chuyen de 11 chung minh bat dang thuc va tim gtln, gtnn

312 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ 11: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN I TÌM GTLN,GTNN A= a b.n + c Dạng 1: Với với a, b, c số nguyên biết + + Nếu a ∈ Z thì: b.n + c A có GTLN số dương nhỏ ứng với n nguyên b.n + c A có GTNN số nguyên âm lớn ứng với n nguyên + Nếu a ∈ Z thì: b.n + c A có GTLN số âm lớn ứng với n nguyên b.n + c A có GTNN số dương nhỏ ứng với n nguyên 2019 P= x − 2020 Tìm số nguyên x để P có giá trị lớn Bài Cho phân số Tìm giá trị lớn Hướng dẫn giải Điều kiện: x ≠ 2020 *Nếu x < 2020 x − 2020 < ⇒ P < *Nếu x > 2020 x − 2020 > ⇒ P > Vì x số nguyên nên x − 2020 ≥ 2019 ≤ 2019 x − 2020 Do Xảy P = 2019 x − 2020 = ⇒ x = 2021 Vậy với x = 2021 giá trị lớn P = 2019 P= Bài Tìm số tự nhiên n để A = Ta có: 15 > 15 n−9 có giá trị lớn Hướng dẫn giải không đổi 15 n−9 n−9 > có giá trị lớn có giá trị nhỏ (1) n∈ N ⇒ n −9∈Z Ta lại có: (2) ⇒ n −9 Từ (1) (2) có giá trị nhỏ n = 10 Vậy với n = 10 thỏa mãn đầu Nên A = Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 312 Website:tailieumontoan.com Bài Tìm x để phân số Vì x +1 x +1 có giá trị lớn Hướng dẫn giải phân số => x2 + ∈ N* => Phân số x +1 có giá trị lớn x2 + phải số tự nhiên nhỏ khác => x2 + = => x = a.n + d Dạng 2: Với A = b.n + c với a, b, c, d số nguyên biết a.n + d f =e+ b.n + c b.n + c + Tách A = (f ∈ Z) + Việc tìm n nguyên để A có GTLN – GTNN trở thành tốn tìm n f b.n + c ngun để có GTLN có GTNN (Bài tốn dạng 1) 6n + P= ( n∈¥ ) n 3n + P Bài Cho phân số: giá trị lớn nhất? Với giá trị phân số có Hướng dẫn giải P= Ta có: 6n + ( 3n + ) + 1 = = 2+ 3n + 3n + 3n + Với n∈¥ 3n + ≥ ⇒ Dấu “=” xảy n=0 Vậy Bài Cho phân số Ta có: ⇔n=0 phân số A= 1 5 ≤ ⇔ 2+ ≤ ⇒ P≤ 3n + 2 3n + 2 P có giá trị lớn × n+1 (n ∈ Z) n-3 Tìm n để A có giá trị lớn Hướng dẫn giải n+1 n-3+4 A= = = 1+ n-3 n-3 n−3 Với n > Liên hệ tài 039.373.2038 liệu n −3 >0 word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 312 Website:tailieumontoan.com n −3 Với n < khơng đổi nên đạt giá trị lớn khi: 2n – > ⇔ ⇔ đạt giá trị nhỏ 2n - = n=3 27 + 11 = 2 Vậy B đạt giá trị lớn n = 42 − x M= x − 15 Bài Cho Tìm số nguyên x để M đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 312 Website:tailieumontoan.com M= Ta thấy Xét x − 15 > 42 − x 27 = −1 + x − 15 x − 15 ⇔ đạt GTNN 27 x − 15 nhỏ 27 >0 x − 15 27 < x − 15 x − 15 < Vậy nhỏ 27 x − 15 Phân số có tử dương mẫu âm 27 x − 15 x − 15 Khi nhỏ số nguyên âm lớn hay x − 15 = −1 ⇔ x = 14 Xét Vậy x − 15 < 27 x − 15 x = 14 M nhỏ M = A= −28 2n + n−2 ( n ≠ ) Tìm số nguyên n để A có giá trị lớn nhất, Bài Cho tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn giải * Tìm A có giá trị lớn Ta có: n−2 A = 2+ Để A đạt GTLN n − có GTLN, n − số nguyên dương nhỏ Với n − = suy n = Khi A = 2+ =9 Vậy A có giá trị lớn n = * Tìm A có giá trị nhỏ Ta có: A = 2+ n−2 Để A đạt GTNN n − có GTNN, n − số nguyên âm lớn Với n − = −1 suy n = Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 312 Website:tailieumontoan.com Khi A = − = −5 Vậy A có giá trị nhỏ −5 n = x2 + y + B= x + y2 + Bài Tìm giá trị lớn biểu thức: Hướng dẫn giải b) B = x2 + y2 + x2 + y2 + + 1 = = + x2 + y2 + x2 + y + x2 + y + 2 B lớn x + y + lớn  x ≥ ⇒ x2 + y2 + ≥ ⇒ x2 + y +  y ≥ Ta có:  nhỏ 2, x = y = Khi =1 B lớn 2 B= Bài Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức sau: x + 15 x2 + Hướng dẫn giải B= x + 15 12 = + x2 + x2 + Ta có x ≥ Dấu 2 " = " xảy ⇔ x = ⇒ x + ≥ 12 12 12 12 ≤ ⇒ ≤ ⇒1+ ≤5 x +3 x +3 x +3 Vậy MaxB = ⇔ x = ⇒ LOẠI 3: Với A = |f(x)| + b A = - |f(x)| + b + Vì |f(x)| ≥ => A = |f(x)| + b ≥ b => A nhỏ = b f(x) = + Vì - |f(x)| ≤ => A = - |f(x)| + b ≤ b => A lớn = b f(x) = Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) x+ b) x − + Hướng dẫn giải x+ a) Ta có: ≥0 x+ Do giá trị nhỏ biểu thức Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 312 Website:tailieumontoan.com x+ Giá trị nhỏ biểu thức x+ Vậy giá trị nhỏ x− ≥0 x− +2≥2 b) Ta có: Suy ra: x+ đạt x− Giá trị nhỏ biểu thức x− +2 +2 hay x=− x=− đạt x= Vậy giá trị nhỏ Bài Tìm giá trị lớn biểu thức sau: x− =0 x= x=− hay a) − 3x + c) =0 b) − x + x+6 +2 d) + x +1 1+ x +1 Hướng dẫn giải − 3x + ≤ a) Ta có: − 3x + Giá trị nhỏ biểu thức − 3x + Vậy giá trị lớn là đạt x=− 3x + = hay − x+2 ≤0 b) Ta có: 6− x+2 ≤ Suy ra: 6− x+2 Giá trị lớn biểu thức đạt 6− x+2 Vậy giá trị lớn x+2=0 hay x = −2 x = −2 x+6 +2≥ c) Ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 312 Website:tailieumontoan.com 1 ≤ x+6 +2 Suy ra: x+6 +2 Giá trị lớn biểu thức đạt 1 x+6 +2 x = −6 Vậy giá trị lớn + x +1 d) Ta có: 1+ x +1 = 1+ 2( 1+ x +1 ) 1+ x +1 hay x = −6 +2 1+ x +1 +2≤3 1+ x +1 1+ x +1 ≥ Do: = x+6 =0 Suy ra: + x +1 1+ x +1 Giá trị lớn biểu thức đạt + x +1 1+ x +1 x +1 = hay x = −1 x = −1 Vậy giá trị lớn Bài Với giá trị x, y biểu thức : A = | x - y | + | x + | + 2016 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn giải Vì |x - y | ≥ với x, y ; |x + | ≥ với x ⇒ A ≥ 2016 với x,y | x − y |= x − y = x = y ⇔ ⇔  ⇒ A đạt giá trị nhỏ | x + 1|= x + =  x = −1 Vậy với x = y = - A đạt giá trị nhỏ 2016 C= Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức x − 2017 + 2018 x − 2017 + 2019 Hướng dẫn giải a)C = x − 2017 + 2018 ( x − 2017 + 2019 ) − 1 = =1− x − 2017 + 2019 x − 2017 + 2019 x − 2017 + 2019 x − 2017 + 2019 có giá trị nhỏ Biểu thức C đạt giá tri nhỏ x − 2017 ≥ nên x − 2017 + 2019 ≥ 2019 2018 x = 2017 ⇒ C = 2019 Dấu " = " xảy Mà Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 312 Website:tailieumontoan.com 2018 Vậy giá trị nhỏ C 2019 x = 2017 Bài Tìm giá trị nhỏ A, biết : A = |7x – 5y| + |2z – 3x| +|xy + yz + zx - 2000| Hướng dẫn giải Ta có |7x – 5y| ≥ 0; |2z – 3x| ≥ | xy + yz + zx - 2000| ≥ Nên A = |7x – 5y| + |2z – 3x| +|xy + yz + zx - 2000| ≥ Mà A = |7x – 5y| = |2z – 3x| = |xy + yz + zx - 2000| = x y = Có: |7x – 5y| =  7x = 5y  x z = |2z – 3x| =  |xy + yz + zx - 2000| =  xy + yz + zx = 2000  x = 20; y = 28; z = 30  Từ tìm  x = −20; y = −28; z = −30 A ≥ 0, mà A =  (x,y,z) = (20;28;30) (x,y,z)= (-20;-28;-30) Vậy MinA =  (x,y,z) = (20;28;30) (x,y,z)= (-20;-28;-30) II BẤT ĐẲNG THỨC Dạng 1: Tổng phân số tự nhiên Phương pháp: Với tổng phân số tự nhiên, với chương trình lớp -7 ta nên cho học sinh làm theo cách nhóm đầu cuối so sánh nhóm với nhau, để tạo ngoặc có tử, so sánh bình thường A= Bài Cho 1 1 + + + + 101 102 103 200 A> Chứng minh răng: a) 12 A> b) Hướng dẫn giải B≥ 12 B A>B A a) Ta chọn biểu thức làm trung gian cho , cịn Tách thành hai nhóm, nhóm có 50 phân số, thay phân số nhóm phân số nhỏ nhóm ấy, ta được: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 312 Website:tailieumontoan.com 1   1 1   A= + + + + + + + + ÷+  ÷> 150   151 152 153 200   101 102 103 1 1 > 50 + 50 = + = 150 200 12 b) Tách A> A thành bốn nhóm làm trên, ta được: 25 25 25 25  1  107 1 + + + =  + + ÷+ = + > + = 125 150 175 200   210 8 Bài Chứng minh rằng: 1 1 < + + + + < 101 102 103 200 Hướng dẫn giải A= Gọi 1 1 + + + + 101 102 103 200 Ghép phân số hai đầu phân số cách hai đầu thành 50 cặp   1     A= + + + ÷+  ÷+ +  ÷=  101 200   102 199   150 151  = 301 301 301 + + + 101.200 102.199 150.151 1   = 301 + + + ÷ 150.151   101.200 102.199 101.200 Xét mẫu 50 phân số dấu ngoặc, theo câu a có 150.151 giá trị nhỏ nhất, có giá trị lớn nhất, suy 50 phân số 1 101.200 150.151 dấu ngoặc lớn nhất, nhỏ A < 301 Do đó: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu 301 303 50 = < = 101.200 404 404 word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 312 Website:tailieumontoan.com A > 301 301 300 300 50 = > > = 150.151 453 453 480 < A< Vậy: A = 1+ Bài Cho 1 1 + + + + 100 −1 Chứng minh rằng: a) A < 100; Giải a) Để chứng tỏ A < 100, b) ta chia A > 50 A thành 100 nhóm: 1  1  1 1   A = +  + ÷+  + + ÷+  + + ÷+ +  99 + + 100 ÷ 7 2 15  −1   3  2 Thay phân số dấu dấu ngoặc phân số lớn dấu ngoặc đó, ta được: 1 1 A < + + + + + 99 299 = 100 b) Để chứng tỏ A > 50, ta thêm bớt 2100 viết A dạng sau: A = 1+ 1  1  1 1   +  + ÷+  + + ÷+  + + ÷+ +  99 + + 100 ÷− 100 3  5  9    +1 Thay phân số dấu ngoặc phân số nhỏ dấu ngoặc đó, ta được: 1 1 1 A > + + 2 + 22 + + 100 299 − 100 = + 100 − 100 > 50 2 2 2 Bài 4: Cho A= 1 1 + + + + 101 102 103 200 Chứng minh rằng: A> 12 Hướng dẫn giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 312 Website:tailieumontoan.com B= B< B< B< B< 1 1 + + + + 16 51 1 1 + + + + 2.3 3.4 50.51 1 1 1 + − + − + + − 3 50 51 − 51 Dạng 2: Tổng lũy thừa Phương pháp: So sánh số hạng tổng với số hạng tổng liên tiếp để tìm mối quan hệ Nếu muốn chứng minh lớn giá trị k đó, ta cần so sánh với số hạng có mẫu lớn hơn, ngược lại 1 1 A = + + + + 1 1 1 1 1 + + + + = − + − + − + − 5.6 6.7 7.8 2004.2005 6 7 2004 2005 1 400 80 7 − = = > > = 2005 2005 401 401 455 65 (2) 1 < A< 4; Từ (1) (2) suy 65 1 + +L + < 20192 Bài 3: Chứng tỏ Hướng dẫn giải 1 1 1 + +L + < + +L + 2 2019 1.2 2.3 2018.2019 1 1 1 2018 = − + − +L + − = 1− = n − − 1 − ÷ = n − + n > n−2  n Suy ra: ( 2) Vậy n − < P < n − nên P số nguyên Bài 8: Chứng minh rằng: A= 19 + 2 + 2 + + 2 < 2 3 10 Hướng dẫn giải Ta có: 19 + + + + 12.22 22.32 32.42 92.102 22 − 12 32 − 2 − 32 10 − = 2 + 2 + 2 + + 2 2 3 10 1 1 1 1 = − + − + − + + − 2 3 10 =1− 2012 2012 2012 2012.2011 2012.2011 + + + = = =1 2 2 2011 + 2011 2011 + 2011 2011 + 2011 2011 + 2011 2011( 2011+ 1) 1 1 + + + + + > 10 99 100 Bài 13: Chứng minh: Hướng dẫn giải 1 1 1 1 > ; > ; > ; ; > 100 100 100 99 100 Ta có: 1 1 1 + + + + > 100 = 10 100 100 Suy : 1 1 + + + + > 10 100 Vậy N= Bài 14: Chứng minh rằng: 1 1 + + + + 2 1002 không số tự nhiên Hướng dẫn giải Có 1 1 N = + + + + >0 1002 Mặt khác 1 1 < = − 2 1.2 1 1 < = − 2.3 1 1 < = − 3.4 … …… 1 1 < = − 100 99.100 99 100 Nên N < 1 1 1 1 − + − + − + − 2 3 99 100 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán 1− = zalo: 1⇒ > b b b+m với m > 199 A = 200 Bài Cho với m > (1) A2 < Chứng minh a a a+m => < 200 200 A< , Mà : −1 Vậy Dạng Bất đẳng thức dạng chữ Phương pháp: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 312 Website:tailieumontoan.com + Với số thực dương a, b bất kì, ta ln có a≥b⇔ 1 ≤ a b + Với số thực dương a, b, c, d bất kì, ta có: - Nếu a a a+c 1 b a c < b d a a+c > b b+c a a+c c < < b b+d d Lưu ý: Trước áp dụng bất đẳng thức tỉ số ta phải chứng minh Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a b c + + nên a + b + c > a + b > ⇒ a a < a+b+c a+b b b c c < < Tương tự a + b + c b + c a + b + c c + a Cộng vế với vế ba bất đẳng thức chiều ta a b c a +b+c + + > =1 a +b b+c c+a a +b+c x x x+k ⇒ Tương tự b b < a+b+c+d b+c+d ; a a < a+b+c+d a+b+c c c d d < ; < a +b +c +d c +d +a a +b +c +d d +a +b Cộng vế với vế ba bất đẳng thức chiều ta a b c d a +b+c+d + + + > =1 a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c+d x x x+k 2⇒ < a b Từ 1 a+b + 0, a2 + a3 + a4 > 0; ; a11 + a12 + a13 > 0; a15 + a16 + a17 > 0; a18 + a19 + a20 > ⇒ a14 < Cũng vậy: ( a1 + a2 + a3 ) + + ( a10 + a11 + a12 ) + a13 + a14 + ( a15 + a16 + a17 ) + ( a18 + a19 + a20 ) < ⇒ a13 + a14 < Mặt khác, a12 + a13 + a14 > ⇒ a12 > Từ điều kiện a1 > 0; a12 > 0; a14 < ⇒ a1.a14 + a14 a12 < a1a12 (dfcm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 312 Website:tailieumontoan.com Bài 12: Tìm giá trị nhỏ P = x + x +1 Hướng dẫn giải Ta có: x ≥ 0; x ≥ ⇒ x + x ≥ ⇒ P = x + x + ≥ x = 0(tmdk ) "=" Pmin = ⇔ x = Dấu xảy Vậy Bài 13: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c + + >1 b+ c c+ a a+ b Hướng dẫn giải Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có 0< a < 1⇒ b+ c a a > b+ c b+ c Vì a số dương nên theo tính chất tỉ số ta a a > b+ c a+ b+ c Do ta có Chứng minh tương tự ta b b > ; c+ a a+ b+ c Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta Vậy toán chứng minh Liên hệ tài 039.373.2038 a a > b+ c a+ b+ c liệu word toán zalo: c c > a+ b a+ b+ c a + b+ c b c + >1 c+ a a+ b TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... 2012.2 011 2012 + + + = = < 2⇒ A < 2 2 011 2 011 2 011 2 0112 2 0112 Mặt khác: 2012 2012 > 2 011 + 2 0112 + 2 011 , 2012 2012 = 2 011 + 2 0112 + 2 011 , Tương tự vậy: A> 2012 2012 2012 2012.2 011 2012.2 011 +... 2012 2012.2 011 2012.2 011 + + + = = =1 2 2 2 011 + 2 011 2 011 + 2 011 2 011 + 2 011 2 011 + 2 011 2 011( 2 011+ 1) 1 1 + + + + + > 10 99 100 Bài 13: Chứng minh: Hướng dẫn giải 1 1 1 1 > ; > ; > ; ; >... + = = 110 110 110 110 110 11 Ta có 101 102 1 1 1 10 + + + > + + + = = 111 112 120 120 120 120 120 12 1 1 1 10 + + + > + + + = = 121 122 130 130 130 130 130 13 S> 1 431 429 + + = > = 11 12