Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề hình học 10 nguyễn phú khánh

BỘ TÀI LIỆU GỒM 300 TRANG FILE , LỜI GIẢI CHI TIẾT CHÚNG TƠI XIN TRÌNH DẪN MỘT PHẦN NHỎ NỘI DUNG BỘ TÀI LIỆU NÀY CHƢƠNG I: VECTƠ §1 CÁC ĐỊNH NGHĨA A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa vectơ: Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa hai điểm mút đoạn thẳng B a rõ điểm điểm đầu, điểm điểm A cuối Hình 1.1 Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B ta x kí hiệu : AB Vectơ kí hiệu là: a, b, x, y, Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối Kí hiệu Hai vectơ phương, hướng - Đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ gọi giá vectơ - Hai vectơ có giá song song trùng gọi hai vectơ phương - Hai vectơ phương hướng ngược hướng A F B E http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word C D Hình 1.2 H G Ví dụ: Ở hình vẽ trên (hình 2) hai vectơ AB CD hướng EF HG ngược hướng Đặc biệt: vectơ – không hướng với véc tơ Hai vectơ - Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ dài véc tơ AB , A B kí hiệu AB Vậy AB AB C Hình 1.3 D - Hai vectơ chúng hướng độ dài Ví dụ: (hình 1.3) Cho hình bình hành ABCD AB CD B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG 1: Xác định vectơ; phƣơng, hƣớng vectơ; độ dài vectơ Phƣơng pháp giải  Xác định vectơ xác định phương, hướng hai vectơ theo định nghĩa  Dựa vào tình chất hình học hình cho biết để tính độ dài vectơ Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCDE Có vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu điểm cuối đỉnh ngũ giác Lời giải Hai điểm phân biệt, chẳng hạn A, B ta xác định hai vectơ khác vectơkhông AB, BA Mà từ bốn đỉnh A, B, C , D ngũ giác ta có cặp điểm phân biệt có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu tốn Ví dụ 2: Chứng minh ba điểm A, B,C phân biệt thẳng hàng AB, AC phương Lời giải Nếu A, B,C thẳng hàng suy giá AB, AC đường thẳng qua ba điểm A, B,C nên AB, AC phương http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word Ngược lại AB, AC phương đường thẳng AB AC song song trùng Nhưng hai đường thẳng qua điểm A nên hai đường thẳng AB AC trùng hay ba điểm A, B,C thẳng hàng Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Gọi M , N , P trung điểm BC ,CA, AB a) Xác định vectơ khác vectơ - không phương với MN có điểm đầu điểm cuối lấy điểm cho b) Xác định vectơ khác vectơ - khơng hướng với AB có điểm đầu điểm cuối lấy điểm cho c) Vẽ vectơ vectơ NP mà có điểm đầu A, B Lời giải (Hình 1.4) a) Các vectơ khác vectơ không phương với MN NM , AB, BA, AP, PA, BP, PB b) Các vectơ khác vectơ - không hướng với AB AP, PB, NM c) Trên tia CB lấy điểm B ' cho BB ' NP A' A Khi ta có BB ' vectơ có điểm đầu B vectơ NP Qua A dựng đường thẳng song song với đường thẳng NP Trên đường thẳng lấy điểm A ' cho AA ' hướng với NP AA ' N P B' B NP C M Hình 1.4 Khi ta có AA ' vectơ có điểm đầu A vectơ NP Ví dụ 4: Cho hình vng ABCD tâm O cạnh a Gọi M trung điểm AB , N điểm đối xứng với C qua D Hãy tính độ dài vectơ sau MD , MN Lời giải (hình 1.5) Áp dụng định lý Pitago tam giác vuông MAD ta có http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word DM AM AD a 2 5a a2 a DM N D C a O Qua N kẻ đường thẳng song song với AD A P M cắt AB P Hình 1.5 Khi tứ giác ADNP hình vng a 3a PM PA AM a 2 Áp dụng định lý Pitago tam giác vng NPM ta có Suy MD MN NP MD Suy MN PM MN a 3a 2 13a a 13 DM a 13 Bài tập luyện tập Bài 1.1: Cho ngũ giác ABCDE Có vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu điểm cuối đỉnh ngũ giác Bài 1.2: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm vectơ từ điểm A, B, C, D, O a) Bằng vectơ AB ; OB b) Có độ dài OB Bài 1.3: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng a) Khi hai vectơ AB AC hướng ? b) Khi hai vectơ AB AC ngược hướng ? Bài 1.4: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt a) Nếu AB BC có nhận xét ba điểm A, B, C b) Nếu AB DC có nhận xét bốn điểm A, B, C, D Bài 1.5: Cho hình thoi ABCD có tâm O Hãy cho biết khẳng định sau ? a) AB BC d) OB OA b) AB e) AB BC DC c) OA f) OA OC BD http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word B Bài 1.6: Cho lục giác ABCDEF tâm O Hãy tìm vectơ khác vectơkhơng có điểm đầu, điểm cuối đỉnh lục giác tâm O cho a) Bằng với AB b) Ngược hướng với OC Bài 1.7: Cho hình vng ABCD cạnh a , tâm O M trung điểm AB Tính độ dài vectơ AB, AC ,OA,OM ,OA OB Bài 1.8: Cho tam giác ABC cạnh a G trọng tâm Gọi I trung điểm AG Tính độ dài vectơ AB, AG, BI Bài 1.9: Cho trước hai điểm A, B phân biệt Tìm tập hợp điểm M thoả mãn MA MB  DẠNG 2: Chứng minh hai vectơ Phƣơng pháp giải  Để chứng minh hai vectơ ta chứng minh chúng có độ dài hướng dựa vào nhận xét tứ giác ABCD hình bình hành AB DC AD BC Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh MN QP Lời giải (hình 1.6) Do M, N trung điểm AB BC nên MN đường trung bình tam giác ABC suy MN / /AC AC (1) Tương tự QP đường trung bình tam giác ADC suy QP / /AC MN AC (2) Từ (1) (2) suy MN / /QP MN QP tứ giác MNPQ hình bình hành QP Vậy ta có MN A Q D P M B N C Hình 1.6 QP Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I trung điểm BC Dựng điểm B ' cho B ' B AG http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word a) Chứng minh BI IC b) Gọi J trung điểm BB ' Chứng minh BJ Lời giải (hình 1.7) a) Vì I trung điểm BC nên BI CI BI hướng với IC hai vectơ BI , IC hay BI b) Ta có B ' B BB '/ /AG IG A B' IC AG suy B ' B AG G J B Do BJ , IG hướng (1) Vì G trọng tâm tam giác ABC nên IG AG , J trung điểm BB ' suy BJ Vì BJ IG (2) C I Hình 1.7 BB ' Từ (1) (2) ta có BJ IG Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD Trên đoạn thẳng DC , AB theo thứ tự lấy điểm M , N cho DM BN Gọi P giao điểm AM , DB Q giao điểm CN , DB Chứng minh AM DB QB Lời giải (hình 1.8) Ta có DM BN AN MC , mặt khác AN song song với MC tứ giác ANCM hình bình hành Suy AM Xét tam giác NC DMP Mặt khác DMP N A Q BNQ ta có DM NB (giả thiết), PDM le trong) QBN (so P D NQB (hai góc đồng vị) suy DMP Do BNQ DMP BNQ (c.g.c) suy DB M Hình 1.8 APB (đối đỉnh) APQ NC QB http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word C B Dễ thấy DB, QB hướng DB QB Bài tập luyện tập Bài 1.10: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh MQ NP Bài 1.11: Cho hình bình hành ABCD Gọi M , N trung điểm DC, AB ; P giao điểm AM , DB Q giao điểm CN , DB Chứng minh DM NB DP PQ QB Bài 1.12: Cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD với AB  2CD Từ C vẽ CI DA Chứng minh a) AD  IC DI CB b) AI IB DC Bài 1.13: Cho tam giác ABC có trực tâm H O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B' điểm đối xứng B qua O Chứng minh : AH B 'C §2 TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Tổng hai vectơ a) Định nghĩa: Cho hai vectơ a ; b Từ điểm A tùy ý vẽ AB vẽ BC a từ B b vectơ AC gọi tổng hai vectơ a ; b Kí hiệu AC a b) Tính chất : b (Hình 1.9) B a + Giao hoán : a b b a + Kết hợp : (a b) c a (b c) + Tính chất vectơ – không: a Hiệu hai vectơ a) Vectơ đối vectơ a, a b a A a b b C Hình 1.9 Vectơ đối vectơ a vectơ ngược hướng cúng độ dài với vectơ a Kí hiệu a http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word Như a a 0, a AB BA b) Định nghĩa hiệu hai vectơ: Hiệu hai vectơ a b tổng vectơ a vectơ đối vectơ b Kí hiệu a b a b Các quy tắc: Quy tắc ba điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB BC AC Quy tắc hình bình hành : Nếu ABCD hình bình hành AB AD AC Quy tắc hiệu vectơ : Cho O , A , B tùy ý ta có : OB OA AB Chú ý: Ta mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm A1, A2, , An A1A2 A2A3 An 1An A1An B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG 1: Xác định độ dài tổng, hiệu vectơ Phƣơng pháp giải Để xác định độ dài tổng hiệu vectơ  Trước tiên sử dụng định nghĩa tổng, hiệu hai vectơ tính chất, quy tắc để xác định định phép tốn vectơ  Dựa vào tính chất hình, sử dụng định lí Pitago, hệ thức lượng tam giác vuông để xác định độ dài vectơ Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng A có ABC Tính độ dài vectơ AB Lời giải (hình 1.10) Theo quy tắc ba điểm ta có  BC , AC 300 BC BC AB AC B D A C BC AC AC Mà sin ABC BC AC AB BC sin ABC Do AB  AC BC BC AC AC a 5.sin 300 AC CB a a a Hình 1.10 AB http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word Ta có AC AB BC AB AC 5a 5a a 15 a 15 Gọi D điểm cho tứ giác ABDC hình bình hành Vì AC  BC BC AB AB Khi theo quy tắc hình bình hành ta có AB AC AD Vì tam giác ABC vuông A nên tứ giác ABDC hình chữ nhật suy AD BC a Vậy AB AC AD AD a Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh a M điểm a) Tính AB AD , OA b) Chứng minh u CB , CD MA MB DA MC MD không phụ thuộc vị trí điểm M Tính độ dài vectơ u Lời giải (hình 1.11) a) + Theo quy tắc hình bình hành ta có AB Suy AB AD AC AD AC AC C' Áp dụng định lí Pitago ta có AC AB Vậy AB BC AD 2a AC a + Vì O tâm hình vng nên OA OA CB Vậy OA CO CB CB BC BC a + Do ABCD hình vng nên CD CD DA Mà BD CD DA BA BD 2a AD AB CO suy a suy B O BA suy BD AD A D C Hình 1.11 a b) Theo quy tắc phép trừ ta có http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word u MA MC MB MD CA DB Suy u không phụ thuộc vị trí điểm M Qua A kẻ đường thẳng song song với DB cắt BC C ' Khi tứ giác ADBC ' hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song) suy DB Do u AC ' CA Vì u AC ' CC ' CC ' BC BC ' a a 2a Bài tập luyện tập Bài 1.14: Cho tam giác ABC cạnh a Tính độ dài vectơ sau AB  AC, AB  AC Bài 1.15: Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh a M điểm a) Tính AB OD , AB OC OD b) Tính độ dài vectơ MA  MB  MC  MD Bài 1.16: Cho hình thoi ABCD cạnh a BCD thoi Tính AB AD , OB 600 Gọi O tâm hình DC Bài 1.17: Cho bốn điểm A, B, C, O phân biệt có độ dài ba vectơ OA, OB, OC a OA OB OC a) Tính góc AOB, BOC , COA b) Tính OB AC OA Bài 1.18: Cho góc Oxy Trên Ox, Oy lấy hai điểm A, B Tìm điều kiện A,B cho OA OB nằm phân giác góc Oxy  DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức vectơ Phƣơng pháp giải  Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có cách biển đổi: vế thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế đại lương trung gian Trong trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt ba quy tắc tính vectơ http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word m2 m m m2 m m m Vậy với m m giá trị cần tìm Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A(6;3), B( 3;6), C (1; 2) a) Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác b) Xác định điểm D trục hoành cho ba điểm A, B, D thẳng hàng c) Xác định điểm E cạnh BC cho BE 2EC d) Xác định giao điểm hai đường thẳng DE AC Lời giải a) Ta có AB 9; , AC 5; Vì suy AB AC 5 không phương Hay A, B, C ba đỉnh tam giác b) D trục hoành D x;0 Ba điểm A, B, D thẳng hàng suy AB AD không phương x Mặt khác AD x 6; x 15 Vậy D 15; c) Vì E thuộc đoạn BC BE 2EC suy BE 2EC Gọi E x ; y BE x 3; y , EC x ; y x x x Do y 2 y y ; Vậy E 3 d) Gọi I x ; y giao điểm DE AC 46 ; phương suy Do DI x 15; y , DE 3 x 15 3y x 23y 15 (1) 46 AI x 6; y , AC 5; phương suy x y x y (2) 5 http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word Từ (1) (2) suy x y 2 Vậy giao điểm hai đường thẳng DE AC I ; 2 Bài tập luyên tập Bài 1.94 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A 1; , B 0; , C 3; D 1; a) Bộ ba điểm thẳng hàng b) Chứng minh AB AC khơng phương c) Phân tích CD qua AB AC Bài 1.95 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A 0;1 , B 1; , C 2; D 0; Tìm giao điểm đường thẳng AC BD Bài 1.96 Cho a (3;2), b ( 3;1) a) Chứng minh a b không phương b) Đặt u (2 x )a (3 y)b Tìm x , y cho u phương với xa b a b Bài 1.97 Cho tam giác ABC có A(3;4), B(2;1), C ( 1; 2) Tìm điểm M đường thẳng BC cho SABC 3SABM Bài 1.98 Cho ba điểm A( 1; 1), B(0;1), C (3;0) a) Chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành tam giác b) Xác định tọa độ điểm D biết D thuộc đoạn thẳng BC 2BD 5DC c) Xác định tọa độ giao điểm AD BG G trọng tâm tam giác ABC Bài 1.99 Tìm trục hồnh điểm P cho tổng khoảng cách từ P tới hai điểm A B nhỏ nhất, biết: a) A 1;1 B 2; b) A 1; B 3; Bài 1.100: Cho hình bình hành ABCD có A 2; tâm I 1;1 Biết điểm K 1; nằm đường thẳng AB điểm D có hồnh độ gấp đơi tung độ Tìm đỉnh lại hình bình hành http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word 49 CHUYÊN ĐỀ I: ỨNG DỤNG VECTƠ ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC Phƣơng pháp chung Để giải toán tổng hợp phương pháp vectơ ta thường thực theo bước sau Bước 1: Chuyển giả thiết kết luận toán sang ngơn ngữ vectơ, chuyển tốn tổng hợp toán vectơ Bước 2: Sử dụng kiến thức vectơ để giải tốn Bước 3: Chuyển kết toán vectơ sang kết toán tổng hợp Sau số dạng toán thường gặp I CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, ĐƢỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH VÀ ĐIỂM THUỘC ĐƢỜNG THẲNG CỐ ĐỊNH Phƣơng pháp giải  Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta chứng minh hai véc tơ AB AC phương, tức tồn số thực k cho: AB kAC  Để chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định ta chứng minh ba điểm A, B, H thẳng hàng với H điểm cố định Các ví dụ Ví dụ 1: Cho hai điểm phân biệt A, B Chứng minh M thuộc đường thẳng AB có hai số thực , có tổng cho: OM OA Lời giải OB * Nếu A, B, M thẳng hàng OM OM (1 OA * Nếu OM k )OA AM kOB Đặt kAB AO k ; OM k k(AO OB) OB OA OB với 1 OM OA (1 )OB OM OB (OA OB) BM BA Suy M, A, B thẳng hàng Ví dụ 2: Cho góc xOy Các điểm A, B thay đổi nằm Ox, Oy cho OA 2OB Chứng minh trung điểm I AB thuộc đường thẳng cố định 1 OA OB (*) Định hƣớng: Ta có hệ thức vectơ xác định điểm I OI 2 http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word Từ ví dụ ta cần xác định hai điểm cố định A', B' cho OI OA ' OB ' với Do từ hệ thức (*) ta nghĩ tới việc xác định hai điểm cố định A', B' Ox, Oy OA OB Ta có * OI OA ' OB ' từ ta cần chọn điểm 2OA ' 2OB ' OA OB cho Kết hợp với giả thiết OA 2OB ta chọn 2OA ' 2OB ' 3 điểm A' B' cho OA ' , OB ' Lời giải 3 Trên Ox, Oy lấy hai điểm A', B' cho OA ' , OB ' Do I trung điểm AB nên 1 OA OB OI OA OB OA ' OB ' 2 2OA ' 2OB ' OA OB OA OB Ta có OA 2OB 2OA ' 2OB ' 3 2 Do điểm I thuộc đường thẳng A'B' cố định Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD , I trung điểm cạnh BC E điểm thuộc đoạn AC thỏa mãn AE AC Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng Định hƣớng: Để chứng minh D, E, I thẳng hàng ta tìm số k cho DE kDI , muốn ta phân tích vectơ DE, DI qua hai vectơ không phương AB AD sử dụng nhận xét " ma nb m từ tìm k n với a, b hai vectơ không phương " Lời giải (hình 1.35) http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word 51 Ta có DI DC CI CB DC DA AD AE AB DA AD (1) 2 AC suy Mặt khác theo giả thiết ta có AE DE AB A B AC I AB AD AD (2) E D C Hình 1.35 DI Từ (1) (2) suy DE Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng Ví dụ 4: Hai điểm M, N chuyển động hai đoạn thẳng cố định BC BD BC BD (M B, N B ) cho 10 BM BN Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Lời giải Dễ thấy tồn điểm I thuộc MN cho BC BD IM IN BM BN Gọi H điểm thỏa mãn 2HC Ta có 5HB 2BC 2BC BM BM 3BD BN BN 2BC BI BM IM BC BM BD BI BN 3HD 3BD H cố định 5BH 3BD BI BN IN 5BH 5BH (theo (1)) http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word 10BI 5BH BH (3) BI Do điểm B, H cố định, nên điểm I cố định.(xác định hệ thức (3)) Ví dụ 5: Cho ba dây cung song song AA1, BB1,CC1 đường tròn (O) Chứng minh trực tâm ba tam giác ABC1, BCA1,CAB1 nằm đường thẳng Lời giải Gọi H 1, H 2, H trực tâm tam giác ABC1, BCA1,CAB1 Ta có: OH OH OC OA OB OA OB1 Suy H 1H OH OH H 1H OH OC OH OC , OH OC OC1 OB OC1 OB1 OC OA1 OB OA1 OA C 1C C1C BB1 AA1 Vì dây cung AA1, BB1,CC1 song song với Nên ba vectơ AA1, BB1,CC có phương Do hai vectơ H 1H H 1H phương hay ba điểm H 1, H 2, H thẳng hàng Bài tập luyện tập Bài 1.101: Cho tam giác ABC điểm M trung điểm AB, N thuộc cạnh AC cho AN AC , P điểm đối xứng với B qua C Chứng minh M, N, P thẳng hàng Bài 1.102: Cho tam giác ABC Gọi M điểm thuộc cạnh AB, N điểm AB, AN AC Gọi O giao điểm thuộc cạnh AC cho AM CM BN Trên đường thẳng BC lấy E Đặt BE Tìm x để A, O, E thẳng hàng xBC http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word 53 Bài 1.103: Cho ABC lấy điểm I, J thoả mãn IA 2IB , 3JA 2JC Chứng minh IJ qua trọng tâm G ABC Bài 1.104: Cho tam giác ABC Hai điểm M, N di động thỏa mãn MN MA MB MC a) Chứng minh MN qua điểm cố định b) P trung điểm AN Chứng minh MP qua điểm cố định Bài 1.105: Cho hai điểm M,P hai điểm di động thỏa mãn MP aMA bMB cMC Chứng minh MP qua điểm cố định Bài 1.106 Cho hình bình hành ABCD Gọi E điểm đối xứng D qua điểm A, F điểm đối xứng tâm O hình bình hành qua điểm C K trung điểm đoạn OB Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng K trung điểm EF Bài 1.107: Cho hai tam giác ABC A1B1C ; A2 B2,C trọng tâm tam giác BCA1, CAB1, ABC1 Gọi G,G1,G2 trọng tâm tam giác ABC , A1B1C1 , A2B2C GG1 GG2 Bài 1.108 Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P nằm đường Chứng minh G,G1,G2 thẳng hàng tính thẳng BC, CA, AB cho MB MC , NC NA, PA PB Tìm điều kiện , ,  để M, N, P thẳng hàng Bài 1.109: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O Chứng minh trung điểm hai đường chéo AC, BD tâm O thẳng hàng Bài 1.110: Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O thỏa mãn AB CD EF Về phía ngồi lục giác dựng tam giác AMB, BNC , CPD, DQE, ERF, FSA đồng dạng cân M, N, P, Q, R, S Gọi O1, O2 trọng tâm tam giác MPR NQS Chứng minh ba điểm O, O1, O2 thẳng hàng II CHỨNG MINH HAI ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG, BA ĐƢỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Phƣơng pháp giải http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word  Để chứng minh đường thẳng AB song song với CD ta chứng minh kCD điểm A không thuộc đường thẳng CD AB  Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta chứng minh theo hai hướng sau: + Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định + Chứng minh đường thẳng qua giao điểm hai đường thẳng lại Các ví dụ Ví dụ 1: Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE Gọi I, J trung điểm đoạn MP NQ Chứng minh IJ song song với AE Lời giải (hình 1.36) Ta có 2IJ MQ IQ PN AE IN IM AE BD MQ IP B M A PN N I DB C J P E Q D Hình 1.36 Suy IJ song song với AE Ví dụ 2: Cho tam giác ABC.Các điểm M, N, P thuộc đường thẳng BC, CA, AB thỏa mãn 0, MB MC NC NA PA PB AM, BN, CP đồng quy O, với O điểm xác định OA Lời giải Ta có MB OA MC OB OC MO OA MO OB MO MO OB OC OC 0 OA Suy M, O, A thẳng hàng hay AM qua điểm cố định O Tương tự ta có BN, CP qua O Vậy ba đường thẳng AM, BN, CP đồng quy http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word 55 Ví dụ 3: Cho sáu điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Gọi tam giác có ba đỉnh lấy sáu điểm ' tam giác có ba đỉnh lại Chứng minh với cách chọn khác đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác ' đồng quy Định hƣớng Giả sử sáu điểm A, B, C, D, E, F Ta cần chứng minh tồn điểm H cố định cho với cách chọn khác H thuộc đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác ' tam giác ABC ' tam giác DEF Gọi G G ' Nếu trọng tâm tam giác ABC tam giác DEF H thuộc đường thẳng GG ' có số thực k cho HG k (HA HB HC ) (HD HE HF ) 3 1 k k k HA HB HC HD HE HF 3 3 3 kHG ' Vì vai trò điểm A, B, C, D, E, F tốn bình đẳng nên chọn k k cho k 3 HA HB HC HD HE HF Lời giải Gọi H trọng tâm sáu điểm A, B, C, D, E, F HA HB HC HD HE HF * Giả sử G, G ' trọng tâm hai tam giác ABC , DEF suy GA GB GC 0, G ' D G 'E G 'F Suy 3HG * HG GA GB GC 3HG ' G 'D G 'E G 'F HG ' Do GG' qua điểm cố định H đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác ' đồng quy Bài tập luyện tập http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word Bài 1.111: Cho tứ giác ABCD , gọi K, L trọng tâm tam giác ABC tam giác BCD Chứng minh hai đường thẳng KL AD song song với Bài 1.112: Trên cạnh BC, CA, AB tam giác ABC lấy AB B1C C 1A k k Trên cạnh điểm A1, B1,C cho AC B1A C 1B B1C 1,C 1AB1, A1B1 lấy điểm A2, B2,C cho A2B1 B2C C 2A1 Chứng minh tam giác A2B2C có AC B2A1 C 2B1 k cạnh tương ứng song song với cạnh tam giác ABC Bài 1.113: Trên đường tròn cho năm điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Qua trọng tâm ba năm điểm kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng qua hai điểm lại Chứng minh mười đường thẳng nhận cắt điểm Bài 1.114 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Kẻ MM', NN', PP', QQ' vng góc với CD, DA, AB, BC Chứng tỏ bốn đường thẳng MM', NN', PP', QQ' đồng quy điểm Nhận xét điểm đồng quy hai điểm I, O (I giao điểm MP NQ) Bài 1.115: Cho năm điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Gọi tam giác có ba đỉnh lấy năm điểm đó, hai điểm lại xác định đoạn thẳng Chứng minh với cách chọn khác đường thẳng nối trọng tâm tam giác trung điểm đoạn thẳng qua điểm cố định Bài 1.116: Cho tam giác ABC Ba đường thẳng x, y, z qua A, B, C chúng chia đôi chu vi tam giác ABC Chứng minh x, y, z đồng quy Bài 1.117: Cho tam giác ABC, đường tròn bàng tiếp góc A, B, C tương ứng tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB M, N, P.Chứng minh AM, BN, CP qua điểm, xác định điểm Bài 1.118 : Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA a) Gọi G giao điểm MP NQ Chứng minh GA GB GC GD http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word 57 b) Gọi A1, B1,C1, D1 trọng tâm tam giác BCD, CDA, DAB, ABC Chứng minh đường thẳng AA1, BB1, CC1, DD1 đồng quy điểm G Bài 1.119: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M điểm tùy ý Gọi A1, B1,C điểm đối xứng với M qua trung điểm I, J, K cạnh BC, CA, AB Chứng minh a) Các đường thẳng AA1, BB1,CC1 đồng quy trung điểm O đường MO b) M, G, O thẳng hàng MG Bài 1.120: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P tiếp điểm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC , CA, AB Gọi a đường thẳng qua trung điểm PN vng góc với BC, b đường thẳng qua trung điểm PM vng góc với AC, c đường thẳng qua trung điểm MN vng góc với AB Chứng minh a , b c đồng quy Bài 1.121: Cho hai hình bình hành ABCD AB 'C ' D ' xếp cho B' thuộc cạnh AB, D' thuộc cạnh AD Chứng minh đường thẳng DB ', CC ', BD ' đồng quy III BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỈ SỐ ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG Phƣơng pháp Phân tích vectơ qua hai vectơ không phương sử dụng kết sau: Cho a, b hai vectơ không phương  Với vectơ x ln tồn số thực m, n cho x ma  ma  Nếu c nb nb ma m nb, c ' vectơ phương n m 'a m m' n ' b, m '.n ' c, c ' hai n n' Các ví dụ http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Gọi M điểm thuộc cạnh AB, N điểm thuộc cạnh AC cho AM AB, AN AC Gọi O giao điểm CM BN OM ON A Tính tỉ số OB OC Lời giải (hình 1.37) M Giả sử ON nBN ; OM mCM Ta có AO AM AM MO m(AM Và AO AM (1 AC ) AN NO AN n(AN mCM m)AB O B mAC ; N C Hình 1.37 AN nBN AB) (1 n )AC nAB Vì AO có cách biểu diễn qua AB AC suy (1 3 (1 Vậy m) n m n) m n OM OC ON OB Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD M thuộc đường chéo AC cho AM kAC Trên cạnh AB, BC lấy điểm P, Q cho MP / /BC , MQ / /AB Gọi N giao điểm AQ CP CN AN theo k CP AQ Lời giải (hình 1.38) Tính tỉ số Đặt AN DN xAQ , CN DA AN yCP , ta có: DA DA x (AB BQ ) DA xDC x BQ BC BC P A B N xAQ Q M D Hình 1.38 http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word C 59 DA xDC BQ DA BC BQ AM BC AC x Vì MQ / /AB Mặt khác DN DC CN DC DC yDA y BP BA Vì MP / /BC DN DC k nên DN yDA CM CA y(1 Từ (1) (2) ta suy ra: yCP DC BP BA BA CA AM CA k )DC y kx x ky yDA y(CB (1 y xDC (1) BP ) k nên x y kx )DA (1 ky k k2 y )DC k k k k (2) 1 CN k AN k 2 CP AQ k k k k Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Trên cạnh AB AC lấy điểm B’ C’ Gọi M' giao điểm B'C' AM Chứng minh: AB AC AM AB ' AC ' AM ' Lời giải (hình 1.39) Do Đặt AB Vì M ' (AM ' AM ' xAB ' ; AC =yAC ' ; AM B 'C ' k : B 'M ' AB ') (1 k(AC ' k )AB ' zAM ' A kB 'C ' B' AB ') kAC ' 1 k k AM AB AC z x y 11 k k (AB AC ) AB AC z2 x y 1 k k x y 2z 2z x y x y C' M' B M Hình 1.39 http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word C AB AC AM đpcm AB ' AC ' AM ' Bài tập luyện tập Hay Bài 1.122 Cho tam giác ABC, cạnh AB, BC ta lấy điểm M, N cho AM BN Gọi I giao điểm AN CM ; MB NC CI AI Tính tỉ số IM AN Bài 1.123: Cho tam giác ABC trung tuyến AM Một đường thẳng song song với AB cắt đoạn thẳng AM, AC BC D, E F Một điểm G nằm cạnh AB cho FG song song AC Tính ED GB Bài 1.124: Cho ABC có AB 3, AC BAC cắt trung tuyến BM I Tính Phân giác AD góc AD AI Bài 1.125: Cho tam giác ABC , cạnh AC lấy điểm M, cạnh BC lấy điểm N cho: AM BM Tính diện tích 3MC , NC 2NB , gọi O giao điểm AN ABC biết diện tích OBN Bài 1.126: Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N nằm cạnh 3AM , CD 2CN , G trọng tâm tam giác MNB AB, CD cho AB BI BC Bài 1.127: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Qua trung AG cắt BC I Tính điểm M AB dựng đường thẳng MO cắt CD N Biết OA 1,OB 2, OC 3, OD , tính CN ND http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word 61 Bài 1.128 Cho tam giác ABC M điểm nằm cạnh BC cho SABC 3SAMC Một đường thẳng cắt cạnh AB, AM , AC B ', M ',C ' phân biệt Chứng minh AB AB ' AC AC ' AM AM ' Bài 1.129: Trong đường tròn (O) với hai dây cung AB CD cắt M Qua trung điểm S BD kẻ SM cắt AC K Chứng minh AM CM AK CK http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word ... ' B 'C ' trọng tâm Bài 1.55 Cho ABC A ' B 'C ' có trọng tâm G, gọi G1,G2,G3 trọng tâm tam giác BCA ',CAB ', ABC ' Chứng minh G1G2G3 có trọng tâm G Bài 1.56 Cho tứ giác ABCD có trọng tâm G Gọi... chọn hai cách sau : Cách 1: Chứng minh A1A2 Cách 2: Chứng minh OA1 OA2 với O điểm tuỳ ý  Để chứng minh hai tam giác ABC A ' B 'C ' trọng tâm ta làm sau: Cách 1: Chứng minh G trọng tâm ABC trùng... http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word Q R Hình 1.26 E (GA GF ) 2GS 2GN (GB GC ) 2GQ (GD GE ) 0 GS GN GQ Suy G trọng tâm SNQ Vậy MPR SNQ có trọng tâm Ví dụ 4: Cho hai hình bình hành