Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao một ẩn – Vũ Đình Dũng 1 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HS KHÁ , GIỎI MÔN TOÁN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẬC CAO MỘT ẨN Hơn bốn nghìn năm trước đây, người Hi Lạp đã biết cách giải các phương trình bậc nhất và bậc hai Phương trình bậc 3 - Năm 1526 nhà toán học I-ta-li-a là Phe-rô mới tìm được cách giải phương trình bậc 3 dạng x 3 + ax = b với a , b > 0 - Năm 1535 nhà toán học Tac-ta-li-a đã tìm được cách giải tổng quát phương trình x 3 + ax + b = 0 với mọi giá trị của a , b - Năm 1545 nhà toán học Các-đa-nô đã công bố công thức tìm nghiệm của phương trình bậc ba Phương trình bậc 4 Năm 1545, nhà toán học I-ta-li-a là phe-ra-ri đã tìm ra cách giải tổng quát phương trình bậc bốn Phương trình bậc cao hơn 4 Trong các thế kỷ 17 và 18 các nhà toán học đã mất rất nhiều công sức để tìm cách giải tổng quát phương trình bậc 5 , bậc 6 nhưng không thành công Đến đầu thể kỷ 19 thì hai nhà toán học nguời Na-uy là A-ben và nhà toán học nguời Pháp là Ga-loa đã giải quyết vấn đề có thể giải phương trình bậc cao hơn bốn bằng căn thức hay không. - A-ben đã chứng minh được rằng các phương trình bậc cao hơn bốn dưới dạng tổng quát không thể giải được bằng căn thức . Tức là không thể biểu thị được các nghiệm của phương trình đó bằng các phép toán : cộng , trừ , nhân , chia , luỹ thừa và khai căn - Còn Ga-loa chỉ ra được dấu hiệu nhận biết một phương trình bậc cao hơn bốn có thể giải được bằng căn thức hay không , bằng một lý thuyết độc đáo mà sau này mang tên ông : lý thuyết nhóm Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao một ẩn – Vũ Đình Dũng 2 Vậy là các phương trình bậc cao hơn bốn dưới dạng tổng không thể giải được bằng căn thức Mặt khác đối với học sinh lớp 9 đã biết giải phương trình bậc nhất và bậc hai dưới dạng tổng quát . Còn cách giải tổng quát của phuơng trình bậc ba và bậc bốn thì phức tạp đối với học sinh phổ thông Như vậy không có phương pháp chung để giải tất cả các phương trình bậc cao mà phải căn cứ vào từng phương trình , để tìm các giải thích hợp Sau đây xin đề cập đến một số phương pháp riêng để giải phương trình đa thức bậc cao hơn 2, nhằm bồi dưỡng học sinh khá giỏi của lớp 9 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẬC CAO I. Phương pháp biến đổi về phương trình tích. Một trong các phương pháp riêng giải phương trình đa thức bậc cao là phân tích đa thức thành nhân tử có bậc thấp hơn để đưa việc giải phương trình đã cho về giải một phương trình tích Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 5x 3 - 6x 2 - 2x 3 + 3 = 0 Giải Nhận xét : Nếu phương trình trên có nghiệm nguyên thì số này phải là ước của 3. Ta thấy đa thức 5x 3 - 6x 2 - 2x 3 + 3 có nghiệm nguyên x = 1 . Vậy khi phân tích đa thức này thành nhân tử thì đa thức này chứa nhân tử x - 1. 5x 3 - 6x 2 - 2x 3 + 3 = 0 ⇔ 5x 3 - 5x 2 - x 2 + x - 3x + 3 = 0 ⇔ (x - 1)(x 2 - x - 3) = 0 ⇔ x- 1 = 0 hoặc x 2 - x - 3 = 0 x 2 - x - 3 = 0 ⇔ x = 2 131 + hoặc x = 2 131 − Phưong trình Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x 1 = 1 x 2 = 2 131 + x 3 = 2 131 − Ví dụ 2: Giải phương trình : x 4 + 12x 3 + 32x 2 - 8x - 4 = 0 Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao một ẩn – Vũ Đình Dũng 3 Giải Nhận xét : Ta thấy phương trình này không có nghiệm nguyên x 4 + 12x 3 + 32x 2 - 8x - 4 = 0 ⇔ (x 4 + 12x 3 + 36x 2 ) - (4x 2 + 8x + 4) = 0 ⇔ (x 2 + 6x) 2 - (2x + 2) 2 = 0 ⇔ (x 2 + 8x +2)(x 2 + 4x -2) = 0 ⇔ x 2 + 8x + 2 = 0 hoặc x 2 + 4x - 2 = 0 x 2 + 8x + 2 = 0 ⇔ x = 144 +− hoặc x = 144 −− x 2 + 4x - 2 = 0 ⇔ x = 62 +− hoặc x = 62 −− Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm x 1 = 144 +− ; x 2 = 144 −− ; x 3 = 62 +− ; x 4 = 62 −− II. Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 3 : Giải phương trình (x 2 + x + 2) 2 - 12(x 2 + x + 2) + 35 = 0 Giải Đặt x 2 + x + 2 = y . Ta có phương trình y 2 - 12y + 35 = 0 ⇔ y = 5 hoặc y = 7 Với y = 5 ⇔ x 2 + x - 3 = 0 ⇔ x = 2 131 +− hoặc x = 2 131 −− Với y = 7 ⇔ x 2 + x -5 = 0 ⇔ x = 2 211 +− hoặc x = 2 211 −− Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm x 1 = 2 131 +− ; x 2 = 2 131 −− ; x 3 = 2 211 +− ; x 4 = 2 211 −− Ví dụ 4: Giải phương trình (x 2 + 5x + 4)(x 2 + 5x + 6) - 3 = 0 Giải Đặt x 2 + 5x + 5 = y. Ta có phương trình (y - 1)(y + 1) - 3 = 0 ⇔ y 2 = 4 ⇔ y = 2 hoặc y = -2 Với y = 2 ⇔ x 2 + 5x + 3 = 0 ⇔ x = 2 135 +− hoặc x = 2 135 −− Với y = -2 ⇔ x 2 + 5x + 7 = 0 phưong trình này vô nghiêm vì ∆ < 0 Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao một ẩn – Vũ Đình Dũng 4 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 1 = 2 135 +− ; x 2 = 2 135 −− Ví dụ 5 : Giải phương trình (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9 Giải (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9 ⇔ (x 2 + 8x + 7)(x 2 + 8x + 15) - 9 = 0 Đặt x 2 + 8x + 11 = y Ta có phương trình (y - 4)(y + 4) - 9 = 0 ⇔ y 2 = 25 ⇔ y = 5 hoặc y = -5 Với y = 5 ⇔ x 2 + 8x + 6 = 0 ⇔ x = 104 +− hoặc x = 104 −− Với y = -5 ⇔ x 2 + 8x + 16 = 0 ⇔ (x + 4) 2 = 0 ⇔ x = -4 Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x 1 = 104 +− ; x 2 = 104 −− ; x 3 = -4 Bài tập Bài 1: Giải các phương trình sau: a) 3x 4 - 22x 2 - 45 = 0 b) x 6 - 9x 3 + 8 = 0 Bài 2: Giải các phương trình sau: a) 2x 3 - 11x 2 + 2x + 15 = 0 b) x 4 + x 2 + 6x - 8 = 0 c) x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 2x - 1 = 0 Hướng dẫn: c) x 4 + 4x 3 + 3x 2 - 2x - 1 = 0 ⇔ (x 2 + 2x) 2 - (x - 1) 2 = 0 ⇔ (x 2 + x + 1)(x 2 + 3x - 1) = 0 Bài 3: Giải các phương trình sau a) x(x 2 - 1)(x + 2) + 1 = 0 b) (4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) = 4 c) (x - 1)(x -2)(x + 4)(x + 5) =112 @ MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT I . Phương trình đối xứng (phương trình thuận nghịch) Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao một ẩn – Vũ Đình Dũng 5 Định nghĩa: Phương trình có dạng a n x n + a n - 1 x n - 1 + + a 1 x + a 0 = 0 ( a ≠ 0). Trong đó các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối bằng nhau ( a n = a 0 ; a n-1 = a 1 ; ). Gọi là phương trình đối xứng Nếu n là số chẵn ta gọi là phương trình đối xứng bậc chẵn, còn n là số lẻ ta gọi là phương trình đối xứng bậc lẻ . Ví dụ: Các phương trình sau là phương trình đối xứng a) 2x 4 + 3x 3 - 16x 2 + 3x + 2 = 0 (1) ( Đối xứng bậc 4) b) 2x 5 + 3x 4 - 5x 3 - 5x 2 + 3x + 2 = 0 ( Đối xứng bậc 5) 1. Phương trình đối xứng bậc chẵn: a ) Cách giải: + Chia cả hai vế cho 0 2 ≠ n x + Đặt x + x 1 = y (1) + Biểu diễn: +− + +=+ − − − − 2 2 1 1 1111 k k k k k k x x x x x x x x + Thay giá trị vừa tìm được của y tìm giá trị của x b) Ví dụ: Giải phương trình sau : 2x 4 + 3x 3 - 16x 2 + 3x + 2 = 0 (1) ( Đối xứng bậc bốn) Giải Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình . Chia cả hai vế cho x 2 ≠ 0 ta có phương trình : 2x 2 + 3x - 16 + 3 x 1 + 2 2 x = 0 2 ++ + x x x x 1 3 1 2 2 = 16 = 0 Đặt x + x 1 = y (2) ⇒ + 2 2 1 x x = y 2 - 2 . Ta có phương trình 2y 2 + 3y - 20 = 0 có nghiệm y = -4 , y = 2 5 . Thứ tự thay y = -4 và y = 2 5 . vào (2) ta có x 1 = -2 + 3 ; x 2 = -2 - 3 ; x 3 =2 ; x 4 = 2 1 Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao một ẩn – Vũ Đình Dũng 6 c) Lưu ý : Nếu m là nghiệm của phương trình đối xứng bậc chẵn thì m 1 cũng là nghiệm của phương trình đó . 2. Phương trình đối xứng bậc lẻ a) Cách giải : Vì x = -1 luôn là nghiệm của phương trình đối xứng bậc lẻ . Nên phương trình đã cho trở thành phương trình (x + 1).f(x) = 0 Trong đó f(x) = 0 là một phương trình đối xứng bậc chẵn Do đó ta đưa việc giải phương trình dối xứng bâc lẻ về giải phương trình đối xứng bậc chẵn f(x) = 0 và phương trình x + 1 = 0 b) Ví dụ: Giải phương trình 2x 5 + 3x 4 - 5x 3 - 5x 2 + 3x + 2 = 0 Giải Phương trình đã cho là phương trình đối xứng bậc 5 2x 5 + 3x 4 - 5x 3 - 5x 2 + 3x + 2 = 0 ⇔ (x +1)(2x 4 + x 3 - 6x 2 + x + 2) = 0 ⇔ =++−+ =+ 02xx6xx2 01x 234 Phương trình đối xứng bậc chẵn 2x 4 + 3x 3 - 16x 2 + 3x + 2 = 0 đã được giải ở trên Vậy phương trình đã cho có năm nghiệm x 1 = -2 + 3 ; x 2 = -2 - 3 ; x 3 =2 ; x 4 = 2 1 ; x 5 = -1 Bài tập Bài 4: Giải các phương trình sau a) x 4 + 5x 3 - 12x 2 + 5x + 1 = 0 b) x 5 + 2x 3 - 3x 3 - 3x 2 + 2x + 1 = 0 c) 6x 4 + 5x 3 - 38x 2 + 5x + 6 = 0 c) 6x 5 - 29x 4 + 27x 3 - 29x + 6 = 0 Bài 5: Giải các phương trình sau a) x 4 - 3x 2 + 6x 2 + 3x + 1 = 0 b) x 5 + 4x 4 + 3x 2 - 4x + 1 = 0 Bài 6: Giải phương trình Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao một ẩn – Vũ Đình Dũng 7 a) 2x 4 - 21x 3 + 74x 2 - 105x + 50 = 0 b) 2x 8 - 9x 7 + 20x 6 - 33x 5 + 46x 4 - 66x 3 + 80x 2 - 72x + 32 = 0 II. Phương trình dạng: (x - a)(x - b)(x - c) (x - d) = Ax ( Trong đó ab = cd) a) Cách giải : Đặt x + y x ab = b) Ví dụ : Giải phương trình 4 (x + 6) (x + 10) (x + 5)(x + 12) = 3x Hướng dẫn 4(x + 6) (x + 10) (x + 5)(x + 12) = 3x ⇔ 4(x 2 + 16x + 60) (x 2 + 17x + 60) = 3x (1) Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình . Chia cả hai vế của phương trình (1) cho x ≠ 0 . Ta được phương trình : 4 3 x 60 17x x 60 16x = ++ ++ Đặt x + 17 + x 60 = y Ta có phương trình 4(y - 1)y - 3 = 0 ⇔ 4y 2 - 4y - 3 = 0 ⇔ y = 2 1 − hoặc y = 2 3 Từ đó ta giải hai phương trình x + 17 + x 60 = 2 1 − và x + 17 + x 60 = 2 3 Bài tập Bài 7: Giải các phương trình sau: a) (x + 2)(x + 3)(x+ 8)(x + 12) = 4x b) (x - 1)(x - 2)(x - 4)(x - 8) = 4x III. Phương trình dạng: (x - a) 4 + (x - b) 4 = A a) Ví dụ: Giải phương trình (x - 6) 4 + ( x- 8) 4 = 16 Giải Đặt x - 2 86 + ++ + = x - 7 = y phương trình trở thành (y - 1) 4 + (y + 1) 4 = 16 ⇔ y 4 + 6y 2 - 7 = 0 Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao một ẩn – Vũ Đình Dũng 8 Đặt y 2 = z ( z ≥ 0) phương trình trở thành z 2 + 6z - 7 = 0 ⇒ z 1 = 1 ; z 2 = -7 (Loại) Với z = 1 ⇒ y = 1 hoặc y = -1 ⇒ x = 8 hoặc x = 6. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 1 = 8 ; x 2 = 6. b) Lưu ý: Khi giải phương trình bậc bốn dạng ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) cbxbx = == =+ ++ ++ ++ ++ ++ + 44 ta thường đặt ẩn phụ y ba x = == = + ++ + + ++ + 2 để đưa phương trình đã cho về phương trình trùng phương Bài tập Bài 8: Giải các phương trình a) (x + 6) 4 + (x + 4) 4 = 82 b) (x + 3) 4 + (x + 5) 4 = 16 Bài 9: Giải các phương trình a) (x + 1) 4 + (x + 5) 4 = 40 b) ( x- 2) 6 - (x - 4) 6 = 64 Kết luận: Nói chung là không có phưong pháp tổng quát chung nào để giải tất cả các phương trình bậc cao. Tuỳ dạng phương trình bậc cao cụ thể mà ta chọn phương pháp giải riêng thích hợp. Ở trên đã nêu một số dạng phương trình bậc cao đặc biệt và cách giải . Các em HS có thể tìm một số dạng phương trình bậc cao đặc biệt khác và cách giải những phương trình đó Hết Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao một ẩn – Vũ Đình Dũng 9 CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN HỆ THỐNG LÝ THUYẾT HỆ THỐNG BÀI TẬP GỢI MỞ PHÁT TRIỂN Trường hợp đặc biệt: Phương trình trùng phương + Định nghĩa: Phương ttrình có dạng ax 4 + bx 2 + c = 0 (a ≠ 0) + Cách giải: - Đặt x 2 = y ≥ 0 - Giải phương trình ay 2 + by + c = 0. - Thay giá tri tìm được của y ≥ 0 vào x 2 = y để tìm các giá trị của x. + Ví dụ: Giải phương trình: x 4 + 2x 2 - 3 = 0 Phụ lục: Phương trình đối xứng Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao một ẩn – Vũ Đình Dũng 10 I. Phương trình đối xứng đối xứng bậc chẵn 1. Định nghĩa: 2. Ta gọi phương trình 0xa n2 0i ii = ∑ = (a 2n x 2n + a 2n-1 x 2n-1 + + a n+1 x n+1 + a n x n + trong đó a 2n ≠ 0 và a i = a 2n-i . k n-i i = 0 ; 1; 2; ; n-1 là phương trình thuận nghịc bậc chẵn . MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẬC CAO I. Phương pháp biến đổi về phương trình tích. Một trong các phương pháp riêng giải phương trình đa thức bậc cao là phân tích đa thức. Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao một ẩn – Vũ Đình Dũng 1 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HS KHÁ , GIỎI MÔN TOÁN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẬC CAO MỘT ẨN. x. + Ví dụ: Giải phương trình: x 4 + 2x 2 - 3 = 0 Phụ lục: Phương trình đối xứng Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao một ẩn – Vũ Đình Dũng 10 I. Phương trình đối xứng