm thay đổi nằm trên mặt cầu S : x 3 y z 3 A. 2 Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN B. Hướng dẫn. C. D. Vào MENU 9 1 2 viết phương trình ABC : x y z Mặt phẳng trung trực của AB là x y z Mặt phẳng trung trực của CA là x y z 10 Giải hệ ba ẩn ta có tâm đường trịn x 1 t ABC là H 1;2;2 Trục đường tròn là : y t z t Mọi M đều thỏa mãn giả thiết đã cho. Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu I 3; 2;3 2 Khi đó MN Chọn C. 2 Câu 99. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho 5 điểm A 1; 0; , B 1;1; , C 0; 1; , D 0;1;0 đến , ta có IK d I , R , E 0;3;0 M là điểm thay đổi trên mặt cầu ( S ) : x ( y 1) z Giá trị lớn nhất của biểu thức P MA MB MC MD ME bằng: A. 12 B. 12 C. 24 D. 24 Hướng dẫn. Gọi G 0; 0; là trọng tâm tam giác ABC, H 0; 2; là trung điểm của DE. Khi đó: P MG MH , mà GH là đường kính của mặt cầu tâm I 0;1; Ta có MG MH 1 12 MG MH 2GH 2 Vậy max P 12 Câu 100. [ĐH ‐ Quốc Tế] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2;1; 3 , B 3; 2;1 Gọi d là đường thẳng đi qua M 1; 2;3 sao cho tổng khoảng cách từ A đến d và từ B đến d là lớn nhất. Khi đó phương trình đường thẳng d là x 1 z y 5 x 1 y z C. 2 13 A. x 1 y z 3 x 1 y z D. 3 2 Hướng dẫn. B. Ta có d A, d AM ; d B, d BM max d A, d d B, d AM BM Khi đó d đi qua M và vng góc với ABM : x 13 y z 21 Chọn C. GV: Nguyen Xuan Chung 88 Câu 101. [SP Đồng Nai] Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A 3;0;0 , B 0; 2;0 , C 0;0;6 và D 1;1;1 Gọi là đường thẳng đi qua D và thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm A, B, C đến là lớn nhất. Hỏi đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây? A. M 5;7;3 C. M 3;4;3 B. M 1; 2;1 D. M 7;13;5 Hướng dẫn. Ta có D 1;1;1 thuộc mặt phẳng ABC : x y z x 2t Ta có max d A, d B, d C , AD BD CD Khi đó : y 3t đi qua z 1 t điểm M 5;7;3 Chọn A. Câu 102. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 y z 10 và hai điểm 2 A 1; 2; 4 và B 1; 2;14 Điểm M thay đổi trên mặt cầu S Giá trị nhỏ nhất của MA 2MB bằng A. 82 B. 79 C. 79 D. 82 Hướng dẫn. 1 Ta có IA 0; 2; 6 , gọi IC IA 0; ; C 1; ; Điểm C bên trong S 2 2 Ta có AM IA2 IM IA.IM 40 10 8IC.IM 10 IC.IM MC Suy ra MA MC và S MA 2MB MB MC BC 82 Chọn D. Câu 103. [Hậu Lộc 2‐Thanh Hóa] Trong không gian Oxyz , cho các điểm A 0; 0; và B 3; 4;1 Gọi P là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu S1 : x 1 y 1 z 3 25 với S2 : x y z x y 14 Hai điểm M , N thuộc P sao cho MN Giá trị nhỏ nhất của AM BN là A. 34 2 B. D. C. 34 Hướng dẫn. Trừ các vế hai mặt cầu, ta có phương trình P : z , tức là mặt phẳng Oxy Hạ AH , BK vng góc với P , tọa độ H 0;0;0 , K 3; 4;0 và HK Chọn M , N thuộc đoạn HK , đặt NK t HM t Khi đó AM BN 22 t 12 t Câu 104. Trong không gian Oxyz cho điểm 1 t t Chọn B. A 5;3; 2 và mặt cầu S có phương trình 2 x y z x y z Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt S hai điểm phân biệt M , N Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S AM AN A. Smin 30 B. Smin 20 C. Smin 34 Hướng dẫn. GV: Nguyen Xuan Chung 89 D. Smin 34 Mặt cầu tâm I 2; 1;1 , bán kính R Ta có IA2 34 Gọi H là trung điểm MN và chọn vị trí M, N như hình vẽ. Khi đó: S AN AM AH HN AH HM AH 3HN S 34 IH IH 34 t t Khảo sát hàm số trên 0;3 thì S 34 20.155 tại t Chọn D. Câu 105. Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A ; ;1 , B 3;1;5 , C 1; ; , D ; ;1 Gọi là mặt phẳng đi qua D sao cho ba điểm A , B , C nằm cùng phía đối với và tổng khoảng cách từ các điểm A , B , C đến mặt phẳng là lớn nhất. Giả sử phương trình có dạng: x my nz p Khi đó, T m n p bằng: A. 9. B. 6. C. 8. D. 7. Hướng dẫn. qua D ; ;1 nên ta có: p 2m n Nên : x m y n z 1 12 m n 3 Tổng các khoảng cách là d Hay d m2 n2 3 2.2 1.m (1).n 2 (Vì tử số cùng dấu). 12 (1) m n m2 n2 m2 n2 m n Đẳng có khi m 1, n 1 p Vậy T m n p Chọn A. 1 x 1 y z Câu 106. Trong không gian Oxyz cho điểm A 2; 2; 7 , đường thẳng d : và mặt cầu S : x 3 y z 729 Điểm B thuộc giao tuyến của mặt cầu 2 S và mặt phẳng P : x y z 107 Khi điểm M di động trên đường thẳng d , giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA MB bằng A. 30 B. C. 29 D. 742 Hướng dẫn. d Mặt cầu có tâm I (-3; -4; -5) , bán kính R = 27 Ta lại có đi qua I và vng góc với P tại tâm H của đường trịn giao tuyến. GV: Nguyen Xuan Chung 90 Hạ AK ^ ( P ) , có AK 29 , IH 29 , AI HK d A, d , HB R IH Khi đó MA MB AB AK KB 725 25 30 Chọn A. Câu 107. [Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 3;1;1 , B 5;1;1 và hai mặt phẳng P : x y z , Q : x y z Gọi M a ; b ; c là điểm nằm trên hai mặt phẳng P và Q sao cho MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. Tính T a2 b2 c2 A. B. 29 C. 13 D. Hướng dẫn. x -1 y -1 z -1 Tính các khoảng cách từ A, B Giao tuyến của P và Q là D : = = -2 d đến , ta có t = a = Gọi I 1;1;1 là trung điểm AB , điểm M cần tìm là hình chiếu db của I trên Mà I nên M 1;1;1 I Vậy T a b c Chọn D. Câu 108. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;4;3 và mặt phẳng P : y z Biết điểm B thuộc P , điểm C thuộc Oxy sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. Hỏi giá trị nhỏ nhất đó là A. B. C. D. Hướng dẫn. Gọi A ' 1; 4; 3 đối xứng với A 1;4;3 qua mp Oxy K là hình chiếu vng góc của A trên P , tọa độ K 1; 2; Lấy A '' 1;0;5 đối xứng với A qua P Khi đó: AC CB BA A ' C CB BA '' A ' A '' , dấu bằng có khi A ', C , B, A '' thẳng hàng. 2 Ta có A ' A '' = + = Chọn C. Câu 109. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 3; 2; , B 2; 2;0 và mặt phẳng P : x y z Xét các điểm M , N di động trên P sao cho MN Giá trị nhỏ nhất của biểu thức AM 3BN bằng A. 49,8 B. 45 C. 53 Hướng dẫn. Hạ AH , BK vng góc với P , chọn M , N thuộc đoạn HK GV: Nguyen Xuan Chung 91 D. 55,8 Tính được AH BK 3; HK BA2 AH BK Đặt NK t HM t Ta có T AM 3BN 9 t t 5t 8t 53 249 49,8 Chọn A. Suy ra T Câu 110. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x y z x y và hai điểm A(4; 2; 4), B (1; 4; 2) MN là dây cung của mặt cầu thỏa mãn MN cùng hướng với u (0;1;1) và MN Tính giá trị lớn nhất của AM BN A. 41 D. 17 C. B. Hướng dẫn. Chọn C Ta có MN t 0;1;1 , t 0; MN t MN 0; 4; ; BA 3; 2; Đặt MN BA 3; 2; 6 AC , khi đó AM AB BN NM AM BN AC BN AC BN AC BN 49 BN AC Suy ra max AM khi BN , AC cùng hướng. Khi đó max AM BN 49 2.BN BN max AM BN Cách 2. Ta có MN t 0;1;1 , t 0; MN t MN 0; 4; Điểm A ngồi mặt cầu, điểm B trong mặt cầu. Mặt phẳng (ABI) cắt mặt cầu là đường trịn lớn. Dựng hình bình hành MNBC, khi đó AM BN AM CM AC , dấu bằng có khi A, C, M thẳng hàng. Ta có BC MN 0; 4; 4 , suy ra C 1;0; 2 CA 3; 2;6 CA GV: Nguyen Xuan Chung 92 Câu 111. [SGD Thanh Hóa] Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng P : y , đường thẳng x 1 d : y t và hai điểm A 1; 3;11 , B ; 0;8 Hai điểm M , N thuộc mặt phẳng 2 z P sao cho d M , d và NA 2NB Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn MN A. MN B. MN C. MN 2 D. MN Hướng dẫn. Gọi D sao cho DA 2DB D 0; 1;9 ; gọi C sao cho CA 2CB C 2;3;5 Khi đó điểm N thuộc đường trịn giao tuyến của P và mặt cầu đường kính CD Tâm mặt cầu I 1;1;7 P , bán kính R Gọi H 1;1;1 P d , khi đó HI d I , d Mà d M , d nên chọn M HI và HM HI IM R Vậy MN 1. Chọn A. GV: Nguyen Xuan Chung 93 V. PHỤ LỤC. Phương pháp chung để giải bài tốn quỹ tích và min ‐ max là: Các yếu tố di động – di chuyển – thay đổi phải được “ràng buộc – gắn liền” với các yếu tố cố định – khơng đổi; Từ đó tìm ra mối quan hệ cần thiết để giải, phương châm là “Lấy bất biến ứng vạn biến”. Nói vui một tí: Trước kia thì “Tề Thiên Đại Thánh” bay nhảy tự do – tùy ý, bây giờ “Tơn Ngộ Khơng theo sư phụ” thì bị trịng một cái vịng kim cơ nên chỉ cịn “Tự do trong khn khổ”. Phương pháp đặc biệt hóa Trong thi trắc nghiệm, chúng ta cũng có thể sử dụng phương pháp đặc biệt hóa, nghĩa là: Bài tốn đúng trong trường hợp tổng qt thì cũng đúng trong các trường hợp riêng. Khi đó chúng ta rút gọn một số biến đổi và lập luận trung gian sẽ dẫn đến kết quả nhanh hơn. ‐ Cho tham số vài giá trị riêng để xem xét ‐ Đặc biệt hóa từ biểu thức; vai trị ngang nhau của các điểm; tính đối xứng của các biến. Ví dụ 60. [Đề_2017_BGD] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 4;6; và B 2; 2; và mặt phẳng P : x y z Xét đường thẳng d thay đổi thuộc P và đi qua B , gọi H là hình chiếu vng góc của A trên d Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc một đường trịn cố định. Tính bán kính R của đường trịn đó. B. R A. R C. R Hướng dẫn. D. R Chọn B Đề bài cho các yếu tố cố định là hai điểm A , B và mặt phẳng P Đường thẳng d thay đổi trong P và quay quanh điểm B , nói cách khác điểm H thay đổi và thuộc mặt cầu đường kính AB , đồng thời nằm trong P , nên thuộc đường trịn giao tuyến cố định. Suy ra R BK , với K là hình chiếu vng góc của A trên P Ghi x 2 y 2 2 z2 x y z CALC nhập tọa độ A, kết quả R GV: Nguyen Xuan Chung 94 Ví dụ 61. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : mặt cầu S : x 1 y z 3 2 x4 y4 z4 và 2 14 Gọi A x0 ; y0 ; z0 , ( x0 ) là điểm thuộc d , từ A kẻ ba tiếp tuyến đến mặt cầu S có các tiếp điểm B, C , D sao cho ABCD là tứ diện đều. Giá trị của biểu thức P x0 y0 z0 là A. 6. B. 16. C. 12. D. 8. Hướng dẫn. Đặt cạnh tứ diện đều là a , ta có AB AI AH AI Suy ra AI a , với H là tâm tam giác BCD 3a 3a AI a R a R Do đó IA2 3R 14 Ta có tâm I 1; 2;3 , điểm M 4; 4; d có IM 14 A M Vậy x0 y0 z0 12 Ví dụ 62. [Đề_2018_BGD] Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu S có tâm I 2;1;2 và đi qua điểm A 1; 2; 1 Xét các điểm B , C , D thuộc S sao cho AB , AC , AD đơi một vng góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng A. 72 B. 216 C. 108 D. 36 Hướng dẫn. Ta có bán kính mặt cầu R IA 3 Nếu dựng hình hộp chữ nhật có ba cạnh AB , AC và AD thì điểm I cũng là tâm hình hộp. Khi đó thể tích khối lập phương là lớn d 2R Suy ra max VABCD 63 36 nhất, cạnh a 3 Nhận xét. Các em có thể đặt AB a , AC b và AD c thì a b c R , sau đó sử dụng bất đẳng thức AM – GM dẫn đến điểm rơi a b c Cuối cùng cho kết quả như trên. Ví dụ 63.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, biết rằng có một đường thẳng cố định nằm trong mặt phẳng P : m 1 x 2m 2m 1 y 4m z m 2m khi m thay đổi. Đường thẳng d đi qua M 1; 1;1 , có vectơ chỉ phương u 1; b; c , d vng góc với và cách O một khoảng lớn nhất. Giá trị của T b c bằng A. 12. B. 9. C. 11. D. 10. Hướng dẫn. Chọn C Bài cho điểm M và cố định, tuy nhiên ta cịn phải tìm Cho m , ta có mp P1 : x y z ; cho m , ta có mp P2 : x y z GV: Nguyen Xuan Chung 95 Suy ra P1 P2 , có phương trình : x 1 y 1 z 1 Ta có d O, d OM nên theo yêu cầu ta phải có d OM u OM , u 1;5;6 Vậy T b c 11 Ví dụ 64. [MH2_2017_BGD] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , xét các điểm A 0;0;1 , B m; 0; , C 0; n;0 , D 1;1;1 với m 0; n và m n Biết rằng khi m , n thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng ABC và đi qua D Tính bán kính R của mặt cầu đó? B. R A. R C. R D. R Hướng dẫn. Chọn A Mặt phẳng ABC theo đoạn chắn: nx my mnz mn Gọi I a; b; c là tâm mặt a 1 cầu, bán kính R , ta có R ID Nhận xét: m n mn có: R m n 2 b 1 c 1 (1). m n mn 2 mn mn mn Tính R d I , ( ABC ) , ta n a 1 m b 1 mnc mn 2 2 n a 1 m b 1 mnc mn mn (2). Từ (1) và (2) nếu chọn a b 1, c thì R ID d I , ( ABC ) Vậy I 1;1; , R Ví dụ 65. [SGD Thanh Hóa] Cho khối chóp S ABCD có thể tích 84a và đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm AB , điểm J thuộc SC sao cho JC JS , điểm H thuộc SD sao cho HD HS Mặt phẳng MJH chia khối chóp thành hai phần, tính thể tích phần chứa đỉnh S của khối chóp A. 18a B. 24a C. 21a D. 17a Hướng dẫn. Chọn D (Hình minh họa). Để giải nhanh ta chọn chiều cao SD , đáy là hình vng cạnh AB Khi đó: 2.7 14 Thể tích cần tìm V 84 81 14 17 VH DEF 81 và 2VJ CKE 3 GV: Nguyen Xuan Chung 96 PHÂN TÍCH – MỞ RỘNG BÀI TỐN MA MB hoặc max MA MB CÂU HỎI: [THPT Chu Văn An – Hà Nội ] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm x 1 y z 1 Biết điểm M a ; b ; c thuộc 1 đường thẳng d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó, giá trị A 0; 1; , B 1;1; và đường thẳng d : P a 2b 3c bằng A. B. D. 10 C. Phân tích Bài tốn quy về khảo sát khoảng cách d M , AB nhỏ nhất, chúng ta đã nghiên cứu cách giải tổng quát cho bài này (Sử dụng Casio sẽ nhanh hơn). Ở đây ta muốn nghiên cứu câu hỏi: Tổng T MA MB nhỏ nhất. Mở rộng hơn là T MA MB nhỏ nhất. A. Bài tốn tổng T MA MB nhỏ nhất. Tham số hóa điểm M , ta quy về xét hàm số f t AM BM u v Khi giải bằng các số cụ thể, ta sẽ không phát hiện được “cái gốc” của hàm f t là gì. Tuy nhiên khơng khó lắm, ta có thể đưa ra biểu thức như sau: 2 2 f t u t M A.u t M A2 u t M B.u t M B Đương nhiên ta cũng không cần nêu ra đối với mọi cho học sinh, làm phức tạp thêm vấn đề, vả lại bài tốn cũng khơng thường xun gặp (Tùy đối tượng học sinh). Dùng Casio khảo sát: Máy tính cho giá trị gần đúng về giá trị của f t , nhưng khơng cho giá trị đúng của t , nên khơng biết tọa độ đúng của M Trong trường này, ta vẫn tính gần đúng được P a 2b 3c 6t Dùng BĐT Mincopxki: Ta phải biến đổi trong hai căn thành dạng f t at b điểm rơi: c2 b ' at c '2 Việc làm này khơng khó, và ta quan tâm at b c (1). Khi đó lấy dấu (+) hay dấu (‐) ?. Như thế ta phải thử b ' at c' trực tiếp t t (Giải ra từ (1)) vào hàm số, sau đó chọn t Vậy phương pháp này là tự luận, hỗ trợ Casio tìm t , cũng tương đối mất nhiều thời gian. Dùng đạo hàm: Tính f ' t u' v' , tìm nghiệm của đạo hàm bằng Casio thì nhanh, u v hàm số có một điểm cực tiểu duy nhất. Chẳng hạn máy cho t 0.538461538461 thì khi đó ta cũng khơng biết được t là số hữu tỉ. Hiển nhiên ta cũng tính 13 được gần đúng P a 2b 3c 6t GV: Nguyen Xuan Chung 97 Nếu giải phương trình vơ tỉ u' v' bằng tự luận thì cũng mất nhiều u v thời gian, cũng có một số học sinh khơng giải được. Sau đây là kết quả ta có thể tham khảo: ta có u '.v ' và nghiệm t của đạo hàm thỏa mãn u' u ( u , v v' v là các biệt thức). Như thế dùng đạo hàm cũng không dễ dàng. Áp dụng bài toán trên thử xem sao: f t 3t 2t 3t 8t Nghiệm của đạo hàm 6t 22 2 , suy ra t Tọa độ M 0;1; 6t 8 3 thì tổng T f t MA MB nhỏ nhất và bằng 3. Trường hợp tìm giá trị lớn nhất f t MA MB thì giải phương trình 33 6t 10 t Tọa độ M ; ; , khi đó max MA MB 6t 3 3 3 Như vậy: Thi trắc nghiệm thì dùng kết quả, qua ba bước là OK ln!. Ta có thể bồi dưỡng thêm cho HS khá – giỏi. B. Bài tốn mở rộng T MA MB nhỏ nhất. Chú ý là ta có thể đổi hệ số, chẳng hạn T MB MA Khi đó ta đi xét bài tốn T MB MA Trở về bài toán T MA MB nhỏ nhất, ta giải tổng quát theo “định luật phản xạ ánh sáng đối với gương phẳng” thì: hai tam giác AHM và BKM đồng dạng, tia tới AM thì tia phản xạ là MB Bây giờ ta gọi C , N lần lượt là trung điểm của HA, HM thì ta cũng có hai tam giác HK t , như thế ta hồn tồn tìm được t Bài tốn hồn tồn được giải quyết. Điểm M cần tìm trong bài toán đồng dạng CHN và BKM Đặt MK t thì HN T MA MB không thay đổi so với bài min T MA MB Xét phương pháp đạo hàm: Hàm số bây giờ là f t AM BM u v u 4v , như thế ta quy về f t u v* , ở đây v* là v mới và v* 4v GV: Nguyen Xuan Chung 98 Áp dụng bài toán trên thử xem sao: f t 3t 2t 12t 32t 24 Nghiệm của đạo hàm 6t 22 , suy ra t Tọa độ 24t 32 32 12 24 M 0;1; thì tổng T f t MA MB nhỏ nhất và bằng 4. Nhận xét: Điểm M 0;1; không đổi, giá trị T MA MB là khác. Tương 10 tự, điểm M ; ; khơng đổi trong bài tốn max MA MB 3 3 Lời bình. Bài tốn MA MB hoặc max MA MB với M hoặc như MA 2MB hay max MA MB thì chúng ta giải quyết theo hình chiếu vng góc H , K nhanh hơn (Hỗ trợ Casio), nhưng nếu tham số hóa thì phải viết phương trình đường thẳng giao tuyến, khi đó sẽ dài và mất thời gian. CHÚC MỌI NGƯỜI THÀNH CÔNG! GV: Nguyen Xuan Chung 99 ... GV: Nguyen Xuan Chung II. BÀI TỐN VỀ TỔ HỢP VÉC TƠ. 1. Đặc? ?điểm? ?dạng tốn? ?và? ?ví dụ. Đặc? ?điểm? ?dạng tốn: Những biểu thức có dạng tổ? ?hợp? ?các? ?véc tơ hay tổ? ?hợp? ?bình phương? ?các? ?véc tơ thì chúng ...I. BỔ XUNG ‐ BÀI TOÁN VỀ TÂM TỈ CỰ. 1. Kiến thức bổ xung. Với hai điểm? ? A, B và? ? , là các? ? số sao cho Điểm? ? I thỏa mãn IA IB gọi là tâm tỉ cự của hai? ?điểm? ?... Mở rộng? ?bài? ?tốn trên ta có hai? ?bài? ?tốn xuất hiện tương đối nhiều trong? ?các? ?bài? ? kiểm tra hay đề thi là: Tìm ( MA + MB ) hoặc max MA - MB ? ?Các? ?bài? ?toán? ?này ta giải tương tự, tuy nhiên có khác. Nhưng trước hết ta xét? ?các? ?bài? ?tốn liên quan đến “Tâm
Ngày đăng: 18/03/2022, 18:41
Xem thêm:
