Hsg t7 cđ4 chứng minh bất đẳng thức và tìm gtln, gtnn

CHUYÊN ĐỀ 4- CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN ĐS7 CHUYÊN ĐỀ - CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT I Số thực dương, số thực âm:  Nếu x số thực dương, ta ký hiệu x   Nếu x số thực âm, ta ký hiệu x   Nếu x số thực dương x 0 , ta nói x số thực không âm, ký hiệu x 0 Nếu x số thực âm x 0 , ta nói x số thực không dương, ký hiệu  x 0 Chú ý:  Phủ định mệnh đề " a  0" mệnh đề " a 0 "  Phủ định mệnh đề " a  0" mệnh đề " a 0 " II Khái niệm bất đẳng thức: Định nghĩa 1: Số thực a gọi lớn số thực b , ký hiệu a  b a  b số dương, tức a  b  Khi ta ký hiệu b  a Ta có: a  b  a  b  Nếu a  b a b , ta viết a b Ta có: a b  a - b 0 Định nghĩa 2: Giả sử A, B hai biểu thức số Mệnh đề: " A lớn B ", ký hiệu: A  B " A nhỏ B ", ký hiệu: A  B " A lớn hay B ", ký hiệu A B " A nhỏ hay B ", ký hiệu A B gọi bất đẳng thức Quy ước :   Khi nói bất đẳng thức mà khơng rõ ta hiểu bất đẳng thức Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức III Các tính chất bất đẳng thức : a  b  a c  b  c  Tính chất 1: Tính chất 2: a  b  a  c  b  c Hệ 1: a  b  a  c  b  c Hệ 2: a  c  b  a  b  c TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4- CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN a  b  ac  bd  c  d  Tính chất 3: ac  bc neáu c > ab  ac  bc c < Tính chất 4: Hệ 3: a  b   a   b a b  c  c neáu c > ab   a  b neáu c <  c c Hệ 4: a  b   ac  bd  c  d   Tính chất 5: Tính chất 6: ab0 0 1  a b * n n Tính chất 7: a  b  0, n  N  a  b * Tính chất 8: a  b  0, n  N  n a n b 2 Hệ 5: Nếu a b hai số dương : a  b  a  b 2 Nếu a b hai số khơng âm : a b  a b IV Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối :  x neáu x  x   x neáu x < Định nghĩa: Tính chất: x 0 ,  x  R x  x , x  x , -x  x Với a, b  R ta có:     ab a  b a b a  b a  b  a  b  a.b 0 a  b  a  b  a.b 0 V Bất đẳng thức tam giác: Nếu a, b, c ba cạnh tam giác thì:  a  0, b  0, c  b c  a  bc  TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4- CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN   c a  b ca a b c ab     a b c  A  B C PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI TẬP A BẤT ĐẲNG THỨC Dạng 1: Tổng phân số tự nhiên I.Phương pháp giải Với tổng phân số tự nhiên, với chương trình lớp  ta nên cho học sinh làm theo cách nhóm đầu cuối so sánh nhóm với nhau, để tạo ngoặc có tử, so sánh bình thường II.Bài tốn 1 1 1 1        Bài 1: Chứng minh rằng: 16 36 64 100 144 196 Lời giải 1 1 1        Ta có 16 36 64 100 144 196  1 1     2 14  11 1     2  2 1  11 1        6.7   1.2 2.3    1 1 1 1           4 2 7 1 1 1  2     4  28 1 1 1 1        Vậy 16 36 64 100 144 196 1 1 1 1        Bài 2: Chứng minh rằng: 13 25 41 61 85 113 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4- CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN Lời giải 1 1 1        13 25 41 61 85 113 Ta có 1 1 1 1 1            12 12 12 60 60 60 20 1 1 1 1        Vậy 13 25 41 61 85 113 11 1 1        59 60 Bài 3: Chứng minh rằng: 15 21 22 23 Lời giải 1 1      59 60 Ta có 21 22 23  1 1      59 60 Ta có 21 22 23  20 1    20 20   20  40 sè h¹ng = 40  20 1 1 1         40 40 40 60 60 60               20 sè h¹ng 20 sè h¹ng 1 1 25 22 11  20       40 60 30 30 15 11 1 1        59 60 Vậy 15 21 22 23 1 1       79 80 12 Bài 4: Chứng minh rằng: 41 42 43 Lời giải Nhóm thành hai ngoặc: Khi ta có  1 1   1 1  VT              60   61 62 63 80   41 42 43      1   1  20 20 1  VT                  60 60 60 80 80 80 60 80 12                   20 sè h¹ng 20 sè h¹ng     Bài 5: So sánh A B biết : A 2010 2011 2012 1 1   B      2011 2012 2010 17 Lời giải   1        1  A    1   1 3           3 2011   2012   2010    2010 2011   2010 2012  TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4- CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN Tổng B có 15 số 1 1 1 1  1  5 67 72 B                    3 7  12   13 17  10 24 24 3 Vậy A  B 1 1 M      17 Chứng minh rằng: M  Bài 6: Cho Lời giải Tổng M có 13 số 1 1 1 1 1      1     1 17 Ta có: 10 11 1 1 M        2 17 Vậy 3 3 S     10 11 12 13 14 Chứng minh rằng:  S  Bài 7: Cho Lời giải 3 3 3 3 3 15 S            1  S  10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 15 Ta có 3 3 3 3 3 15 S            1,5   S  10 11 12 13 14 10 10 10 10 10 10 Ta có Vậy  S  Bài 8: Cho S 5 5     20 21 22 49 Chứng minh rằng: < S < Lời giải Tổng có 30 số hạng: Ta có: Ta có S 5 5    30 3  S  50 50 50 50 S 5 5     30  S  20 20 20 20 20 Vậy < S < 1 1 A      A 101 102 103 200 Bài 9: Chứng minh rằng: Lời giải TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4- CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN Ta thấy tổng A có 100 số, ta nhóm thành 50 ngoặc, ngoặc có hai phân số, gồm phân số đứng đầu phân số đứng cuối, dồn sâu vào tổng   1     A             101   200   102   199     150   151  50 ngc 301 301 301     101.200     102.199      150.151    50 sè h¹ng    1  301     101.200 102.199                150.151 50 sè h¹ng  , Lúc ta so sánh tất với chung phân số đầu cuối, TH1: Ta chứng minh A ta có: 1   A  301      150.151   150.151 150.151 301 50 301 300 300     150.151 453 453 480  1 TH2: Ta chứng minh A ta có: 1   A  301      101.200   101.200 101.200 301  1 Từ 50 301 303    101.200 404 404  2  2  A  1 1      200 Bài 10: Chứng minh rằng: 12 101 102 103 Lời giải 1 1 A     101 102 103 200 Đặt Ta thấy tổng A có 100 số, ta nhóm thành 50 ngoặc, ngoặc có hai phân số, gốm phân số đứng đầu phân số đứng cuối, dồn sâu vào tổng TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4- CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN   1     301 301 301 A                101   200   102   199     150   151    101.200     102.199      150.151    50 ngoặc 50 số hạng 1  A 301     101.200 102.199                150.151 50 sè h¹ng  , 1   A  301      150.151   150.151 150.151 301 50 301 300 300     150.151 453 453 480 15 14    Mà 24 24 12  1 Từ  1  2 1 1    12  101  102  103   200 1 1 A       A 11 12 13 70 Chứng minh rằng: Bài 11: Cho Lời giải Thấy tổng A có 60 số hạng TH1: Ta chứng minh A cách nhóm hai số ngoặc thơng thường 81 81 81 1   1   1 A                  11  70   12  69    40    12.69      40.41    41   11.70 Ta cú: A 30 số hạng 30 ngoặc 81 81 81 81.30 243 240 240         40.41 40.41 40.41 40.41 164 164 180 TH2: Tuy nhiên để chứng minh minh A , làm khơng chứng Lý do: việc chứng minh nhỏ mà so sánh lớn lượng dư thừa, dẫn đến tổng A lớn , để giảm bớt lượng dư, tùy vào tốn, nên nhóm thành ngoặc TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4- CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN   1  1   1 1 1  1 1 A                              20   21 30   31 40   41 50   51 60   61 70   11 1  1  1  1 1 1  1 1 A                              11   21 21   31 31   41 41   51 51   61 61   11 A 10 10 10 10 10 10 1 1       1     11 21 31 41 51 61  1 1  1           0,5  6  5= =  A Vậy Bài 12: Cho S 1 1     S  31 32 33 60 , Chứng minh rằng: 5 Lời giải Nhóm tổng S thành ngoặc   1  1  10 10 10  S                   40   41 50   51 60  31 41 51  31  10 10 10 1       30 40 50 5 Mặt khác: S 10 10 10 1       40 50 60 S  Vậy 1 1 1 A        98 99 , Chứng minh rằng: 0, < A < 0, Bài 13: Cho Lời giải Tách tổng A thành: 1  13 12  1 1  1 A                 0, 98 99  60 60  5  Ta có 1 1 1 A         6 Ta có  1 1   1  0,                 10   97 98  99 Vậy 0, < A < 0, 1      4006 Bài 14: Chứng minh rằng: 2004 2005 Lời giải TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4- CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN Thấy tổng A có 2003 số hạng, số hạng 3005   1     A             2004 4006   2005 4005   3004 3006  3005 TH1: 1 1   6010      3004.3006  3005  2004.4006 2005.4005 A  6010 1 6010.1001 2002 1803 1001       3004.3006 3005 3005.3005 3005 3005 3005 A  6010 TH2: 1 6012.1001 3003 3003 1001     2004.4006 3005 2004.4006 4006 4004 = 1      4006 Vậy 2004 2005 Bài 15: Cho A 1 1 31      A 51 52 53 100 , Chứng minh 40 Lời giải Tổng A có 50 số hạng    1   1 1    1  A                151  100 52 99 75 76 51.100 52.99  51                   75.76               25 sè h¹ng   25 ngc Ta có A 151.25 151 155 155 31     51.100 204 204 200 40 Mặt khác:  1 Từ Bài 16: Cho A  151  1 A  1 25 151 150 150     75.76 228 228 250  2 31  A 40 ta có 1 1     21 22 23 80 , Chứng minh rằng: < A < Lời giải Tổng A có 60 số hạng:  1  1  1 A             51   21   80    22   79     50    30 ngc    1  A 101     21.80 22.79          50.51     101 30  303 101  112 2  30 sè h¹ng   21.80 168 56 56 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4- CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN Mặt khác: A  101 30 303  1 50.51 255 Vậy < A < 15 2499 A       48 16 2500 Bài 17: Chứng minh rằng: Lời giải Nhận thấy mẫu tổng A bình phương cảu số tự nhiên liên tiếp, tử số mẫu số nên ta tách A sau:    1  1   1 A             49        50   4  9  2500  2   1 B         B    A 49  B  49  48 50  2 Mà 15 2499 A       48 16 2500 Vậy 1 1 2016 A 1      2016  1 Bài 18: Chứng minh rằng: Lời giải n Nhận thấy tổng A có phân số cuối có dạng , nên muốn Chứng minh tổng A lớn n số ta nhóm cho phân số có dạng cuối ngoặc :  1  1 1   A 1               2005   2006   2006  4  8   1 Ta có :  1 1 1 1   A                2006   2006   2  2 2   22006 2 1 1 A    2  22   22005 2006  2006 2 2 1 1 1 2016   2016 A       2006 1  2016  2016     2016   2 2 2 2   1 1 2016 A 1      2016  1 Vậy 1 1 A 1      100  , chứng minh 50 < A