Đang tải... (xem toàn văn)
• Sử dụng công thức xác định độ dài đường trung tuyến và mối liên hệ của các yếu tố trong các công thức tính diện tích trong tam giác.. Tính cạnh BC, và độ dài đường cao kẻ từ A.[r]
(1)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
§3 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Định lí cơsin: Trong tam giác ABC với BC a AC, b AB c Ta có :
a b c bc A
b c a ca B
c a b ab C
2 2
2 2
2 2
2 cos cos cos Hệ quả:
b c a
A
bc
c a b
B
ca
a b c
C
ab
2 2
2 2
2 2
cos
2 cos
2 cos
2
2 Định lí sin : Trong tam giác ABC với BC a AC, b, AB c R bán kính đường trịn ngoại tiếp Ta có :
a b c
R
A B C
sin sin sin
3 Độ dài trung tuyến: Cho tam giác ABC với m m ma, b, c trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta có :
4 Diện tích tam giác
Với tam giác ABC ta kí hiệu h h ha, ,b c độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R, r
lần lượt bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p a b c
2 nửa chu vi
tam giác; S diện tích tam giác Khi ta có:
S = 1aha 1bhb 1chc
2 2
= 1bcsinA 1casinB 1absinC
2 2
= abc
R
4
= pr
= p p( a p)( b p)( c) (cơng thức Hê–rơng) B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
c
a b A
B C
Hình 2.6
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2( )
4
2( )
4
2( )
4
a
b
c
b c a
m
a c b
m
a b c
(2)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ DẠNG 1: Xác định yếu tố tam giác
1 Phương pháp
• Sử dụng định lí cơsin định lí sin
• Sử dụng cơng thức xác định độ dài đường trung tuyến mối liên hệ yếu tố cơng thức tính diện tích tam giác
2 Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB 4,AC cosA
5
Tính cạnh BC, độ dài đường cao kẻ từ A Lời giải
Áp dụng định lí cơsin ta có
BC2 AB2 AC2 2AB AC. .cosA 42 52 2.4.5.3 29
Suy BC 29
Vì sin2A cos2A nên sinA cos2A 25
Theo cơng thức tính diện tích ta có SABC 1AB AC .sinA 1.4.5.4
2 (1)
Mặt khác SABC 1a h a 29.ha
2 (2)
Từ (1) (2) suy 29.ha ha 16 29
2 29
Vậy độ dài đường cao kẻ từ A ha 16 29
29
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn bán kính 3, biết A 30 ,0 B 450 Tính độ dài trung tuyến kẻ từ A bán kính đường trịn nội tiếp tam giác
Lời giải
Ta có C 1800 A B 1800 300 450 1050 Theo định lí sin ta có a 2 sinR A 2.3.sin 300 3,
b 2 sinR B 2.3.sin 450 6. 3 2
2 c 2 sinR C 2.3.sin1050 5,796
Theo công thức đường trung tuyến ta có
a
b c a
m
2 2
2 2 18 5,796 23,547
4
Theo cơng thức tính diện tích tam giác ta có
ABC
bc A
S pr bc A r
p
0
1 sin 2.5,796 sin 30
sin 0,943
2 3 3 2 5,796
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có M trung điểm BC Biết AB 3,BC 8, cosAMB 13
26
(3)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Lời giải (hình 2.7)
BC BM Đặt AM x
Theo định lí cơsin ta có cos
AM BM AB
AMB
AM AB
2 2
2
Suy x
x
2
5 13 16
26 2.4
x
x x
x
2
13
13 20 13 91 7 13
13 Theo cơng thức tính đường trung tuyến ta có
AB AC BC
AM
AB AC
2 2
2
2
TH1: Nếu x AC AC
2 2
2
13 13
4
Ta có BC AC AB góc A lớn Theo định lí cơsin ta có cos
AB AC BC
A
AB AC
2 2 9 49 64 1
2 7
Suy A 98 120 '
TH2: Nếu x AC AC
2 2
2
7 13 49 397
13 13 13
Ta có BC AC AB góc A lớn Theo định lí cơsin ta có
cos
AB AC BC
A
AB AC
2 2 397 64 53
13
2 397 5161
2 13 Suy A 137 320 '
Ví dụ 4: Cho hình chữ nhật ABCD biết AD Giả sử E trung điểm AB thỏa mãn
BDE
sin
3
Tính độ dài cạnh AB Lời giải (hình 2.8)
Đặt AB 2x x AE EB x Vì góc BDE nhọn nên cosBDE suy
BDE 2BDE 2
cos sin
3 Theo định lí Pitago ta có:
DE2 AD2 AE2 1 x2 DE 1 x2
BD2 DC2 BC2 4x2 1 BD 4x2 1
Áp dụng định lí cơsin tam giác BDE ta có
DE DB EB x
BDE
DE DB x x
2 2
2
2
cos
2 2 1 4 1
M A
B C
Hình 2.7
E A
D C
B
(4)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
4 2
4
2
x x x x (Do x 0)
Vậy độ dài cạnh AB 3 Bài tập luyện tập
Bài 2.56: Cho tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm AB BC 3, cạnh
AB ACB 600 Tính cạnh BC
Bài 2.57: Cho tam giác ABC vng B có AB Trên tia đối AC lấy điểm D cho CD AB Giả sử CBD 300 Tính AC
Bài 2.58. Cho a x2 x 1;b 2x 1;c x2 Giả sử a b c, , ba cạnh tam giác Chứng minh tam giác có góc 1200
Bài 2.59: Cho tam giác ABC có AB 3,AC 7,BC 8 a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Tính bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác c) Tính đường đường cao kẻ từ đỉnh A
Bài 2.60: Cho tam giác ABC thỏa mãn a b 2c
3
a) Tính góc tam giác
b) Cho a=2 Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 2.61: Cho tam giác ABC có A 600,a 10,r 3 a) Tính R
b) Tính b, c
Bài 2.62: Cho tam giác ABC có AB 10,AC A 600 a) Tính chu vi tam giác
b) Tính tanC
c) Lấy điểm D tia đối tia AB cho AD điểm E tia AC cho
AE x Tìm x để BE tiếp tuyến đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ADE Bài 2.63 Cho tam giác ABC cân có cạnh bên b nội tiếp đường trịn (O;R) a) Tính cơsin góc tam giác
b) Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác
c) Với giá trị b tam giác có diện tích lớn ?
DẠNG 2: Giải tam giác 1 Phương pháp
• Giải tam giác tính cạnh góc tam giác dựa số điều kiện cho trước • Trong tốn giải tam giác người ta thường cho tam giác với ba yếu tố sau : biết
một cạnh hai
(5)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Để tìm yếu tố cịn lại ta sử dụng định lí cơsin định lí sin ; định lí tổng ba góc tam giác 1800
tam giác đối diện với góc lớn có cạnh lớn ngược lại đối diện với cạnh lớn có góc lớn
2 Các ví dụ
Ví dụ 1: Giải tam giác ABC biết b 32;c 45 A 870 Lời giải
Theo định lí cơsin ta có
a2 b2 c2 2 cosbc A 322 42 2.32.4.sin 870
Suy a 53, Theo định lí sin ta có
b A
B B
a
0
0
sin 32 sin 87
sin 36
53,
Suy C 1800 A B 1800 870 360 570
Ví dụ 2: Giải tam giác ABC biết A 60 ,0 B 400 c 14 Lời giải
Ta có C 1800 A B 1800 600 400 800
Theo định lí sin ta có
c A
a a
C
0
sin 14.sin 60
12,
sin sin 80
c B
b b
C
0
sin 14.sin 40
9,1
sin sin 80
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC biết a 3,b 2,c Tính góc lớn tam giác
Lời giải
Theo giải thiết ta có c b a suy C B A góc A lớn Theo định lí cơsin ta có
b c a
A
bc
2
2 2 12 4 4 3 1
cos
2 2.2 2. 6 2 8 3 8
Suy A 1200
Vậy góc lớn góc A có số đo 1200
3 Bài tập luyện tập
Bài 2.64: Giải tam giác ABC biết
a) a 2,b 3,c b) a 12;c 8,2 A 1100 Bài 2.65: Giải tam giác ABC , biết:
a) a 109; B 33 240 '; C 66 590 '
b) a 20; b 13; A 67 230 '
Bài 2.66: Giải tam giác ABC , biết:
(6)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
b) b 14; c 10; A 1450
c) a 14; b 18; c 20
Bài 2.67: Cho ABC ta có a 13,b cosC
13 Tính bán kính đường trịn
ngoại tiếp nội tiếp tam giác
DẠNG 3: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến yếu tố tam giác, tứ giác
1 Phương pháp giải
• Để chứng minh đẳng thức ta sử dụng hệ thức để biến đổi vế thành vế kia, hai vế vế biến đổi tương đương đẳng thức • Để chứng minh bất đẳng thức ta sử dụng hệ thức bản, bất đẳng thức cạnh
tam giác bất đẳng thức cổ điển (Cauchy, bunhiacơpxki,…) 2 Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thỏa mãn sin2A sin sinB C Chứng minh a) a2 bc
b) cosA
2
Lời giải
a) Áp dụng định lí sin ta có A a B b C c
R R R
sin , sin , sin
2 2
Suy A B C a b c a bc
R R R
2
2
sin sin sin
2 2 đpcm
b) Áp dụng định lí cơsin câu a) ta có
b c a b c bc bc bc
A
bc bc bc
2 2 2 2 1
cos
2 2 đpcm
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC , chứng minh rằng:
a) A p p a
bc
( )
cos
2
b) sinA sinB sinC 4cosAcosBcosC
2 2
Lời giải (hình 2.9)
a) Trên tia đối tia AC lấy D thỏa AD AB c suy tam giác BDA cân A
BDA 1A
2
(7)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
BD AB AD AB AD BAD
c c A
b c a
c A c
bc
c c
a b c b c a p p a
b b
2 2
2
2 2
2
2 cos =2 cos(180 )
=2 (1 cos ) (1 )
2
( )( ) ( )
Suy
cp p a BD
b
( )
2
Gọi I trung điểm BD suy AI BD Trong tam giác ADI vuông I, ta có
A DI BD p p a
ADI
AD c bc
( )
cos cos
2
Vậy A p p a
bc
( )
cos
2
b) Từ định lý hàm số sin, ta có: A B C a b c p
R R R R
sin sin sin
2 2 (1)
Theo câu a) ta có A p p a bc
( )
cos
2 , tương tự
B p p b
ca
( )
cos
2
C p p c
ab
( )
cos
2 ,
kết hợp với công thức S p p a p b p c abc R
4
Suy A B C p p a p p b p p c
bc ca ab
( ) ( ) ( )
4 cos cos cos
2 2
p pS p
p p a p b p c
abc abc R
4
( )( )( ) (2)
Từ (1) (2) suy sinA sinB sinC cos cosA BcosC
2 2
Nhận xét: Từ câu a) hệ thức lượng giác ta suy công thức
A p b p c A p b p c A p p a
bc p p a p b p c
( )( ) ( )( ) ( )
sin ; tan ; cot
2 ( ) ( )( )
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC , chứng minh rằng:
a) A b c a
S
2 2
cot
4
b) cotA cotB cotC Lời giải:
a) Áp dụng định lí cơsin cơng thức S 1bcsinA
2 ta có:
I
B
A C
D
(8)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ cos
cot
sin sin
A b c a b c a
A
A bc A S
2 2 2
2 đpcm
b) Theo câu a) tương tự ta có B c a b S
2 2
cot
4 ,
a b c
C
S
2 2
cot
4
Suy A B C b c a c a b a b c
S S S
2 2 2 2 2
cot cot cot
4 4
a b c
S
2 2
4
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có p a p b p c p a b c p
3
3
3
Mặt khác S p p a p b p c S pp p
3
27 3 3
Ta có p a b c a b c
2 2 2 2
2
4 suy
a b c
S
2 2
4
Do A B C a b c
a b c
2 2
2 2
cot cot cot
4
4
đpcm
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC Chứng minh điều kiện cần đủ để hai trung tuyến kẻ từ B C vng góc với b2 c2 5a2
Lời giải:
Gọi G trọng tâm tam giác ABC
Khi hai trung tuyến kẻ từ B C vng góc với tam giác GBC vuông G
b c
GB GC BC m m a
2
2 2 2
3 (*)
Mặt khác theo cơng thức đường trung tuyến ta có
b c
a c b a b c
m2 2( 2) 2, m2 2( 2)
4
Suy (*) mb2 mc2 a2
9
a c b a b c
a
2 2 2
2
2
4
9 4 a b c a
2 2
4 b2 c2 5a2
(đpcm)
Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD có E, F trung điểm đường chéo Chứng minh : AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2 4EF2
Lời giải (hình 2.10)
(9)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
AC AB2 BC2 2BE2
2 (1)
AC
CD DA DE
2
2 2
2 (2)
Từ (1) (2) suy
AB2 BC2 CD2 DA2 2 BE2 DE2 AC2
Mặt khác EF đường trung tuyến tam giác BDF nên BE DE EF BD
2
2 2
2
Suy AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2 4EF2 3 Bài tập luyện tập
Bài 2.68: Chứng minh tam giác ABC ta có;
a) a b.cosC c.cosB b) sinA sin cosB C sin cosC B c) ha sin sinR B C d) ma2 mb2 mc2 3(a2 b2 c2)
4
e) S ABC AB AC AB AC
2
2
1
2
Bài 2.69: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a) b c 2a
a b c
h h h
2 1
b) Góc A vng mb2 mc2 5ma2
Bài 2.70: Cho tam giác ABC thỏa mãn a4 b4 c4 Chứng minh a) Tam giác ABC nhọn
b) sin2A tan tanB C
Bài 2.71: Cho tam giác ABC Chứng minh nếucotA cotB cotC
2
b2 a2 c2
2
Bài 2.72: Gọi S diện tích tam giác ABC Chứng minh rằng: a) S 2R2sin sin sinA B C
b) S Rr(sinA sinB sin )C
Bài 2.73: Cho tứ giác lồi ABCD, gọi góc hợp hai đường chép AC BD Chứng minh diện tích S tứ giác cho cơng thức: S 1AC BD .sin
2
Bài 2.74: Cho tam giác ABC có BAC 1200, AD đường phân giác (D thuộc BC) Chứng minh
AD AB AC
1 1
Bài 2.75: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:
a) A B b c a c a b
a b abc
cos cos
2
b) c2 b2 a2 tanA c2 a2 b2 tanB
Bài 2.76. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Chứng minh E
F A
D C
B
(10)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ a) ha p p( a)
b) a b2 b c2 c a2 R a2( b c)2
Bài 2.77.Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:
r2 p a r2 p b r2 p c ab bc ca
Bài 2.78. Cho tam giác ABC Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp Chứng minh
A B C
r (p a)tan (p c)tan (p c)tan
2 2
Bài 2.79. Cho tam giác ABC có b
c
m c
b m Chứng minh 2cotA cotB cotC
Bài 2.80. Cho M điểm nằm tam giác ABC cho MAB MBC MCA Chứng minh : cot cotA cotB cotC
Bài 2.81. Cho tam giác ABC có trọng tâm G GAB ,GBC ,GCA
Chứng minh a b c
S
2 2
3
cot cot cot
4
Bài 2.82. Cho tam giác ABC Chứng minh
C A B
a b cot b c cot c a cot
2 2
Bài 2.83: Cho hình bình hành ABCD có AC 3AD Chứng minh cotBAD
3
Bài 2.84. Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c diện tích S Chứng minh
a2 b2 c2 4 3S
DẠNG 4: Nhận dạng tam giác 1 Phương pháp giải
Sử dụng định lí cơsin; sin; cơng thức đường trung tuyến; cơng thức tính diện tích tam giác để biến đổi giả thiết hệ thức liên hệ cạnh(hoặc góc) từ suy dạng tam giác
2 Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thoả mãn sinC sin cosB A Chứng minh minh tam giác ABC cân
Lời giải
Áp dụng định lí cơsin sin ta có:
c b b c a
C B A
R R bc
2 2
sin sin cos
2 2
c2 b2 c2 a2 a b
Suy tam giác ABC cân đỉnh C
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC thoả mãn A B C
B C
sin sin sin
cos cos Chứng minh tam giác
ABC vuông Lời giải
Ta có: A B C A B C B C
B C
sin sin
sin sin (cos cos ) sin sin
(11)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
a c a b a b c b c
R ca ab R
2 2 2
( )
2 2
b c( a2 b2) c a( b2 c2) 2b c2 2c b2
b3 c3 b c2 bc2 a b2 a c2 0 (b c b)( c2) a b2( c) 0 b2 c2 a2 ABC vuông A
Ví dụ 3: Nhận dạng tam giác ABC trường hợp sau: a) sina A bsinB csinC ha hb hc
b) A B A B
A B
2
2
2
cos cos
(cot cot )
sin sin
Lời giải
a) Áp dụng cơng thức diện tích ta có S bcsinA aha
1
2 suy
.sin sin sin a b c
a A b B c C h h h a S b S c S S S S
bc ca ab a b c
2 2 2
a2 b2 c2 ab bc ca a b b c c a 0
a b c
Vậy tam giác ABC
b) Ta có: A B A B
A B
2
2
2
cos cos
(cot cot )
sin sin
A B A B
A B
A B
2 2
2
2
cos cos sin sin
(cot cot 1)
2
sin sin
A B A B
A B A B
2 2 2
2 2
2 1
( ) (sin sin ) sin sin
2
sin sin sin sin
a b
A B a b ABC
R R
2
2
sin sin
2 cân C
3 Bài tập luyện tập
Bài 2.85: Cho tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC cân ha c.sinA
Bài 2.86: Cho tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC cân 4ma2 b b 4c.cosA Bài 2.87: Chứng minh tam giác ABC a2 b2 c2 36r2
Bài 2.88: Cho tam giác ABC Tìm góc A tam giác biết cạnh a, b, c thoả mãn hệ thức:
b b( a2) c c( a2),(b c)
Bài 2.89: Cho ABC thoả mãn điều kiện:
a c b
b
a c b
a b C
3 3
2
2 cos
Chứng minh ABC
đều
Bài 2.90: Trong tam giác ABC , chứng minh diện tích tính theo cơng thức
S a b c a b c
4 tam giác ABC
Bài 2.91: Cho ABC thỏa mãn: B a c
B a2 c2
1 cos
sin 4 Chứng minh tam giác
(12)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Bài 2.92: Chứng minh tam giác ABC vuông A B
C A B
sin cos cos
Bài 2.93: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ B C vng góc với có bc
R r
2 10 Chứng tam giác ABC cân
Bài 2.94: Chứng minh tam giác ABC A B ab c sin sin
2
Bài 2.95: Chứng minh tam giácABC cân tại B
tan tan
2
B C
oup: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/