Chuyên đề giải phương trình đa thức bậc cao - Toán 9

chuyên đề bồi dỡng HS khá , giỏi môn toán 9Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn Hơn bốn nghìn năm trớc đây , ngời Hi Lạp đã biết cách giải các phơng trình bậc nhất

chuyên đề bồi dỡng HS khá , giỏi môn toán 9

Một số phơng pháp giải phơng trình

đa thức bậc cao một ẩn

Hơn bốn nghìn năm trớc đây , ngời Hi Lạp đã biết cách giải các phơng trình bậc nhất và bậc hai

Phơng trình bậc 3

- Năm 1526 nhà toán học I-ta-li-a là Phe-rô mới tìm đợc cách giải phơng trình bậc

3 dạng x3 + ax = b với a , b > 0

- Năm 1535 nhà toán học Tac-ta-li-a đã tìm đợc cách giải tổng quát phơng trình x3

+ ax + b = 0 với mọi giá trị của a , b

- Năm 1545 nhà toán học Các-đa-nô đã công bố công thức tìm nghiệm của phơng trình bậc ba

Phơng trình bậc 4

Năm 1545, nhà toán học I-ta-li-a là phe-ra-ri đã tìm ra cách giải tổng quát phơng trình bậc bốn

Phơng trình bậc cao hơn 4

Trong các thế kỷ 17 và 18 các nhà toán học đã mất rất nhiều công sức để tìm cách giải tổng quát phơng trình bậc 5 , bậc 6 nhng không thành công

Đến đầu thể kỷ 19 thì hai nhà toán học nguời Na-uy là A-ben và nhà toán học nguời Pháp là Ga-loa đã giải quyết vấn đề có thể giải phơng trình bậc cao hơn bốn bằng căn thức hay không

- A-ben đã chứng minh đợc rằng các phơng trình bậc cao hơn bốn dới dạng tổng quát không thể giải đợc bằng căn thức Tức là không thể biểu thị đợc các nghiệm của phơng trình đó bằng các phép toán : cộng , trừ , nhân , chia , luỹ thừa và khai căn

- Còn Ga-loa chỉ ra đợc dấu hiệu nhận biết một phơng trình bậc cao hơn bốn có thể giải đợc bằng căn thức hay không , bằng một lý thuyết độc đáo mà sau này mang tên ông : lý thuyết nhóm

Vậy là các phơng trình bậc cao hơn bốn dới dạng tổng không thể giải đợc bằng căn thức

Mặt khác đối với học sinh lớp 9 đã biết giải phơng trình bậc nhất và bậc hai dới dạng tổng quát Còn cách giải tổng quát của phuơng trình bậc ba và bậc bốn thì phức tạp đối với học sinh phổ thông

Nh vậy không có phơng pháp chung để giải tất cả các phơng trình bậc cao mà phải căn cứ vào từng phơng trình , để tìm các giải thích hợp

Sau đây xin đề cập đến một số phơng pháp riêng để giải phơng trình đa thức bậc cao hơn 2, nhằm bồi dỡng học sinh khá giỏi của lớp 9

Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao

I Phơng pháp biến đổi về phơng trình tích.

Một trong các phơng pháp riêng giải phơng trình đa thức bậc cao là phân tích đa thức thành nhân tử có bậc thấp hơn để đa việc giải phơng trình đã cho về giải một

ph-ơng trình tích

Ví dụ 1: Giải phơng trình sau: 5x3 - 6x2 - 2x3 + 3 = 0

Giải

Nhận xét : Nếu phơng trình trên có nghiệm nguyên thì số này phải là ớc của 3 Ta thấy

đa thức 5x3 - 6x2 - 2x3 + 3 có nghiệm nguyên x = 1 Vậy khi phân tích đa thức này thành nhân tử thì đa thức này chứa nhân tử x - 1

5x3 - 6x2 - 2x3 + 3 = 0 ⇔ 5x3 - 5x2 - x2 + x - 3x + 3 = 0 ⇔ (x - 1)(x2 - x - 3) = 0

⇔ x- 1 = 0 hoặc x2 - x - 3 = 0

x2 - x - 3 = 0 ⇔ x =

2

13

1+ hoặc x =

2

13

1−

Phong trình Vậy phơng trình đã cho có ba nghiệm

x1 = 1 x2 =

2

13

1+ x

3 =

2

13

1−

Ví dụ 2: Giải phơng trình : x4 + 12x3 + 32x2 - 8x - 4 = 0

Nhận xét : Ta thấy phơng trình này không có nghiệm nguyên

x4 + 12x3 + 32x2 - 8x - 4 = 0 ⇔ (x4 + 12x3 + 36x2) - (4x2 + 8x + 4) = 0

⇔ (x2 + 6x)2 - (2x + 2)2 = 0 ⇔ (x2 + 8x +2)(x2 + 4x -2) = 0

⇔ x2 + 8x + 2 = 0 hoặc x2 + 4x - 2 = 0

x2 + 8x + 2 = 0 ⇔ x = −4+ 14 hoặc x = −4− 14

x2 + 4x - 2 = 0 ⇔ x = −2+ 6 hoặc x = −2− 6

Vậy phơng trình đã cho có bốn nghiệm

x1 = −4+ 14 ; x2 = −4− 14 ; x3 = −2+ 6 ; x4 = −2− 6

II Phơng pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 3 : Giải phơng trình (x2 + x + 2)2 - 12(x2 + x + 2) + 35 = 0

Giải

Đặt x2 + x + 2 = y Ta có phơng trình

y2 - 12y + 35 = 0 ⇔ y = 5 hoặc y = 7

Với y = 5 ⇔ x2 + x - 3 = 0 ⇔ x =

2

13

1+

2

13

1−

−

Với y = 7 ⇔ x2 + x -5 = 0 ⇔ x =

2

21

1+

2

21

1−

Vậy phơng trình đã cho có bốn nghiệm

x1 =

2

13

1+

− ; x

2 =

2

13

1−

− ; x

3 =

2

21

1+

4 =

2

21

1−

−

Ví dụ 4: Giải phơng trình (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 3 = 0

Giải

Đặt x2 + 5x + 5 = y Ta có phơng trình

(y - 1)(y + 1) - 3 = 0 ⇔ y2 = 4 ⇔ y = 2 hoặc y = -2

Với y = 2 ⇔ x2 + 5x + 3 = 0 ⇔ x =

2

13

5+

2

13

5−

−

Với y = -2 ⇔ x2 + 5x + 7 = 0 phong trình này vô nghiêm vì ∆ < 0

Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm

x1 =

2

13

5+

− ; x

2 =

2

13

5−

−

Ví dụ 5 : Giải phơng trình (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9

Giải

(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9 ⇔ (x2+ 8x + 7)(x2 + 8x + 15) - 9 = 0

Đặt x2 + 8x + 11 = y

Ta có phơng trình (y - 4)(y + 4) - 9 = 0 ⇔ y2 = 25 ⇔ y = 5 hoặc y = -5

Với y = 5 ⇔ x2 + 8x + 6 = 0 ⇔ x = −4+ 10 hoặc x = −4− 10

Với y = -5 ⇔ x2 + 8x + 16 = 0 ⇔ (x + 4)2 = 0 ⇔ x = -4

Vậy phơng trình đã cho có ba nghiệm

x1 = −4+ 10 ; x2 = −4− 10 ; x3 = -4

Bài tập Bài 1: Giải các phơng trình sau:

a) 3x4 - 22x2 - 45 = 0 b) x6 - 9x3 + 8 = 0

Bài 2: Giải các phơng trình sau:

a) 2x3 - 11x2 + 2x + 15 = 0 b) x4 + x2 + 6x - 8 = 0 c) x4 + 4x3 + 3x2 + 2x - 1 = 0

Hớng dẫn:

c) x4 + 4x3 + 3x2 - 2x - 1 = 0 ⇔ (x2 + 2x)2 - (x - 1)2 = 0

⇔ (x2 + x + 1)(x2 + 3x - 1) = 0

Bài 3: Giải các phơng trình sau

a) x(x2 - 1)(x + 2) + 1 = 0 b) (4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) = 4

c) (x - 1)(x -2)(x + 4)(x + 5) =112

-@ -Một số dạng phơng trình bậc cao đặc biệt

I Phơng trình đối xứng (phơng trình thuận nghịch)

Định nghĩa:

Phơng trình có dạng

anxn + an - 1xn - 1 + + a1x + a0 = 0 ( a ≠ 0)

Trong đó các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối bằng nhau ( an = a0 ; an-1 = a1; ) Gọi là phơng trình đối xứng

Nếu n là số chẵn ta gọi là phơng trình đối xứng bậc chẵn, còn n là số lẻ ta gọi là phơng trình đối xứng bậc lẻ

Ví dụ: Các phơng trình sau là phơng trình đối xứng

a) 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0 (1) ( Đối xứng bậc 4)

b) 2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 ( Đối xứng bậc 5)

1 Phơng trình đối xứng bậc chẵn:

a ) Cách giải:

+ Chia cả hai vế cho 2 ≠0

n x

+ Đặt x +

x

1

= y (1)









−





















 +

=

−

−

2

2 1

1 1

k

k k

k k

k

x

x x

x x

x x x

+ Thay giá trị vừa tìm đợc của y tìm giá trị của x

b) Ví dụ:

Giải phơng trình sau :

2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0 (1) ( Đối xứng bậc bốn)

Giải

Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phơng trình Chia cả hai vế cho x2 ≠ 0 ta có

ph-ơng trình :

2x2 + 3x - 16 + 3

x

1

+ 22









 + +











 +

x

x x

x2 12 3 1 = 16 = 0

Đặt x +

x

1

= y (2) ⇒ 









 + 2 12

x

x = y2 - 2

Ta có phơng trình 2y2 + 3y - 20 = 0 có nghiệm y = -4 , y =

2

5

Thứ tự thay y = -4 và y

=

2

5

vào (2) ta có x1 = -2 + 3; x2 = -2 - 3 ; x3 =2 ; x4 =

2 1

c) Lu ý : Nếu m là nghiệm của phơng trình đối xứng bậc chẵn thì

m

1

cũng là nghiệm của phơng trình đó

2 Phơng trình đối xứng bậc lẻ

a) Cách giải :

Vì x = -1 luôn là nghiệm của phơng trình đối xứng bậc lẻ Nên phơng trình đã cho trở thành phơng trình

(x + 1).f(x) = 0 Trong đó f(x) = 0 là một phơng trình đối xứng bậc chẵn

Do đó ta đa việc giải phơng trình dối xứng bâc lẻ về giải phơng trình đối xứng bậc chẵn f(x) = 0 và phơng trình x + 1 = 0

b) Ví dụ: Giải phơng trình

2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0

Giải

Phơng trình đã cho là phơng trình đối xứng bậc 5

2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 ⇔ (x +1)(2x4 + x3 - 6x2 + x + 2) = 0

⇔ 





= + +

− +

=

+

0 2 x x 6 x x

2

0 1

x

2 3

4

Phơng trình đối xứng bậc chẵn 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0 đã đợc giải ở trên Vậy phơng trình đã cho có năm nghiệm

x1 = -2 + 3 ; x2 = -2 - 3 ; x3 =2 ; x4 =

2

1

; x5 = -1

Bài tập Bài 4: Giải các phơng trình sau

a) x4 + 5x3 - 12x2 + 5x + 1 = 0 b) x5 + 2x3 - 3x3 - 3x2 + 2x + 1 = 0 c) 6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + 6 = 0 c) 6x5 - 29x4 + 27x3 - 29x + 6 = 0

a) x4 - 3x2 + 6x2 + 3x + 1 = 0 b) x5+ 4x4 + 3x2 - 4x + 1 = 0

Bài 6: Giải phơng trình

a) 2x4 - 21x3 + 74x2 - 105x + 50 = 0

b) 2x8 - 9x7 + 20x6 - 33x5 + 46x4 - 66x3+ 80x2 - 72x + 32 = 0

II Phơng trình dạng: (x - a)(x - b)(x - c) (x - d) = Ax ( Trong đó ab = cd)

a) Cách giải : Đặt x + y

x

ab =

b) Ví dụ : Giải phơng trình

4 (x + 6) (x + 10) (x + 5)(x + 12) = 3x

Hớng dẫn

4(x + 6) (x + 10) (x + 5)(x + 12) = 3x

⇔ 4(x2 + 16x + 60) (x2 + 17x + 60) = 3x (1)

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình Chia cả hai vế của phơng trình (1) cho x ≠ 0 Ta đợc phơng trình :

x

60 17 x x

60 16



















Đặt x + 17 +

x

60

= y

Ta có phơng trình 4(y - 1)y - 3 = 0 ⇔ 4y2 - 4y - 3 = 0 ⇔ y =

2

1

−

hoặc y =

2 3

Từ đó ta giải hai phơng trình x + 17 +

x

60

= 2

1

− và x + 17 +

x

60

= 2 3

Bài tập Bài 7: Giải các phơng trình sau:

a) (x + 2)(x + 3)(x+ 8)(x + 12) = 4x b) (x - 1)(x - 2)(x - 4)(x - 8) = 4x

III Phơng trình dạng: (x - a) 4 + (x - b) 4 = A

a) Ví dụ: Giải phơng trình

(x - 6)4 + ( x- 8)4 = 16

Giải

Đặt x -

2

8

6+ = x - 7 = y phơng trình trở thành

(y - 1)4 + (y + 1)4 = 16 ⇔ y4 + 6y2 - 7 = 0 Đặt y2 = z ( z ≥ 0) phơng trình trở thành

z2 + 6z - 7 = 0 ⇒ z1 = 1 ; z2 = -7 (Loại)

Với z = 1 ⇒ y = 1 hoặc y = -1 ⇒ x = 8 hoặc x = 6

Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm x1 = 8 ; x2 = 6

b) Lu ý: Khi giải phơng trình bậc bốn dạng (x+b) (4 + x+b)4 =c ta thờng đặt ẩn phụ

y b

a

x + + =

2 để đa phơng trình đã cho về phơng trình trùng phơng

Bài tập Bài 8: Giải các phơng trình

a) (x + 6)4 + (x + 4)4 = 82 b) (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16

Bài 9: Giải các phơng trình

a) (x + 1)4 + (x + 5)4 = 40 b) ( x- 2)6 - (x - 4)6 = 64

Kết luận: Nói chung là không có phong pháp tổng quát chung nào để giải tất cả các

phơng trình bậc cao Tuỳ dạng phơng trình bậc cao cụ thể mà ta chọn phơng pháp giải riêng thích hợp ở trên đã nêu một số dạng phơng trình bậc cao đặc biệt và cách giải Các em HS có thể tìm một số dạng phơng trình bậc cao đặc biệt khác và cách giải những phơng trình đó

-Hết -Các chuyên đề bồi dỡng HS giỏi 9

Hệ thống lý thuyết

hệ thống bài tập

gợi mở phat triển

Trờng hợp đặc biệt: Phơng trình trùng phơng

+ Định nghĩa: Phơng ttrình có dạng ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0)

+ Cách giải:

- Đặt x2 = y ≥ 0

- Giải phơng trình ay2 + by + c = 0

- Thay giá tri tìm đợc của y ≥ 0 vào x2 = y để tìm các giá trị của x

+ Ví dụ: Giải phơng trình:

x4 + 2x2 - 3 = 0

Phụ lục:

Phơng trình đối xứng

I Phơng trình đối xứng đối xứng bậc chẵn

1 Định nghĩa:

2 Ta gọi phơng trình

0 x

a

n

0

i

i

∑

=

(a2nx2n + a2n-1x2n-1 + + an+1xn+1 + anxn + trong đó a2n ≠ 0 và ai = a2n-i kn-i i = 0 ; 1; 2; ; n-1 là phơng trình thuận nghịc bậc chẵn