Phép đối xứng trục - Chuyên đề Hình học 11 - Tài liệu học tập - Hoc360.net

• Bi ến đường tròn thành đườ ng tròn có cùng bán kính.. Bên ngoài tam giác ABC d ự ng các hình vuông ABDE và ACFG.. độ dài cho trướ c).[r]

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC A CHUẨN KIẾN THỨC

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA 1 Định nghĩa:

Cho đường thẳng d Phép biến hình biến điểm M thuộc d thành nó, biến điểm M khơng thuộc d thành điểm

M ' cho d đường trung trực đoạn MM' gọi phép đối xứng qua đường thẳng d , hay gọi phép đối xứng trục d

Phép đối xứng trục có trục đường thẳng d kí hiệu Ðd Như

vậy Ð Md( )=M'IM= −IM' với I hình chiếu vng góc M

d

Nếu Ðd( ) ( )H  = H d gọi

là trục đối xứng hình ( )H

2 Biểu thức tọa độ phép đối xứng trục:

Trong mặt phẳng Oxy , với điểm M x; y( ), gọi M' x'; y'( )=Ð M d( ) Nếu chọn d trục Ox ,  = = −x' x

d I

M

Nếu chọn d trục Oy ,  = − =



x' x y' y

3 Tính chất phép đối xứng trục:

• Bảo tồn khoảng cách hai điểm

• Biến đường thẳng thành đường thẳng

• Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng đoạn cho • Biến tam giác thành tam giác tam giác cho • Biến đường trịn thành đường trịn có bán kính

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA ĐỐI XỨNG TRỤC Phương pháp:

Đểxác định ảnh ( )H' hình ( )H qua phép đối xứng trục ta dùng cách sau:

• Dùng định nghĩa phép đối xứng trục

• Dùng biểu thức tọa độ phép đối xứng trục mà trục đối xứng trục tọa độ

• Dùng biểu thức vec tơ phép đối xứng trục Các ví dụ

Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M 1; 5( ), đường thẳng

+ + =

d : x 2y đường tròn ( ) 2+ 2+ − − =

C : x y 2x 4y a) Tìm ảnh M,d ( )C qua phép đối xứng trục Ox b) Tìm ảnh M qua phép đối xứng qua đường thẳng d

Lời giải

a) Gọi M',d', C' theo th( ) ứ tự ảnh M,d, C qua ( ) Ðox, M' 1; ( − )

Lấy M x; y( ) d x 2y (1) + + =

Gọi N x'; y' ( ) ảnh M qua phép đối xứng Ð ox Ta có  = = −  = = −

 

x' x x x'

y' y y y' Thay vào ( )1 ta

− + =

x' 2y' Vậy d' : x 2y − + =

- Tìm ảnh ( )C

Cách 1: Ta thấy ( )C có tâm I(−1; bán kính ) R=3

Gọi I',R' tâm bán kính ( )C' I' 1; (− − ) R ' R= =3,

( ) ( + ) (2+ + )2=

C' : x y

Cách 2: Lấy ( ) ( )  2+ 2+ − − = ( )

P x; y C x y 2x 4y Gọi Q x'; y' ( ) ảnh P qua phép đối xứng Ð Ta có ox

 =  =   = −  = −

 

x' x x x'

y' y y y' thay vào ( )2 ta + + + − =

2

x' y' 2x' 4y' , hay ( ) 2+ 2+ + − =

C' : x y 2x 4y

b) Đường thẳng d 1 qua M vng góc với d có phương trình − + =

2x y

Gọi I d= d t1 ọa độđiểm I nghiệm hệ

( )

 + + =  = −

  − −

 − + =  = −

 

x 2y x

I 2; 2x y y

Ta có ( )  + =   = − = −    − −  +  = − = −   =  M M' I

M' I M

M M' M' I M

I

x x

x x 2x x 5

2 M' 5; 7

y y y 2y y

y

2

Ví dụ Cho hai đường thẳng d : x y , + − = d : x 2y 1 + − = đường tròn ( ) (C : x 1− ) (2+ y 1+ )2=4 Tìm ảnh d , C ( ) qua phép đối xứng trục

d

Lời giải

- Tìm ảnh d 1

Ta có d1 =d I 1;1 nên ( ) Ð Id( )=I

Lấy M 3; 0( )d1 Đường thẳng d 2 qua M vuông góc với d có phương

trình x y G− − = ọi M0= d d , t2 ọa độ M nghi0 ệm hệ  =   + − =    −   − − =        = −  x

x y 2

M ;

x y 2

y

Gọi M ' ảnh M qua Ð d M 0 trung điểm MM' nên ( − )

M' 2; Gọi d ' Ð d1 = d( )1 d ' 1 qua I M ' nên có phương trình −

− =  + − = −

y x

2x y

1 Vậy d ' : 2x y + − =

- Tìm ảnh ( )C

Đường trịn ( )C có tâm J 1; bán kính ( − ) R=2

Gọi J0=d3d tọa độ điểm J nghi0 ệm hệ

( )

 + − =  =

 

 − − =  =

 

x y x

J 2; x y y

Gọi J' Ð J = d( ) J 0 trung điểm JJ' nên J' 3;1 ( )

Gọi ( )C' =Ðd( )( )C J' tâm ( )C' bán kính ( )C' R' R = = Vậy ( ) (C' : x 3− ) (2+ y 1− )2=4

Bài toán 02: DÙNG PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH

Phương pháp:

Để dựng điểm M ta tìm cách xác định ảnh điểm

biết qua phép đối xứng trục, xem M giao điểm

đường cốđịnh với ảnh đường biết qua phép đối xứng trục

Các ví dụ

Ví dụ Dựng hình vuông ABCD biết hai đỉnh A C nằm đường thẳng d 1 hai đỉnh B,D thuộc hai đường thẳng d ,d 2 3

Phân tích: Giả sửđã dựng hình vng ABCD, thỏa điều kiện toán Do A,C d AC tr 2 ục

đối xứng hình vng ABCD Mặt khác B d nên  D d ' 

 =D d ' d 2  3

Hai điểm B,D đối xứng qua đường thẳng d 1

Nên ( )=

1

d

Ð B D' , lại có

 3 = 3 2

D d D d d '

Cách dựng:

- Dựng = ( )

1

2 d

d ' Ð d , gọi D d= 2d ' 2

- Dựng đường thẳng qua D vng góc với d t1 ại O cắt d t2 ại B

- Dựng đường trịn tâm O đường kính BD cắt d t1 ại A,C (Kí hiệu

điểm A,C theo thứ tựđể tạo thành tứ giác ABCD )

Chứng minh: Từ cách dựng suy ABCD hình vng

Biện luận:

Trường hợp 1. d c2 d 3

Nếu d ' d ví d2  3 ụđã cho có nghiệm hình Nếu d '2 d ví d3 ụđã cho vơ nghiệm hình

Trường hợp 2. d2 d3,

Nếu d 1 song song cách d 2 d có vơ s3 ố nghiệm hình ( h2 ) Nếu d h1 ợp với d ,d m2 3 ột góc 45 có m ột nghiệm hình ( h3 )

Nếu d song song không cách d ,d ho2 ặc d không h1 ợp d ,d m2 ột

góc 45 ví d ụđã cho vơ nghiệm hình

d2

d2'

d3

d1

h1

O C

B

A

Ví dụ Cho hai đường trịn ( ) ( )C , C' có bán kính khác đường thẳng d Hãy dựng hình vng ABCD có hai đỉnh A,C nằm

( ) ( )C , C' hai đỉnh lại nằm d

Lời giải h2

O C

B

A

D

d2

d1

d3

h3 D

A B

Phân tích:

Giả sửđã dựng hình vng ABCD thỏa mãn đề Ta thấy hai

đỉnh B,D d nên hình vng hồn 

tồn xác định biết C Ta có A,C

đối xứng qua d nên C thuộc đường tròn ( )C , 1 ảnh đường tròn ( )C qua Ð Md ặt khác

( ) ( ) ( )

   

C C' C C C' Từđó suy cách dựng

Cách dựng:

- Dựng đường tròn ( )C ảnh ( )C qua Ð d

- Từđiểm C thuộc ( ) ( )C1  C' dựng điểm Ađối xứng với C qua d Gọi

= 

I AC d

- Lấy d hai điểm BD cho IB ID IA = =

Khi ABCD hình vng cần dựng

Chứng minh:

Dễ thấy ABCD hình vng có B,D d , C( )C' Mặt khác A,C đối xứng qua d mà C( )C'  A Ðd( ) ( )C' = C hay A thuộc ( )C

Biện luận:

Số nghiệm hình sốgiao điểm ( )C 1 ( )C'

Bài toán 03: DÙNG PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP HỢP ĐIỂM

Phương pháp:

(C') (C1)

(C) d

D

I C

Sử dụng tính chất : Nếu N Ð M v= d( ) ới M di động hình ( )H N di

động hình ( )H' - ảnh hình ( )H qua phép đối xứng trục d Các ví dụ

Ví dụ Trên đường tròn (O,R) cho hai điểm cốđịnh A,B Đường trịn (O'; R' ti) ếp xúc ngồi với ( )O A Một điểm M di động ( )O MA cắt ( )O' điểm thứ hai A' Qua A' kẻđường thẳng song song với AB cắt

MB B'

Tìm quỹtích điểm B'

Lời giải

Gọi C A' B'= ( )O' Vẽ

tiếp tuyến chung ( )O ( )O' điểm A Ta có A'CA xAM =

=ABM BB'A' =

ABB'C hình thang cân Gọi d trục đối xứng hình thang Ð Cd( )=B' mà C di

động đường tròn

( )O' nên B' di động đường tròn ( )O'' ảnh ( )O' qua Ð d

Ví dụ Cho tam giác ABC có tâm đường trịn nội tiếp I , P điểm nằm tam giác Gọi A',B',C' điểm đối xứng với P đối xứng qua IA,IB,IC Chứng minh đường thẳng AA',BB',CC' đồng quy

d

O''

C A' B'

O x

x' A

B O'

Lời giải

Giả sửđiểm P nằm tam giác IAB Gọi P ,P ,P 1 2 3 đối xứng với P qua cạnh BC,CA,AB Ta chứng minh AA',BB',CC' đồng quy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác P P P

Hiển nhiên ta có AP2=AP v3 ậy để chứng minh AA' trung trực P P ta c2 3 ần chứng minh

=

2

P AA' P AA'

Ta có P AA' P AP PAA' 23 = 3 + = α 2β+

Tương tự P AA' P AC CAA' CAP CAA'2 = + = +

=2α 2β+ Vậy P AA' P AA' nên AA' trung tr2 = ực P P

Tương tự BB',CC' trung trực P P P P nên chúng đồng

quy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác P P P 1 3

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x 2y Tìm + − = ảnh d qua phép đối xứng trục có trục

a) Ox b) Oy

10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x y 0− − =

đường tròn ( ) (C : x 2− ) (2+ y 3− )2=4

a) Tìm ảnh d, C ( ) qua phép đối xúng trục Ox

P2

P3

P1 A' I A

B

b) Viết phương trình đường tròn ( )C' , ảnh ( )C qua phép đối xứng qua

đường thẳng d

11

a) Cho đường thẳng d hai điểm A,B nằm phía d Xác định

điểm M d cho MA MB+ nhỏ

b) Cho x 2y Tìm giá tr− + = ị nhỏ biểu thức ( ) ( ) ( ) ( )

= − 2+ − + − 2+ −

T x y x y

12. Cho A 2;1( ) Tìm điểm B trục hồnh điểm C đường phân giác góc phần tư thứ để chu vi tam giác ABC nhỏ

13. Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Bên tam giác ABC dựng hình vng ABDE ACFG

a) Gọi K trung điểm EG Chứng minh K nằm đường thẳng AH

b) Gọi P giao điểm DE FG Chứng minh P nằm đường thẳng AH

c) Chứng minh đường thẳng AH,CD,EF đồng qui

14. Cho tam giác ABC cân A Biết cạnh AB nằm đường thẳng d , 1 canh BC nằm đường thẳng d , c2 ạnh AC qua M Hãy xác định

đỉnh tam giác ABC

15. Cho điểm A đường thẳng d không qua A Trên d đặt đoạn BC a ( = a0 cho trước) Tìm vị trí đoạn BC để tổng

+

AB AC nhỏ nhất.

độdài cho trước) Tìm vị trí đoạn AB CD cho tổng

+ + +

MA MB MC MD nhỏ

17. Cho hai hình vng ABCD AB'C' D' có chung đỉnh A có cạnh

đều a Hãy phép đối xứng trục biến hình vng ABCD thành hình vng AB'C' D'

18. Gọi d A đường phân giác A tam giác ABC Chứng minh với điểm M d , chu vi tam giác MBC không nhA ỏhơn chu vi

tam giác ABC

19. Cho tam giác ABC cân A Với điểm M cạnh BC , ta dựng hình bình hành APMQ ( P thuộc cạnh AB Q thuộc cạnh AC ) Tìm tập hợp ảnh điểm M phép đối xứng qua đường thẳng PQ

20. Cho tam giác nhọn ABC

a) Gọi D điểm cốđịnh cạnh BC Xác định điểm E,F AB AC cho chu vi tam giác DEF nhỏ

b) Cho D thay đổi cạnh BC Dựng tam giác DEF có chu vi nhỏ với E,F thuộc cạnh AB,AC Chứng minh chu vi tam giác

oup: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/