2. Trong mỗi số, hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau. Đặt X là các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.. Có 10 cuốn sách Toán khác nhau, 11 cuốn sách Văn khác nhau và 7 cuốn sách[r]
(1)TỔ HỢP
Vấn đề Quy tắc đếm Phương pháp
1 Quy tắc cộng
a) Định nghĩa: Xét công việc H
Giả sử H có k phương án H ,H , ,H thực cơng việc H Nếu có 1 2 k m1 cách thực phương án H , có 1 m cách thực phương án 2 H , , có 2
k
m cách thực phương án H cách thực phương án k H i
khơng trùng với cách thực phương án H (j ij;i, j1,2, ,k)
có m1+m2+ + mk cách thực công việc H b) Công thức quy tắc cộng
Nếu tập A ,A , ,A đôi rời Khi đó: 1 2 n
1 n n
A A A = A + A + + A
2 Quy tắc nhân
a) Định nghĩa: Giả sử công việc H bao gồm k công đoạn H ,H , ,H1 2 k Cơng đoạn H có 1 m cách thực hiện, cơng đoạn1 H có 2 m cách thực 2 hiện,…, cơng đoạn H có k m cách thực Khi cơng việc H thực k theo m m m cách 1 2 k
b) Công thức quy tắc nhân
Nếu tập A ,A , ,A đôi rời Khi đó: 1 2 n
1 n n
A A A = A A A
3 Phương pháp đếm toán tổ hợp dựa vào quy tắc cộng
Để đếm số cách thực cơng việc H theo quy tắc cộng ta cần phân tích xem cơng việc H có phương án thực hiện? Mỗi phương án có cách chọn?
4 Phương pháp đếm toán tổ hợp dựa vào quy tắc nhân
Để đếm số cách thực công việc H theo quy tắc nhân, ta cần phân tích cơng việc H chia làm giai đoạn H ,H , ,H đếm số cách thực 1 2 n giai đoạn H ( i 1,2, ,ni = )
Nhận xét:
(2)• Nhận xét đề để phân chia trường hợp xảy tốn cần đếm
• Đếm số phương án thực trường hợp
• Kết toán tổng số phương án đếm cách trường hợp Chú ý: * Để đếm số phương án thực trường hợp ta phải chia hành động trường hợp thành phương án hành động nhỏ liên tiếp
Và sử dụng quy tắc nhân, khái niệm hốn ví, chỉnh hợp tổ hợp để đếm số phương án thực hành hành động nhỏ
* Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng hoán vị n phần tử là: +) Tất n phần tử phải có mặt
+) Mỗi phần tử xuất lần +) Có thứ tự phần tử
* Ta sử dụng khái niệm chỉnh hợp
+) Cần chọn k phần tử từ n phần tử, phần tử xuất lần +) k phần tử cho xếp thứ tự
* Ta sử dụng khái niệm tổ hợp
+) Cần chọn k phần tử từ n phần tử, phần tử xuất lần +) Không quan tâm đến thứ tự k phần tử chọn
Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù)
Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp ta đếm phần bù tốn sau:
• Đếm số phương án thực hành động H (khơng cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay khơng) ta a phương án
• Đếm số phương án thực hành động H khơng thỏa tính chất T ta b phương án
Khi số phương án thỏa yêu cầu toán là: −a b 2 Ta thường gặp ba toán đếm
Bài toán 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên Khi lập số tự nhiên =x a a ta cần lưu ý: 1 n
* ai0,1,2, ,9 a10
* x số chẵn a số chẵn n * x số lẻ a số lẻ n
* x chia hết cho 3 a1+a2+ + a chia hết cho n * x chia hết cho an n−a chia hết cho * x chia hết cho 5an 0,5
(3)* x chia hết cho 8an n n− a −a chia hết cho * x chia hết cho 9 a1+a2+ + a chia hết cho n
* x chia hết cho 11tổng chữ số hàng lẻ trừ tổng chữ số hàng chẵn số chia hết cho 11
* x chia hết cho 25 hai chữ số tận 00,25,50,75 Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế Bài toán 3: Đếm số phương án liên quan đến hình học
Các ví dụ
Ví dụ Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố B đến thành phố C có đường Có cách từ thành phố A đến thành phố C, biết phải qua thành phố B
Lời giải
Để từ thành phố A đến thành phố B ta có đường để Với cách từ thành phố A đến thành phố B ta có cách từ thành phố B đến thành phố C Vậy có 6.7=42 cách từ thành phố A đến B
Ví dụ Từ số 0,1,2,3,4,5 lập số tự mà số có chữ số khác chữ số đứng cạnh chữ số 3?
Lời giải
Đặt y 23= , xét số x abcde= a,b,c,d,e đơi khác thuộc tập 0,1,y,4,5 Có P5−P4=96 số
Khi ta hoán vị 2,3 y ta hai số khác Nên có 96.2 192= số thỏa yêu cầu tốn
Ví dụ Có học sinh nữ hs nam Ta muốn xếp vào bàn dài có ghế ngồi Hỏi có cách xếp để :
1 học sinh nữ ngồi kề 2 2 học sinh nam ngồi kề Lời giải
1 Số cách xếp thỏa yêu cầu toán: 3!.3! 36= 2 Số cách xếp thỏa yêu cầu tốn: 2!.4! 48=
Ví dụ Xếp người A, B, C, D, E, F vào ghế dài Hỏi có cách xếp cho:
1 A F ngồi hai đầu ghế 2 A F ngồi cạnh
3 A F không ngồi cạnh Lời giải
(4)Số cách xếp thỏa yêu cầu toán: 2.24=48
2 Xem AF phần tử X , ta có: 5! 120= số cách xếp X,B,C,D,E Khi hoán vị A,F ta có thêm cách xếp Vậy có 240 cách xếp thỏa yêu cầu toán
3 Số cách xếp thỏa yêu cầu toán: 6! 240 480− = cách
Ví dụ Có chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi khác lập từ số 0,1,2,4,5,6,8
Lời giải
Lời giải Gọi x abcd; a, b,c,d= 0,1,2,4,5,6,8 Cách 1: Tính trực tiếp
Vì x số chẵn nên d0,2,4,6,8 TH 1: d 0= có cách chọn d
Với cách chọn d ta có cách chọn a1,2,4,5,6,8
Với cách chọn a,d ta có cách chọn b1,2,4,5,6,8 \ a
Với cách chọn a, b,d ta có cách chọn c1,2,4,5,6,8 \ a,b Suy trường hợp có 1.6.5.4 120= số
TH 2: d 0 d 2,4,6,8 có cách chọn d
Với cách chọn d , a nên ta có cách chọn
a 1,2,4,5,6,8 \ d
Với cách chọn a,d ta có cách chọn b1,2,4,5,6,8 \ a
Với cách chọn a, b,d ta có cách chọn c1,2,4,5,6,8 \ a,b Suy trường hợp có 4.5.5.4=400 số
Vậy có tất 120 400 520+ = số cần lập Cách 2: Tính gián tiếp ( đếm phần bù)
Gọi A = { số số tự nhiên có bốn chữ số đơi khác lập từ số 0,1,2,4,5,6,8 }
B = { số số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đơi khác lập từ số 0,1,2,4,5,6,8}
C ={ số số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đơi khác lập từ số 0,1,2,4,5,6,8 }
Ta có: C = A− B
(5)Ta tính B ?
x=abcd số lẻ d 1,5 có cách chọn d
Với cách chọn d ta có cách chọn a (vì a 0,a d ) Với cách chọn a,d ta có cách chọn b
Với cách chọn a, b,d ta có cách chọn c Suy B =2.5.5.4 200=
Vậy C=520
Ví dụ Cho tập A=1,2,3,4,5,6,7,8
1 Từ tập A lập số gồm chữ số đôi khác số lẻ không chia hết cho
2 Từ tập A lập số gồm chữ số đôi khác chữ số đầu chẵn chữ số đứng cuối lẻ
Lời giải
Gọi x a a= 1 8 số cần tìm
1 Vì x lẻ khơng chia hết d1,3,7 có cách chọn d Số chọn chữ số lại là: 7.6.5.4.3.2.1
Vậy 15120 số thỏa yêu cầu tốn
2 Vì chữ số đứng đầu chẵn nên a có cách chọn, chữ số đứng cuối lẻ nên 1
8
a có cách chọn Các số cịn lại có 6.5.4.3.2.1 cách chọn
Vậy có 6.5.4.3.2.1 115202 = số thỏa yêu cầu tốn
Ví dụ Cho tập A=0,1,2,3,4,5,6
1 Từ tập A ta lập số tự nhiên lẻ gồm chữ số đôi khác
2 Từ tập A lập số tự nhiên gồm chữ số chia hết cho
Lời giải
1 Gọi số cần lập x abcd= , a,b,c,d0,1,2,3,4,5,6 ;a 0 Chọn a : có cách; chọn b,c,d có 6.5.4
Vậy có 720 số
2 Gọi x abcde= số cần lập, e 0,5 ,a 0
•e= có cách chọn, cách chọn e a,b,c,d :6.5.4.3 Trường hợp có 360 số
(6)Vậy có 660 số thỏa u cầu tốn
Ví dụ Cho tập hợp số : A=0,1,2,3,4,5,6.Hỏi thành lập số có chữ số khác chia hết cho
Lời giải
Ta có số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho Trong tập A có tập chữ số chia hết cho {0,1,2,3}, {0,1,2,6},
{0,2,3,4} , {0,3,4,5} , {1,2,4,5} , {1,2,3,6} , 1,3,5,6
Vậy số số cần lập là: 4(4! 3!) 3.4! 144− + = số
Ví dụ Từ số tập A=0,1,2,3,4,5,6 lập số chẵn gồm chữ số đôi khác có hai chữ số lẻ hai chữ số lẻ đứng cạnh
Lời giải
Vì có số lẻ 1,3,5, nên ta tạo cặp số kép: 13,31,15,51,35,53 Gọi A tập số gồm chữ số lập từ X=0,13,2,4,6
Gọi A ,A ,A tương ứng số số tự nhiên lẻ gồm chữ số khác 1 2 3
được lập từ chữ số tập X=0,13,2,4,6 13 đứng vị trí thứ nhất,
thứ hai thứ ba
Ta có: A1 =A34 =24; A2 = A3 =3.3.2 18 nên = A =24 2.18 60 + =
Vậy số số cần lập là: 6.60=360 số
Ví dụ 10 Từ số 1,2,3,4,5,6 lập số tự nhiên ,mỗi số có chữ số đồng thời thỏa điều kiện :sáu số số khác trong số tổng chữ số đầu nhỏ tổng số sau đơn vị Lời giải
Cách 1: Gọi x a a a , a= 1 2 6 i1,2,3,4,5,6 số cần lập Theo ta có: a1+a2+a3+ =1 a4+a5+a6 (1)
Mà a ,a ,a ,a ,a ,a1 2 3 4 5 61,2,3,4,5,6 đôi khác nên
1
a +a +a +a +a +a = + + + + + =1 21 (2) Từ (1), (2) suy ra: a1+a2+a3=10
Phương trình có nghiệm là: (a ,a ,a ) (1,3,6); (1,4,5); (2,3,5)1 2 3 = Với ta có 3!.3! 36= số
(7)Ta có: a b c d e f 21 a b c d e f
+ + + + + = + + + + + = + + = + + +
a b c 11
+ + = Do a,b,c1,2,3,4,5,6
Suy ta có cặp sau: (a, b,c) (1,4,6); (2,3,6); (2,4,5)=
Với ta có 3! cách chọn a,b,c 3! cách chọn d,e,f Do có: 3.3!.3! 108= số thỏa u cầu tốn
Ví dụ 11.Từ số 1,2,3 lập bao nhiều số tự nhiên gôm chữ số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau
1 Trong số, chữ số có mặt lần
2 Trong số, hai chữ số giống không đứng cạnh
Lời giải
Đặt A {1,2,3} Gọi S tập số thỏa yêu cầu thứ toán =
Ta có số số thỏa điều kiện thứ toán =
3
6! 90
2 (vì số có dạng aabbcc hốn vị hai số a,a ta số khơng đổi)
Gọi S ,S ,S tập số thuộc S mà có 1,2,3 cặp chữ số giống đứng 1 2 3 cạnh
• Số phần tử S số hốn vị cặp 11,22,33 nên 3 S3 =6 • Số phần tử S số hốn vị phần tử có dạng 2
a,a,bb,cc a,a khơng đứng cạnh Nên S2 =4!− =6
2 phần tử • Số phần tử S số hốn vị phần tử có dạng 1
a,a,b,b,cc a,a b,b không đứng cạnh nên
= − − =
1
5!
S 12 12
4
Vậy số số thỏa yêu cầu toán là: 90 (6 12) 76− + + =
Ví dụ 12 Hỏi có tất số tự nhiên chia hết cho mà số 2011 chữ số có hai chữ số
Lời giải
Đặt X số tự nhiên thỏa yêu cầu toán =
(8)Với số thuộc A có m chữ số (m 2008) ta bổ sung thêm −
2011 m số vào phía trước số có khơng đổi chia cho Do ta xét số thuộc A có dạng a a a1 2 2011; ai0,1,2,3, ,9
=
0
A a A|mà a khơng có chữ số 9}
=
1
A a A| mà a có chữ số 9}
• Ta thấy tập A có + −
2011
9
1
9 phần tử • Tính số phần tử A 0
Với x A 0 =x a a1 2011;ai0,1,2, ,8 i 1,2010 = a2011= −9 r với
=
2010 i
i
r 1; ,r a Từ ta suy A có 0 92010 phần tử
• Tính số phần tử A 1
Để lập số thuộc tập A ta thực liên tiếp hai bước sau 1
Bước 1: Lập dãy gồm 2010 chữ số thuộc tập 0,1,2 ,8 tổng chữ
số chia hết cho Số dãy 92009
Bước 2: Với dãy vừa lập trên, ta bổ sung số vào vị trí dãy trên, ta có 2010 bổ sung số
Do A có 1 2010.92009 phần tử Vậy số số cần lập là:
− − +
+92011 1− 2010− 2009=92011 2019.92010
1 2010.9
9
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài
1 Bạn cần mua áo sơ mi cỡ 30 32 Áo cỡ 30 có màu khác nhau, áo cỡ 32 có màu khác Hỏi bạn có cách lựa chọn ?
2 Có 10 sách Tốn khác nhau, 11 sách Văn khác sách anh văn khác Một học sinh chọn sách sách Hỏi có cách lựa chọn
3 Có cách xếp sách Toán, sách Lý sách Hóa lên kệ sách cho sách mơn học xếp cạnh nhau, biết sách đôi khác
Bài
(9)2 Trong giải thi đấu bóng đá có 20 đội tham gia với thể thức thi đấu vòng tròn Cứ hai đội gặp lần Hỏi có tất trận đấu xảy
3 Từ thành phố A có 10 đường đến thành phố B, từ thành phố A có đường đến thành phố C, từ B đến D có đường, từ C đến D có 11 đường khơng có đường nối B với C Hỏi có cách từ A đến D
4 Hội đồng quản trị cơng ty X gồm 10 người Hỏi có cách bầu ba người vào ba vị trí chủ tịch, phó chủ tịch thư kí, biết khả người
Bài
1 Có nam nữ cần xếp ngồi vào hàng ghế Hỏi có cách xếp cho :
a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ?
b) Nam, nữ ngồi xen kẽ có người nam A, người nữ B phải ngồi kề ?
c) Nam, nữ ngồi xen kẽ có người nam C, người nữ D không ngồi kề ?
2 Một bàn dài có dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn nói Hỏi có cách xếp chỗ ngồi trường hợp sau : a) Bất kì học sinh ngồi cạnh đối diện khác trường
b) Bất kì học sinh ngồi đối diện khác trường Bài
Cho chữ số 1, 2, 3, , Từ số lập số a) Có chữ số đôi khác
b) Số chẵn gồm chữ số khác không vượt 2011
2 Có 100000 vé đánh số từ 00000 đến 99999 Hỏi số vé gồm chữ số khác
3 Tính tổng chữ số gồm chữ số lập từ số 1, 2, 3, 4, 5?
Bài Từ số 1,2,3,4,5,6,7 lập số tự nhiên gồm chữ số khác là:
Số chẵn Số lẻ
Số chia hết cho Tổng hai chữ số đầu tổng hai chữ số cuối Bài Cho tập A=1,2,3,4,5,6,7,8
1 Có tập A chứa số mà không chứa số
(10)Vấn đề Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp Phương pháp
1 Giai thừa
a) Định nghĩa: Với số tự nhiên dươngn, tích 1.2.3 n gọi n - giai thừa kí hiệu n! Vậy n! 1.2.3 n=
Ta quy ước 0! 1= b) Tính chất:
* n! n(n - 1)!
* n! n(n 1)(n 2) (n k 1).k! =
= − − − −
2 Hoán vị
a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử ( n 1 ) Khi xếp n phần tử theo thứ tự ta hoán vị phần tử tập A
Kí hiệu số hốn vị n phần tử P n b) Số hoán vị tập n phần tử: Định lí: Ta có Pn =n!
3 Chỉnh hợp
a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử số nguyên k với k n Khi lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự ta chỉnh hợp chập k n phần tử A
b) Số chỉnh hợp
Kí hiệu A số chỉnh hợp chập k kn n phần tử Định lí: Ta có Akn n!
(n k)! =
− 4 Tổ hợp
a) Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử số nguyên k với k n Mỗi tập A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A b) Số tổ hợp
Kí hiệu C số tổ hợp chập k n phần tử kn
Định lí: Ta có: Ckn n! (n k)!k! =
−
Bài tốn 01: Giải phương trình – Bất phương trình
Phương pháp: Dựa vào cơng thức tổ hợp, chỉnh hợp hoán vị để chuyển phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tổ hợp phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
(11)Ví dụ
1 Cho Cn 3n− =1140 Tính = +
6 n n n A A A A
2 Tính = + + +
2 2
2 n
1 1
B
A A A
, biết + + + − =
2 n
1 n n
n 1 n 1
n n
45
C C
C n
C C 3 Tính (+ + ) = +
n n
A 3A
M
n ! , biết + + + + + + + =
2 2
n n n n
C 2C 2C C 149
Lời giải
1 ĐK:
n n
Ta có: Cn 3n− =1140 n!− =1140 =n 20 3!(n 3)!
Khi đó: = − − + − − = − + − − =
− −
n(n 1) (n 5) n(n 1) (n 4)
A n (n 4)(n 5) 256
n(n 1) (n 3)
2 Ta có: C1n=n ; = − = −
− n n n ! C !.(n 2) !
2 n
C n !
1!.(n 1) !
; ; − = = − n n n n C n
C n !
1!.(n 1) !
Nên + + + − = − = =
2 n
1 n n
n 1 n 1
n n
n(n 1)
45 45 n 10
2
C C
C n
C C
= − =
= + + +
2 2
2 n
1
1
n 10
1 1
B
A A A
3 Điều kiện:
n n
Ta có: Cn 12+ +2C2n 2+ +2Cn 32+ +C2n 4+ =149
( )
( ) ( ) (( )) (( ))
+ + + +
+ + + = =
− + +
n ! n ! n ! n !
2 149 n
2!n!
2! n ! 2! n ! 2! n !
Do đó: = + =
4
6
A 3A
M
6!
(12)1 Px =120 2 P Ax x2 +72 6(A= 2x+2P ) x Lời giải
1 Điều kiện:
x x Ta có: P5=120
• Với x PxP5=120phương trình vơ nghiệm • Với x PxP5=120phương trình vơ nghiệm Vậy =x nghiệm
2 Điều kiện:
x x
Phương trình Ax2(Px−6)−12(Px−6) =
= = =
− − =
− = =
=
x
x x
x
P x! x
(P 6)(A 12)
x(x 1) 12 x
A 12
Ví dụ Tìm n biết:
1 C 31 n 1n − +2C 3n2 n 2− +3C 3n3 n 3− + + nCnn=256 2 C0n+2C1n+4C2n+ + Cn nn =243
3 C12n 1+ −2.2C22n 1+ +3.2 C2 2n 13 + − + (2n 1)2 C+ n 2n 12n 1++ =2005 Lời giải
1 Ta có: kC 3kn n k− =k n!− 3n k− =nCk n kn 1−− − k!(n k)!
Suy ra:
−
− − − − − −
− −
= = =
= = =
n k n k n k n k n 1 k n k n
n n n
k k k
kC n C n C n.4
Suy C 31 n 1n − +2C 3n2 n 2− +3C 33 n 3n − + + nCnn =256n.4n 1− =4.4 Từ ta tìm =n
2 Ta có C0n+2C1n+4C2n+ + Cn nn = +(1 2)n =3 nên ta có =n n
3 Đặt
+
− −
+ =
=2n 1 − k k k 2n k
S ( 1) k.2 C
Ta có: ( 1)− k 1− k.2k 1− C2n 1k + == −( 1)k 1− (2n 1).2+ k 1− Ck 12n−
(13)CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài Tìm số nguyên dương n cho:
1 A2n−A1n =8 2 A6n=10A5n 3 Pn 1− An 44+ 15Pn 2+ Bài Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên)
1 Cn 1n 2 Cnn 2 5A2n − + + + 3 n n C n 10 C +
5 ( )
4 n
n
A 143
4P n !
+
+
2 ( )n! C C C3 nn n2n n3n720
4 A3n 1+ +Cn 1n 1−+ 14 n 1( + )
6
4 n
3 n
n n
A 24
23 A + C −
−
Bài Giải phương trình sau: 1 3C2x 1+ +xP2=4A2x
3 P Ax 2x+72 6(A= 2x +2P )x
4 C Cx x2 x 2− +2C Cx x2 3+C Cx x3 x 3− =100
6 C4x 1 C3x 1 5A2x 2
− − − − − =
8 C3x 12x 4−+ =Cx2x 42+− +2x
2
x x x
5
5 14
C C C
− =
5 C1x+6.C2x +6.C3x =9x2−14x
7 24 A( 3x 1+ −Cx 4x− )=23A4x
9 Cx2+2Cx 12+ +3Cx 22+ +4Cx 32+ =130
Bài Giải phương trình sau:
1
x x
y y
x x
y y
2A 5C 90
5A 2C 80
+ =
− =
2
y y
x x
y y
x x
C C 3C 5C + + + + − + + = =
Bài Giải bất phương trình sau:
1 1A22x A2x 6C3x 10
2 − x + 2
k x x P 60A (x k)! + + + − Bài toán 02: Bài toán đếm
Phương pháp: Dựa vào hai quy tắc cộng, quy tắc nhân khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Một số dấu hiệu giúp nhận biết hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp
1) Hoán vị: Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng hoán vị n phần tử là:
• Tất n phần tử phải có mặt • Mỗi phần tử xuất lần • Có thứ tự phần tử
(14)• Cần chọn k phần tử từ n phần tử, phần tử xuất lần • k phần tử cho xếp thứ tự
3) Tổ hợp: Ta sử dụng khái niệm tổ hợp
• Cần chọn k phần tử từ n phần tử, phần tử xuất lần • Không quan tâm đến thứ tự k phần tử chọn
Loại 1: Đếm số Các ví dụ
Ví dụ Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6 lập số chẵn, số có chữ số khác có hai chữ số lẻ chữ số lẻ đứng cạnh nhau?
Lời giải
Gọi A số tự nhiên có hai chữ số lẻ khác lấy từ số 0,1,2,3,4,5,6 số
cách chọn A A23= Số chẵn có chữ số mà hai số lẻ đứng kề
phải chứa A ba chữ số 0;2;4;6 Gọi abcd;a,b,c,d {A,0,2,4,6} số thỏa mãn yêu cầu tốn
*TH1: Nếu a=Acó cách chọn a A34chọn b,c,d * TH 2: aAcó cách chọn a
+ Nếu b=Acó cách chọn b vàA cách chọn 23 c,d + Nếu c A= có cách chọn c vàA cách chọn b,d 23
Vậy có A23(A34+3 1.A( 32+1.A32))=360 số thỏa mãm yêu cầu tốn
Ví dụ Từ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên
1 Gồm chữ số Gồm chữ số đôi khác 3 Gồm chữ số đôi khác chữ số tự nhiên chẵn
4 Gồm chữ số đôi khác không bắt đầu chữ số 5 Gồm chữ số đôi khác hai chữ số không đứng cạnh nhau
Lời giải
1 Gọi số cần lập là: x abcd= Ta chọn a,b,c,d theo thứ tự sau a : có cách chọn
b : có cách chọn c : có cách chọn d : có cách chọn Vậy có 64 =1296 số
(15)3 Gọi số cần lập : x abcd=
Vì x chẵn nên có cách chọn d Ứng với cách chọn d có
3
A cách chọn a,b,c Vậy có 3.A35 =180 số
4 Gọi số cần lập : x abcd=
Vì a nên a có cách chọn Ứng với cách chọn a ta có: A cách 35
chọn b,c,d Vậy có 5.A35=300 số
5 Gọi x số có chữ số đơi khác hai chữ số đứng cạnh
Đặt y 12= x có dạng abcde với a,b,c,d,e đôi khác thuộc tập y,3,4,5,6 nên có P5=5! 120= số
Khi hốn vị hai số 1,2 ta số khác nên có 120.2 240= số x Vậy số thỏa yêu cầu tốn là: P6−240 480= số
Ví dụ Có số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt hai lần, chữ số ba có mặt ba lần chữ số cịn lại có mặt nhiều lần? Lời giải
• Ta đếm số có chữ số chọn từ số 2,2,3,3,3,a, b với
a,b 0,1,4,5,6,7,8,9 , kể số đứng đầu
Ta có được: ! số Tuy nhiên hoán vị hai số cho số cho ta số khơng đổi có tất
7! 420 2!.3!= số
Vì có A cách chọn a, b nên ta có: 28 480.A28 =26880 số
• Ta đếm số có chữ số chọn từ số 2,2,3,3,3,x với
x 1,4,5,6,7,8,9
Tương tự ta tìm 6! A17 420 2!.3! = số Vậy số số thỏa yêu cầu toán: 26460
Ví dụ Hỏi lập số tự nhiên có chữ số cho số đó, chữ số hàng ngàn lớn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hàng chục chữ số hàng chục lớn hàng đơn vị
Lời giải
(16)Từ 10 phần tử X ta chọn phần tử lập số A Nghĩa khơng có hốn vị tổ hợp chập 10
Vậy có C104 =210 số
Ví dụ Từ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập số tự nhiên có, số có chữ số khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn
Lời giải
Gọi =n a a a a a a số thỏa u cầu tốn 1 6
+ + =
3
a a a
Có hai số có tổng số 1,2,…,8,9 :
1; 2; 1; 3;
Nếu a ;a ;a3 4 51; 2; a ,a ,a có 3! cách chọn 3 4 5 a ,a ,a có 1 2 6 A36 cách
chọn suy có 3!A36=720 số thỏa yêu cầu
Nếu a ;a ;a3 4 51; 2; có 720 số thỏa u cầu
Vậy có 720 720 1400+ = số thỏa yêu cầu Loại 2: Xếp đồ vật – Phân cơng cơng việc Các ví dụ
Ví dụ Đội tuyển HSG trường gồm 18 em, có HS khối 12, HS khối 11 HS khối10 Hỏi có cách cử cách cử HS dự đại hội cho khối có HS chọn
Lời giải
Số cách chọn học sinh gồm hai khối là:
8 8
13 11 12
C +C +C =1947
Số cách chọn thỏa yêu cầu tốn: C818−1947=41811
Ví dụ Một họp có 13 người, lúc người bắt tay người khác lần, riêng chủ tọa bắt tay ba người Hỏi có bắt tay? Lời giải
Số bắt tay 12 người (trừ chủ tọa) C 122
Vậy có : C212+ =3 69 bắt tay
Ví dụ Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, có em khối 12, em khối 11 em khối 10 Tính số cách chọn em đội dự trại hè cho khối có em chọn
Lời giải
(17)+ + =
8 8
13 11 12
C C C 1947
Số cách chọn thỏa u cầu tốn: C818−1947=41811
Ví dụ Trong mơn học, Thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu khó ,10 câu trung bình 15 câu dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra,mỗi đề gồm câu hỏi khác nhau,sao cho đề thiết phải có đủ câu ( khó, dễ, Trung bình) số câu dễ khơng 2? Lời giải
Ta có trường hợp sau
TH 1: Đề thi gồm D, TB, K: C C C 152 102 15 TH 1: Đề thi gồm D, TB, K: C C C 152 110 25 TH 1: Đề thi gồm D, TB, K: C C C153 110 15 Vậy có: 56875 đề kiểm tra
Ví dụ Hai nhóm người cần mua nhà, nhóm thứ có người họ muốn mua kề nhau, nhóm thứ hai có người họ muốn mua kề Họ tìm lơ đất chia thành rao bán (các chưa có người mua) Tính số cách chọn người thỏa yêu cầu
Lời giải
Xem lô đất có vị trí gồm vị trí nền, vị trí vị trí Bước 1: nhóm thứ chọn vị trí cho có cách cách có
=
2! cách chọn cho người Suy có 4.2 8= cách chọn Bước 2: nhóm thứ hai chọn vị trí cịn lại cho có cách cách có 3! 6= cách chọn cho người
Suy có 3.6 18= cách chọn
Vậy có 8.18 144 cách chọn cho người =
Ví dụ Một nhóm công nhân gồm 15 nam nữ Người ta muốn chọn từ nhóm người để lập thành tổ cơng tác cho phải có tổ trưởng nam, tổ phó nam có nữ Hỏi có cách lập tổ cơng tác
Lời giải
• Chọn 15 nam làm tổ trưởng tổ phó có A cách 215 • Chọn tổ viên, có nữ
(18)+) chọn nữ nam có 13.C cách 25
+) chọn nữ có C35 cách
Vậy có A152 (5.C132 +13.C25+C35)=111300 cách
Ví dụ Một nhóm có nam nữ Chọn người cho có nữ Hỏi có cách
Lời giải
Cách 1: Ta có trường hợp sau
• người chọn gồm nữ nam chọn nữ ta có cách
chọn nam ta có C25 cách
Suy có 3C25 cách chọn
• người chọn gồm nữ nam chọn nữ có C cách 23
chọn nam có cách Suy có 5C cách chọn 23
• người chọn gồm nữ có cách Vậy có 3C25+5C23+ =1 46 cách chọn
Cách 2: Số cách chọn người là: C 38
Số cách chọn người nam là: C 35
Vậy số cách chọn người thỏa yêu cầu toán là:
− =
3
8
C C 46 cách
Ví dụ Một lớp có 33 học sinh, có nữ Cần chia lớp thành tổ, tổ có 10 học sinh, tổ có 11 học sinh, tổ có 12 học sinh cho tổ có học sinh nữ Hỏi có cách chia vậy?
Lời giải
Số cách chia lớp thành tổ thỏa yêu cầu có trường hợp * TH1: Tổ có nữ, nam có C C cách chọn 77 26
Tổ có nữ, nam có C C cách chọn 24 199
(19)Vậy có C C73 726 C C cách chia thành tổ TH 24 199
* TH2: Tổ có nữ hai tổ cịn lại có nữ, tương tự tính
2 8 26 18
C C C C cách chia
* TH3: Tổ có nữ hai tổ cịn lại có nữ, tương tự tính
2 26 18
C C C C cách chia
Vậy có tất C C3 77 26 C C24 199 +C C C C72 826 85 18+C C C C2 87 26 95 18 cách chia
Ví dụ Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu dễ, câu trung bình câu khó người ta chọn 10 câu để làm đề kiểm tra cho phải có đủ loại dễ, trung bình khó Hỏi lập đề kiểm tra
Lời giải
* Loại 1: chọn 10 câu tùy ý 20 câu có C1020 cách
* Loại 2: chọn 10 câu có khơng q loại dễ, trung bình khó +) Chọn 10 câu dễ trung bình 16 câu có C cách 1016
+) Chọn 10 câu dễ khó 13 câu có C cách 1013
+) Chọn 10 câu trung bình khó 11 câu có C1011 cách
Vậy có C1020−(C1016+C1013+C1011)=176451 đề kiểm tra
Ví dụ 10 Một Thầy giáo có sách Toán, sách Văn sách anh văn sách đôi khác Thầy giáo muốn tặng sách cho học sinh Hỏi Thầy giáo có cách tặng nếu:
1 Thầy giáo muốn tặng hai thể loại
2 Thầy giáo muốn sau tặng xong thể loại cịn lại Lời giải
1 Tặng hai thể loại Tốn, Văn có :A cách 611
Tặng hai thể loại Tốn, Anh Văn có :A cách 612
Tặng hai thể loại Văn, Anh Văn có :A cách 613
Số cách tặng: A116 +A612+A136 =2233440 2 Số cách tặng hết sách Toán : 5!.13 1560= Số cách tặng hết sách Văn: 6! 720=
(20)Ví dụ 11 Trong lớp học có 20 học sinh nữ 15 học sinh nam Hỏi giáo viên chủ nhiệm có cách chọn:
1 Ba học sinh làm ban lớp
2 Ba học sinh làm ba nhiệm vụ lớp trưởng, lớp phó bí thư 3 Ba học sinh làm ban cán có học sinh nữ
4 Bốn học sinh làm tổ trưởng tổ cho học sinh chọn có cả nam nữ
Lời giải
1 Số cách chọn ban cán sự: C335=6545
2 Số cách chọn học sinh làm lớp trưởng, lớp phó bí thư
3 35
A =39270
3 Số cách chọn ba học sinh làm ban cán mà khơng có nữ chọn :
3 15
C =455
Số cách chọn thỏa yêu cầu toán: C335−C315=6090
4 Số cách chọn học sinh làm tổ trưởng là: A435
Số cách chọn học sinh làm tổ trưởng khơng có học sinh nam chọn là: A420
Số cách chọn học sinh làm tổ trưởng khơng có học sinh nữ chọn là: A 154
Vậy số cách chọn thỏa u cầu tốn: A435−(A420+A415)=1107600
Ví dụ 12 Có bơng hồng vàng, bơng hồng trắng hồng đỏ ( hoa xem đôi khác nhau) người ta muốn chọn bó hoa gồm bơng
1 Có cách chọn hoa chọn tuỳ ý 2 Có cách chọn cho có bơng màu đỏ
3 Có cách chọn cho có bơng hồng vàng bơng hồng đỏ
Lời giải
1 Mỗi cách chọn thỏa u cầu tốn có nghĩa ta lấy bơng từ 10 bơng cho mà khơng tính đến thứ tự lấy Do cách lấy tổ hợp chập 10 phần tử
Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu tốn là: C710 =120 2 Có cách chọn hồng màu đỏ
(21)Vậy có tất cách chọn bơng thỏa u cầu tốn 3 Vì có tất bơng hồng đỏ nên ta có trường hợp sau
• bơng chọn gồm bơng vàng đỏ Số cách chọn trường hợp cách
• bơng chọn gồm vàng, đỏ trắng Số cách chọn trường hợp 3.C34 =12 cách
Vậy có tất 13 cách chọn thỏa yêu cầu toán
Loại 3: Đếm tổ hợp liến quan đến hình học
Ví dụ : Cho hai đường thẳng song song d ,d Trên đường thẳng 1 2 d lấy 10 1 điểm phân biệt, d lấy 15 điểm phân biệt Hỏi có tam giác 2 mà ba đỉnh chọn từ 25 vừa nói
Lời giải
Số tam giác lập thuộc vào hai loại sau
Loại 1: Gồm hai đỉnh thuộc vào d đỉnh thuộc vào 1 d 2
Số cách chọn hai điểm 10 thuộc d : 1 C102
Số cách chọn điểm 15 điểm thuộc d : 2 C 115
Loại có: C C102 115 = tam giác
Loại 2: Gồm đỉnh thuộc vào d hai đỉnh thuộc vào 1 d 2
Số cách chọn điểm 10 thuộc d : 1 C 110
Số cách chọn hai điểm 15 điểm thuộc d : 2 C 215
Loại có: C C110 152 = tam giác
Vậy có tất cả: C C210 151 +C C tam giác thỏa yêu cầu toán 110 152
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài Từ số tập A {1,2,3,4,5,6,7}= lập số tự nhiên gồm
Năm chữ số đôi khác
Sáu chữ số khác chia hết cho
Năm chữ số đôi khác nhau, đồng thời hai chữ số đứng cạnh
Bảy chữ số, chữ số xuất ba lần
(22)1 chữ số
2 chữ số đôi khác
3 chữ số đôi khác số lẻ 4 chữ số đôi khác số chẵn
Bài Một lớp học có 20 nam 26 nữ Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ban cán gồm người Hỏi có cách chọn
1 Trong ban cán có nam 2 Trong ban cán có nam nữ Bài
1 Một Thầy giáo có 10 sách Tốn đơi khác nhau, có Đại số, Giải tích Hình học Ơng muốn lấy tặng cho học sinh cho sau tặng loại sách cịn lại Hỏi có cách tặng
2 Một đội niên tình nguyện có 15 người ,gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ ?
3 Đội niên xung kích có trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ cho học sinh thuộc không ba lớp Hỏi có cách chọn vậy?
4 Một nhóm học sinh gồm 15 nam nữ Người ta muốn chọn từ nhóm người để lập thành đội cờ đỏ cho phải có đội trưởng nam, đội phó nam có nữ Hỏi có cách lập đội cờ đỏ
Bài Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt cho ba điểm khơng thẳng hàng Hỏi:
1 Có véc tơ khác véc tơ – khơng có điểm đầu điểm cuối thuộc 2010 điểm cho
2 Có tam giác mà ba đỉnh thuộc vào 2010 điểm cho Bài
1 Cho hai đường thẳng d1 d2 song song với Trên d1 có 10 điểm
phân biệt, d2 có n điểm phân biệt ( n 2 ) Biết có 2800 tam giác có đỉnh
là điểm nói Tìm n?
2 Cho đa giác A A A1 2 2n nội tiếp đường tròn tâm O Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A ,A , ,A1 2 2n gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A ,A , ,A1 2 2n Tìm n?
(23)Bài Trong mặt phẳng cho n điểm, khơng có điểm thẳng hàng tất đường thẳng nối hai điểm bất kì, khơng có hai đường thẳng song song, trùng vng góc Qua diểm vẽ đường thẳng vng góc với đường thẳng xác định
n 1− điểm lại Số giao điểm đường thẳng vng góc giao bao nhiêu?
Bài Một ban tra có n người, họ bảo quản tài liệu mật tủ sắt Hỏi phải có ổ khố, ổ cần có chìa phải chia số chìa khố để tủ sắt mở có
m người họ có mặt ( m n )
Bài 10 Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam nữ Hỏi có cách lập nhóm đồng ca gồm người biết nhóm có nữ Bài 11 Một đội niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện tỉnh miền núi cho tỉnh có nam nữ
Bài 12 Có 10 cầu đỏ đánh số từ đến 10, cầu xanh đánh số từ đến cầu vàng đánh số từ đến Hỏi có cách lấy cầu khác màu khác số
Bài 13 Có hồng đỏ, hồng vàng 10 hồng trắng, hồng khác đơi Hỏi có cách lấy bơng hồng có đủ ba màu
Bài 14 Có nhà toán học nam, nhà toán học nữ nhà vật lý nam.Có bao nhiêu cách lập đồn cơng tác gồm người có nam nữ đồng thời có tốn học vật lý
Bài 15 Có 15 học sinh lớp A, có Khánh 10 học sinh lớp B, có Oanh Hỏi có cách lập đội tình nguyện gồm học sinh có học sinh lớp A, học sinh lớp B có hai em Hùng Oanh
Bài 16
1 Có cách xếp n người ngồi vào bàn trịn
2 Một hội nghị bàn trịn có phái đoàn người Anh , người Pháp người Mỹ Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho thành viên cho người có quốc tịch ngồi gần
(24)Bài 18 Cho S tập số nguyên đoạn 1; 2002 T tập hợp tập khác rỗng S Với X T , kí hiệu m(X) trung bình cộng
phần tử X Tính =
X T
m(X) m
T
Bài toán 03: Một số toán liên quan tổ hợp Các ví dụ
Ví dụ Cho n * (1 x)+ n =a0+a x a x1 + + n n Biết tồn số
nguyên k ( k n 1 − )sao cho ak ak ak
2 24
− = = + Tính n ?=
Lời giải
Ta có: ak=Ckn, suy hệ
1 n! n!
2 (k 1)!(n k 1)! (n k)!k!
1 n! n!
9 (n k)!k! 24 (n k 1)!(k 1)!
=
− − + −
=
− − − +
9k 2(n k 1) 2n 11k
n 10,k 24(k 1) 9(n k) 9n 33k 24
= − + − = −
= =
+ = − − =
Ví dụ Cho khai triển (1 2x)+ n =a0+a x a x , 1 + + n n n * Tìm số lớn số a ,a , ,a , biết hệ số 0 1 n a ,a , ,a thỏa mãn hệ 0 1 n
thức: 0+ 1+ + n =
n
a a
a 4096
2 2
Lời giải
Đặt f(x) (1 2x)= + n =a0+a x a x 1 + + n n
+ + + = =
n
1 n
0 n
a a
a f
2 2 = =
n
2 4096 n 12
Với k0,1,2, ,11 ta có: ak =2 C , ak 12k k 1+ =2k 1+ C12k 1+
+ +
+
+
−
k k
k 12
k k
k 12
a C k 23
1 1 k
a 2 C 2(12 k)
Mà k Z k Do a0 a1 a 8
Tương tự:
+
k
8 12
k
a
1 k a a a
a
(25)Ví dụ Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n 4 ) Biết số tập gồm phần tử A gấp 20 lần số tập gồm hai phần tử A
1 Tìm n
2 Tìm k1,2,3, ,n cho số tập gồm k phần tử tập A lớn nhất
Lời giải
1 Số tập gồm phần tử tập A: C4n Số tập gồm phần tử tập A: C 2n
Theo ta có: C4n 20C2n n! 20 n! 4!(n 4)! 2!(n 2)!
= =
− −
2
1 10
n 5n 234 n 18
4! (n 2)(n 3)
= − − = =
− −
Vậy tập A có 18 phần tử
2 Giả sử C18k số tập con lớn A Khi
k k 18 18 k k 18 18
18! 18!
C C k!(18 k)! (k 1)!(19 k)!
18! 18!
C C
k!(18 k)! (k 1)!(17 k)!
−
+
− − −
− + −
1 19
k
k 19 k k 9
1 17
k
18 k k
−
=
− +
Vậy số tập gồm phần tử A số tập lớn CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài Trong khai triển (1 2x)10
3+3 thành đa thức
2 10
0 10
a +a x a x+ + + a x +a x , tìm hệ số a lớn ( k 10k )
Bài Giả sử (1 2x)+ n=a0+a x a x1 + 2 2+ + a xn n, biết
0 n
a +a + + a =729 Tìm n số lớn số a ,a , ,a 0 1 n Bài toán 04: Chứng minh đẳng thức tổ hợp
(26)* Akn n! (n k)! =
− , k n
* Ckn n! k!(n k)! =
− , k n
* n! n(n 1)(n 2) (n k 1).(n k)!= − − − − − Các ví dụ
Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau:
1 .Ckn+3Ck 1n+ +3Cnk 2+ +Cnk 3+ =Ck 3n 3++ với n *,0 k n 3 − 2 An 2n k++ +An 1n k++ =k A2 nn k+ với n,k *,k 2
Lời giải
1 Ta có: + − = +
− − − +
k k n n
n! n!
C C
(n k)!k! (k 1)!(n k 1)!
= +
− − − +
n! 1
(k 1)!(n k)! k n k
= +
− − − +
n! n
(k 1)!(n k)! k(n k 1)
= + = +
+ − kn
(n 1)! C k!(n k)! Áp dụng kết ta có:
+ + + + +
= k + k + k 1+ k + k 2+ k
n n n n n n
VT (C C ) 2(C C ) (C C )
=Cn 1k 1++ +2Cn 1k 2++ +Ck 3n 1++ =(Cn 1k 1++ +Ck 2n 1++ ) (C+ k 2n 1++ +Ck 3n 1++ ) =Cn 2k 2++ +Cn 2k 3++ =Ck 3n 3++ =VP
2 Ta có: ++ + ++ = + + + = + +
− − − −
n n n k n k
(n k)! (n k)! (n k)!
A A
(k 2)! (k 1)! (k 2)! k
=(n k)! k−+ − =k2(n k)!+ =k A2 nn k+
(k 2)! k k!
Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau:
1 Cnk+4Cnk 1− +6Ck 2n− +4Ck 3n− +Ck 4n− =Cn 4k+ với 4 k n 2 P Ak 2n 1+ A2n 3+ A2n 5+ =nk!An 55+
3 C C0n nk +C C1n k 1n 1−− + + C Cnk 0n k− =2 C k nk Lời giải
(27)=Cn 1k+ +3Cn 1k 1+− +3Cn 1k 2−+ +Ck 3n 1+− =Ckn 4+
2 Ta có: = + + +
− + +
(n 1)! (n 3)! (n 5)!
VT k!
(n 1)! (n 1)! (n 3)! +
+
= =
− 5n
(n 5)!
k! nk!A
(n 1)!
3 Ta có: −− = − =
− − − − −
m k m n n m
n! (n m)! n!
C C
m!(n m)! (k m)!(n k)! m!(k m)!(n k)!
= =
− − mk kn
k! n!
C C
m!(k m)! k!(n k)!
Suy ra: −−
= = =
= = =
k m k m k m k k k m k k
n n m k n n k n
m m m
C C C C C C C
Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau: 1 Akn −An 1k− =k.Ak 1n 1−− với n,k *,n 2,k n 1 −
2 +
+ +
+ + =
+ kn k 1n 1 kn
n 1 1
n C C C với n,k *, k n
Lời giải
1 Ta có: Akn−Akn 1− = −n! − (n 1)!− −− (n k)! (n k)!
= − − = − = −−
− − − −
k n
(n 1)! n (n 1)!
1 k kA
(n k 1)! n k (n k)!
2 Ta có: ( ) ( ) ( )
( ) + + + + − + + − + + = +
+ k k 1 + +
n n
k! n k ! k ! n k !
n 1 n
n C C n n !
= ( − ) ( + − ) (+ + ) +
k! n k !
n k k
n n!
= ( − ) =
k n
k! n k ! 1
n! C
Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau:
1 − −
n n n
n n
C C
n
với n *,n 2
2 Cn2n k+ Cn2n k− ( )C2nn với n,k 0 k n
Lời giải
(28)− − + + + + − = − n n
0 n n n n
0 n n n n n n
n n n
C C C C C
C C C
n n
2 Ta đặt
( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) + − + + − = + − + + − − = + + − = − k n n
k 2n k 2n k
k
2n k ! 2n k !
n! n k ! n! n k ! 2n k ! 2n k !
n! n k n! a
a
n !
a
k
C C
Để chứng minh BĐT ta chứng minh akak 1+ , k ,0 k n
Ta có: + ( ( + )) ( ( − )) ( ( + + )) ( ( − − ))
− +
+ + − −
k k
2n k ! 2n k ! 2n k ! 2n k !
n! n k ! n! n k ! n! n k n! n a k a ! − + + + + − + + − + +
2n k 2n k n n
1
n k n k n k n k (đúng)
( )
+ + −
0 1 0 n n n
k k k 2n k 2n k 2n
a a a a a a C C C
Ví dụ Tính tổng S C= 12n 1+ +C22n 1+ + + Cn2n 1+ , biết số tự nhiên n thỏa
mãn: − + − + + − =
+
n
0 n
n n n n n
1 1 ( 1)
C C C C C
2 2(n 1) 4024
Lời giải
Đặt = − + − + + −
+
n
0 n
1 n n n n n
1 1 ( 1)
S C C C C C
2 2(n 1)
Ta có: = − + − + − +
n
0 n
1 n n n n
1 1 ( 1)
S C C C C
2 n
Do − = − ++
+ +
k k
k k
n n
( 1) ( 1)
C C
k n nên ta suy ra:
+ + + + + = = − = − = − − = + + +
n n
k k k k
1 n n n
k k
1 1
S ( 1) C ( 1) C C
2(n 1) 2(n 1) 2(n 1)
Do giả thiết toán = = +
1
n 2011 2(n 1) 4024
Ta có: Ck2n 1+ =C2n k2n 1+ −+ k 0,1,2, ,2n = +
+ + +
+ + + + + +
+ + + n = n + n + + 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n
C C C C C C
(29)+
+ + + +
+ + + + n = 2n
2n 2n 2n 2n
2(C C C C )
+ + + +
= + + + n = 2n− = 2n− = 4022−
2n 2n 2n 2n
S C C C C 2
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài Chứng minh đẳng thức sau:
1 Cnk =Cn kn− 2 Ckn 1+ =Ckn+Cnk 1− 3 Cnk+3Ck 1n+ +3Cnk 2+ +Cnk 3+ =Cn 3k 3++
Bài Chứng minh đẳng thức sau 1 An kn 2++ +An kn 1++ =k A2 n kn+ với n,k *,k 2 2 Ank −Akn 1− =k.Ak 1n 1−− với n,k *,n 2,k n 1 −
3
k k k
n n n
n 1 1
n C + C ++ C
+ + =
+
với n,k *, k n
Bài Chứng minh đẳng thức sau 1 nCkn k+ =(k 1)C+ n kk 1++ với k,n *
2 C Cmn km =C Cnk n km k−− với m,n,k *; k m n 3 Cn2n Cn 12n 1C2n 2n
2
− +
+
+ = với n
4 C2n 1+ −C2n = với nn ,n 2
5
2 2
2 n
1 1
n
A +A + +A + = với n ,n 2 Bài Chứng minh đẳng thức sau
1 Cnk+3Ck 1n− +3Cnk 2− +Cnk 3− =Cn 3k+ , k n 2 2Ckn+5Ck 1n+ +4Ck 2n+ +Ck 3n+ =Cn 2k 2++ +Cn 3k 3++ 3 Ckn =Ck 1n 1−− +Ck 1n 2−− + Ckk 1− +Ck 1k 1−− , k n
4
2 n
1 n n n
n 1 2 n 1 n
n n n
C C C
C n C
C C C − +
+ + + + =
5 Pn = +1 P1+2P2+3P3+ + (n 1)P− n 1−
Vấn đề Nhị thức Newton
Phương pháp
(30)Định lí:
n
n k n k k
n k
(a b) C a − b
=
+ =
=C a0 nn +C a1 n 1n − b C a+ n 2n − b + + Cnn 1− abn 1− +C bn nn 2 Nhận xét
Trong khai triển Newton (a b)+ n có tính chất sau * Gồm có n 1+ số hạng
* Số mũ a giảm từ n đến số mũ b tăng từ đến n * Tổng số mũ a b số hạng n * Các hệ số có tính đối xứng: Ckn =Cn kn−
* Số hạng tổng quát : Tk 1+ =C ak n k kn − b
VD: Số hạng thứ T1=T0 1+ =C a0 nn , số hạng thứ k
k n k k (k 1) n
T − + =C −a − + b −
3 Một số hệ
Hệ qủa: Ta có : (1 x)+ n=C0n+xC1n+x C2 2n+ + x Cn nn Từ khai triển ta có kết sau
* C0n+C1n+ + Cnn =2n
* Cn0 −C1n+C2n− + − ( 1) Cn nn = 3 Các dạng toán thường gặp
Bài toán 1: Xác định hệ số số hạng chứa xm khai triển
( p q)n
ax +bx với x 0 ( p,q số khác nhau)
Phương pháp giải: Ta có:
( )n n ( ) ( )n k k n
p q k p q k n k k np pk qk
n n
k k
ax bx C ax − bx C a − b x − +
= =
+ = =
Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa: np pk qk mm − + =
Từ tìm k m np p q
− =
−
Vậy hệ số số hạng chứa x là: m C ak n kn − bk với giá trị k tìm
Nếu k khơng ngun k khai triển khơng chứa n x , hệ số m phải tìm
(31)( ) ( p q)n
P x = a bx+ +cx viết dạnga0+a x a x1 + + 2n 2n
Ta làm sau:
* Viết ( ) ( ) ( )
n
n k
p q k n k p q
n k
P x a bx cx C a − bx cx
=
= + + = + ;
* Viết số hạng tổng quát khai triển số hạng dạng (bxp+cxq)k thành
một đa thức theo luỹ thừa x
* Từ số hạng tổng quát hai khai triển ta tính hệ số x m Chú ý: Để xác định hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn Ta làm sau:
* Tính hệ số a theo k k n;
* Giải bất phương trình ak 1− ak với ẩn số k ;
* Hệ số lớn phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn thoả mãn bất phương trình
Các ví dụ Ví dụ
Tìm hệ số x khai triển đa thức của: x 2x( − )5+x 3x2( + )10
Lời giải
Đặt f(x) x 2x= ( − )5+x 3x2( + )10
Ta có : ( ) ( )
5 10
k i
k k i
5 10
k i
f(x) x C x x C 3x
= =
= − +
( )
5 10
k
k k i i i
5 10
k i
C x + C x+
= =
= − +
Vậy hệ số x khai triển đa thức f(x) ứng với k 45 = i 3= là:
( )4
4 3
5 10
C −2 +C =3320
Ví dụ 2.Tìm hệ số cuả x khai triển đa thức f(x)=1 x x+ 2( − ) 8
Lời giải Cách
( ) ( ) ( )2 ( )3
2 2
8 8
1 x x C C x x C x x C x x
+ − = + − + − + −
(32)Trong khai triển ta thấy bậc x số hạng đầu nhỏ 8, bậc x số hạng cuối lớn Do x8 có số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: C C , C C38 23 48 04
Vậy hệ số cuả x8 khai triển đa thức 1 x x+ 2( − ) là: 8
3
8 8
a =C C +C C =238 Cách 2: Ta có:
( ) 8 ( )n n ( )k
2 n 2n n k 2n k
8 n
n n k
1 x x C x x C C x +
= = =
+ − = − = −
với k n 8
Số hạng chứa x ứng với 2n k 88 + = = −k 2n số chẵn Thử trực tiếp ta k 0; n 4= = k 2,n 3= =
Vậy hệ số x C C83 32+C C48 04 =238
Ví dụ Đa thức P x( )= +(1 3x 2x+ 2)10=a0+a x a x1 + + 20 20 Tìm a 15
Lời giải
Ta có: ( ) ( ) ( )
10
10 k
2 k
10 k
P x 3x 2x C 3x 2x
=
= + + = +
10 k 10 k
k i k i i k i k i i k i
10 k 10 k
k i k i
C C (3x) −.(2x ) C C −.2 x +
= = = =
= =
với i k 10 Do k i 15+ = với trường hợp k 10,i 5= = k 9,i 6= = k 8,i 7= =
Vậy a15=C C 21010 105 5+C C 2109 69 6+C C 3.2108 78
Ví dụ Tìm hệ số không chứa x khai triển sau (x3 2)n x
− , biết
n n
n n
C − +C − =78 với x 0
Lời giải
Ta có: Cn 1n Cn 2n 78 n! n! 78 (n 1)!1! (n 2)!2!
− + − = + =
− −
2
n(n 1)
n 78 n n 156 n 12
2 −
+ = + − = =
Khi đó:
12 12
3 k k 36 4k
12 k
2
f(x) x C ( 2) x
x
− =
= − = −
(33)Số hạng không chứa x là: ( 2) C− 912= −112640
Ví dụ Với n số nguyên dương, gọi a3n 3− hệ số x3n 3− khai triển thành đa thức (x2+1) (x 2)n + n Tìm n để a3n 3− =26n
Lời giải Cách 1:Ta có :
( )
( )
n
2 2n 2n 2 2n n
n n n n
n 0 n 1 n 1 2 2 n 2 n n
n n n n
x C x C x C x C
x C x 2C x C x C
− −
− −
+ = + + + +
+ = + + + +
Dễ dàng kiểm tra n 1= , n 2= không thoả mãn điều kiện tốn Với n 3 dựa vào khai triển ta phân tích
3n 2n n 2n n
x − =x x − =x − x −
Do hệ số x3n 3− khai triển thành đa thức ( )n( )n
2
x +1 x 2+ : a3n 3− =2 C C3 0n 3n+2.C C1n 1n
Suy ( )
2
3n
2n 2n 3n 7
a 26n 26n n
3
−
− +
= = = − n 5=
Vậy n 5= giá trị cần tìm Cách 2:
Ta có: ( ) ( )
n n
n n
2 3n
2
1
x x x 1
x x
+ + = + +
i k
n n n n
3n i k 3n i 2i k k k
n 2 n n n
i k i k
1
x C C x C x C x
x x
− −
= = = =
= =
Trong khai triển , luỹ thừa x 3n 3−
2i k 2i k
− − = − + =
Ta có hai trường hợp thoả mãn điều kiện i 0,k 3= = i 1,k 1= = (vì i,k nguyên)
Hệ số x3n 3− khai triển thành đa thức (x2+1)n(x 2+ )n
Là :a3n 3− =C C 2n0 3n 3+C C 21n 1n
Do ( )
2
3n
2n 2n 3n 7
a 26n 26n n
3
−
− +
= = = − n 5=
(34)Ví dụ Tìm hệ số số hạng chứa x26trong khai triển nhị thức Newton
của +
n x
x , biết
1 n 20
2n 2n 2n
C + +C + + + C + =2 − 1
Lời giải
Do Ck2n 1+ =C2n k2n 1+ −+ k 0,1,2, ,2n 1 = +
0 n n n 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n
C + C + C + C ++ C ++ C ++
+ + + = + + +
Mặt khác: C12n 1+ +C22n 1+ + + C2n 12n 1++ =22n 1+
0 n 2n
2n 2n 2n 2n
2(C + C + C + C + ) +
+ + + + =
1 n 2n 2n
2n 2n 2n 2n
C + C + C + C +
+ + + = − = −
2n 20
2 n 10
− = − =
Khi đó: ( )
10 10 10
7 k 10 k 7k
10
k
1
x x x C (x ) x
x − − − = + = + = 10
k 11k 40 10 k
C x −
=
=
Hệ số chứa x26 ứng với giá trị k : 11k 40 26− = = k Vậy hệ số chứa x26 là: C610=210
CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP
Bài Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau
1 f(x) (1 2x)= − 10 4 f(x) (3 2x)= + 10
2 h(x) x(2 3x)= + 5 h(x) x(1 2x)= −
3 g(x) (1 x)= + + −(1 x)8+ +(2 x)9
6 g(x) 8(1 x)= + 8+9(1 2x)+ 9+10(1 3x)+ 10 Bài Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau
1 f(x) (x 2) (x 0)12 x
= − 2 17
3
1
g(x) ( x ) (x 0) x
= +
Bài 3:
1 Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niutơn
n x x +
biết ( )
n n n n
C ++ −C + =7 n 3+
2 Xét khai triển f(x) (2x 1)20 x
(35)a Viết số hạng thứ k 1+ khai triển b Số hạng khai triển không chứa x
3 Xác định hệ số x4 khai triển sau: f(x) (3x= 2+2x 1)+ 10
4 Tìm hệ số x7trong khai triển thành đa thức (2 3x)− 2n, biết n số nguyên dương thỏa mãn : C12n 1+ +C32n 1+ +C52n 1+ + + C2n 12n 1++ =1024
5 Tìm hệ số x9 khai triển f(x) (1 x)= + 9+ +(1 x)10+ + + (1 x)14 Bài 4:
1 Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khai triển biểu thức
( ) n
2
1
x x x
− +
với n số nguyên dương thoả mãn
3
n n
C +2n=A + ( C , Akn kn tương ứng số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k n phần tử)
2 Xác định hệ số x khai triển sau: a,f(x) (3x= 2+1) 10
c, = +
12
3 x f(x)
x
b, = −
8
2
f(x) 5x
x
d,f(x) (1 x 2x ) = + + 10 e, f(x) 8(1 8x)= + 8−9(1 9x)+ 9+10(1 10x) + 10
Bài 5:
1 Trong khai triển ( )
40
2
1
f x x
x
= +
, tìm hệ số
31
x
2 Hãy tìm khai triển nhị thức
18
3
1 x
x
+
số hạng độc lập x
3 Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển
12
x 3 x −
4 Tính hệ số x y khai triển 25 10 (x3+xy)15
5 Cho đa thức P x( ) (= +1 x) (+2 x+ )2+ + 20 x( + )20 có dạng khai triển
là P x( )=a0+a x a x1 + 2 2+ + a x20 20
Hãy tính hệ số a 15
6 Khai triển (1 x x+ + 2+x3)5 =a0+a x a x1 + 2 2+ + a x15 15
(36)b) Tính tổng T a= 0+a1+ + a15 S a= 0−a1+a2− − a15
7 Khai triển (1 2x 3x+ + 2)10 =a0+a x a x1 + 2 2+ + a x20 20
a) Hãy tính hệ số a 4
b) Tính tổng S a= 1+2a2+4a3+ + a20 20
8 Tìm số hạng khai triển ( 3+32)9 số nguyên
Bài 6:
Bài toán 2: Bài toán liên quan đến tổng
n
k k k n k
a C b
=
Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton
n n n 1 n 2 n n
n n n n
(a b)+ =C a +a − bC +a − b C + + b C Ta chọn giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức Một số kết ta thường hay sử dụng:
* Ckn =Cn kn−
* C0n+C1n+ + Cnn =2n
*
n
k k n k
( 1) C
=
− =
*
n n 2n
2k 2k k
2n 2n 2n
k k k
1
C C C
2
−
= = =
= =
*
n
k k n
n k
C a (1 a)
=
= +
Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng
Mẫu chốt cách giải ta tìm đẳng thức (*) ta thường gọi (*) đẳng thức đặc trưng
Cách giải trình bày theo cách xét số hạng tổng quát vế trái (thường có hệ số chứa k ) biến đổi số hạng có hệ số không chứa k chứa k tổng dễ tính có sẵn
Các ví dụ
Ví dụ Tìm số ngun dương n cho: Cn0 +2C1n+4C2n+ + Cn nn=243 Lời giải
Xét khai triển: (1 x)+ n =C0n +xC1n+x C2 2n + + x Cn nn
(37)Do ta suy 3n =243 3= 5 = n
Ví dụ Tính tổng sau:
n
0 n
n n n n n
1 1 ( 1)
S C C C C C
2 2(n 1)
− = − + − + + + Lời giải Ta có: n
0 n
n n n n
1 1 ( 1)
S C C C C
2 n
− = − + − + + Vì k k
k k
n n
( 1) ( 1)
C C
k n
+ +
− = −
+ + nên:
n
k k n k
1
S ( 1) C
2(n 1) + + = = − + n
k k
n n k
1
( 1) C C
2(n 1) 2(n 1)
+ + + = − = − − = + +
Ví dụ Tính tổng sau: S C 3= n 1n − +2C 3n2 n 2− +3C 3n3 n 3− + + nCnn Lời giải Ta có: k n n k n k 1
S kC
3 = = Vì k k
k k
n n
1
kC n C
3
− −
=
k 1 nên
k k
n n
n k n k
n n
k k
1
S n C n C
3 − − − − − = = = =
3n 1.n(1 1)n n.4n
3
− − −
= + =
Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau
1 C Cm0 nk+C C1m nk 1− + + C Cmk n0 =Cm nk+ với m,n ,0 k m,n
2 C02n+C2n2 + + C2n2n=C12n+C32n+ + C2n2n 1−
3 C C0n nk +C C1n k 1n 1−− + + C Ckn 0n k− =2 C với k kn k n Lời giải
1 Xét khai triển:
+ +
+ =
= + m n =m n k k m n i
f(x) (1 x) C x (1)
Ta khai triển f(x) theo cách khác sau
= = = + + = n n j j
n m i i
n n
i j
f(x) (1 x) (1 x) C x C x (2)
(38)Hệ số xk khai triển (2) là: − = = = + = =
i j k i k i n m n m
i i 0,n
j 0,m i j k
C C C C
Từ ta suy ra: − +
=
=
k i k i k
n m m n
i
C C C
2 Xét khai triển: (1 x)+ 2n=C02n+C x C x12n + 22n 2+ + C x2n2n 2n Cho = −x ta có được:
−
= − + − + − 2n 1+ 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n
0 C C C C C C
Hay C12n+C32n+ + C2n2n 1− =C02n+C2n2 + + C2n2n
3 Ta có: −− = − =
− − − − −
i k i n n i
n! (n i)! n!
C C
i!(n i)! (n k)!(k i)! i!(n k)!(k i)!
= =
− −
k i n k
n! k!
C C
(n k)!k! (k i)!i!
Suy ra: −−
= = =
= = =
k i k i k k i kk i k k
n n i n k n k n
i i i
C C C C C C C
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Chứng minh đẳng thức sau:
1 C02n+C2n2 + + C2n2n=C12n+C2n3 + + C2n 12n− 2 C C0m kn+C C1m k 1n− + + C Cmk n0 =Cm nk+
3
2011
0 2 2010 2010
2011 2011 2011
3
C C C
2 −
+ + + =
Bài Tính tổng sau:
1 S1 Cn0 1C1n 1C2n Cnn
2 n
= + + + +
+ 2 S2 =C1n+2C2n+ + nCnn
3 S3 =2.1.C2n+3.2C3n+4.3C4n+ + n(n 1)C− nn
Bài 3: Tính tổng
2 n
0 n
n n n
3
S C C C
2 n
+
− −
= + + +
+ Bài 4:
1 Tính tổng
2 n
0 n
n n n
2
S C C C
2 n
+
− −
= + + +
(39)1 2 n 2n
2n 2n 2n 2n
C + −2.2C + +3.2 C + − + (2n 1)2 C+ ++ =2005
3 Chứng minh: 1.3 50 n 1− Cn 1n− +2.3 51 n 2− Cnn 2− + + n.3n 0−5 Cn0 =n.8n 1− 4 Tính tổng S 2.1C= n2 +3.2C3n+4.3C4n+ + n(n 1)C− nn
5 Chứng minh ( ) ( ) ( )Cn0 2+ Cn1 2+ C2n 2+ + ( )Cnn =C2nn
Bài 5: Tính tổng sau
1 S1=5 Cn n0 +5n 1−.3.Cn 1n− +3 52 n 2− Cn 2n− + + Cn n0 2 S2 =C02011+2 C2 22011+ + 22010C20102011
3 S3 =C1n +2C2n + + nC nn
4 S4 =2.1.Cn2 +3.2Cn3 +4.3Cn4 + + n(n 1)C− nn
5
+
− −
= + + +
+
2 n
0 n
5 n n n
3
S C C C
2 n
Bài
1 Cho n ,n 2 Chứng minh rằng: +
n
1
2
n
2 Chứng minh xlà số tự nhiên chia hết cho 2002 với
( ) ( )
= + − −
2000 2000
x 1001 1001 1001
3 Chứng minh với số tự nhiên n tổng
+ + =
=n 2k 3k 2n k
S C không chia hết cho
4 Chứng minh với m,n tồn k cho :
( m+ m 1− )n= k+ k −
5 Chứng minh (2+ 3)n số tự nhiên lẻ (trong x kí hiệu phần nguyên x, tức số nguyên lớn không vượt x) 6 Cho m , n hai số tự nhiên, p số nguyên tố Giả sử
− −
= k+ k 1+ + +
k k 1
m m p m p m p m
− −
= k+ k 1+ + +
k k 1
n n p n p n p n
Chứng minh rằng:
=
k n
n i
m mi
i
C C (mod p) (Quy ước Cab=0,ab )
(40)1 C C60 kn+C C16 k 1n− + + C C66 nk 6− =Ckn 6+
2 ( ) ( )Cn0 2− C1n 2+ + − ( )1n( )Cnn = −( )1 Cn 2nn
3 (C02n 1+ ) (2− C2n 11 + ) (2+ C22n 1+ )2− + − ( )12n 1+ (C2n 12n 1++ )2 =0
4 + + + + =
n n n
n n 2 n n n
1 1
5 C C C C
5 5 5
5 2 Cn 0n +2n 1 1−.7 Cn+ + 2.7n 1− Cn 1n− +7 Cn nn=9 n 6 3 Cn n0 +3n 1 1− Cn+3n 2 2− C2n+ + Cn n nn =33 n
7 − + − + + ( )− =
+ +
n
0 n
n n n n n
1
1 1 1
C C C C C
2 2(n 1) 2(n 1)
8
+ −
+ + + + =
+ +
n
0 n
n n n n
1 1
C C C C
3 3(n 1) 3(n 1)
9 + + + + =( − ) +
+ +
n
1 n
n n n n
n
1 n
C C C C
2 n n
Bài
1 Cho f(x) đa thức bậc n thỏa mãn f(x) với == x x 1,2,3, ,n + Tính f(n 2) +
https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/