Đang tải... (xem toàn văn)
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. (GIẢI TÍCH)[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG A, ĐƯỜNG THẲNG
I, Lý thuyết 1, Các công thức
* Cho a(x1,y1) b
(x2,y2) đó:
a ± b= (x1 ± x2; y1 ± y2) ka
= (kx1; ky1) a =
1 y
x a b= x1.x2 + y1y2
= a.b.cos
a = kb
2
2
,
ky y
kx x
cùngphuong b
a
* Cho A(xA, yA) B(xB, yB) đó: B
A = (xB – xA; yB – yA) AB = (xB xA)2(yB yA)2
k ky y y
k kx x x B
kM A M
B A M
B A M
1
Nếu M trung điểm AB thì:
2
B A M
B A M
y y y
x x x
2, Phương trình tổng quát đường thẳng
- P.tr đường thẳng () có dạng: Ax + By + C = 0 (A2 + B2 ≠ 0) VTPT: n = (A;B) VTCP: u = (-B;A)
với n với u//
3, Phương trình tham số đường thẳng - P.tr đt () có dạng:
0 y bt y
x at x
với tR
VTCP: u = (a,b) điểm M(x0,y0) 4, Phương trình tắc đường thẳng
- P.tr đt () có dạng:
b y y a
x
x 0 0
VTCP: u = (a;b) điểm M(x0,y0) 5, Khoảng cách từ M(x0;y0) đến : Ax + By + C = 0
d(M,) = 2 2
0
B A
C By Ax
(2)Nhận xét:
- Trong ABC độ dài đường cao AH = d(M,BC)
- Đường thẳng () tiếp tuyến đường tròn (C)
R b a tâmI( ; )
↔ d(I,)= R
-Ptr đường phân giác góc tạo bởi: (1): A1x + B1y+ C1 =
(2): A2x + B2y + C2 = cắt
2 2
2 2
1
1 1
B A
C y B x A B
A
C y B x A
-khử trị tuyệt đối ta có đường phân giác
6, Góc hai đường thẳng
- Đường thẳng (1): A1x + B1y+ C1 = n1
= (A1;B1)
- Đường thẳng (2): A2x + B2y + C2 = n2
= (A2;B2) góc hai đường thẳng:
cos
) )(
(
2 2 2 1
2
B A B A
B B A A
= ?
II, Bài toán:
1,Viết ptr đường thẳng - Phương pháp:
+ Để viết ptr đt () phải:
( , )
:
) , ( 0 0
B A n VTPT
y x quaM
+ P.tr tổng quát đt (): A(x – x0) + B(y – y0) = 0 - Chú ý:
+ VTCP: u = (A;B) VTPT n = (-B;A)
+ () // (d): Ax + By + C = VTPT () n = (A, B)
+ () (d): Ax + By + C = VTPT () n= (-B;A)
+ (∆) có hệ số góc k pt (∆): y = k.x + b
2,Tìm hình chiếu A lên đt ()
-Phương pháp:
-Cách 1:
-Viết pt đt (d )
( ) n u ?
quaA
d
p tr đt (d ): ?
-Tìm: I = ()(d) tọa độ I la nghiêm hệ: I
y x ptđt
d ptđt
?
? )
( ) (
-Vậy hình chiếu A lên đt () I
(3)-Cách 2:
-Gọi I (a;b) hình chiếu A lên đt () :
? ? ? ) ( ) ( ) ( I b a pt u I A pt I
Nhận xét: -độ dài AI kc từ A đến (∆)
-khoảng cách nhỏ từ A đến điểm (∆) là AI 3,Tìm điểm đối xứng A qua đt (∆)
Phương pháp:
-Tìm hình chiếu A lên đt () I
-Gọi B điểm đối xứng A qua đt ()thì I trung điểm
AB
-Ta có: ?
? ? 2 B y x y y y x x x B B B A I B A I
4,Bài toán tam giác ABC
4.1,Điểm đặc biệt tam giác ABC a,Trọng tâm G
-Ta có: ?
? ? G y y y y x x x x C B A G C B A G
b,Trực tâm H(a;b)
-Ta có: ?
? ? H b a C A H B AC BH C B H A BC AH
c,Tâm đường trịn ngoại tiếp I(a;b)
-Ta có: ?
? ? ) ( ) ( 2 2 I b a pt CI AI pt BI AI
4.2,Các đường thường gặp tam giác ABC
a,Trung tuyến AM: :?
? : ?
:AM vtpt n pt vtcp quaA quaM quaA
với :M trung điểm BC
b,Đường cao AH: :?
? :n BC pt vtpt quaA BC quaA
c,Trung trực cạnh AB: :?
? :n AB pt vtpt quaN AB quaN
(4)B, ĐƯỜNG TRÒN I, Lý thuyết
1, Các công thức
- Dạng tổng quát: (x – a)2 + (x – b)2 = R2
Tâm I(a;b) bán kính R
- Dạng khai triển: x2 + y2 - 2ax -2 by + c = 0 Điều kiện: a2 + b2 – c > 0
Tâm I(a;b) bán kính R = a2b2 c
II, Bài toán
1, Viết ptr đường tròn
a, Viết pt tổng quát đường trịn
phương pháp:
- Tìm tọa độ tâm I(a;b) - Tìm bán kính R = ?
- Kết luận: ptr tổng quát đ.tròn: (x – a)2 + (x – b)2 = R2 * Nhận xét:
+Điểm M (C) ↔ MI=R
+đường tròn đường kính AB↔Tâm I trung điểm AB R=IA=IB= AB2 + Đường thẳng tiếp tuyến (C) ↔
d(I/) = R
b, Viết ptr đ.tròn qua điểm: A(xA,yA); B(xB,yB); C(xC,yC)
phương pháp:
- Gọi ptr đ.tròn (C): x2 + y2 - 2.ax - 2.by + c = 0 với đk: a2 + b2 –c >0 - Vì A, B, C (C)thay tọa độ điểm vào (C) hệ ptr ẩn
? ? ? c b a
- Kết luận:
c,viết pt đ tr(C) thảo mãn:
đt( )
tâmI quaB quaA
phương pháp:
- Gọi ptr đ.tròn (C): x2 + y2 - 2.ax - 2.by + c = 0 với đk: a2 + b2 –c >0 Ta có tâm I(a;b)
-VÌ I() nên thay tạo độ vào pt đt () pt(1)
(5)-Giải hệ ptr ẩn
? ? ? c b a
(kt đk) -Kêt luận:
2, Viết ptr tiếp tuyến (C): Tâm I(a,b) bán kính R
a, Ptr tiếp tuyến (C) M0(x0,y0) (C) tiếp tuyến:
thỏa mãm : :?
) ; ( :
) , (
0
0
0 pt
b y a x M I n VTPT
y x quaM
b,Ptr tiếp tuyến (C) qua M(x1,y1):
phương pháp:
-xác định tâm I(a;b)và bán kính R đường trịn (C) -kiểm tra M có thuộc đường trịn (C) khơng ?
+Nếu M (C) pt tt: :?
) ; ( :
) , (
1
1
1 pt
b y a x M I n VTPT
y x quaM
+Nếu M(C) :
- Ptr đường thẳng qua M(x1,y1) có hệ số góc k có dạng: y = k.(x- x1 )+ y1 ↔ k.(x- x1 )-y+ y1 =0
- Để đường thẳng tiếp tuyến (C) thì:
d(I/) = R ( 1) ?
) (
2
1
k R k
y b x a k
pt tiếp tuyến: ?
Nhận xét: + Nếu M(C) có pt tt qua M
+Nếu có pt tt pt tt khơng có hệ số góc là: x = x1 c, Ptr tiếp tuyến (C) có hệ số góc k
phương pháp:
-xác định tâm I(a;b)và bán kính R đường trịn (C)
-pt đt có hệ số góc k có dạng: y = k.x + c ↔ k.x - y +c =0
- Để đường thẳng tiếp tuyến (C) thì:
d(I/) = R ( 1)2 ?
c R k
c b ka
pt tiếp tuyến: ? Nhận xét: +Có pt tt cần tìm
+Nếu : tiếp tuyến // đt : y = ax + b k = a
+Nếu : tiếp tuyến đt : y = ax + b k = a
1
III-BÀI TẬP
(6)1, VTPT: n = (4;-3)
2, VTCP: u = (-1,4)
3, Qua N(1;6)
4, Vng góc với (d1): 2x – y + =
5, Song song với (d2): 3x + 2y – =
6,có hệ số góc k =
7,vng góc với đường thẳng có hệ số góc k = -3 Bài 2: Cho (): x + y + = điểm A(6;0)
1, Tìm điểm B đối xứng với A qua ()
2, Viết ptr đt qua A // với ()
Bài 3: Cho A(1;2) B(-1;3) C(0;1)
1, Viết ptr đt cạnh
2, Viết ptr đường cao AH, trung tuyến AN
3, Tìm góc A
Bài 1: 1,Viêt ptr đ.tròn qua A(1,2); B(1,-3); C(3,2)
2, Viêt ptr đ.tròn qua M(1,4) tiếp xúc với Ox, Oy
Bài 2: Cho ptr đ.tr: x2 + y2 + 2x + 2y – = 0
(7)C, BA ĐƯỜNG CONIC
STT Tên Trục Tiêu điểm Tiêu điểm Tâm sai Đường chuẩn
PT t2 tại
M0(x0;y0)
conic
Đk để đt Ax+By+C=0 Là tt conic
1
Elip(E):
1
2 2
b y a x
a>b
Trục lớn Ox:2a Trục bé Oy: 2b
c2 = a2 - b2
F1(-c, 0)
: x =
-e a
F1F2 = 2c
F2 = (c,0)
:x =
e
a e = a c
12
: x = ±
e a
1
2
b y y a
x
x A2a2 + B2b2 = C2 a<b
Trục lớn Oy:2b Trục bé Ox: 2a
c2 = b2 - a2
F1(0, -c)
: y =
-e b
F1F2 = 2c
F2 = (0,c)
: x =
e
b e = b c
12
: y = ±
e b
2
Hypebol(H )
2
2 2
b y a x
Trục thực
Ox:2a
Trục ảo Oy: 2b
c2 = a2 + b2
F1(-c, 0)
: x =
-e a
F1F2 = 2c
F2 = (c,0)
: x =
e
a e = a c
12
: x = ±
e a
1
2
b y y a
x
x A2a2 - B2b2 = C2
1
2 2
b y a x
Trục thực Oy:2b Trục ảo Ox: 2a
c2 = b2 + a2
F1(0, -c)
: y =
-e b
F1F2 = 2c
F2 = (0,c)
: x =
e
b e = b c
12
: y = ±
e b
1
2
a x x b
y y
B2b2 - A2a2= C2
3
Parabol
y2 = 2px
Trục đ.xứng: Ox
Đỉnh: S(0;0) F(-
p
;0)
2 :x p
y0y= p(x+x0) pB2 = 2AC
y2 = -2px Trục đ.xứng: Ox
Đỉnh: S(0;0) F(-
p
;0)
2 :xp
(8)Ví dụ: Cho 2x2 + 3y2 = 6
1, Xác định đặc điểm Conic
2, Viết ptr tiếp tuyến Conic qua A(- 3;0)
3, Viết ptr tiếp tuyến Conic qua B(4;0)
4, Viết ptr tiếp tuyến Conic // với : x – 2y + =
5, Viết ptr tiếp tuyến Conic với (d): 2x – 3y + =
Bài 1: Cho (P): y2 = 2px
1, Xác định đặc điểm (P)
2, Viết ptr tiếp tuyến (P) qua A(2;2) 3, Viết ptr tiếp tuyến (P) qua B(-2;0)
4, Viết ptr tiếp tuyến (P) // với : x – 2y + =
5, Viết ptr tiếp tuyến (P) với (d): x – y + =
6, Viết ptr tiếp tuyến (P) tạo với (d1): 2x – y = góc 450 Bài 2: Cho (P): y2 = 16x Viết ptr tiếp tuyến (P):
1, qua A(1;2) 2, qua B(1;-4)
3, Vng góc với (d): 2x – y + =
Bài 3: Cho (E): 4x2 + 12y2 = 48
1, Xác định yếu tố (E) 2, Viết ptr tiếp tuyến qua A(0;-2)
3, Viết ptr tiếp tuyến // với : x + y =
4, Viết ptr tiếp tuyến // với (d): x – y + = 5, Viết ptr tiếp tuyến có hệ số góc K =
Bài 4: Cho (E):
2
y
x
1, Xác định yếu tố (E) 2, Viết ptr tiếp tuyến qua A(3,0) 3, Viết ptr tiếp tuyến qua B(2,3)
4, Viết ptr tiếp tuyến // với : x -2y - =
5, Viết ptr tiếp tuyến // với (d): x – y + =
6, Viết ptr tiếp tuyến tạo với đt: 2x – y = góc
4
Bài 5: Cho (H):
2
y
x
1, Xác định yếu tố (H) 2, Viết ptr tiếp tuyến qua A(3,0) 3, Viết ptr tiếp tuyến qua B(2,3)
4, Viết ptr tiếp tuyến // với : x -2y + =
(9)CHUN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
(GIẢI TÍCH)
A, Các khái niệm bản
I, Véc tơ tọa độ không gian a = x.i y.j z.k a(x,y,z)
Cho a(x1,y1,z1) b= (x2,y2,z2) Khi ta có tính chất sau:
1, a ± b= (x1±x2, y1±y2, z1±z2) 2,k.a
= (kx1,ky1,kz1)
3, ab a.b= x1x2 + y1y2 + z1z2=0 4, 12 2
1 y z
x
a
5, a.b= x1x2 + y1y2 + z1z2 = a b.cos
gọi tích vơ hướng
6, cos =
2 2 2 2 2 2
x y z
z y x z z y y x x 7, 2 kz z ky y kx x b k a
8, Tích có hương: , ; ; ?
2 1 2 1 2 1 y x y x x z x z z y z y b a n Nhận xét:-ta có:
n b n a
-ta có:n a.b.sin
- Cho OM x.iy.jz.k M(x,y,z)
- Cho A(xA,yA,zA) B(xB,yB,zB) Khi ta có:
1, AB = (xB-xA, yB-yA,zB-zA) 2,AB = (xA xB)2(yA yB)2(zA zB)2
3, k kz z z k ky y y k kx x x MB k MA B A M B A M B A M 1
3, M trung điểm AB
2 B A M B A M B A M z z z y y y x x x
B, Bài toán
Bài toán 1: Chứng minh a,b,c đồng phẳng
* Phương pháp:
- Tính na;b = ?
- Tính n.c = ?
+ Nếu n.c= a,b,c đồng phẳng
+ Nếu n.c≠ a,b,c khơng đồng phẳng
* Ví dụ: Xét đồng phẳng
1, a = (1;-1;1) b= (0;1;2) c= (4;2;3)
2, a = (4;3;4) b = (2;-1;2) c= (1;2;1)
(10)- Tính AB?;AC?;AD?
- Tính nAB,AC?
- Tính n.AD = ?
+ Nếu n.AD = A,B,C,D đồng phẳng
+ Nếu n.AD ≠ A,B,C,D không đồng phẳng
* Ví dụ: Xét đồng phẳng
1, A(1,2,3) B(3,2,1) C(-3,2,-1) D(4,2,1) 2, A(-1,-2,1) B(3,-2,1) C(2,1,1) D(-2,1,1)
Bài tốn 3: Tính diện tích ABC
* Phương pháp:
S = , ( )( )( )
2
c p b p a p p AC
AB =?
Với p = a2bc
* Ví dụ: Tính diện tích ABC
1, A(1;2;3) B(4;-1;2) C(1;-2;6) 2, A(0;-1;3) B(-2;3;2) C(-1;1;4)
Bài toán 4: Tìm đường cao AH ABC
* Phương pháp:
- Tính SABC ? BC = ?
- Ta có: S ABC AH.BC AH BC2S
2
=?
* Ví dụ: Tìm độ dài đường cao ABC
1, A(1;2;3) B(-1;2;1) C(1;1;3) 2, A(0;1;2) B(-1;2;3) C(1;2;1)
Bài tốn 5: Tìm thể tích tứ diện ABCD
* Phương pháp: - Tính AB?
?
AC ?
AD
- Tính nAB,AC? ? AD
n
- Thể tích khối tứ diện: V n.AD
6
=?
Bài tốn 6: Tính đường cao AH tứ diện ABCD
* Phương pháp:
- Tìm VABCD ?
- Tìm SBCD ?
1 V
(11)2, A(4;-2;-1) B(0;1;0) C(1;2;1) D(1;3;5) *****************************
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ( )
I, Lý thuyết
1, Phương trình tổng quát ( )
Ax + By + Cz + D = ( )
VTPT: n = (A,B,C) với n( )
- Với M0(x0;y0;z0) ( ) Ax0 + By0 + Cz0 + D =
- u(a,b,c) véc tơ phương ( ) Aa + Bb + Cc =
2, Góc hai mặt phẳng
- Hai mặt phẳng: (1): A1x + B1y + C1z + D =
(2): A2x + B2y + C2z + D =
- Góc hai mặt phẳng góc
2 2 2 2 2
2 2
1
cos
C B A C B A
C C B B A A n
n n n
?
- Nếu = 900 hay ( ) ( ) . 0 2
1 n n
3, Vị trí tương đối hai mặt phẳng
- Cho hai mặt phẳng: (1): A1x + B1y + C1z + D =
(2): A2x + B2y + C2z + D =
- Ta có: n1
= (A1;B1;C1) n2
= (A2;B2;C2)
+ Nếu :
2 2
C C B B A A
(1) (2) = d
+ Nếu:
2 2
D D C C B B A A
(1) // (2)
+ Nếu:
2 2
D D C C B B A A
(1) (2)
II, Bài tốn
Bài toán 1: Viết p.tr ( )
( ; ; ) :
) ; ; ( 0 0 0
C B A n VTPT
z y x quaM
Với A2+B2+C2 ≠