Phép vị tự - Chuyên đề Hình học 11 - Tài liệu học tập - Hoc360.net

Cho tam giác ABC... Cho tam giác ABC.[r]

PHÉP VỊ TỰ

A CHUẨN KIẾN THỨC

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA

1 Định nghĩa

Cho điểm I số thực k0 Phép biến hình biến điểm M thành

điểm M ' cho IM'=k.IM gọi phép vị tự tâm I , tỉ số k Kí hiệu

( )I;k

V

Vậy V( )I;k ( )M =M'IM' k.IM =

2 Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ, cho I x ; y( 0 0), M x; y( ), gọi M' x'; y'( )=V( )I;k ( )M

( )

( )

 = + −

 

= + −



0

x' kx k x

y' ky k y

3 Tính chất:

• Nếu V( )I;k ( )M =M', V( )I;k ( )N =N' M' N'=kMN M'N'= k MN

• Phép vị tự tỉ số k

- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm bảo tồn thứ tự ba điểm

đó

- Biến đường thẳng thành đường thẳng thành đường thẳng song

song trùng với đường thẳng cho, biến tia thành tia, biến đoạn

thẳng thành đoạn thẳng

- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác cho, biến góc

thành góc

- Biến đường trịn có bán kính R thành đường trịn có bán kính k R

Định lí: Với hai đường trịn ln có phép vị tự biến đường tròn

này thành đường tròn

Tâm phép vị tựnày gọi tâm vị tự hai đường tròn

Cho hai đường tròn ( )I; R (I';R' )

• Nếu I I' phép v ị tự  

    

R ' I;

R

V biến ( )I; R thành(I';R' )

• Nếu I I'  R R' phép v ị tự  

   

R ' O;

R

V  − 

   

R ' O ;

R

V biến ( )I; R

thành(I';R' Ta g) ọi O tâm vị tự ngồi cịn O tâm v1 ị tự

hai đường trịn

• Nếu Nếu I I'  R R' có = V(O ; 11−) biến ( )I; R thành(I';R' ) R' M

I M'

R R

R' O1

O

M'

M'' I

I' M

O1

M'' M'

I M

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP

Bài tốn 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP VỊ TỰ Phương pháp:

Dùng định nghĩa, tính chất biểu thức tọa độ phép vị tự

Các ví dụ

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình

+ − =

5x 2y Hãy viết phương trình đường thẳng d' ảnh d qua

phép vị tự tâm O tỉ số k= −2

Lời giải

Cách 1:Lấy M x; y( ) d 5x 2y * + − = ( )

Gọi M' x'; y'( )=V(O; 2−)( )M Theo biểu thức tọa độ ta có ( )

( )

 = −

 = − + − − 

 

 

= − + − −

 

 = −



1

x x'

x' 2x [1 ].0 2

1

y' 2y [1 ].0

y y'

2

Thay vào ( )* ta −5x' y' 0− − = 5x' 2y' 14 0+ + =

Vậy d' : 5x 2y 14 + + =

Cách 2: Do d' song song trùng với d nên phương trình có dạng :

+ + =

5x 2y c Lấy M 1;1 thu( ) ộc d Gọi M' x'; y'( )=V(O; 2−)( )M ta có

 = −

= −  

= − 

x'

OM' 2OM

y' Thay vào ( )* ta c 14=

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( ) (C : x 1− ) (2+ y 1− )2=4 Tìm ảnh đường tròn ( )C qua phép vị tự tâm I(−1; t) ỉ số k=3

Lời giải

Đường trịn ( )C có tâm J 1;1 , bán kính ( ) R=2

Gọi ( ) ( )( ) ( )

( )

 − = +  =



=  =   = −

− = − 



I;3

x' 1 x'

J' x'; y' V J IJ' 3IJ

y'

y'

( )

J' 7; −

Gọi ( )C' ảnh ( )C qua phép vị tự V( )I;3 thì( )C' có tâm J' 7; , bán ( − ) kính R ' 3R= =6

Bài tốn 02: TÌM TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN Phương pháp:

Sử dụng cách tìm tâm vị tự hai đường trịn học

Các ví dụ

Ví dụ 1.Cho hai đường tròn (O;R ) (O'; 2R ) đựng nhau, với OO' Tìm tâm vị tự hai đương tròn ( )O ( )O'

Lời giải

Do OO' R2R nên có hai phép vị tự V( )I;2

(I'; 2−)

V biến (O;R thành ) (O'; 2R )

Ví dụ 2.Cho hai đường tròn ( ) (C : x 2− ) (2+ y 1− )2=4

( ) ( − ) (2+ − )2=

C' : x y 16 Tìm tâm vị tự hai đường tròn

Lời giải

Đường tròn ( )C có tâm I 1; ,bán kính ( ) R=2; đường trịn ( )C' có tâm ( )

I' 8; , bán kính R' Do = I I'  R R' nên có hai phép v ị tự V( )J;2

(J'; 2−)

V biến ( )C thành ( )C' Gọi J x; y( )

Với k=2khi ( )

( )

 − = −  = −



=   = −

− = − 



8 x 2 x x

JI' 2JI

y

4 y y

( )

 − −J 4;

Tương tự với k= −2, tính J' 4; ( )

R

2R I' I

M'

M'' O' O

Bài toán 03: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH

Phương pháp:

Để dựng hình ( )H ta quy dựng sốđiểm ( đủđểxác định

hình ( )H ) ta xem điểm cần dựng giao hai đường

đố đường có sẵn đường ảnh vị tự đường khác

Các ví dụ

Ví dụ 1.Cho hai điểm B,C cốđịnh hai đường thẳng d ,d D1 2 ựng tam giác ABC có đỉnh A thuộc d tr1 ọng tâm G thuộc d 2

Lời giải Phân tích:

Giả sửđã dựng tam giác ABC thỏa mãn

yêu cầu toán

Gọi I trung điểm BC , theo tính chất

trọng tâm ta có IA=3IG

( )( )

VI;3 G =A mà G d 2 A d '

Với d ' 2 ảnh d qua 2 V( )I;3

Lại có A d 1 =A d1d ' 2

Cách dựng:

- Dựng đường thẳng d ' 2 ảnh d qua 2 V( )I;3

- Dựng giao điểm A d= 1d ' 2

- Dựng giao điểm G IA= d

Hai điểm A; G hai điểm cần dựng

d2

d'2

d1

G

I A

B

Chứng minh:

Rõ ràng từ cách dựng ta có A d ,G d ; I  1  2 trung điểm BC

( )I;3 ( )=  = 

V G A IA 3IG G trọng tâm tam giác ABC

Biện luận:

Số nghiệm hình sốgiao điểm d 1 d ' 2

Ví dụ 2.Cho hai đường tròn đồng tâm ( )C1 ( )C2 Từ điểm A

đường tròn lớn ( )C d1 ựng đường thẳng d cắt ( )C t2 ại B,C cắt ( )C 1

tại D cho AB=BC CD=

Lời giải. Phân tích:

Giả sửđã dựng đường thẳng d cắt ( )C1 D ( )C2 B,C cho

= =

AB BC CD,  ( )

   

=  1 =

A;

1

AB AC V C B

2

Mà C( )C2 nên B( )C '2 với đường tròn

( )C '2 ảnh ( )C2 qua      

1 A;

2

V

Lại có B( )C2 nên B( ) ( )C2  C '2

Cách dựng

- Dựng đường tròn ( )C ' 2 ảnh

đường tròn ( )C qua phép v2 ị tự

     

1 A;

2

V

I

D C

B O'

- Dựng giao điểm B ( )C 2 ( )C '

- Dựng đường thẳng d qua A,B cắt đường tròn ( ) ( )C , C t2 1 ại C,D

tương ứng

Đường thẳng d đường thẳng cần dựng

Chứng minh:

Gọi I trung điểm AD I trung điểm BC

Vì  ( )

   

=

1 A;

2

V C B nên AB=BC, mặt khác AD BC có chung trung điểm I

nên IA ID,IC IC,= = ID CD IC;IA IB AB suy = + = + CD=AB Vậy

= =

AB BC CD

Biện luận: Gọi R ; R l1 2 ần lượt bán kính đường trịn ( )C 1 ( )C ta có: 2

• Nếu R12R có m2 ột nghiệm hình

Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM

Phương pháp:

Để tìm tập hợp điểm M ta quy tìm tập hợp điểm N tìm phép vị tự V( )I;k cho V( )I;k ( )N =M suy quỹtích điểm M ảnh quỹ tích N qua V( )I;k

Các ví dụ

Ví dụ 1.Cho đường trịn (O;R m) ột điểm I nằm ngồi đường trịn

cho OI=3R, A điểm thay đổi đường tròn (O;R Phân giác )

trong góc IOA cắt IA điểm M Tìm tập hợp điểm M A di động (O;R )

Lời giải

Theo tính chất đường phân giác

ta có MI = OI =3R=3

MA OA R

IM=3IA

IM=3IA

( )

     

 3 =

I;

V A M , mà A thuộc đường tròn (O;R nên M thu) ộc  

 

3 O'; R

4

ảnh (O;R qua )      

3 I;

4

V Vậy tập hợp điểm M  

 

3 O'; R

4 ảnh (O;R )

qua  

   

3 I;

4

V

O' M

O I

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC Qua điểm M cạnh AB vẽcác đường song

song với đường trung tuyến AE BF, tương ứng cắt BC CA tai

P,Q Tìm tập hợp điểm R cho MPRQ hình bình hành

Lời giải

Gọi I MQ= AE , K=MPBF

G trọng tâm tam giác ABC

Ta có MI =AM=AQ= IQ

BG AB AF GF

MI =BG= 2 MI=2MQ

IQ GF

Tương tự ta có MK=2MP

Từđó ta có MG MI MK= + =2MQ+2MP=2MR

3 3 Do

( )

 −     

= −  1 =

G;

1

GR GM V M R

2 , mà M thuộc cạnh AB nên R thuộc ảnh

cạnh AB qua  − 

   

1 G;

2

V đoạn đoạn EF

Vậy tập hợp điểm R đoạn EF

K I

G R Q

P

F

E A

B

Bài tốn 05: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰĐỂ GIẢI TỐN

Các ví dụ

Ví dụ 1. Trên cạnh AB tam giác ABC lấy điểm M,N cho

= =

AM MN NB, điểm E,F trung điểm cạnh CB,CA,

gọi P giao điểm BF CN , Q giao điểm AE với CM Chứng

minh PQ / /AB

Lời giải

Gọi G trọng tâm tam giác ABC

Ta có MF đường trung bình tam

giác ACN nên MF CN, mặt khác N

trung điểm MB nên Plà trung điểm BF

Ta có

= − = −

= − =

1

GP BP BG BF BF

2

1

BF GB

6

Tương tự GQ=1GA

4

Vậy  ( )

   

=

1 G;

4

V B P  ( )

   

=

1 G;

4

V A Q suy PQ / /AB

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC Gọi I, J,M trung điểm AB,AC,IJ

Đường tròn ( )O ngoại tiếp tam giác AIJ cắt AO D Gọi E hình chiếu

vng góc D BC Chứng minh A,M,E thẳng hàng

Q P

G E

F B

A

C M

Lời giải

Xét phép vị tự V( )A;2 ta có

= =

AB 2AI; AC 2AJ nên

(A;2)( )= (A;2)( )=

V I B, V J C

( )A;2

V biến tam giác AIJ thành tam

giác ABC, phép vị tự

biến đường tròn ( )O thành đường tròn ( )O' ngoại tiếp tam giác

ABC

Do AD 2AO= V( )A;2 ( )O =D

O'D, hay D tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Giả sử V(A;2)( )M =M ' OM⊥ IJ DM'⊥BCM' E

Vậy V(A;2)( )M =E nên A,M,E thẳng hàng

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

43 Cho đường thẳng d : 2x y 0− − = đường tròn ( ) ( − ) (2+ + )2=

C : x y Tìm ảnh d ( )C qua phép vị tự tâm I 1; ( )

tỉ số k= −2

44 Cho tam giác ABC có B,C cốđịnh cịn A chạy đường trịn

(O;R c) ốđịnh khơng có điểm chung với đường thẳng BC Tìm quỹ tích

trọng tâm G tam giác ABC

E D

O

M J

I

A

45 Cho đường tròn (O;R m) ột điểm I cốđịnh khác O Một điểm M

thay đổi đường trịn Tia phân giác góc MOI cắt IM N Tìm quỹtích điểm N

46. Chứng minh thực liên tiếp hai phép vị tự có tỉ số k ,k v1 ới



1

k k ta phép vị tự có tỉ số k k k = 1 2

47 Trong tam giác chứng minh trực tâm, trọng tâm tâm đường tròn

ngoại tiếp thẳng hàng ( đường thẳng qua ba điểm có tên gọi đường thẳng

ơle).

48. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Chứng minh

tâm tam giác ABC,CDA,BCD,DAB nằm đường tròn

49.Cho ba đường tròn (O ; Ri i)(i 1,3 = ) đôi tiếp xúc A,B,C Dây cung AC kéo dài ( )O c1 ( )O t3 ại A ; A A đường kính

( )O3 Chứng minh A, B,A th2 ẳng hàng

50 Cho hai đường trịn có bán kính khác ( )O1 ( )O2 nằm

oup: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/