Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao

Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn chuyên đề bồi dỡng HS khá , giỏi môn toán 9 Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn Hơn bốn nghìn năm trớc đây , ngời Hi Lạp đã biết cách giải các phơng trình bậc nhất và bậc hai Phơng trình bậc 3 - Năm 1526 nhà toán học I-ta-li-a là Phe-rô mới tìm đợc cách giải phơng trình bậc 3 dạng x 3 + ax = b với a , b > 0 - Năm 1535 nhà toán học Tac-ta-li-a đã tìm đợc cách giải tổng quát phơng trình x 3 + ax + b = 0 với mọi giá trị của a , b - Năm 1545 nhà toán học Các-đa-nô đã công bố công thức tìm nghiệm của phơng trình bậc ba Phơng trình bậc 4 Năm 1545, nhà toán học I-ta-li-a là phe-ra-ri đã tìm ra cách giải tổng quát phơng trình bậc bốn Phơng trình bậc cao hơn 4 Trong các thế kỷ 17 và 18 các nhà toán học đã mất rất nhiều công sức để tìm cách giải tổng quát phơng trình bậc 5 , bậc 6 nhng không thành công Đến đầu thể kỷ 19 thì hai nhà toán học nguời Na-uy là A-ben và nhà toán học nguời Pháp là Ga-loa đã giải quyết vấn đề có thể giải phơng trình bậc cao hơn bốn bằng căn thức hay không. - A-ben đã chứng minh đợc rằng các phơng trình bậc cao hơn bốn dới dạng tổng quát không thể giải đợc bằng căn thức . Tức là không thể biểu thị đợc các nghiệm của ph- ơng trình đó bằng các phép toán : cộng , trừ , nhân , chia , luỹ thừa và khai căn - Còn Ga-loa chỉ ra đợc dấu hiệu nhận biết một phơng trình bậc cao hơn bốn có thể giải đợc bằng căn thức hay không , bằng một lý thuyết độc đáo mà sau này mang tên ông : lý thuyết nhóm Năm học 2010 - 2011 1 Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn Vậy là các phơng trình bậc cao hơn bốn dới dạng tổng quát không thể giải đợc bằng căn thức Mặt khác đối với học sinh lớp 9 đã biết giải phơng trình bậc nhất và bậc hai dới dạng tổng quát . Còn cách giải tổng quát của phuơng trình bậc ba và bậc bốn thì phức tạp đối với học sinh phổ thông Nh vậy không có phơng pháp chung để giải tất cả các phơng trình bậc cao mà phải căn cứ vào từng phơng trình , để tìm các giải thích hợp Sau đây xin đề cập đến một số phơng pháp riêng để giải phơng trình đa thức bậc cao hơn 2, nhằm bồi dỡng học sinh khá giỏi của lớp 9 Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao I. Phơng pháp biến đổi về phơng trình tích. Một trong các phơng pháp riêng giải phơng trình đa thức bậc cao là phân tích đa thức thành nhân tử có bậc thấp hơn để đa việc giải phơng trình đã cho về giải một phơng trình tích Ví dụ 1: Giải phơng trình sau: 5x 3 - 6x 2 - 2x 3 + 3 = 0 Giải Nhận xét : Nếu phơng trình trên có nghiệm nguyên thì số này phải là ớc của 3. Ta thấy đa thức 5x 3 - 6x 2 - 2x 3 + 3 có nghiệm nguyên x = 1 . Vậy khi phân tích đa thức này thành nhân tử thì đa thức này chứa nhân tử x - 1. 5x 3 - 6x 2 - 2x 3 + 3 = 0 5x 3 - 5x 2 - x 2 + x - 3x + 3 = 0 (x - 1)(x 2 - x - 3) = 0 x- 1 = 0 hoặc x 2 - x - 3 = 0 x 2 - x - 3 = 0 x = 2 131 + hoặc x = 2 131 Phong trình Vậy phơng trình đã cho có ba nghiệm x 1 = 1 x 2 = 2 131 + x 3 = 2 131 Ví dụ 2: Giải phơng trình : x 4 + 12x 3 + 32x 2 - 8x - 4 = 0 Giải Nhận xét : Ta thấy phơng trình này không có nghiệm nguyên Năm học 2010 - 2011 2 Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn x 4 + 12x 3 + 32x 2 - 8x - 4 = 0 (x 4 + 12x 3 + 36x 2 ) - (4x 2 + 8x + 4) = 0 (x 2 + 6x) 2 - (2x + 2) 2 = 0 (x 2 + 8x +2)(x 2 + 4x -2) = 0 x 2 + 8x + 2 = 0 hoặc x 2 + 4x - 2 = 0 x 2 + 8x + 2 = 0 x = 144 + hoặc x = 144 x 2 + 4x - 2 = 0 x = 62 + hoặc x = 62 Vậy phơng trình đã cho có bốn nghiệm x 1 = 144 + ; x 2 = 144 ; x 3 = 62 + ; x 4 = 62 II. Phơng pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 3 : Giải phơng trình (x 2 + x + 2) 2 - 12(x 2 + x + 2) + 35 = 0 Giải Đặt x 2 + x + 2 = y . Ta có phơng trình y 2 - 12y + 35 = 0 y = 5 hoặc y = 7 Với y = 5 x 2 + x - 3 = 0 x = 2 131 + hoặc x = 2 131 Với y = 7 x 2 + x -5 = 0 x = 2 211 + hoặc x = 2 211 Vậy phơng trình đã cho có bốn nghiệm x 1 = 2 131 + ; x 2 = 2 131 ; x 3 = 2 211 + ; x 4 = 2 211 Ví dụ 4: Giải phơng trình (x 2 + 5x + 4)(x 2 + 5x + 6) - 3 = 0 Giải Đặt x 2 + 5x + 5 = y. Ta có phơng trình (y - 1)(y + 1) - 3 = 0 y 2 = 4 y = 2 hoặc y = -2 Với y = 2 x 2 + 5x + 3 = 0 x = 2 135 + hoặc x = 2 135 Với y = -2 x 2 + 5x + 7 = 0 phong trình này vô nghiêm vì < 0 Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm x 1 = 2 135 + ; x 2 = 2 135 Năm học 2010 - 2011 3 Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn Ví dụ 5 : Giải phơng trình (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9 Giải (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9 (x 2 + 8x + 7)(x 2 + 8x + 15) - 9 = 0 Đặt x 2 + 8x + 11 = y Ta có phơng trình (y - 4)(y + 4) - 9 = 0 y 2 = 25 y = 5 hoặc y = -5 Với y = 5 x 2 + 8x + 6 = 0 x = 104 + hoặc x = 104 Với y = -5 x 2 + 8x + 16 = 0 (x + 4) 2 = 0 x = -4 Vậy phơng trình đã cho có ba nghiệm x 1 = 104 + ; x 2 = 104 ; x 3 = -4 Bài tập Bài 1: Giải các phơng trình sau: a) 3x 4 - 22x 2 - 45 = 0 b) x 6 - 9x 3 + 8 = 0 Bài 2: Giải các phơng trình sau: a) 2x 3 - 11x 2 + 2x + 15 = 0 b) x 4 + x 2 + 6x - 8 = 0 c) x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 2x - 1 = 0 Hớng dẫn: c) x 4 + 4x 3 + 3x 2 - 2x - 1 = 0 (x 2 + 2x) 2 - (x - 1) 2 = 0 (x 2 + x + 1)(x 2 + 3x - 1) = 0 Bài 3: Giải các phơng trình sau a) x(x 2 - 1)(x + 2) + 1 = 0 b) (4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) = 4 c) (x - 1)(x -2)(x + 4)(x + 5) =112 ---------------------------@------------------------ Một số dạng phơng trình bậc cao đặc biệt I . Phơng trình đối xứng (phơng trình thuận nghịch) Định nghĩa: Phơng trình có dạng a n x n + a n - 1 x n - 1 + . + a 1 x + a 0 = 0 ( a 0). Trong đó các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối bằng nhau ( a n = a 0 ; a n-1 = a 1 ; ). Gọi là phơng trình đối xứng Năm học 2010 - 2011 4 Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn Nếu n là số chẵn ta gọi là phơng trình đối xứng bậc chẵn, còn n là số lẻ ta gọi là phơng trình đối xứng bậc lẻ . Ví dụ: Các phơng trình sau là phơng trình đối xứng a) 2x 4 + 3x 3 - 16x 2 + 3x + 2 = 0 (1) ( Đối xứng bậc 4) b) 2x 5 + 3x 4 - 5x 3 - 5x 2 + 3x + 2 = 0 ( Đối xứng bậc 5) 1. Phơng trình đối xứng bậc chẵn: a ) Cách giải: + Chia cả hai vế cho 0 2 n x + Đặt x + x 1 = y (1) + Biểu diễn: + + +=+ 2 2 1 1 1111 k k k k k k x x x x x x x x + Thay giá trị vừa tìm đợc của y tìm giá trị của x b) Ví dụ: Giải phơng trình sau : 2x 4 + 3x 3 - 16x 2 + 3x + 2 = 0 (1) ( Đối xứng bậc bốn) Giải Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phơng trình . Chia cả hai vế cho x 2 0 ta có phơng trình : 2x 2 + 3x - 16 + 3 x 1 + 2 2 x = 0 2 ++ + x x x x 1 3 1 2 2 = 16 = 0 Đặt x + x 1 = y (2) + 2 2 1 x x = y 2 - 2 . Ta có phơng trình 2y 2 + 3y - 20 = 0 có nghiệm y = -4 , y = 2 5 . Thứ tự thay y = -4 và y = 2 5 . vào (2) ta có x 1 = -2 + 3 ; x 2 = -2 - 3 ; x 3 =2 ; x 4 = 2 1 c) Lu ý : Nếu m là nghiệm của phơng trình đối xứng bậc chẵn thì m 1 cũng là nghiệm của phơng trình đó . 2. Phơng trình đối xứng bậc lẻ a) Cách giải : Năm học 2010 - 2011 5 Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn Vì x = -1 luôn là nghiệm của phơng trình đối xứng bậc lẻ . Nên phơng trình đã cho trở thành phơng trình (x + 1).f(x) = 0 Trong đó f(x) = 0 là một phơng trình đối xứng bậc chẵn Do đó ta đa việc giải phơng trình dối xứng bâc lẻ về giải phơng trình đối xứng bậc chẵn f(x) = 0 và phơng trình x + 1 = 0 b) Ví dụ: Giải phơng trình 2x 5 + 3x 4 - 5x 3 - 5x 2 + 3x + 2 = 0 Giải Phơng trình đã cho là phơng trình đối xứng bậc 5 2x 5 + 3x 4 - 5x 3 - 5x 2 + 3x + 2 = 0 (x +1)(2x 4 + x 3 - 6x 2 + x + 2) = 0 =+++ =+ 02xx6xx2 01x 234 Phơng trình đối xứng bậc chẵn 2x 4 + 3x 3 - 16x 2 + 3x + 2 = 0 đã đợc giải ở trên Vậy phơng trình đã cho có năm nghiệm x 1 = -2 + 3 ; x 2 = -2 - 3 ; x 3 =2 ; x 4 = 2 1 ; x 5 = -1 Bài tập Bài 4: Giải các phơng trình sau a) x 4 + 5x 3 - 12x 2 + 5x + 1 = 0 b) x 5 + 2x 3 - 3x 3 - 3x 2 + 2x + 1 = 0 c) 6x 4 + 5x 3 - 38x 2 + 5x + 6 = 0 c) 6x 5 - 29x 4 + 27x 3 - 29x + 6 = 0 Bài 5: Giải các phơng trình sau a) x 4 - 3x 2 + 6x 2 + 3x + 1 = 0 b) x 5 + 4x 4 + 3x 2 - 4x + 1 = 0 Bài 6: Giải phơng trình a) 2x 4 - 21x 3 + 74x 2 - 105x + 50 = 0 b) 2x 8 - 9x 7 + 20x 6 - 33x 5 + 46x 4 - 66x 3 + 80x 2 - 72x + 32 = 0 II. Phơng trình dạng: (x - a)(x - b)(x - c) (x - d) = Ax 2 ( Trong đó ab = cd) a) Cách giải : Đặt x + y x ab = b) Ví dụ : Giải phơng trình 4 (x + 6) (x + 10) (x + 5)(x + 12) = 3x 2 Hớng dẫn Năm học 2010 - 2011 6 Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn 4(x + 6) (x + 10) (x + 5)(x + 12) = 3x 2 4(x 2 + 16x + 60) (x 2 + 17x + 60) = 3x 2 (1) Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình . Chia cả hai vế của phơng trình (1) cho x 2 0 . Ta đợc phơng trình : 4 3 x 60 17x x 60 16x = ++ ++ Đặt x + 17 + x 60 = y Ta có phơng trình 4(y - 1)y - 3 = 0 4y 2 - 4y - 3 = 0 y = 2 1 hoặc y = 2 3 Từ đó ta giải hai phơng trình x + 17 + x 60 = 2 1 và x + 17 + x 60 = 2 3 Bài tập Bài 7: Giải các phơng trình sau: a) (x + 2)(x + 3)(x+ 8)(x + 12) = 4x 2 b) (x - 1)(x - 2)(x - 4)(x - 8) = 4x 2 III. Phơng trình dạng: (x - a) 4 + (x - b) 4 = A a) Ví dụ: Giải phơng trình (x - 6) 4 + ( x- 8) 4 = 16 Giải Đặt x - 2 86 + = x - 7 = y phơng trình trở thành (y - 1) 4 + (y + 1) 4 = 16 y 4 + 6y 2 - 7 = 0 Đặt y 2 = z ( z 0) phơng trình trở thành z 2 + 6z - 7 = 0 z 1 = 1 ; z 2 = -7 (Loại) Với z = 1 y = 1 hoặc y = -1 x = 8 hoặc x = 6. Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm x 1 = 8 ; x 2 = 6. b) Lu ý: Khi giải phơng trình bậc bốn dạng ( ) ( ) cbxbx =+++ 44 ta thờng đặt ẩn phụ y ba x = + + 2 để đa phơng trình đã cho về phơng trình trùng phơng Bài tập Bài 8: Giải các phơng trình Năm học 2010 - 2011 7 Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn a) (x + 6) 4 + (x + 4) 4 = 82 b) (x + 3) 4 + (x + 5) 4 = 16 Bài 9: Giải các phơng trình a) (x + 1) 4 + (x + 5) 4 = 40 b) ( x- 2) 6 - (x - 4) 6 = 64 Kết luận: Nói chung là không có phong pháp tổng quát chung nào để giải tất cả các phơng trình bậc cao. Tuỳ dạng phơng trình bậc cao cụ thể mà ta chọn phơng pháp giải riêng thích hợp. ở trên đã nêu một số dạng phơng trình bậc cao đặc biệt và cách giải . Các em HS có thể tìm một số dạng phơng trình bậc cao đặc biệt khác và cách giải những phơng trình đó ---------------------------Hết----------------------- Năm học 2010 - 2011 8 . đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn chuyên đề bồi dỡng HS khá , giỏi môn toán 9 Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao. riêng để giải phơng trình đa thức bậc cao hơn 2, nhằm bồi dỡng học sinh khá giỏi của lớp 9 Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao I. Phơng pháp