PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ A/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ : 1/ Lý do chọn đề tài : Trong chương trình Đại số lớp 7, 8, 9 dạng toán Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhấtcủa một biểu thứ
Trang 1
PHẦN I:
ĐẶT VẤN ĐỀ
A/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ :
1/ Lý do chọn đề tài :
Trong chương trình Đại số lớp 7, 8, 9 dạng toán Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhấtcủa một biểu thức là một nội dung của chương trình toán, được áp dụng nhiều vào giảicác bài tập Dạng toán này cũng là một công cụ hữu ích cho học sinh trong quá trìnhluyện tập như : Chứng minh các biểu thức luôn âm, luôn dương, chứng minh phươngtrình vô nghiệm … không những vận dụng giải các bài toán ở chương trình THCS màcòn vận dụng giải các bài tập của các lớp sau này
Bản thân tôi là giáo viên giảng dạy môn Toán, qua một số năm dạy tôi thấy họcsinh sau khi học vẫn còn lúng túng khi tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất và thường mắcphải những sai sót khi làm bài tập
Để giúp học sinh tự học, học thêm ở nhà tránh những sai sót và định hướng đượcmột số cách giải khi gặp các bài toán phải dùng đến tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất dođó tôi chọn viết đề tài: “Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất” để dạy cho học sinh
Đề tài gồm 3 phần: Phần I là Đặt vấn đề, Phần II là Giải quyết vấn đề Phần IIIlà Kết thúc vấn đề Trong phần Giải quyết vấn đề chủ yếu là chỉ ra các dạng toán tìmgiá trị lớn nhất , nhỏ nhất trong mỗi dạng đều có phương pháp giải các ví dụ cụ thể, bàitập tự luyện và có hướng dẫn giải bài tập tự luyện Một số ví dụ nhận định, một số saisót khi làm bài tập và hướng khắc phục cho học sinh
2/ Thực trạng vấn đề:
Thực tế học sinh ở trường THCS Tiến Thành tiếp thu bài còn chậm và vận dụngkiến thức từ lý thuyết vào làm bài tập còn hạn chế Các em còn nhầm lẫn và chưathành
Trang 2thạo sử dụng những cách giải để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức, dothời lượng làm bài tập còn ít nên chưa giải được những dạng toán mở rộng, nâng cao Trong quá trình giải bài tập, đa số học sinh thường mắc các lỗi như :
•Chưa biết cách tách hạng tử, thêm bớt các hạng tử để đưa trở về dạng tổng quát
• Chưa vận dụng thành thạo cách hằng đẳng thức đáng nhớ vào làm bài tập
•Khi sử dụng phương pháp so sánh hai phân thức cùng tử chưa chú ý đến điềukiện là các mẫu đã cùng dấu hay chưa?
•Khi gặp các biểu thức là các phân thức đại số thì chưa chú ý đến tập xác địnhcủa nó
Nguyên nhân học sinh còn tồn tại các khuyết điểm trên là :
+ Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa còn ít, vì vậy học sinh chưa có thời gianđể ôn tập, làm bài tập, giải bài tập nhiều
+ Học sinh nắm kiến thức chưa tốt, chưa sâu , một số chỉ học máy móc,hiểu mộtcách đơn giản chứ chưa nắm vững kiến thức nên gặp nhiều khó khăn trong quátrình làm bài tập
B/ PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:
1/ Công tác chuẩn bị dạy :
- Địa điểm : Trường THCS Tiến Thành
- Giáo trình : SGK, sách bài tập, một số tài liệu tham khảo khác như sách phát triểnToán 8 …
2/ Đối tượng học :
Học sinh lớp 8A2 học chính khóa, ôn tập cuối chương, ngoài ra dạy bồi dưỡng học sinhkhá giỏi theo chủ đề nâng cao
3/ Lập kế hoạch tổ chức thực hiện :
Ngoài thời gian dạy giờ chính khóa ở trường tôi bố trí lịch học cho học sinh khá giỏiđối với các năm học 2006 - 2007; 2007 – 2008 là vào chiều thứ 7 và chiều Chủ nhật.Riêng năm học 2008 – 2009 tôi bố trí lịch học như sau :
4/10/08 7 Chiều Tìm giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của đa thức và luyện tập
4 Trường Tiến Thành
Trang 3******************************************************************************5/10/08 CN Chiều Tìm giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của đa thứcbậc cao và luyện tập
11/10/08 7 Chiều Tìm giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của đa thức có dấu giá trị tuyệt đối và luyện tập
12/10/08 CN Chiều Tìm giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của biểu thức chứa biến dưới dấu căn và luyện tập
18/10/08
7 Chiều Tìm giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của phân thức
2 2
4
”
19/10/08 CN Chiều Tìm giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của biểu thức có quan hệ ràng buộc giữa các biến
25/10/08 7 Chiều Áp dụng giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất vào giải phương trình
Tổ chức thực hiện:
- Giáo viên dạy theo lịch
- Học sinh học tập, thực hiện theo nội quy đã quy định
Trang 4GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT
* y = M – [g(x)] 2 ( M là hằng số )
Khi đó y ≤ M Vậy GTLN của đa thức đã cho là M đạt đươc khi và chỉ khi g(x) = 0.
* y = m + [h(x)] 2 (m là hằng số )
Khi đó y ≥ m Vậy GTNN của đa thức đã cho là m đạt đươc khi và chỉ khi h(x) = 0.
Chú ý : Với tam thức bậc hai ax 2 + bx + c, khi a > 0 thì cho ta bài tốn tìm GTNN,
Trang 5Vậy GTNN của biểu thức A là -2 đạt được khi (x – 2)2 = 0 ⇔ x = 2.
• Nhận xét : Ở đây ta thấy ngay hằng đẳng thức cần áp dụng là bình phương của một hiệu với số thứ nhất là x, số thứ hai là 2 như vậy khi dạy, cần chú ý học sinh xác định được dạng của hằng đẳng thức cần áp dụng, biết cách xác định được số thứ nhất và số thứ hai trong hằng đẳng thức đó
Sau ví dụ 1 và nhận xét, giáo viên cho học sinh tiếp tục thực hiện ví dụ 2
Ví dụ2 : Tìm GTNN của biểu thức sau
32
3 2
≥+
Trang 6****************************************************************************** = 10 – (x + 3 )2
Ta có -(x + 3 )2 ≤0 nên 10 – (x + 3 )2 ≤ 10
Vậy GTLN của C bằng 10 đạt được khi x = -3
• Nhận xét : Ở ví dụ này nhiều em sẽ nhầm dấu khi áp dụng hằng đẳng thức.Hạng tử đầu tiên đã xuất hiện bình phương nhưng lại cĩ dấu trừ ở đằng trước nên để áp dụng được hằng đẳng thức chúng ta phải nhĩm các hạng tử với nhau và đặt dấu trừ ở đằng trước dấu ngoặc
Ví dụ4 : Tìm GTLN của biểu thức sau
Trang 7******************************************************************************c) C = ax2 + bx + c ( a ≠ 0)
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Các bước giải và kết qủa như sau :
−Bài 2:
−.c) C = ax2 + bx + c ( a ≠ 0)
Trang 8Tùy theo giá trị của a mà bài toán yêu cầu tìm GTNN hay GTLN
* Trường hợp đa thức gồm nhiều biến số :
x y
(a1 + a2 + + an)2 = a1 + a2 + + an + 2a1a2+ + 2an-1an + 2ana1
Trang 9****************************************************************************** = x2 + 2xy + y2 + 2x + 2x + 1 + x2 – 4x + 4 – 3
bc
4
42
2 )2 ≥ 0 ∀ x, y ∈ R
Trang 10****************************************************************************** ⇒ D ≥
ab
abe ad
bc
4
42
bc
4
42
2− +
−
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Các bước giải và kết qủa như sau :
Trang 11• Nhận xét : Ở ví dụ trên nếu chúng ta khai triển đa thức trên theo hằng đẳng thức thì
ta được đa thức bậc 4.Việc tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức bậc 4 rất phức tạp do đó ta chỉ cần đi tìm GTNN của đa thức x 2 + x + 2 như ở dạng 1.
* Tìm GTLN, GTNN đôi khi ta phải dùng cách đổi biến (đặt biến phụ) để cho việc tìm được dễ dàng hơn
Ví dụ2 : Tìm GTNN của biểu thức sau:
GTNN của A là -36 Đạt được khi t = 0 ⇔ x2 + 5x = 0 ⇔x = 0, x = -5
• Nhận xét : Ví dụ trên nếu chúng ta khai triển đa thức trên bằng cách nhân các đa thức với nhau thì ta được đa thức bậc 4.Việc tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức bậc 4 không mấy dễ dàng ,rất khó khăn do đó để giảm bớt đi bậc của nó ta tìm cách đi cách đi đổi biến.
Ví dụ3 : Tìm GTNN của biểu thức sau :
C = x4 – 6x3+ 10x2 – 6x + 19
Giải :
Ta có : C = x4 – 6x3+ 10x2 – 6x + 9 = x4 – 6x3 + 9x2 + x2 – 6x + 9 + 10
Trang 12****************************************************************************** = (x2 – 3x )2 + (x – 3)2 + 10 ≥ 10
Vậy GTNN của C bằng 10 đạt được khi x2 – 3x = 0 và x – 3 = 0 ⇔x = 3
• Nhận xét : Ví dụ 3 nếu chúng ta tìm cách đi đổi biến như ví dụ 1, 2 thì rất khó
Vậy ta tìm cách đi biến đổi để đưa về dạng tổng quát
Ví dụ4 : Tìm GTLN của biểu thức sau:
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Các bước giải và kết qủa như sau :
Trang 13****************************************************************************** = (x3 – 1 )2 + ( x – 1 )2 ≥ 0
Vaọy GTNN cuỷa A baống 0 khi x = 1
b) B = -x4 + 2x3 – 3x2 + 4x + 5
2 = - ( x4 - 2x3 + x2 ) –(2x2 – 4x + 2 ) + 9
2 = - (x2 – x)2 – 2(x – 1 )2 + 92 ≤ 9
2Vaọy GTLN cuỷa B baống 9
2 khi x = 1
TèM GIAÙ TRề LễÙN NHAÁT VAỉ NHOÛ NHAÁT CUÛA ĐA
THỨC COÙ DAÁU GIAÙ TRề TUYEÄT ẹOÁI.
Nếu max f (x) ≥ 0 còn min f (x) ≤ 0 trên [a b1; 1]
Ta có: max f (x) = max (A; a )
min f (x) = 0
Nếu f (x) < 0 ta có: max f (x) = - min f (x) trên [a b1; 1]
min f (x) = - max f (x) trên [a b1; 1]
Chứng minh:
a, Luôn đúng theo định nghĩa
b, Với mọi f (x), g (x) ta luôn có
Trang 14⇒ f (x) -g (x) ≤ f (x) - g (x)
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ f (x) g (x) ≥ 0
d, Việc chứng minh câu d là hiển nhiên
Nhận xét: Việc chứng minh câu b,c có thể bình phơng hai vế
( Xét các trờng hợp có thể xảy ra)
a/ Caực vớ duù:
Vớ duù1 : Tỡm GTNN của biểu thức sau:
A = | x – 2 | + | x – 5 |
Giaỷi : Aựp duùng baỏt ủaỳng thửực |x| + |y| ≥ | x + y | daỏu “ = ” xaỷy ra khi x y ≥ 0
Ta coự : A = | x – 2 | + | x – 5 |
= | x – 2 | + | 5 – x | ≥ | x + 2 + 5 – x| = 3
Vaọy A ≥ 3 ⇔(x + 2) (5 – x) ≥ 0
Laọp baỷng xeựt daỏu :
x 2 5
x – 2 - 0 + +
5 - x + + 0
-(x + 2) (5 – x) 0 + 0
(x + 2) (5 – x) ≥ 0⇔ 2 ≤ x ≤ 5 Vaọy GTNN cuỷa A baống 3 ⇔2 ≤ x ≤ 5 Vớ duù2 : Tỡm GTNN của biểu thức sau: B = x +1 + 2x + 5 + 3x- 18 • Nhận xét: Từ bất đẳng thức f (x) + g (x) ≥ f (x) + g (x) Ta mở rộng đợc: f (x) + g (x) + + h(x) ≥ f (x) + g (x) + + h(x) Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ f (x), g (x), , h(x) cùng dấu (Việc chứng minh đơn giản) Giải:
Ta coự : B = x +1 + 2x + 5 + 3x- 18 ⇔ B = x +1 + 2x + 5 + 18 - 3x AÙp dụng bất đẳng thức trên ta có: B ≥ x +1 + 2x + 5 + 18 - 3x = 24 = 24 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ x +1 ; 2x + 5 ; 18 - 3x cuứng daỏu x -5/2 -1 6
x + 1 - - 0 + +
2x + 5 - 0 + + +
18 – 3x + + + 0
x +1 ; 2x + 5 ; 18 - 3x cuứng daỏu ⇔ - 1 ≤ x ≤ 6
Vớ duù3 : Tỡm GTNN của biểu thức sau:
B = x - 1 + x – 3 + x – 6
Trang 15******************************************************************************Áp dụng ví dụ 1 Trước hết ta tìm GTNN của biểu thức B’ = x - 1 + x – 6
Ta có B’ = x - 1 + x – 6 = x - 1 + 6 – x≥ x – 1 + 6 – x= 5
Vậy GTNN của B’ bằng 5 khi 1 ≤ x ≤ 6
Ta có B = B’ + x – 3 mà B’ ≥ 5
x – 3 ≥ 0
Do đó GTNN của B bằng 5 khi 1 ≤ x ≤ 6
VÝ dơ 4: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc sau:
Trang 16y 6 6 -4x +2 6 -2x -6 6
Đồ thị của hàm số y = | x – 1 | + | x – 3 | - | 2x + 2 |
với -2 ≤ x ≤ 4 là đường nét liền ở hình vẽ bên
Dựa vào đồ thị ta thấy :
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Các bước giải và kết qủa như sau :
6
4 3 1
- 6 -2 O
Trang 17với -1 ≤ x ≤ 4.5 là đường nét liền ở hình vẽ bên
Dựa vào đồ thị ta thấy :
GTNN của y bằng 0⇔ 1 ≤ x ≤ 2
GTLN của y bằng 7 ⇔ x = 4,5
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA
BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC
Với dạng toán này ta cần chú ý điều kiện để cho các căn thức có nghĩa ,sau đó tìm điều kiện để biểu thức [f(x)] 2 đạt GTNN Điều kiện đó cũng chính là điều kiện để biểu thức f(x) đạt GTNN.
Trang 18****************************************************************************** = |2 – x | + | x – 1
2|Aựp duùng daùng 3 ta deó daứng tỡm ủửụùc giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa A laứ 32 ủaùt ủửụùc khi 12 ≤ x ≤2
Nhaọn xeựt :ễÛ vớ duù 1 ta thaỏy bieồu thửực trong caờn xuaỏt hieọn caực haống ủaỳng thửực neõn ta aựp duùng caực haống ủaỳng thửực ủeồ khai caờn vaứ ủửa veà daùng 3 Nhửng vụựi nhửừng bieồu thửực maứ trong caờn khoõng coự daùng cuỷa haống ủaỳng thửực thỡ chuựng ta giaỷi quyeỏt nhử theỏ naứo ủaõy ?
01
02
≥
−
x x
221
x
f = − + + + − + = + + −
2 2
2
14
9234
14
92
=++
−+
x
f ≤ 4 vì f(x) ≥ 0 nên ta đợc Max f(x) = 3 khi x= 1
2
Trang 192 1
0 1
x
x x
Ví dụ4 : Cho biểu thức: A= x2+ +1 x2−2x+5 Tìm giá trị của x để A đạt GTNN.
Ta áp dụng bất đẳng thức a2+b2 + c2+d2 ≥ (a c+ )2+ +(b d)2 .
Dấu ‘’ = ‘’ xảy ra khi a c
Trang 20****************************************************************************** Tìm GTLN , GTNN (nếu có ) của các biểu
thức sau:
a) A = x+8 x−16 + x−8 x−16
b) B = 8 2− x+ 2x−3
c) C = x2− +8x 17+ x2+16
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Các bước giải và kết qủa như sau :
Trang 21các giá trị của y được xác định
•TRƯỜNG HỢP a = b = 0
• Phương pháp giải :
Viết mẫu thức dưới dạng d(x + m )2 + n, để từ đó chứng tỏ được m y M≤ ≤ (m, M là hằng số )
* Chỉ ra các giá trị của x để y = m ta có giá trị nhỏ nhất của y là m
* Chỉ ra các giá trị của x để y = M ta có giá trị lớn nhất của y là M
Vậy GTLN của biểu thức A bằng 14 đạt được khi x = 3
*Nhận xét : Đối với bài này ta theo quy tắc so sánh hai phân thức cùng tử với tử và mẫu đều dương hoặc âm
Trang 22c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Các bước giải và kết qủa như sau :
2 Vậy GTNN của B bằng-5 khi x = 3
• Trường hợp dx + ex + g = (ux + v)2 2
•Phương pháp giải :
Viết tử thức dưới dạng a(ux + v )2 + p(ux + v ) + q ( p, q là hằng số )
* Do vậy ta có :
2 2
Trang 23A =
12
12
2+
−
+
−
x x
12
1112
−
+
−++
−
x
x x x
Vậy GTNN của biểu thức B bằng -1 đạt dược khi x = 1.
Ví dụ 2 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc sau:
Trang 24****************************************************************************** Tìm GTNN của các biểu thức sau:
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Các bước giải và kết qủa như sau :
Trang 25•Phương pháp giải :
Ta dự đoán giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của
2 2
+
=+
Dự đoán :
2 2
Trang 26******************************************************************************GTLN bằng 4 đạt được khi x = 1
GTNN bằng -1 đạt được khi x =-1
Ví dụ 2 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc sau:
B =
54
6622
2++
++
x x
x x Dự đoán :
2
2 2
Trang 271) Nhận xét : Trong vÝ dơ 1, 2 lµm theo cách dự doán thì ưu điểm của cách
này là chúng ta đi tìm được cả giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nhưng đòi hỏi học sinh phải nắm vững công thức để dự đoán và phải nhớ cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách các hạng tử
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện :
Các bước giải tóm tắt và kết qủa như sau :
Ta có : (2A – 6 )2 – 4 (A – 3 )(3A – 10 ) = 0
⇔ 4A2 – 24A + 36 – 12A2 + 40A + 36A – 120 = 0
⇔ -8A2 + 52A – 84 = 0
⇔ (2A – 7 )(A – 3 ) = 0
⇔ A = 7
2 ; A = 3 Vậy GTNN bằng 3, GTLN bằng 7
2 Giải :
Trang 29GIệếA CAÙC BIEÁN
Các bài toán về tỡm GTLN, GTNN có điều kiện rất đa dạng và thuộc loại toán khó.
Để giải quyết đợc các bài toán dạng này, đòi hỏi phải kết hợp nhiều bớc trung gian một cách hợp lý và khéo léo.
Từ điều kiện đã cho ta biến đổi đa thức về dạng có một bieỏn soỏ rồi giải theo cách giải ở trên.
Với x,y ∈ R ta đều có :
(x+y)2 + (x-y)2 = x2 + 2xy + y2 + x2- 2xy +y2
Vởy max (x+y) = 2 x = y =
22
Trang 312 xy≤ + ⇒ + ≥x y x y 2k⇒min(x y+ ) 2= k khi x = y
b/ Bài tập ỏp duùng vớ duù 4 :
Baứi 1 :
a, Tìm giá trị lớn nhất của : A = (x2 – 3x + 1) ( 21 + 3x- x2)
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của : B =
x
x x
2
14
16 2 + + với x > 0 Giải:
a, Xét (x2 – 3x + 1) ( 21 + 3x- x2) = 22 không đổi
1 2
b, Ta co ự B =
x
x x
2
14
8 + + Xét 8 4
2/1
111
=
⇔
=++
x