Khoảng cách và góc - Chuyên đề Hình học 10 - Hoc360.net

Bài toán liên quan đến khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.. 1.Phương pháp giải..[r]

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

§3 KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 1 Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng :

a) Cơng thức tính khoảng cách từ điểm tới đường thẳng :

Cho đường thẳng :ax by c 0và điểm M x y0; 0 Khi khoảng cách từ M đến ( )được tính công thức:

0

2

( ,( )) ax by c

d M

a b

b) Vị trí hai điểm đường thẳng

Cho đường thẳng :ax by c

; , ;

M M N N

M x y N x y Khi đó:

- M, N phía với axM byM c axN byN c - M, N khác phía với axM byM c axN byN c Chú ý: Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng :

1 :a x1 b y1 c1 :a x2 b y2 c2 là:

1 1 2

2 2

1 2

a x b y c a x b y c

a b a b

2 Góc hai đường thẳng:

a) Định nghĩa: Hai đường thẳng a b cắt tạo thành bốn góc Số đo nhỏ góc gọi số đo góc hai đường thẳng a b, hay đơn giản góc a b Khi a song song trùng với b, ta quy ước góc chúng 00

b) Cơng thức xác định góc hai đường thẳng

Góc xác định hai đường thẳng 1 2 có phương trình

1 :a x1 b y1 c1 :a x2 b y2 c2 xác định

công thức 2

1 2 2 2 2

1 2

cos ; a a b b

a b a b

 DẠNG Bài toán liên quan đến khoảng cách từ điểm tới một đường thẳng

1.Phương pháp giải

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

0

0 2 2

( , ) ax by c

d M

a b

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho đường thẳng : 5x 3y

a) Tính khoảng cách từ điểm A 1;3 đến đường thẳng b) Tính khoảng cách hai đường thẳng song song

': 5x 3y Lời giải:

a) Áp dụng cơng thức tính khoảng cách ta có:

2

5.( 1) 3.3 1 ( , )

34

d B

b) Do M 1;0 nên ta có

2

5.1 3.0 13 ; ' ( , ')

34

d d M

Ví dụ 2:(ĐH – 2006A): Cho đường thẳng có phương trình

1:x y 0; 2:x y 0; 3: x 2y Tìm tọa độ điểm M nằm 3 cho khoảng cách từ M đến 1 lần khoảng cách từ M đến 2

Lời giải:

3 ;

M M t t

Khoảng cách từ M đến 1 lần khoảng cách từ M đến 2 nên ta có

1

2

; ;

2

t t t t

d M d M

3 11

3

t t t

t t t

Vậy có hai điểm thỏa mãn M1 22; 11 , M2 2;1

Ví dụ 3: Cho ba điểm A 2;0 ,B 3;4 P 1;1 Viết phương trình đường thẳng qua P đồng thời cách A B

Lời giải:

Đường thẳng qua P có dạng

2

1 0

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ cách A B

2 2

2

; ; a b a b

d A d B

a b a b

2

2 3

a b a b a b

b a a b a b

+ Nếu a 4b, chọn a 4,b suy : 4x y + Nếu 3a 2b chọn a 2,b suy : 2x 3y Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn toán 1 : 4x y

2 : 2x 3y

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có A(1; 2), (5;4), ( 2, 0)B C Hãy viết phương trình đường phân giác góc A

Lời giải:

Cách 1: Dễ dàng viết đường thẳng AB, AC có phương trình AB:3x 2y 0, AC:2x 3y Ta có phương trình đường phân giác góc A

1

1 2

3x 2x

: : 5 11 0

13 13

3x 2x :

:

13 13

y y

x y

y y x y

Ta thấy (5 5.4 11)( 5.0 11) nên điểm B,C nằm phía đường thẳng 1 Vậy 2:5x y phương trình đường phân giác cần tìm

Cách 2: Gọi D x y( ; ) chân đường phân giác hạ từ A tam giác ABC Ta có BD ABDC

AC

MàAB 13, AC 13

1

5 2( ) 3

4 2(0 )

3

x

x x

AB

BD DC

y y

AC y suy

1 ( ; )

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ta có phương trình đường phân giác AD:

4

2

3

y x

hay

5x y

Cách 3: Gọi M x y( ; ) thuộc đường thẳng đường phân giác góc góc A

Ta có (AB AM, ) (AC AM, )

Do cos(AB AM, ) cos(AC AM, ) (*)

Mà AB (4;6); AC ( 3;2);AM (x 1;y 2)thay vào (*) ta có

2 2 2 2

4( 1) 6( 2) 3( 1) 2( 2)

4 ( 1) ( 2) ( 3) ( 1) ( 2)

x y x y

x y x y

2(x 1) 3(y 2) 3(x 1) 2(y 2) 5x y Vậy đường phân giác góc A có phương trình là: 5x y

Ví dụ 5: Cho điểm C(−2;5) đường thẳng : 3x−4y+ =4 Tìm

 hai điểm A B, đối xứng với qua 2;5 I 

  diện tích tam giác

ABC 15 Lời giải:

Dễ thấy đường thẳng  qua M( )0;1 nhận u( )4;3 làm vectơ phương nên có phương trình tham số

1

x t

y t

=   = + 

Vì A nên A(4 ;1 ,t + t) tR

Hai điểm A B, đối xứng với qua 2;5 I 

  suy

4

4

4 3

5

2

B

B

B B

t x

x t

y t

t y

+  =

  = −

 

 + +  = −

  =



Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ta có AB= (4 8− t) (2+ −3 6t)2 =5 2t−1

( ) 3.( )2 4.5 22 ;

5

d C  = − − + =

Suy ( ; ) 1.5 22 11

2

ABC

S = AB d C  = t− = t−

Diện tích tam giác ABC

15 13

15 11 15

12 11

t t t

 − =  − =   =

11

t= − Với 13 52 50; , ;

11 11 11 11 11

t= A  B− 

   

Với ; , 52 50;

11 11 11 11 11

t= −  A−  B 

   

Vậy 52 50; , ;

11 11 11 11

A  B− 

   

8 52 50

; , ;

11 11 11 11

A−  B 

   

3 Bài tập luyện tập:

Bài 3.47: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d trường hợp sau:

a) M(1; 1) d x: y b) M 3;2 dlà trục Ox c) M( 3;2);( ) : 2d x d) (5; 2);( ) : 2

5

x t

M d

y t

Bài 3.48: Cho hai đường thẳng

1 : 0; :

d x y d x y

a) Chứng minh d1 / /d2

b) Tính diện tích hình vng có đỉnh nằm đường thẳng d1 d2 c) Viết phương trình đường thẳng song song cách d d1, 2

Bài 3.49: Viết phương trình đường thẳng qua điểm E 2; cách điểm F 3; đoạn

Bài 3.50: Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua điểm 2;3

I cách hai điểm A 5; B 3;7

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ b) Cho tam giác ABC có A 2; , B 0; C nằm đường thẳng 3x y 0; diện tích tam giác ABC (đơn vị diện tích) Hãy tìm toạ độ điểm C

Bài 3.52: a) Cho hai đường thẳng

1 : 0; : 2

d x y d x y Tìm M nằm Ox cách

đều d1 d2

b)Cho đường thẳng

1

1

: ; : 0; :

1

x t

d d x y d x y

y t Tìm M

nằm d1 cách d2 d3

Bài 3.53: Cho điểm A 2;1 ,B 3;2 đường thẳng

:

d x y Tìm điểm M cách A, B đồng thời khoảng cách từ M đến d

Bài 3.54: Cho điểm A 3;1 Xác định hai điểm B C cho OABC hình vng B nằm góc phần tư thứ Viết phương trình đường chéo hình vng

Bài 3.55: Cho hai điểm A 1;1 , B 4; Tìm điểm C thuộc đường thẳng

– –

x y cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB

Bài 3.56: Cho tam giác ABC có diện tích 4, hai đỉnh 1; , 2;

A B trọng tâm G tam giác ABC nằm đường thẳng d x: y Tìm toạ độ điểm C

Bài 3.57: Cho tam giác ABC có A 0;1 phương trình đường cao

' :

BB x y , CC' :x 3y Tính diện tích tam giác ABC

Bài 3.58: Cho điểm A 1;0 , B 2;4 ,C 1;4 , D 3;5 Tìm tập hợp điểm M cho diện tích hai tam giác MAB MCD

Bài 3.59. Cho hình bình hành ABCDcó diện tích Biết 1;0 , 0;2

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Bài 3.60. Cho điểm A 2;3 ,B 5;2 ,C 8;6 đường thẳng

:

d x y Tìm d điểm D cho hình vng MNPQ có cạnh qua điểm A B C D, , , có diện tích lớn

Bài 3.61. Cho ba điểm A 2;3 ,B 4; ,C 4;5 Viết phương trình đường thẳng qua A cho tổng khoảng cách từ điểm B C đến đường thẳng đạt giá trị lớn

Bài 3.62 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy,cho tam giác ABC vng C Biết A 3;0 , đỉnh C thuộc trục tung có tung độ nhỏ , điểm B nằm đường thẳng : 4x 3y 12 Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC, biết tam giác ABC có diện tích

 DẠNG 2: Bài tốn liên quan đến góc hai đường thẳng 1.Phương pháp giải:

• Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, góc hai đường thẳng 1; 2 có phương trình

2

1 1 1

2

2 2 2

( ) : 0, a

( ) : 0, a

a x b y c b

a x b y c b

xác định theo công thức: 2

1 2 2 2 2

1 2

cos , a a b b

a b a b

• Để xác định góc hai đường thẳng ta cần biết véc tơ phương( vectơ pháp tuyến ) chúng

1 2

cos , cos u u, cos n n,

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Xác định góc hai đường thẳng trường hợp sau: a) 1 : 0; 2 :

7

x t

x y t R

y t

b) 1 : 2 : ' '

1 '

x t x t

t R t R

y t y t

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

a) n1 3; , n2 5;1 vectơ pháp tuyến đường thẳng 1

và 2 suy cos 1, 2 3.5 2.1 2

13 26

0 1; 45 b) u1 1;2 ,u2 4; vectơ phương đường thẳng

1 suy

1

1 2

cos ,

17

0 1; 90

Ví dụ 2: Tìm m để góc hợp hai đường thẳng 1: 3x y

2:mx y góc 30 Lời giải:

Ta có: 1 2

2 2

3 cos( , )

( 3) ( 1)

m

m

Theo góc hợp hai đường thẳng 1, 2 300 nên

0

2

3 3

cos 30 3( 1)

2

2

m m

m m

m m

Hay

2 2

3( 1) ( 1) 3 3

3

m m m m m m

Vậy

3

m giá trị cần tìm

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d : 3x 2y M 1;2 Viết phương trình đường thẳng qua M tạo với d góc 45o

Lời giải

Đường thẳng qua M có dạng

2

:a x b y 0,a b hay ax by a 2b Theo tạo với d góc 450 nên:

0

2 2 2

3 ( ) 2

cos 45

2

3 ( 2) 13

a b a b

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

2 2

26( ) 24

5

a b

a b a b a ab b

a b

+ Nếu a 5b, chọn a 5,b suy : 5x y + Nếu 5a b, chọn a 1,b suy :x 5y Vậy có đường thẳng thoả mãn 1 :x 5y

2 : 5x y

Ví dụ 4: Cho đường thẳng 1 : 2x y 0; 2 : x 2y Viết phương trình đường thẳng qua gốc toạ độ cho tạo với 1 2 tam giác cân có đỉnh giao điểm 1 2

Lời giải:

Đường thẳng qua gốc toạ độ có dạng ax by với a2 b2 Theo giả thiết ta có cos ; 1 cos ; 2 hay

2 2

2

2

2

5

a b a b a b

a b a b

b a a b a b

a b a b

+ Nếu a 3b, chọn a 3,b suy : 3x y + Nếu 3a b, chọn a 1,b suy : x 3y Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn 1 : 3x y

2 :x 3y

3 Bài tập luyện tập

Bài 3.63: Tìm cơsin góc đường thẳng d1 d2 trường hợp sau:

1

1

) : ; : 2

2

x t

a d d x y

y t

1

) : 0; :

b d x my d x y m

Bài 3.64: Viết phương trình đường thẳng d qua M tạo với góc biết:

0 ) ( 2; 1); : 0; 30

a M x y

0

) (4;1); ; 60

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Bài 3.65 : Cho hình vng có đỉnh A 4;5 đường chéo nằm đường thẳng có phương trình 7x y Lập phương trình cạnh đường chéo thứ hai hình vng

Bài 3.66: Cho ABC cân đỉnh A Biết phương trình đường thẳng AB, BC AB x: y 0; BC : 2x 3y

Viết phương trình đường thẳng AC biết qua M 1;1

Bài 3.67: Cho ABCđều biết: A 2;6 BC : 3x 3y Viết phương trình cạnh cịn lại

Bài 3.68. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC tam giác, biết tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh A B C, , tương ứng A' 1; ,B' 2;2 ,C' 1;2

Bài 3.69: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm (1; 2), (4; 3)

A B Tìm tọa độ điểm M cho MAB 1350 khoảng cách từ M đến đường thẳng AB 10

2

Bài 3.70: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình thang cân ABCD

(AB//CD, AB<CD).Biết A 0;2 , D 2; I nằm đường thẳng

4

oup: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/