SKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trị
Tìm GTLN, GTNN phơng pháp miền giá trị Phần I đặt vấn đề Mục đích việc giảng dạy toán trờng THPT dạy cho học sinh kiến thức toán, cách giải tập, rèn luyện kĩ giải toán, từ giúp cho học sinh khai thác hoạt động tiềm ẩn nội dung môn toán hình thành t lôgic, sáng tạo cho học sinh Vì vậy, ngời giáo viên cần dạy cho học sinh kĩ giải tập; từ yêu cầu đặt ngời giáo viên phải dạy cho học sinh phơng pháp tiếp cận giải dạng toán nh Chơng trình toán phổ thông có nhiều dạng toán, phong phú nội dung nh hình thức, có nhiều dạng toán khó nh chứng minh bất đẳng thức, biện luận số nghiệm phơng trình, bất phơng trình, dạng toán Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nằm số Bài toán tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ hàm số hay biểu thức toán đợc quan tâm nhiều kì thi học sinh giỏi tỉnh, quốc gia; đồng thời toán thờng xuyên xuất đề thi đại học, cao đẳng năm gần đây.Chính thế, việc dạy cho học sinh nắm bắt phơng pháp rèn luyện tốt kĩ giải toán cần thiết Mặt khác, thông qua việc giải toán giúp cho học sinh phát triển đợc t lôgic, sáng tạo, khả suy luận,phán đoán Điều giúp học sinh học tốt môn toán giải vấn đề sống cách linh hoạt có hiệu Bài toán tìm giá trị lớn nhất(GTLN) giá trị nhỏ nhất(GTNN) cđa mét hµm sè hay mét biĨu thøc cã néi dung phong phú, đa dạng hình thức,nhiều mức độ nhiều phơng pháp giải khác Trong phạm vi nhỏ, tài liệu trình bày phơng pháp Phơng pháp miền giá trị tìm GTLN,GTNN phơng pháp hữu ích giúp học sinh giải loại toán cách rõ ràng, mạch lạc có hiệu Tài liệu trình bày phơng pháp thông qua ví dụ học sinh dễ nắm bắt; phần tập đề nghị giúp học sinh củng cố phơng pháp rèn luyện kĩ giải loại toán phơng pháp Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo Trang Tìm GTLN, GTNN phơng pháp miền giá trị PhÇn II Néi dung I Bỉ sung kiÕn thøc Định nghĩa GTLN,GTNN Cho hàm số y = f(x) xác định D Khi đó: M f (x),∀x∈ D + M lµ GTLN cđa hµm sè f(x) trªn D nÕu ∃x0 ∈ D : f (x0 ) = M m≤ f (x),∀x∈ D + m lµ GTNN hàm số f(x) D x0 ∈ D : f (x0 ) = m • Cho biĨu thøc P = F(x,y) víi x∈ D ⊂ ¡ ; y∈ D' ⊂ ¡ Khi ®ã: M ≥ F(x,y),∀x∈ D,∀y∈ D' + M lµ GTLN cđa P nÕu ∃ (x0 ; y0 ): x0 ∈ D,∀y0 ∈ D' : F(x0 ; y0 ) = M m≤ F(x,y),∀x∈ D,∀y∈ D' + m lµ GTNN cđa P nÕu ∃ (x0 ; y0 ): x0 ∈ D,∀y0 ∈ D' : F(x0 ; y0 ) = m *Chó ý: Với biểu thức nhiều biến ta định nghĩa tơng tự Định nghĩa miền giá trị(tập giá trị) hàm số Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D Tập hợp f (D) = { y Ă / y = f (x),x D} đợc gọi miền giá trị (tập giá trị) f(x) Cho biĨu thøc P = F(x,y) víi x∈ D,∀y∈ D' TËp hỵp { P ∈ ¡ / P = F(x,y),x∈ D,y D'} đợc gọi miền giá trị (tập giá trị) P II Phơng pháp miền giá trị tìm GTLN,GTNN 1.Phơng pháp miền giá trị Để tìm GTLN,GTNN hàm số y=f(x) D; ta thực bớc sau: Bớc1: Gọi T tập giá trị(TGT) hàm số y = f(x).Khi đó, yo T phơng trình yo = f(x) (*) có nghiệm D Bớc 2: Tìm điều kiện có nghiệm PT(*) cách đa dạng: f (x) = M + y0 ≤ M,∀x∈ D ⇒ Max D Gv: Ph¹m Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo Trang Tìm GTLN, GTNN phơng pháp miền giá trị + y0 ≥ m,∀x∈ D ⇒ mDin f (x) = m + m≤ y0 ≤ M,∀x∈ D ⇒ Max f (x) = M; Min f (x) = m D D • Chó ý: + PT ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) cã nghiÖm ⇔ ∆ ≥ + PT asinx + bcosx = c(a2 + b2 ≠ 0) cã nghiÖm ⇔ a2 + b2 ≥ c2 Mét số ví dụ minh hoạ Vídụ 1: Tì m GTLN,GTNN cđa hµm sè y = − x2 + x + Giải: Hàm số có tập xácđịnh Ă ; gọi T tập giá trịcủa hàm số Khi ® ã, y0 ∈ T ⇔ pt − x2 + x + = y0 cã nghiƯm trªn ¡ ⇔ ∆ ≥ ⇔ 49 − 4(y0 − 3) ≥ ⇔ y0 ≤ VËy : Max y = ¡ 61 ⇔ x= ; 61 Miny không tồn Ă x2 + x x2 x + Giải: Tập xácđ ịnh : Ă ; Gọi T tập giá trịcủa hàm số Ta có: Vídụ 2: Tì m GTLN,GTNN hµm sè y = x2 + x − y0 ∈ T ⇔ pt = y0 cã nghiÖm trªn ¡ x − x+1 ⇔ (y0 − 2)x2 − (y0 + 1)x + y0 + = (2*) cã nghiƯm trªn ¡ *NÕu y0 = ⇒ (2*) cã nghiÖm x = *NÕu y0 ≠ 2: (2*) cã nghiÖm⇔ ∆ ≥ ⇔ −3(y0 − y0 − 3) ≥ ⇔ −1 ≤ y0 ≤ Vậy : Max y = đ ạt x = 2; Ă Miny = đ ạt x = Ă Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo Trang Tìm GTLN, GTNN phơng pháp miền giá trị Vídụ 3: Tì m GTLN,GTNN cđa hµm sè y = sinx − cosx + Giải: Gọi y0 giá trịbất kìcủa hàm số Khi đó, pt sinx cosx + = y0 cã nghiƯm trªn ¡ ⇔ 32 + (−4)2 ≥ (y0 − 5)2 ⇔ ≤ y0 ≤ 10 π + acr cos ); ¡ Miny = (chẳ ng hạn x = − + acr cos ) ¡ Vídụ 4: Tì m GTLN,GTNN hàm số y = sin x+3cos2 x + sinxcosx Gi¶i: TËp xác định hàm số Ă cos2 x + cos2 x Ta cã: y = 2( ) + 3( ) + sin2 x = sin2 x + cos2 x + 2 2 Gọi T tập giá trịcủa hµm sè Ta cã: y0 ∈ T ⇔ pt sin2 x + cos2 x + = y0 cã nghiƯm trªn ¡ 2 5 − 17 + 17 ⇔ 22 + ( )2 ≥ (y0 − )2 ⇔ ≤ y0 ≤ 2 2 + 17 − 17 VËy : Max y = ; Miny = ¡ ¡ 2 sinx − cosx + VÝdơ 5: T× m GTLN,GTNN cđa hµm sè y = sinx + cosx + Giải: TXĐ : Ă Gọi T tập giá trị hàm số Ta có: sinx cosx + PT = y0 cã nghiƯm trªn ¡ sinx + cosx + ⇔ (y0 − 1)sinx+(y0 + 1)cosx = − y0 cã nghiƯm trªn ¡ VËy : Max y = 10 (chẳ ng hạn x = ⇔ (y0 − 1)2 + (y0 + 1)2 ≥ (1 − y0 )2 2− 2+ ≤ y0 ≤ 2 2− Miny = ¡ ⇔ y0 − y0 − ≤ ⇔ VËy : Max y = ¡ 2+ ; Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo Trang Tìm GTLN, GTNN phơng pháp miền giá trị Vídụ 6: Tì m tất giá trịcủa tham số a cho acos x + a − < 1, ∀x∈ ¡ s inx + cos x + Giải: * Hàm số y = acos x + a − cã TX§ Ă ;gọi T tập giá trị s inx + cos x + Ta cã: acos x + a − = y0 cã nghiƯm trªn ¡ s inx + cos x + ⇔ y0 s inx+(y0 − a)cos x = a − − 3y0 cã nghiƯm trªn ¡ y0 ∈ T ⇔ PT ⇔ y0 + ( y0 − a) ≥ ( a 3y0 ) Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo Trang Tìm GTLN, GTNN phơng pháp miền giá trị 2a − 4a2 + 2a + 2a − + 4a2 + 2a + ≤ y0 ≤ 7 2a − + 4a2 + 2a + * Ta cã : y < 1, ∀x∈ ¡ ⇔ Max y < ⇔ ⇔ ⇔ a< 4a + 2a + < (10 − 2a) KÕt luËn: a< cos x + sin xcos x VÝdô7: Chøng minh r»ng: < − , ∀x∈ ¡ + s in2 x Gi¶i: cos x + sin xcos x sin x + cos2 x + = có TXĐ Ă ; + s in2 x − cos2 x Gọi T tập giá trịcủa Ta có: sin x + cos2 x + y0 ∈ T ⇔ PT = y0 cã nghiƯm trªn ¡ − cos2 x ⇔ s in2x+(y0 + 1)cos x = 3y0 có nghiệm Ă * Hàm số y = ⇔ 12 + ( y0 + 1) ≥ (3y0 − 1) 2− 2+ 2− ≤ y0 ≤ ⇒ Miny = (7*) ¡ 4 1 * Mặ t khác : y > − , ∀x∈ ¡ ⇔ Miny > − (7**) ¡ 4 Từ (7*) (7**) suy đ iều chứngmin h Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo Trang Tìm GTLN, GTNN phơng pháp miền giá trị Bài tập đề nghị 1) Tì m GTLN,GTNN hàm số : x2 + x + a) y = x2 + x2 − x + b) y = x − 2x + kx + ≤ 3, ∀x∉ ¡ x2 + x + 3)Tì m giá trịcủa a đ ểgiá trịlớ n biểu thức: + asinx đ ạt giá trịnhỏ + cosx 4)Cho x, y, z∈ ( 0; π ) tho· m· n x + y + z = π 2) Tì m tất giá trịcủa k cho x y z Tì m giá trịlớ n biểu thøc: f = sin sin sin 2 Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo Trang Tìm GTLN, GTNN phơng pháp miền giá trị iiI Phơng pháp tìm gtln,gtnn biểu thức hai biến số Đối với toán tìm GTLN,GTNN biểu thức biến số biến bị ràng bc bëi mét ®iỊu kiƯn cho tríc, ta cã thĨ mở rộng phơng pháp để giải toán 1.Bài toán Cho số thực x,y thoã mãn biĨu thøc G(x,y) = T×m GTLN,GTNN cđa biĨu thøc P = F(x,y) Phơng pháp giải Ta dạng toán theo phơng pháp chung gồm bớc sau Bớc 1: Gọi T miền giá trị(TGT) biểu thức P Khi đó: G( x, y) = m∈ T ⇔ (*) cã nghiÖm (x,y) thoả mãn điều F ( x, y) = m kiện Bớc 2: Tìm điều kiện có nghiệm cđa hƯ (*), tõ ®ã suy GTLN,GTNN cđa P Một số ví dụ minh hoạ Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo Trang Tìm GTLN, GTNN phơng pháp miền giá trị Vídụ 8: Cho số thực x,y thoã mã n điều kiện x2 + y2 ≠ x2 − xy + y2 T× m GTLN,GTNN cđa biĨu thøc P = x + xy + y2 Ví i ®iỊu kiƯn x2 + y2 0, ta xét tr ờng hợ p sau: Gi¶i: * NÕu x = ⇒ y ≠ ⇒ P = * NÕu x ≠ § Ỉ t y = tx; ta cã : x2 − x2 t + x2 t2 − t + t2 = x2 + x2 t + x2 t2 + t + t2 − t + t2 Hµm số y = có tập xácđịnh : Ă ; Gọi T tập giá trịcủa hàm số Ta có: + t + t2 − t + t2 y0 ∈ T ⇔ pt = y0 cã nghiƯm trªn ¡ + t + t2 ⇔ (y0 − 1)t2 + (y0 + 1)t + y0 − = cã nghiƯm trªn ¡ P= ⇔ ∆ ≥ ⇔ (y0 + 1)2 − 4(y0 − 1)2 ≥ ⇔ ≤ y0 ≤ 3 VËy : Max P = 3; x,y∈¡ MinP = x,y∈¡ Gv: Ph¹m Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo Trang Tìm GTLN, GTNN phơng pháp miền giá trị Vídụ 9: Cho số thực x,y thoã mã n điều kiÖn x2 + y2 = 2(xy + y2 ) xy + x2 + Gäi P0 lµ giá trịthuộc tập giá trịcủa P Khi đ ó hƯsau cã nghiƯm: T× m GTLN,GTNN cđa biĨu thøc P = Gi¶i: x2 + y2 = x2 + y2 = ⇔ 2(xy + y2 ) 2(xy + y2 ) xy + x2 + = P0 xy + 3x2 + y2 = P0 (9*) * NÕu x = ⇒ y =1⇒ P0 = * Nếu x Đ ặ t y = tx; ta cã : 2(x2 t + x2 t2 ) 2t + 2t2 P0 = = (9**) x t + x2 + x2 t2 2t + + t2 2t + 2t2 Ta cã : pt = P0 cã nghiƯm trªn ¡ 2t + + t2 ⇔ (P0 − 2)t2 + 2(P0 − 1)t + 3P0 = cã nghiƯm trªn ¡ ⇔ ∆ ' ≥ (Do P0 ≠ 2) ⇔ −2P0 + P0 + ≥ 2− 2+ ≤ y0 ≤ 2 2+ 2− VËy : Max P = ; MinP = 2 ⇔ VÝdô 10: Cho sè thùc x,y thay ®ỉi tho· m· n ® iỊu kiƯn (x+y)xy = x2 + y2 − xy 1 T× m GTLN cđa biĨu thøc Q = + x y Gi¶i: Gọi T tập giá trịcủa Q Khi đó, (x+y)xy = x2 + y2 − xy m∈ T ⇔ (*) cã nghiÖm x ≠ 0,y ≠ x3 + y3 = m (x+y)xy = x2 + y2 − xy (x+y)xy = x2 + y2 − xy Ta cã: (*) ⇔ (x + y)(x2 + y2 − xy) ⇔ (x + y)2 xy =m =m 3 (xy) (xy) Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo Trang 10 Tìm GTLN, GTNN phơng pháp miền giá trị (x+y)xy = (x + y)2 3xy ⇔ (x + y)2 (xy)2 = m SP = S2 − 3P S = x + y Đặ t (S P), ta cã hÖ S (**) P = xy ( ) = m P HÖ(*) cã nghiÖm x ≠ 0,y ≠ ⇔ hƯ(**) cã nghiƯm (S,P) ví i S2 ≥ 4P Ta cã SP > ví i x ≠ 0,y ≠ nªn suy ra: +m≤ ⇒ (*) v« nghiƯm S = m⇒ S = m.P Thay vào hệ(**) ta đợ c: P 3 P= ; S= ví i m≠ 1(m> 0) m( m − 1) m− +m> ⇒ Trong tr êng hợ p hệ(**) có nghiệm (S,P) thoã mã n S2 ≥ 4P) vµ chØkhi 12 ( )2 ≥ ⇔ m≥ 4( m − 1) ⇔ m≤ ⇔ < m≤ 16 (m≠ 1) m− m( m 1) Tóm lại giá trịcủa m ® ĨhƯ(*) cã nghiƯm x ≠ 0,y ≠ lµ: < m≤ 16 ,m≠ 2+ VÝdơ 11: Cho sè thùc x,y thay ® ỉi tho· m· n ®iỊu kiƯn x − x + = y + − y MaxQ = T× m GTLN cđa biĨu thøc Q = x + y Giải: Đ iều kiện: x 1; y Gọi T tập giá trịcủa Q Khi đ ó, m∈ T ⇔ hÖsau cã nghiÖm : x − x + = y + − y 3( x + + y + ) = m ⇔ (*) x + y = m x + y = m Đặ t u = x + ; v = y + thìu,v hệ(*) thành : m u + v = 3(u + v) = m ⇔ 2 u + v = m+ uv = ( m − m− 3) Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo Trang 11 Tìm GTLN, GTNN phơng pháp miền giá trị u,v nghiệm ph ¬ng tr× nh : m m2 t − t + ( − m− 3) = ⇔ 18t2 − 6mt + m2 − 9m− 27 = (**) Từ đó, hệ(*) có nghiệm (x,y) thoả mã n x ≥ −1; y ≥ −2 ⇔ (**) cã nghiệm không â m ' = 9(m2 − 18m− 54) ≥ m + 21 ⇔ S = ≥ ⇔ ≤ m≤ + 15 m2 − 9m− 27 ≥0 P = 18 + 21 VÝdô 12: Cho sè thùc x,y thay ® ỉi tho· m· n ® iỊu kiƯn x2 + y2 = 2(x + y) + VËy: maxQ = + 15; minQ = T× m GTLN cđa biĨu thøc Q = x(x − 2) + y(y 2) Giải: Đ iều kiện: x,y Ă Gọi T tập giá trịcủa Q m T ⇔ hÖsau cã nghiÖm x2 + y2 = 2(x + y) + 3 x(x − 2) + y(y 2) = m (*) Đặ t u = x(x − 2) ; v = y(y − 2) ⇒ x2 − x − u3 = PT nµy cã nghiƯm ⇔ ∆' ≥ ⇔ + u3 ≥ ⇔ (1 + u)(1 − u + u2 ) ≥ ⇔ u ≥ −1 T ơng tự : v Từ đ ó ta cã hÖ: u3 + v3 = (u + v)[(u + v)2 − 3uv] = m(m2 − 3uv) = ⇔ ⇔ u + v = m u + v = m u + v = m m − m3 + 3m2 + 3m− m = m − (do m≠ 0) (u + 1)(v + 1) = ⇔ uv = ⇔ (**) 3m 3 m u + + v + = m+ u + v = m Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo Trang 12 Tìm GTLN, GTNN phơng pháp miền giá trị m3 + 3m2 + 3m ⇒ u + 1,v + lµ nghiƯm pt t − (m+ 2)t + = (***) 3m HÖ(*) cã nghiƯm (x,y) ⇔ hƯ(**) cã nghiƯm (u,v) ví i u,v ≥ −1 ⇔ pt (***) cã nghiÖm t ≥ 4(m3 + 3m2 + 3m− 7) ≥0 (m+ 2) − ∆ ≥ 3m 28 ⇔ S ≥ ⇔ m+ ≥ ⇔ m∈ [ −2; ) ∪ 1; P ≥ m3 + 3m2 + 3m− ≥0 3m VËy: maxQ = 28 ; minQ = −2 4.Bài tập đề nghị 1) Cho số thực x,y thay ®ỉi cho x2 − xy + 3y2 = T×m GTLN,GTNN cđa biĨu thøc A = x2 + xy − y2 2) Cho sè thùc x,y tho· m·n x2 + y2 = T×m GTLN,GTNN cđa biĨu thøc: 2( x2 + xy) B= + xy + y2 3) Cho số thực không âm x,y thoã mãn x + y= T×m GTLN,GTNN cđa biĨu thøc: C = x + + y + 4) Cho sè thùc x,y tho· m·n x2 + y2 = T×m GTLN,GTNN cđa biĨu thøc: D = 2( x3 + y3 ) 3xy Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo Trang 13 Tìm GTLN, GTNN phơng pháp miền giá trị Phần III kết thực nghiệm Trong trình giảng dạy, nhiều lần kiểm chứng kết sau truyền đạt cho học sinh phơng pháp Trong lần kiểm tra vào học kì năm học 2008-2009 thực nh sau: Đối tợng khảo sát: - lớp: 11B1, 11B2 - Líp thùc nghiƯm : 11B2 - Líp đối chứng: 11B1 Tiến hành: -Giáo viên dạy lớp 11B2 theo phơng pháp để tìm GTLN,GTNN , lớp 11B1 giáo viên truyền đạt theo phơng pháp sách giáo khoa -Kiểm tra 15 phút -Nội dung: Yêu cầu hs tìm GTLN,GTNN hai hàm số: a) sư dơng ®iỊu kiƯn cã nghiƯm cđa pt asin x + bcos x = c b) Sư dơng ®iỊu kiện có nghiệm phơng trình bậc Kết quả: Kết khảo sát cho bảng phân bố tần số,tần suất nh sau: Điểm số 10 §Tb Céng Líp 11B1 TÇn TÇn sè st(%) 2,17 6,52 2,17 15,22 17,39 10 21,74 19,57 10,87 4,35 0,00 0,00 4,63 46 100% Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo Lớp 11B2 Tần Tần số suất(%) 0,00 0,00 2,27 11,36 9,09 20,45 11 25,00 15,91 11,36 4,55 0,00 5,46 44 100% Trang 14 Tìm GTLN, GTNN phơng pháp miền giá trị Nhận xét: - Năng lực học tËp cđa häc sinh líp 11B1 tèt h¬n líp 11B2 - Học sinh bị điểm dới 5, điểm 0,1 lớp 11B1 nhiều lớp 11B2 - Điểm Tb lớp 11B1 thấp lớp 11B2 -Số lợng điểm giỏi 11B2 nhiều lớp 11B1 Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo Trang 15 Tìm GTLN, GTNN phơng pháp miền giá trị Phần IV kết luận Việc tìm lời giải toán vấn đề khó; đặc biệt toán tìm GTLN,GTNN lại khó Đối với học sinh để giải toán tìm GTLN,GTNN em thờng lúng túng, vụng về, trình bày thiếu chặt chẽ , thiếu lôgic em cha đợc trang bị đầy đủ phơng pháp để giải loại toán Thực tế chơng trình toán phổ thông loại toán đợc trình bày rãi rác chơng trình khối lớp với nhiều phơng pháp khác nên học sinh thờng không nắm dễ quên Việc giáo viên cung cấp, hệ thống cho học sinh đầy đủ phơng pháp rèn luyện kĩ tìm GTLN,GTNN cần thiết Điều giúp học sinh phát triển t giải tốt toán ứng dụng thực tế chơng trình toán phổ thông Tìm GTLN,GTNN phơng pháp miền giá trị phơng pháp có hiệu tốt học sinh Qua thực tế cho thấy, sau nắm bắt rèn luyện kỹ theo phơng pháp học sinh có cách nhìn hớng giải tốt toán loại đề thi học kì,đề thi học sinh giỏi, đề thi đại học, cao đẳng Mặt khác, nắm phơng pháp học sinh biết mối liện hệ chặt chẽ toán tìm GTLN,GTNN với toán chứng minh bất đẳng thức, toán cực trị từ em có cách nhìn khái quát vận dụng đợc phơng pháp giải tốt Trên số kinh nghiệm nhỏ thân trình giảng dạy cách giải toán tìm GTLN, GTNN phơng pháp miền giá trị Mặc dù cố gắng nhng không tr¸nh khái khiÕm khuyÕt, sai sãt RÊt mong sù gãp ý, giúp đỡ thầy cô giáo đồng nghiệp để phơng pháp đợc hoàn thiện phơng pháp tìm GTLN,GTNN khác đợc học sinh tiếp nhận sử dụng mang lại hiệu tốt - *** - Ngêi thùc hiÖn Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo Trang 16 Tìm GTLN, GTNN phơng pháp miền giá trị Phạm Văn Hng Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo Trang 17 ... gọi miền giá trị (tập giá trị) f(x) Cho biểu thøc P = F(x,y) víi x∈ D,∀y∈ D' TËp hỵp { P ∈ ¡ / P = F(x,y),x∈ D,y∈ D'} đợc gọi miền giá trị (tập giá trị) P II Phơng pháp miền giá trị tìm GTLN ,GTNN. .. Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo Trang Tìm GTLN, GTNN phơng pháp miền giá trị iiI Phơng pháp tìm gtln ,gtnn biểu thức hai biến số Đối với toán tìm GTLN ,GTNN biểu thức biến số biến bị ràng buộc... Đạo Trang 15 Tìm GTLN, GTNN phơng pháp miền giá trị Phần IV kết luận Việc tìm lời giải toán vấn đề khó; đặc biệt toán tìm GTLN ,GTNN lại khó Đối với học sinh để giải toán tìm GTLN ,GTNN em thờng