2 phương trình chứ không không phải là đối xứng trong từng phương trình như... Hay nói cách khác x = ychính là nghiệm của hệ.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH A - Lý thuyết: Các phương pháp giải
1 Phương pháp thế
- B1: Từ pt ta rút ẩn biểu diễn theo ẩn lại ( thường rút ẩn có hệ số nhỏ nhất)
- B2: Thế biều thức vào pt cịn lại để pt ẩn - B3: Giải Pt thu
- B4: Thay ẩn vừa tìm vào pt để tìm ẩn cịn lại kết luận 2 Phương pháp cộng đại số
- B1: Nhân vế pt với số thích hợp ( cần) để hệ số ẩn pt đối
- B2: Cộng (nếu hệ số đối nhau) trừ (nếu hệ số nhau) vế pt để pt ẩn
- B3: Giải Pt thu
- B4: Thay ẩn vừa tìm vào pt để tìm ẩn cịn lại kết luận 3 Đặt ẩn phụ: Khi pt có những nhóm giống ta chọn làm ẩn phu 4 Dùng BĐT: Dùng BĐT để lập luận trường hợp xảy dấu bằng
- BĐT Côsi: a+b2 ab ; n
1 n n
a a a n a a a ( Dấu xảy
các số nhau) - BĐT Bunhiacopxki:
2 2 2 2
1 2 n n n n
(a x a x a x ) (a a a ).(x x x )
Dấu xảy số tương ứng tỉ lệ B – Bài tập: (Riêng hệ vô tỷ ta xét sau cùng với PT vô tỷ) I- Dạng Hệ bậc nhất.
Bài Giải hệ phương trình
a 29
11
y x
y x
b
2 3 2
1 4 3
y x
y x
c
24 2
3
11
z y x
(2)d
x y z 2x 3y 2z
x 2y 2z e 2 2 3 3 10 5 2 9 3 2 z y x z y x z y x f 28 22 16 z y z x y x g xy y x xy y x )1 )( 10 ( )1 )( 20 ( h 7 5 6 3 1 2 4 27 5 3 5 2 x y y x x y x y i 2 2 y x y x
Bài 2: Giải hệ phương trình
a
x 2y
5x 6z 3y 4z
x 2y
x y z 128 b.: 2
x y 2xy
x 2y
c
1 1 1 x z z y y x d
x y z y z x x z y
e 20 18 16 15 t z y t z x t y x z y x f 16 6 5 3 4 5 3 z y x z y x
Bài 3: GHPT
(3)d
6 2
3
13
2
2
y x
y x
e.
11 3
2
16 2
3
y x
y x
f.
10 3
18 4
y x
y x
g.
7 1 2 ) 2 (3
0 1 )
2 (2
2
y x
x
y x x
h
13 4 4 5
4 8 4 2
7 2 3 1 5
2
2 x y y
x y x
HD: Đặt ẩn phu
II - Dạng 2: Hệ bậc cao 1 Hệ đối xứng loại 1
-Nhận dạng: Là hệ pt mà mỡi cặp số (x; y) nghiệm (y; x) cũng
nghiệm ( vai trò x y PT)
- PP giải: Đặt x+y = S; xy = P Giải HPT với S P sau tìm x, y nhờ PT:
X2 – S.X + P =0
Chú ý: Với hệ giả đối xứng loại đặt x-y = S; -xy = P.
Khi nghiệm Pt x -y Bài 4: GHPT
a
2
x y - 2x - 2y = x y xy
c
35 3
19 2
) (5
xy y x
y y x
d
) (7
) ( 19 2
2
2
y x y xy x
y x y
xy x
e
280 ) )(
(
4
3
2 y x y
x y x
f
2
x y xy 13
x y xy
g
2
x y 3xy
3x xy 3y
h
2
2
x 4y 6xy 19 2y 6y
x 4y2 4y
(HD: Đặt 2y+1=a)
2 Hệ đối xứng loại 2
- Nhận dạng: Cũng loại I, loại II cũng “đối xứng” đối xứng giữa
(4)+ Một cách nhận dạng khác nữa cho x = y phương trình hệ Hay nói cách khác x = ychính nghiệm hệ Đây đặc điểm khai thác hệ
- Phương pháp: Thông thường, ta trừ theo vế ta thu nghiệm x = y, số
nghiệm khác Sau thay lại tìm nghiệm (x;y)
*Chú ý: Hệ giả đx x PT thay –y PT ngược lại
Bài 5: GHPT
a 2
x 2y 5x
y 2x 5y
b
5 4 2
5 4 2
2
x x y
y y x
c
x x y
y y x
1 2
1 2
2
d
4 /1 1
4 /1 1
2
x y
y x
e
2 1 | |
1 | |
x y
y x
f
x y y
y x x
8 3
8 3
3
g
2 2
1 1 1 1
x x y
y y x
h
2
1 2 1
2
x x y
y y x
i
2
5x y 3y
5y x 3x
(giả đx ) k
2
2
x 2y 2x y
y 2x 2y x
(giả đx)
Hệ đẳng cấp
- Nhận dạng: Là HPT mà tất hạng tử chứa ẩn có bậc nhau - Phương pháp: Đặt x = ty (hoặc y = tx), vào pt sau dó chia vế ta
(5)a
2
2 8 4
x xy
y xy
b
4 3 2
3 2 4
2
2
y xy x
y xy x
c
5 5 4
9 3 2
2
2
y xy x
y xy x
4 Một số dạng khác Bài 7: GHPT
a
2
2
5
4 27
x xy y
x xy y
( HD: Phân tích PT thành nhân tử rời x vào pt 2)
b
2004 2003
2003 2003
2 2
3 z
y x
zx yz xy z y x
(HD: Từ PT dùng BĐT phu để suy x=y=z)
c
4 9
5
5 1
y x y x
y x
(HD: Nhân vế trái PT với vế phải PT ngược lại)
d
2 5
3
3 1
y x y x
y x
;(HD:Nhân chéo vế)
e
1
1 3
x y
y x
(HD: Hệ đx loại - trừ vế)
f
x xy y y yz z z zx x
x y z , ,
(HD: cộng vào vế, PTTNT rồi nhân vế pt)
g
6
2
3
2
xy y x y x
y y x
x
(HD: Đặt: x-y=a; x+y =b sau sử dung pp
thế)
h
5 17 3 3
y xy x
y y x x
(HD :Đặt x+y = a; xy=b sau sử dung pp thế)
(6)a
xyz z
y x
z y x
4 4
1
( HD: Dùng BĐT phu a2 b2 c2 ab bc ca(*)
cho PT
(2) )
2
1999 1999 2000 2000
x y 1(1) b
x y y x (x y xy 2001)(2)
(HD: Tìm ĐK, xét x>y y>x sau suy x = y)
c
y x
x
y x x
6 24 32
3 32
4
2
Giải:
ĐK: 0x32
Hệ cho tương đương với
3 32
21 )
32 (
) 32 (
2
2
4
y x x
y y x x
x x
Theo bất đẳng thức BunhiaCốp xki ta có
64 ) 32 )( 1 ( ) 32
( 2
x x x
x
8 32
x x
4 x4 32 x4 2( x 32 x)2 256 x 4 32 x 4
Suy ( x 32 x)(4 x 4 32 x)12
Mặt khác 21 32 12 12
y y
y
Đẳng thức xẩy x= 16 y=3 (t/m) Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (16;3)
(7) Từ phương trình hệ tìm y theo x rời vào phương trình thứ hai
để phương trình bậc x
Giả sử phương trình bậc x có dạng: ax = b (1)
Biện luận phương trình (1) ta có biện luận hệ
+ Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b
- Nếu b = hệ có vơ số nghiệm - Nếu b 0 hệ vơ nghiệm
+ Nếu a 0 (1) x =
a b
, Thay vào biểu thức x ta tìm y, lúc hệ
phương trình có nghiệm
Ví dụ: Giải biện luận hệ phương trình:
)2 (6 4
)1( 2
m my x
m y mx
Từ (1) y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:
4x – m(mx – 2m) = m + (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)
+) Nếu m2 – hay m
2 x =
2
) )( (
2
m m m
m m
Khi y = -
2
m m
Hệ có nghiệm nhất: (
2
m m
;-2
m m
)
+) Nếu m = (3) thỏa mãn với mọi x, y = mx -2m = 2x – Hệ có vơ số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R
+) Nếu m = -2 (3) trở thành 0x = Hệ vô nghiệm
Vậy: - Nếu m 2 hệ có nghiệm nhất: (x,y) = (
2
m m
;- 2
m m
)
- Nếu m = hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R - Nếu m = -2 hệ vơ nghiệm
Bài 9: Giải biện luận hệ phương trình sau:
(8)IV - Dạng 4: Xác định tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
*Phương pháp giải:
Giải hệ phương trình theo tham số
Viết x, y hệ dạng: n + f(mk ) với n, k nguyên
Tìm m nguyên để f(m) ước k
Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên:
1 2 2
1 2
m my x
m y mx
HD Giải:
1 2 2
1 2
m my x
m y mx
m m y m mx
m y mx
2
2 2
2
2 2 4 2
1 2 2
)1 2 )( 2 ( 2 3 2 )4
( 2
m my x
m m
m m y m
để hệ có nghiệm m2 – 0 hay m 2
Vậy với m 2 hệ phương trình có nghiệm
2 3 1 2 1
2 3 2 2
1 2 4
)1 2 )( 2 (
2
m m
m x
m m
m m
m m
y
Để x, y những số nguyên m + Ư(3) = 1; 1;3; 3 Vậy: m + = 1, 3 => m = -1; -3; 1; -5
(9)Định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên:
m m y x m
m y x m
2 1 2
)1 (
2
Bài 11
a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm (2; -1)
3 2 3 )2 (
)1 ( 2
m ny x m
n m y m mx
(HD: Thay x = ; y = -1 vào hệ ta hệ phương trình với ẩn m, n) b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + = có hai nghiệm
x = x = -2
(HD: thay x = x = -2 vào phương trình ta hệ phương trình với ẩn a, b c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – chia hết cho 4x – x + 3
(HD:Dùng định lí bơzu cho f(x))
d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + Xác định hệ số a b biết
f(2) = , f(-1) = Bài 12:
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) Bài 13:
Định m để đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m x + 2y = đồng quy Bài 14 :Định m để đường thẳng sau đồng quy
a) 2x – y = m ; x - y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – b) mx + y = m2 + 1; (m +2)x – (3m + 5)y = m – ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m –
2
Bài 15:
(10)Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
2x + y + 382 4
m =
HD Giải:
- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm nhất: m 2 - Giải hệ phương trình theo m
8 9 4 my x
y mx
m y m mx
y mx
8 9 4
2
8
9 8 )4 (
my x
m y m
4 32 9
4 9 8
2
m m x
m m y
- Thay x = 324
m
m
; y = 94
m
m
vào hệ thức cho ta được:
2.
4 32
2
m
m
+
4
2
m
m
+
4 38
2
m =
=> 18m – 64 +8m – + 38 = 3m2 – 12
3m2 – 26m + 23 =
m1 = ; m2 = 3
23
(cả hai giá trị m thỏa mãn điều kiện)
oup: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/