Đang tải... (xem toàn văn)
hình bình hành đó có cùng t âm.[r]
(1)PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM A CHUẨN KIẾN THỨC
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA
1 Định nghĩa.
Cho điểm I Phép biến hình biến điểm I thành biến điểm Mkhác I thành điểm M ' cho I trung điểm MM' gọi
phép đối xứng tâm I
Phép đối xứng tâm I kí hiệu Ð I Vậy Ð MI( )=M'IM IM' + =
Nếu ÐI( )( )H =( )H I gọi tâm đối xứng hình ( )H
2 Biểu thức tọa độ phép đối xứng tâm
Trong mặt phẳng Oxy cho I a; b , ( ) M x; y , g( ) ọi M' x'; y' ( ) ảnh M
qua phép đối xứng tâm I = = −−
x' 2a x y' 2b y
3 Tính chất phép đối xứng tâm.
• Bảo tồn khoảng cách hai điểm
• Biến đường thẳng thành đường thẳng
• Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng đoạn cho
• Biến tam giác thành tam giác tam giác cho
• Biến đường trịn thành đường trịn có bán kính
(2)Bài tốn 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
Phương pháp:
Sử dụng biểu thức tọa độ tính chất phép đối xứng tâm
Các ví dụ
Ví dụ Cho điểm I 1;1( )và đường thẳng d : x 2y Tìm + + = ảnh d
qua phép đối xứng tâm I
Lời giải
Cách 1. Lấy điểm M x; y( ) +d x 2y * + = ( ) Gọi M' x'; y'( )=Ð MI( ) = − = − = − = −
x' x x x' y' y y y'
Thay vào ( )* ta (2 x'− ) (+2 y'− )+ = +3 x' 2y' − = Vậy ảnh d đường thẳng d' : x 2y 0+ − =
Cách 2. Gọi d' ảnh d qua phép đối xứng tâm I , d' song song trùng với d nên phương trình d' có dạng x 2y c 0+ + =
Lấy N 3;0(− )d , gọi N' Ð N= I( ) N' 5; 2( ) Lại có N' d' +5 2.2 c 0+ = = −c Vậy d' : x 2y 0+ − =
Bài toán 02: XÁC ĐỊNH TÂM ĐỐI XỨNG KHI BIẾT ẢNH VÀ TẠO ẢNH
Các ví dụ
Ví dụ Cho đường thẳng d : x 2y 0− + = d' : x 2y 10 0− − = Tìm phép
đối xứng tâm I biến d thành d' biến trục Ox thành
(3)Tọa độgiao điểm d,d' với Ox A(−6; ) B 10; ( )
Do phép đối xứng tâm biến d thành d' biến trục Ox thành nên biến giao điểm A d với Ox thành giao điểm A' d' với Ox tâm đối xứng trung điểm AA' Vậy tâm đỗi xứng I 2;0( )
Bài toán 03: TÌM TÂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH
Các ví dụ
Ví dụ Tìm tâm đối xứng đường cong ( )C có phương trình
= 3− 2+
y x 3x
Lời giải
Lấy điểm ( ) ( ) = 3− 2+ ( )
M x; y C y x 3x *
Gọi I a; b( ) tâm đối xứng ( )C M' x'; y' ( ) ảnh M qua phép
đối xứng tâm I Ta có = = −− = = −−
x' 2a x x 2a x' y' 2b y y 2b y'
Thay vào ( )* ta 2b y'− =(2a x'− )3−3 2a x'( − )2+3
( ) ( )
= 3− 2+ + − 2+ 2− − 3+ 2+ +
y' x' 3x' (6 6a)x' 12a 12a x' 8a 12a 2b * Mặt khác M'( )C nên = 3− 2+
y' x' 3x' ( )*
− 2+( 2− ) − 3+ 2+ − =
(6 6a)x' 12a 12a x' 8a 12a 2b 0, x'
− =
− =
− + + − =
2
6 6a 12a 12a
8a 12a 2b
= =
a b
(4)Ví dụ Chứng minh tứgiác có tâm đối xứng phải hình bình hành
Lời giải
Giả sử tứ giác ABCD có tâm đối xứng I Vì qua phép biến hình đỉnh đa giác biến thành đỉnh đa giác nên đỉnh A có thểđược biến thành A,B,C hay D
- Nếu đỉnh A biến thành IA IA+ = 0 I A vơ lí
- Nếu A biến thành B (hoặc D ) Ilà trung điểm AB( hoăc I
trung điểm AD) vơ lí
Vậy A biến thành C , lí luận tương tự B chỉđược biến thành D , I trung điểm hai đường chéo AC BD nên tứ giác ABCD phải hình bình hành
Bài tốn 04: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN DỰNG HÌNH
Phương pháp:
Xem điểm cần dựng giao đường có sẵn ảnh đường khác qua phép quay Ð I
Các ví dụ
Ví dụ Cho hai đường thẳng d ,d 1 2 hai điểm A,G không thuộc d ,d 1 2 Hãy dựng tam giác ABC có trọng tâm G hai đỉnh B,C thuộc d 1 d
Lời giải
I A
D C
(5)Phân tích:
Giả sửđã dượng tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu toán
Gọi I trung điểm BC Ð CI( )=B mà
2
C d nên B d ' v 2 ới d ' 2 ảnh d qua phép
đối xứng tâm I Lại có B d 1 =B d1d ' 2
Cách dựng:
- Dựng điểm I cho AI=3AG
- Dựng đường thẳng d ' 2 ảnh d qua 2 Ð I
- Gọi B d= 1d ' 2
- Dựng điểm C Ð B = I( )
Tam giác ABC tam giác phải dựng
Chứng minh:
Dựa vào cách dựng ta có Ilà trung điểm BC AI=3AG
2 nên G trọng tâm tam giác ABC
Biện luận: Số nghiệm hình sốgiao điểm d 1 d ' 2
Ví dụ Cho hai đường tròn ( )O ( )O' cắt hai điểm A,B vá số
a Dựng đường thẳng d qua A cắt hai đường tròn thành hai dây cung mà hiệu độ dài a
Lời giải
Phân tích:
d2 d1
d'2
G I A
B
(6)Giả sửđã dựng đường thẳng d cắt ( )O ( )O' M,M' cho
− =
AM AM' a( giả sử AMAM')
Xét phép đối xứng Ð A
Gọi N Ð M , O= A( ) ( )1 =ÐA( )( )O , H,Klần lượt trung điểm AN
AM, HO1⊥AM OK⊥AM Gọi I hình chiếu O O H ,
ta có OI =KH, mặt khác KH KA HA= −
− −
=AM AN=AM AM'=a
2 2nên =
a OI
2 Vậy điểm I thuộc đường tròn tâm O bán kính r=a
2
Mặt khác I thuộc đường trịn
đường kính OO nên I giao 1
điểm đường trịn đường kính OO v1 ới đường tròn
a O;
2
do I xác định d đường thẳng qua A song song với OI
Cách dựng:
- Dựng ( )O 1 ảnh ( )O qua
A
Ð
- Dựng đường tròn đường kính OO 1
- Dựng đường trịn
a O;
2 , dựng giao điểm I đường trịn đường kính OO v1 ới đường tròn
(7)- Từ A dựng đường thẳng d OI cắt ( )O M cắt ( )O' M ' d
là đường thẳng cần dựng
Chứng minh:
Gọi H,K trung điểm AN,AM ta có KH OI= =a Mà KH AK AH= − =AM−AN=AM AM'− AM AM' a− =
2 2
Biện luân : Số nghiệm hình sốgiao điểm đường trịn
a O;
2
đường trịn đường kính OO 1
Bài tốn 05: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM
Các ví dụ
Ví dụ Cho tam giác ABC đường trịn ( )O Trên AB lấy điểm E cho BE 2AE , F = trung điểm AC I đỉnh thứtư hình bình hành AEIF Với điểm P đường tròn ( )O , ta dựng điểm Q cho
+ + =
PA 2PB 3PC 6IQ Tìm tập hợp điểm Q P thay đổi ( )O
Lời giải
Gọi K điểm xác định
+ + =
KA 2KB 3KC
Khi
( )
( )
+ +
+ + =
= +
KA KA AB KA AC
1
AK AB AC
3
I F O
A
C B
Q O' E
(8)Mặt khác AEIF hình bình hành nên AI AE AF= + =1AB+1AC
3 nên
K I
Từ giả thiết suy 6PK+(KA 2KB 3KC+ + )=6IQPK=IQ , hay PI IQ = Vậy Ð PI( )=Q mà P di động đường tròn ( )O nên Q di động
đường tròn ( )O' , ảnh đường tròn ( )O qua phép đối xứng tâm I
Ví dụ Cho đường tròn ( )O dây cung AB cốđịnh, M điểm di
động ( )O , M khơng trùng với A,B Hai đường trịn ( ) ( )O , O
qua M tiếp xúc với AB A B Gọi N giao điểm thứ hai ( )O 1 ( )O2 Tìm tập hợp điểm N M di động
Lời giải
Gọi I=MNAB, ta có 2= ( )
IA IM.IN
Tương tự IB2=IM.IN ( )
Từ ( )1 ( )2 suy IA IB nên I = trung điểm AB
Gọi P giao điểm thứ hai MN với đường tròn ( )O
Dễ thấy PI/ O( )= −IM.IP= −IA.IB= −IA
Do −IM.IN= −IM.IPIN IP v= ậy I trung điểm NP
( )=
I
Ð P N, mà P di động đường tròn ( )O nên N di động đường tròn ( )O' ảnh đường tròn ( )O qua phép đối xứng tâm I
P I
N O2
M
O
B A
O1
(9)Vậy tập hợp điểm N đường tròn ( )O' ảnh đường tròn ( )O qua phép
đối xứng tâm I
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
21. Tìm ảnh đường thẳng d : 3x 4y − + = qua phép đối xứng tâm (− )
I 1;
22 Cho hai đường thẳng d : 3x y 1 − − = d : x y 02 + = Phép đối xứng tâm I biến d thành d ' : 3x y bi1 − + = ến d thành d ' : x y + − =
23.Cho đường cong ( )C : y=1
x điểm A 2; 3(− ) Viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ cắt đường cong ( )C hai điểm M,Nsao cho
+
2
AM AN nhỏ
24. Trên cạnh AB,BC,CD,DA hình bình hành ABCD lấy điểm
A',B',C',D' cho A' B'C' D' hình bình hành Chứng minh hai
hình bình hành có tâm
25.Cho hai điểm A,C đường trịn ( )O Dựng hình bình hành ABCD có
hai đỉnh B,D thuộc ( )O
26.Cho hai đường tròn ( ) ( )O , O' cắt hai điểm phân biệt A,B Dựng
đường thẳng d qua A căt ( )O M cắt ( )O' N cho A
trung điểm MN
27 a) Cho góc xOy điểm A thuộc miền góc Hãy dựng
đường thẳng qua A cắt Ox,Oy theo thứ tự M,N cho A trung
điểm MN
b) Chứng minh đường thẳng qua A cắt Ox,Oy C, D
(10) oup: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/