CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG

GV:Nguyễn Xuân Lộc -0974.554.204 THPT Nam Sách II CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG A, ĐƯỜNG THẲNG I, Lý thuyết 1, Các công thức * Cho a  (x 1 ,y 1 ) và b  (x 2 ,y 2 ) khi đó: a  ± b  = (x 1 ± x 2 ; y 1 ± y 2 ) k a  = (kx 1 ; ky 1 ) a  = 2 1 2 1 yx + a  . b  = x 1 .x 2 + y 1 y 2 = α cos ba   a  = k b       = =⇔ 21 21 , kyy kxx cùngphuongba   * Cho A(x A , y A ) và B(x B , y B ) khi đó: BA  = (x B – x A ; y B – y A ) AB = 22 )()( ABAB yyxx −+−      − − = − − = ⇔= k kyy y k kxx x BkMAM BA M BA M 1 1   Nếu M là trung điểm của AB thì:      + = + = 2 2 BA M BA M yy y xx x 2, Phương trình tổng quát của đường thẳng - P.tr đường thẳng ( ∆ ) có dạng: Ax + By + C = 0 (A 2 + B 2 ≠ 0) ⇒ VTPT: n  = (A;B) VTCP: u  = (-B;A) với ∆⊥ n  với ∆≡ //u  3, Phương trình tham số của đường thẳng - P.tr đt ( ∆ ) có dạng:    += += 0 0 ybty xatx với t R∈ ⇒ VTCP: u  = (a,b) và điểm M(x 0 ,y 0 ) ∆∈ 4, Phương trình chính tắc của đường thẳng - P.tr đt ( ∆ ) có dạng: b yy a xx 00 − = − ⇒ VTCP: u  = (a;b) và điểm M(x 0 ,y 0 ) ∆∈ 5, Khoảng cách từ M(x 0 ;y 0 ) đến ∆ : Ax + By + C = 0 d (M, ∆ ) = 22 00 BA CByAx + ++ = ? 1 GV:Nguyễn Xuân Lộc -0974.554.204 THPT Nam Sách II Nhận xét: - Trong ∆ ABC độ dài đường cao AH = d (M,BC) - Đường thẳng ( ∆ ) là tiếp tuyến của đường tròn (C)    R batâmI );( ↔ d (I, ∆ ) = R -Ptr đường phân giác của góc tạo bởi: ( 1 ∆ ): A 1 x + B 1 y+ C 1 = 0 và ( 2 ∆ ): A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 cắt nhau là 2 2 2 2 222 2 1 2 1 111 BA CyBxA BA CyBxA + ++ = + ++ -khử trị tuyệt đối ta có 2 đường phân giác 6, Góc giữa hai đường thẳng - Đường thẳng ( 1 ∆ ): A 1 x + B 1 y+ C 1 = 0 ⇒ 1 n  = (A 1 ;B 1 ) - Đường thẳng ( 2 ∆ ): A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ⇒ 2 n  = (A 2 ;B 2 ) ⇒ góc giữa hai đường thẳng: cos ))(( 2 2 2 2 2 1 1 2 2121 BABA BBAA ++ + = α ⇒ α = ? II, Bài toán: 1,Viết ptr đường thẳng - Phương pháp: + Để viết ptr đt ( ∆ ) phải:    = ),(: ),( 00 BAnVTPT yxquaM  + P.tr tổng quát đt ( ∆ ): A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) = 0 - Chú ý: + VTCP: u  = (A;B) ⇒ VTPT n  = (-B;A) + ( ∆ ) // (d): Ax + By + C = 0 ⇒ VTPT của ( ∆ ) n  = (A, B) + ( ∆ ) ⊥ (d): Ax + By + C = 0 ⇒ VTPT của ( ∆ ) n  = (-B;A) + (∆) có hệ số góc là k ⇒ pt (∆): y = k.x + b 2,Tìm hình chiếu ⊥ của A lên đt ( ∆ ) -Phương pháp: -Cách 1: -Viết pt đt (d )    ==⇔∆⊥ ∆ ?)( un quaA d  ⇒ p tr đt (d ): ? -Tìm: I = ⇒∩∆ )()( d tọa độ I la nghiêm của hệ: I y x ptđt dptđt ⇒    = = ⇔    ∆ ? ? )( )( -Vậy hình chiếu ⊥ của A lên đt ( ∆ ) là I 2 GV:Nguyễn Xuân Lộc -0974.554.204 THPT Nam Sách II -Cách 2: -Gọi I (a;b) là hình chiếu ⊥ của A lên đt ( ∆ ) thì : ? ? ? )2(0. )1()( I b a ptuIA ptI ⇒    = = ⇒    ⇒= ⇒∆∈ ∆   Nhận xét: -độ dài AI là kc từ A đến (∆) -khoảng cách nhỏ nhất từ A đến một điểm trên (∆) là AI 3,Tìm điểm đối xứng của A qua đt (∆) Phương pháp: -Tìm hình chiếu ⊥ của A lên đt ( ∆ ) là I -Gọi B là điểm đối xứng của A qua đt ( ∆ )thì I là trung điểm của AB -Ta có: ? ? ? 2 2 B y x yyy xxx B B BAI BAI ⇒    = = ⇒    += += 4,Bài toán trong tam giác ABC 4.1,Điểm đặc biệt trong tam giác ABC a,Trọng tâm G -Ta có: ? ? 3 ? 3 G yyy y xxx x CBA G CBA G ⇔      = ++ = = ++ = b,Trực tâm H(a;b) -Ta có: ? ? ? 0. 0. H b a CAHBACBH CBHABCAH ⇔    = = ⇔    =⇔⊥ =⇔⊥     c,Tâm đường tròn ngoại tiếp I(a;b) -Ta có: ? ? ? )2( )1( 22 22 I b a ptCIAI ptBIAI ⇔    = = ⇔    ⇔= ⇔= 4.2,Các đường thường gặp trong tam giác ABC a,Trung tuyến AM: ?: ?:?: pt nvtptMAvtcp quaA quaM quaA ⇔    =⇔= ⇔      với :M là trung điểm của BC b,Đường cao AH: ?: ?: pt CBnvtpt quaA BC quaA ⇔    == ⇔    ⊥   c,Trung trực của cạnh AB: ?: ?: pt BAnvtpt quaN AB quaN ⇔    == ⇔    ⊥   với :N là trung điểm của AB 3 GV:Nguyễn Xuân Lộc -0974.554.204 THPT Nam Sách II B, ĐƯỜNG TRÒN I, Lý thuyết 1, Các công thức - Dạng tổng quát: (x – a) 2 + (x – b) 2 = R 2 ⇒ Tâm I(a;b) và bán kính R - Dạng khai triển: x 2 + y 2 - 2ax -2 by + c = 0 Điều kiện: a 2 + b 2 – c > 0 ⇒ Tâm I(a;b) và bán kính R = cba −+ 22 II, Bài toán 1, Viết ptr đường tròn a, Viết pt tổng quát đường tròn phương pháp: - Tìm tọa độ tâm I(a;b) - Tìm bán kính R = ? - Kết luận: ptr tổng quát của đ.tròn: (x – a) 2 + (x – b) 2 = R 2 * Nhận xét: +Điểm M ∈ (C) ↔ MI=R +đường tròn đường kính AB↔Tâm I là trung điểm AB và R=IA=IB= 2 AB + Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của (C) ↔ d (I/ ∆ ) = R b, Viết ptr đ.tròn qua 3 điểm: A(x A ,y A ); B(x B ,y B ); C(x C ,y C ) phương pháp: - Gọi ptr đ.tròn (C): x 2 + y 2 - 2.ax - 2.by + c = 0 với đk: a 2 + b 2 –c >0 - Vì A, B, C ∈ (C)thay tọa độ các điểm vào (C) ⇒ hệ ptr 3 ẩn ⇒      = = = ? ? ? c b a - Kết luận: c,viết pt đ tr(C) thảo mãn:      ∆∈ )(đttâmI quaB quaA phương pháp: - Gọi ptr đ.tròn (C): x 2 + y 2 - 2.ax - 2.by + c = 0 với đk: a 2 + b 2 –c >0 Ta có tâm I(a;b) -VÌ I ∈ ( ∆ ) nên thay tạo độ vào pt đt ( ∆ ) ⇒ pt(1) -Vì A, B ∈ (C) thay tọa độ các điểm vào (C) ⇒ pt(2) và pt(3) 4 GV:Nguyễn Xuân Lộc -0974.554.204 THPT Nam Sách II -Giải hệ ptr 3 ẩn ⇒      = = = ? ? ? c b a (kt đk) -Kêt luận: 2, Viết ptr tiếp tuyến của (C): Tâm I(a,b) và bán kính R a, Ptr tiếp tuyến của (C) tại M 0 (x 0 ,y 0 ) ∈ (C) khi đó tiếp tuyến: thỏa mãm : ?: );(: ),( 00 00 pt byaxMInVTPT yxquaM ⇔    −−==+ +   b,Ptr tiếp tuyến của (C) qua M(x 1 ,y 1 ): phương pháp: -xác định tâm I(a;b)và bán kính R của đường tròn (C) -kiểm tra M có thuộc đường tròn (C) không ? +Nếu M ∈ (C) thì pt tt: ?: );(: ),( 11 11 pt byaxMInVTPT yxquaM ⇔    −−==+ +   +Nếu M ∉ (C) thì : - Ptr đường thẳng ∆ qua M(x 1 ,y 1 ) và có hệ số góc là k có dạng: y = k.(x- x 1 )+ y 1 ↔ k.(x- x 1 )-y+ y 1 =0 - Để đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của (C) thì: d (I/ ∆ ) = R ⇔ ? )1( )( 22 11 =⇔= −+ +−− kR k ybxak ⇒ pt tiếp tuyến: ? Nhận xét: + Nếu M ∉ (C) thì có 2 pt tt qua M +Nếu có 1 pt tt thì pt tt không có hệ số góc là: x = x 1 c, Ptr tiếp tuyến của (C) có hệ số góc k phương pháp: -xác định tâm I(a;b)và bán kính R của đường tròn (C) -pt đt ∆ có hệ số góc k có dạng: y = k.x + c ↔ k.x - y +c =0 - Để đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của (C) thì: d (I/ ∆ ) = R ⇔ ? )1( 22 =⇔= −+ +− cR k cbka ⇒ pt tiếp tuyến: ? Nhận xét: +Có 2 pt tt cần tìm +Nếu : tiếp tuyến ∆ // đt : y = ax + b ⇒ k = a +Nếu : tiếp tuyến ∆ ⊥ đt : y = ax + b ⇒ k = a 1− 5 GV:Nguyễn Xuân Lộc -0974.554.204 THPT Nam Sách II III-BÀI TẬP Bài 1: Viết ptr đt đi qua M(1,2) và 1, VTPT: n  = (4;-3) 2, VTCP: u  = (-1,4) 3, Qua N(1;6) 4, Vuông góc với (d 1 ): 2x – y + 1 = 0 5, Song song với (d 2 ): 3x + 2y – 1 = 0 6,có hệ số góc k = 3 7,vuông góc với đường thẳng có hệ số góc k = -3 Bài 2: Cho ( ∆ ): x + y + 1 = 0 và điểm A(6;0) 1, Tìm điểm B đối xứng với A qua ( ∆ ) 2, Viết ptr đt qua A và // với ( ∆ ) Bài 3: Cho A(1;2) B(-1;3) C(0;1) 1, Viết ptr đt các cạnh 2, Viết ptr đường cao AH, trung tuyến AN 3, Tìm góc A Bài 1: 1,Viêt ptr đ.tròn đi qua A(1,2); B(1,-3); C(3,2) 2, Viêt ptr đ.tròn đi qua M(1,4) và tiếp xúc với Ox, Oy Bài 2: Cho ptr đ.tr: x 2 + y 2 + 2x + 2y – 1 = 0 1, Xác định tâm và bán kình của đ.tr 2, Viêt p.tr tiếp tuyến qua M (-3;0) 6 GV:Nguyễn Xuân Lộc -0974.554.204 THPT Nam Sách II C, BA ĐƯỜNG CONIC STT Tên Trục Tiêu điểm Tiêu điểm Tâm sai Đường chuẩn PT t 2 tại M 0 (x 0 ;y 0 ) ∈ conic Đk để đt Ax+By+C=0 Là tt của conic 1 Elip(E): 1 2 2 2 2 =+ b y a x a>b Trục lớn ∈ Ox:2a Trục bé ∈ Oy: 2b c 2 = a 2 - b 2 F 1 (-c, 0) 1 ∆ : x = - e a F 1 F 2 = 2c F 2 = (c,0) 2 ∆ :x = e a e = a c 12 ∆ : x = ± e a 1 2 0 2 0 =+ b yy a xx A 2 a 2 + B 2 b 2 = C 2 a<b Trục lớn ∈ Oy:2b Trục bé ∈ Ox: 2a c 2 = b 2 - a 2 F 1 (0, -c) 1 ∆ : y = - e b F 1 F 2 = 2c F 2 = (0,c) 2 ∆ : x = e b e = b c 12 ∆ : y = ± e b 2 Hypebol(H ) 1 2 2 2 2 =+ b y a x Trục thực ∈ Ox:2a Trục ảo ∈ Oy: 2b c 2 = a 2 + b 2 F 1 (-c, 0) 1 ∆ : x = - e a F 1 F 2 = 2c F 2 = (c,0) 2 ∆ : x = e a e = a c 12 ∆ : x = ± e a 1 2 0 2 0 =− b yy a xx A 2 a 2 - B 2 b 2 = C 2 1 2 2 2 2 =− b y a x Trục thực ∈ Oy:2b Trục ảo ∈ Ox: 2a c 2 = b 2 + a 2 F 1 (0, -c) 1 ∆ : y = - e b F 1 F 2 = 2c F 2 = (0,c) 2 ∆ : x = e b e = b c 12 ∆ : y = ± e b 1 2 0 2 0 =− a xx b yy B 2 b 2 - A 2 a 2 = C 2 3 Parabol y 2 = 2px Trục đ.xứng: Ox Đỉnh: S(0;0) F(- 2 p ;0) 2 : p x −=∆ y 0 y= p(x+x 0 ) pB 2 = 2AC y 2 = -2px Trục đ.xứng: Ox Đỉnh: S(0;0) F(- 2 p ;0) 2 : p x =∆ y 0 y= -p(x+x 0 ) pB 2 = -2AC 7 GV:Nguyễn Xuân Lộc -0974.554.204 THPT Nam Sách II Ví dụ: Cho 2x 2 + 3y 2 = 6 1, Xác định đặc điểm của Conic 2, Viết ptr tiếp tuyến của Conic qua A(- 3 ;0) 3, Viết ptr tiếp tuyến của Conic qua B(4;0) 4, Viết ptr tiếp tuyến của Conic // với ∆ : x – 2y + 1 = 0 5, Viết ptr tiếp tuyến của Conic ⊥ với (d): 2x – 3y + 1 = 0 Bài 1: Cho (P): y 2 = 2px 1, Xác định đặc điểm của (P) 2, Viết ptr tiếp tuyến của (P) qua A(2;2) 3, Viết ptr tiếp tuyến của (P) qua B(-2;0) 4, Viết ptr tiếp tuyến của (P) // với ∆ : x – 2y + 6 = 0 5, Viết ptr tiếp tuyến của (P) ⊥ với (d): x – y + 4 = 0 6, Viết ptr tiếp tuyến của (P) tạo với (d 1 ): 2x – y = 0 một góc 45 0 Bài 2: Cho (P): y 2 = 16x. Viết ptr tiếp tuyến của (P): 1, đi qua A(1;2) 2, đi qua B(1;-4) 3, Vuông góc với (d): 2x – y + 5 = 0 Bài 3: Cho (E): 4x 2 + 12y 2 = 48 1, Xác định các yếu tố của (E) 2, Viết ptr tiếp tuyến qua A(0;-2) 3, Viết ptr tiếp tuyến // với ∆ : x + y = 0 4, Viết ptr tiếp tuyến // với (d): x – y + 1 = 0 5, Viết ptr tiếp tuyến có hệ số góc K = 2 Bài 4: Cho (E): 1 49 2 2 =+ y x 1, Xác định các yếu tố của (E) 2, Viết ptr tiếp tuyến qua A(3,0) 3, Viết ptr tiếp tuyến qua B(2,3) 4, Viết ptr tiếp tuyến // với ∆ : x -2y - 6 = 0 5, Viết ptr tiếp tuyến ⊥ // với (d): x – y + 1 = 0 6, Viết ptr tiếp tuyến tạo với đt: 2x – y = 0 một góc 4 Π Bài 5: Cho (H): 1 49 2 2 =− y x 1, Xác định các yếu tố của (H) 2, Viết ptr tiếp tuyến qua A(3,0) 3, Viết ptr tiếp tuyến qua B(2,3) 4, Viết ptr tiếp tuyến // với ∆ : x -2y + 4 = 0 5, Viết ptr tiếp tuyến tạo với đt: x – y = 0 một góc 45 0 8 GV:Nguyễn Xuân Lộc -0974.554.204 THPT Nam Sách II CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (GIẢI TÍCH) A, Các khái niệm cơ bản I, Véc tơ và tọa độ trong không gian a  = x. kzjyi   ++ ),,( zyxa =⇔  Cho (=a  x 1 ,y 1 ,z 1 ) và b  = (x 2 ,y 2 ,z 2 ). Khi đó ta có các tính chất sau: 1, a  ± b  = (x 1 ±x 2 , y 1 ±y 2 , z 1 ±z 2 ) 2,k. a  = (kx 1 ,ky 1 ,kz 1 ) 3, a  ⊥ b  ⇔ a  . b  = 0 ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 =0 4, 2 1 2 1 2 1 zyxa ++=  5, a  . b  = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = α cos.ba   ⇔ gọi là tích vô hướng 6, cos α = 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 . zyxzyx zzyyxx ++++ ++ 7,      = = = ⇔= 21 21 21 kzz kyy kxx bka   8, Tích có hương: [ ] ?;;, 22 11 22 11 22 11 =         == yx yx xz xz zy zy ban   Nhận xét:-ta có:    ⊥ ⊥ nb na    -ta có: α sin ban   = - Cho ⇔++= kzjyixOM   M(x,y,z) - Cho A(x A ,y A ,z A ) và B(x B ,y B ,z B ). Khi đó ta có: 1, AB = (x B -x A , y B -y A ,z B -z A ) 2,AB = 222 )()()( BABABA zzyyxx −+−+− 3,          − − = − − = − − = ⇔= k kzz z k kyy y k kxx x MBkMA BA M BA M BA M 1 1 1 3, M là trung điểm của AB          + = + = + = ⇔ 2 2 2 BA M BA M BA M zz z yy y xx x B, Bài toán Bài toán 1: Chứng minh a  , b  , c  đồng phẳng * Phương pháp: - Tính [ ] ban   ;= = ? - Tính cn  . = ? + Nếu cn  . = 0 ⇔ a  , b  , c  đồng phẳng + Nếu cn  . ≠ 0 ⇔ a  , b  , c  không đồng phẳng * Ví dụ: Xét sự đồng phẳng 1, a  = (1;-1;1) b  = (0;1;2) c  = (4;2;3) 2, a  = (4;3;4) b  = (2;-1;2) c  = (1;2;1) 9 GV:Nguyễn Xuân Lộc -0974.554.204 THPT Nam Sách II Bài toán 2: Cmr 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng (đồng phẳng) * Phương pháp: - Tính ??;?; === ADACAB - Tính [ ] ?, == ACABn  - Tính ADn.  = ? + Nếu ADn.  = 0 ⇔ A,B,C,D đồng phẳng + Nếu ADn.  ≠ 0 ⇔ A,B,C,D không đồng phẳng * Ví dụ: Xét sự đồng phẳng 1, A(1,2,3) B(3,2,1) C(-3,2,-1) D(4,2,1) 2, A(-1,-2,1) B(3,-2,1) C(2,1,1) D(-2,1,1) Bài toán 3: Tính diện tích của ∆ ABC * Phương pháp: S = [ ] ))()((, 2 1 cpbpappACAB −−−= =? Với p = 2 cba ++ * Ví dụ: Tính diện tích của ∆ ABC 1, A(1;2;3) B(4;-1;2) C(1;-2;6) 2, A(0;-1;3) B(-2;3;2) C(-1;1;4) Bài toán 4: Tìm đường cao AH trong ∆ ABC * Phương pháp: - Tính ?= ∆ABC S BC = ? - Ta có: BC S AHBCAHS ABC 2 . 2 1 =⇒= ∆ =? * Ví dụ: Tìm độ dài đường cao trong ∆ ABC 1, A(1;2;3) B(-1;2;1) C(1;1;3) 2, A(0;1;2) B(-1;2;3) C(1;2;1) Bài toán 5: Tìm thể tích tứ diện ABCD * Phương pháp: - Tính ?=AB ?=AC ?=AD - Tính [ ] ?, == ACABn  ?. =ADn  - Thể tích khối tứ diện: ADnV . 6 1  = =? Bài toán 6: Tính đường cao AH trong tứ diện ABCD * Phương pháp: - Tìm ?V ABCD = 10 [...]... PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ( α ) I, Lý thuyết 1, Phương trình tổng quát của ( α ) Ax + By + Cz + D = 0 (α )   ⇒ VTPT: n = (A,B,C) với n ⊥ ( α ) - Với M0(x0;y0;z0) ∈ ( α ) ⇔ Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0  - u = (a, b, c) là véc tơ chỉ phương của ( α ) ⇔ Aa + Bb + Cc = 0 2, Góc giữa hai mặt phẳng - Hai mặt phẳng: ( α 1 ): A1x + B1y + C1z + D = 0 ( α 2 ): A2x + B2y + C2z + D = 0 - Góc giữa hai mặt phẳng là góc α... góc α   n1 n2 cos α =   = n1 n 2 A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 2 2 2 2 2 A1 + B1 + C1 A2 + B2 + C 2   0 - Nếu α = 90 hay ( α 1 ) ⊥ (α 2 ) ⇔ n1 n2 = 0 2 ⇒α =? 3, Vị trí tương đối của hai mặt phẳng - Cho hai mặt phẳng: ( α 1 ): A1x + B1y + C1z + D = 0 ( α 2 ): A2x + B2y + C2z + D = 0   - Ta có: n1 = (A1;B1;C1) và n2 = (A2;B2;C2) A B C 1 1 1 + Nếu : A ≠ B ≠ C thì ( α 1 ) ∩ ( α 2 ) = d 2 2 2 A B C D . GV:Nguyễn Xuân Lộc -0974.554.204 THPT Nam Sách II CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG A, ĐƯỜNG THẲNG I, Lý thuyết 1, Các công thức * Cho a  (x 1 ,y 1 ) và b  (x 2 ,y 2 ). tạo với đt: x – y = 0 một góc 45 0 8 GV:Nguyễn Xuân Lộc -0974.554.204 THPT Nam Sách II CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (GIẢI TÍCH) A, Các khái niệm cơ bản I, Véc tơ và tọa độ trong không gian a  . đồng phẳng (đồng phẳng) * Phương pháp: - Tính ??;?; === ADACAB - Tính [ ] ?, == ACABn  - Tính ADn.  = ? + Nếu ADn.  = 0 ⇔ A,B,C,D đồng phẳng + Nếu ADn.  ≠ 0 ⇔ A,B,C,D không đồng phẳng *