Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề đại số 11 nguyễn phú khánh

bộ tài liệu gồm 400 trang, file word, lời giải chi tiết Chúng tơi xin trích dẫn phần nội dung tài liệu CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC VÀ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC A TĨM TẮT LÍ THUYẾT I Các cơng thức lƣợng giác Các đẳng thức: * sin2   cos2   với  * tan .cot   với   k http://topdoc.vn - Website chuyên file word Giáo án dạy thêm 11 *  tan   *  cot   cos2  với   k2 với   k sin  Hệ thức cung đặc biệt a.Hai cung đối nhau:   cos()  cos  tan()   tan  b Hai cung phụ nhau:  sin()   sin  cot()   cot     sin(  )  cos   cot(  )  tan    )  sin   tan(  )  cot  c Hai cung bù nhau:     sin(  )  sin  tan(  )   tan  cos( cos(  )   cos  cot(  )   cot  d) Hai cung  :     sin(  )   sin  tan(  )  tan  Các công thức lượng giác a Công thức cộng cos(a  b)  cosa.cos b sina.sin b tan(a  b)  cos(  )   cos  cot(  )  cot  sin(a  b)  sina.cos b  cosa.sin b tana  tan b tana.tan b b) Công thức nhân sin 2a  2sinacosa cos 2a  cos2 a  sin2 a   2sin2 a  2cos2 a  sin 3a  3sina  4sin3 a c Công thức hạ bậc  cos 2a sin a   cos 2a tan a   cos 2a d Cơng thức biến đổi tích thành tổng cos3a  4cos3 a  3cosa cos2 a   cos 2a http://topdoc.vn - Website chuyên file word cosa.cos b  [cos(a  b)  cos(a  b)] sina.sin b  [cos(a  b)  cos(a  b)] sina.cos b  [sin(a  b)  sin(a  b)] e Công thức biến đổi tổng thành tích ab ab ab ab cosa  cos b  cos cosa  cos b  2 sin cos sin 2 2 ab ab ab ab sina  sin b  sin s ina - sin b  cos cos sin 2 2 sin(a  b) sin(a  b) tana  tan b  tana  tan b  cosa cos b cosa cos b II Tính tuần hồn hàm số Định nghĩa: Hàm số y  f(x) xác định tập D gọi hàm số tuần hồn có số T  cho với x  D ta có x  T  D f(x  T)  f(x) Nếu có số T dương nhỏ thỏa mãn điều kiện hàm số gọi hàm số tuần hồn với chu kì T III Các hàm số lƣợng giác Hàm số y  sin x  Tập xác định: D  R  Tập giác trị: [  1;1] , tức 1  sin x  x  R  Hàm số đồng biến khoảng (     k2;  k2) , nghịch biến 2  3 khoảng (  k2;  k2) 2  Hàm số y  sin x hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng  Hàm số y  sin x hàm số tuần hồn với chu kì T  2  Đồ thị hàm số y  sin x y - -5 -3 - -2 -3 3 O   3 2 5 2 2 http://topdoc.vn - Website chuyên file word x Giáo án dạy thêm 11 Hàm số y  cos x  Tập xác định: D  R  Tập giác trị: [  1;1] , tức 1  cos x  x  R  Hàm số y  cos x nghịch biến khoảng (k2;   k2) , đồng biến khoảng (  k2; k2)  Hàm số y  cos x hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng  Hàm số y  cos x hàm số tuần hồn với chu kì T  2  Đồ thị hàm số y  cos x Đồ thị hàm số y  cos x cách tịnh tiến đồ thị hàm số y  sin x  theo véc tơ v  (  ; 0) y - -5 - -2 3  -3 -3  O 3 2 5 2 x Hàm số y  tan x  Tập xác định : D   \   k, k  2     Tập giá trị:  Là hàm số lẻ  Là hàm số tuần hồn với chu kì T        Hàm đồng biến khoảng    k;  k  2    Đồ thị nhận đường thẳng x    k, k  làm đường tiệm cận  Đồ thị http://topdoc.vn - Website chuyên file word y - -2 -5 -3 2 Hàm số y  cot x  Tập xác định : D      -  2 5 3  2 x 2 O \k, k   Tập giá trị: Là hàm số lẻ Là hàm số tuần hồn với chu kì T   Hàm nghịch biến khoảng  k;   k   Đồ thị nhận đường thẳng x  k, k   Đồ thị làm đường tiệm cận y - -2 -5 -3 2 -  2 5 3  2 x O B.PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề Tập xác định tập giá trị hàm số Phƣơng pháp  Hàm số y  f(x) có nghĩa  f(x)  f(x) tồn có nghĩa  f(x)  f(x) tồn f(x)  sin u(x)   u(x)  k, k   Hàm số y  http://topdoc.vn - Website chuyên file word Giáo án dạy thêm 11  cos u(x)   u(x)    k, k   1  sin x, cos x  Các ví dụ Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau:  y  tan(x  ) y  cot ( 2  3x) Lời giải    2 Điều kiện: cos(x  )   x    k  x   k 6  2  TXĐ: D  \   k, k     2 2 2   3x)    3x  k  x  k 3  2   \  k , k   9  Điều kiện: sin( TXĐ: D  Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: tan 2x  y   cot(3x  ) sin x  y  Lời giải   sin x  1 x    k2  Điều kiện:    sin(3x  )  x     k   18    n  ; k,n   Vậy TXĐ: D  \   k2,   18     Ta có: sin 4x  cos 3x  sin 4x  sin   3x  2  x   7x    cos    sin    2 4  4 10 http://topdoc.vn - Website chuyên file word tan 5x sin 4x  cos 3x      x  10  k cos 5x     x    Điều kiện: cos      x   k2 2 4    k2   7x     0 sin  x   14        k   2m \  ,  n2,    10 14   CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Tìm tập xác định hàm số sau:  sin 2x  cos 3x y  y  cos 3x  1  sin 4x  y  tan(2x  )  cot x y   sin 3x Bài Tìm tập xác định hàm số sau: tan 2x 1 y  y  sin 2x  cos 3x sin 2x  cos 2x cot x   y  y  tan(x  ).cot(x  ) sin x  Bài Tìm tập xác định hàm số sau: y  tan 3x.cot 5x  y  tan(2x  )  y  tan 3x  cot(x  )  sin x 3 y  tan 4x tan x y  cos 4x  sin 3x sin 3x y  sin 8x  sin 5x Vậy TXĐ: D  Vấn đề Tính chất hàm số đồ thị hàm số Phƣơng pháp Cho hàm số y  f(x) tuần hồn với chu kì T * Để khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số, ta cần khảo sát vẽ đồ thị hàm số đoạn có độ dài T sau ta tịnh tiến theo véc tơ k.v (với v  (T; 0), k  ) ta toàn đồ thị hàm số * Số nghiệm phương trình f(x)  k , (với k số) số giao điểm hai đồ thị y  f(x) y  k http://topdoc.vn - Website chuyên file word Giáo án dạy thêm 11 * Nghiệm bất phương trình f(x)  miền x mà đồ thị hàm số y  f(x) nằm trục Ox Chú ý:  Hàm số f(x)  a sin ux  bcos vx  c ( với u,v  chu kì T  2 (u,v) ( (u,v) ước chung lớn nhất)  Hàm số f(x)  a.tan ux  b.cot vx  c (với u,v  kì T  ) hàm số tuần hoàn với ) hàm tuần hoàn với chu  (u,v) Các ví dụ Ví dụ Xét tính tuần hồn tìm chu kì sở hàm số : f(x)  cos 3x x cos 2 Lời giải Ta có f(x)   cos x  cos 2x   hàm số tuần hồn với chu kì sở T0  2 Ví dụ Xét tính tuần hồn tìm chu kì sở (nếu có) hàm số sau f(x)  cos x  cos  3.x  f(x)  sin x2 Lời giải Giả sử hàm số cho tuần hoàn  có số thực dương T thỏa f(x  T)  f(x)  cos(x  T)  cos 3(x  T)  cos x  cos 3x cos T   Cho x   cos T  cos 3T     cos 3T   m m T  2n   3 vô lí, m,n   số hữu tỉ n n   3T  2m Vậy hàm số cho khơng tuần hồn Giả sử hàm số cho hàm số tuần hoàn  T  : f(x  T)  f(x)  sin(x  T)2  sin x2 x  Cho x   sinT2   T2  k  T  k  f(x  k )  f(x) x  Cho x  2k ta có: f( 2k )  sin 12  k2   sin(k2)  http://topdoc.vn - Website chuyên file word f(x  k )  sin  k2  k     sin 3k  2k   sin(2k 2)  f(x  k )  Vậy hàm số cho hàm số tuần hồn Ví dụ Cho a, b,c,d số thực khác Chứng minh hàm số c số hữu tỉ f(x)  a sincx  bcosdx hàm số tuần hoàn d Lời giải * Giả sử f(x) hàm số tuần hoàn  T  : f(x  T)  f(x) x a sin cT  bcosdT  b cosdT  Cho x  0,x  T    a sin cT  bcosdT  b sin cT  dT  2n c m     d 2n cT  m c c k 2k 2l * Giả sử   k,l  :  Đặt T   d d l c d Ta có: f(x  T)  f(x) x   f(x) hàm số tuần hồn với chu kì T 2k 2l  c d Ví dụ Cho hàm số y  f(x) y  g(x) hai hàm số tuần hoàn với chu kỳ T1 ,T2 Chứng minh T1 số hữu tỉ hàm số T2 f(x)  g(x); f(x).g(x) hàm số tuần hoàn Lời giải T Vì số hữu tỉ nên tồn hai số nguyên m,n; n  cho T2 T1 m   nT1  mT2  T T2 n Khi f(x  T)  f(x  nT1 )  f(x) g(x  T)  g(x  mT2 )  g(x) Suy f(x  T)  g(x  T)  f(x)  g(x) f(x  T).g(x  T)  f(x).g(x) , f(x  T) f(x) Từ ta có điều phải chứng minh  g(x  T) g(x) Nhận xét: Hàm số f(x)  a sin ux  bcos vx  c ( với u,v  chu kì T  ) hàm số tuần hoàn với 2 ( (u,v) ước chung lớn nhất) (u,v) http://topdoc.vn - Website chuyên file word Giáo án dạy thêm 11 Hàm số f(x)  a.tan ux  b.cot vx  c (với u,v  ) hàm tuần hoàn với chu  (u,v) CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Chứng minh hàm số sau hàm số tuần hoàn với chu kì sở T0 kì T   Bài Xét tính tuần hồn tìm chu kì sở (nếu có) hàm số sau y  sin 2x  sin x y  tan x.tan 3x y  sin 3x  2cos 2x f(x)  sin x , T0  2 f(x)  tan 2x, T0  Bài Xét tính tuần hồn tìm chu kì sở (nếu có) hàm số sau y  sin 2x  sin x y  tan x.tan 3x y  sin 3x  2cos 2x y  sin x Vấn đề Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Các ví dụ Ví dụ Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau y  2sin x Lời giải Hàm số y  2sin x  TXĐ: D   Hàm số y  2sin x hàm số lẻ  Hàm số y  2sin x hàm tuần hồn với chu kì T  2     Hàm số đồng biến khoảng  k2;  k2  Nghịch biến     khoảng   k2;   k2  2     Đồ thị hàm số quan điểm (k; 0),   k2;  2  14 http://topdoc.vn - Website chuyên file word Giáo án dạy thêm 11 Bài 15 Giải phương trình sau: cos2x  cos x   2 cos 2x  3cos x  cos2 6sin x  2sin 2x  5 2cos2 2x     cos2x    13cos x  0  tan x  5   7  sin  2x    3cos  x     2sinx     11 cos4x  cos2 3x x 2sin4 x  2cos4 x  2sin 2x  tan2 x   cos x 1  cos x    sin4 x  cos4 x 10 cos x  4cos3 x  4sin 2x 3x 4x 12 2cos2   3cos 5 13 sin6 x  cos4 x  cos2x     14 sin4 x  cos4 x  cot  x   cot   x   sin 2x 3  6  Bài 16 Giải phương trình sau: 1  3tan x  2sin 2x 2 cot x  tan x  sin 2x  6 sin 2x sin x  cos x  sin 2x   cos4 x  sin4 x  cos(x  )sin(3x  )   4 Bài 17 Giải phương trình sau: 11x 9x sin2 2x.cos6x  sin 3x  sin sin 2 2  2  sin 2x  cos 2x  sin 4x   tan2 (x  ) 1+sinx  cosx  sin2x  cos2x  cos2 x(cos x  1)  2(1  sin x) sin x  cos x Bài 18 Giải phương trình sau: 3cot x  2 sin2 x  (2  2)cos x 2sin 2x  cos2x  sin x  2cosx  sin4 x  cos4 x 1 ( A1 – 2002 )  cot 2x  5sin 2x sin 2x  2cos x  1 2sin x  cos x   sin 2x  sin x ( D – 2004 ) 2(sin6 x  cos6 x)  sin x cos x  sin x  ( A – 2006 ) x cot x  sin x(1  tan x tan )  (B – 2006 ) 38 http://topdoc.vn - Website chuyên file word  x  x sin2    tan x  cos2  ( D – 2003 ) 2 4 cot x  tanx  sinx  cosx  sin x.sin 4x  2cos(  x)  cosx.sin 4x t an x   (2  sin2 x)sin 3x cos4 x x  (2  3)cos x  sin (  ) 1 cos x  x 3 10 sin2  cos 2x   cos2 (x  ) 11 3sin x  2cosx   3tan x  tan2 x  tan x  5cot x   12 sin x 13 sin2 x  sin2 3x  3cos2 2x   3 x    3x  14 sin     sin     10   10   (1  sin x  cos 2x)sin(x  )  cos x 15  tan x 16 (sin 2x  cos 2x)cos x  2cos 2x  sin x  17 sin 2x  cos2x  3sin x  cosx   (1  sin x)cos x  18 (1  sin x)(1  sin x) 19 sin x  cos xsin 2x  cos 3x  2(cos 4x  sin3 x) 20 cos 5x  2sin 3xcos 2x  sin x  Bài 19 Giải phương trình sau 2cosx  tanx   2sin2x 8 3cotx  tanx  sin(x  ) 3 sin 3x  cos x.cos 2x(tan 2x  tan2 x) 2(sinx  cosx)2 (1  2sin2x)   tanx sin3x  sin5x   sin(2x  )cos 2x  2 sin(x  )  4 http://topdoc.vn - Website chuyên file word Giáo án dạy thêm 11 cos2 2x  cos4x(tan2x.cotx  1)   cosx  2cos3x   3.sinx     sin x  sin  x    sin 4x  sin  2x   3 3        cos 2x  sin x   sin x  sin x  10 (sin x  2cos x)cos 2x  sin x  (cos 4x  1)cos x  cos 2x 2sin x  cos 4x  sin 2x    11    2 sin  x    4  cos 3x  sin 3x   3 23 sin 2x.cos 2x  cos2 2x 2 13 sin3x  2cos3x  cos2x  2sin 2x  2sin x     14 sin x sin 4x  2 cos   x   cos x sin x cos 2x 6  12 sin x  cos4 x  15  2cos 2x  1 cos x  sin x   sin x  cos x  sin 3x 16 tan2 x   (1  sin x)(tan x  cos x)  cos x.cos 2x   sin2 x  sin x  sin 2x cos x Bài 20 Giải phương trình sau: 17  sin x.sin 4x  2cos(  x)  cosx.sin 4x cosx  2cos3x   3.sinx sin3 x.cos 3x  cos3 xsin 3x  3 4 2sin 2x  (2  3)sin x  (2  3)cos x    x  sin2 x  sin2     sin2 3x 2 4 sin x   sin2 x  sin x  sin2 x  40 sin10 x  cos10 x sin6 x  cos6 x  4 cos2 2x  sin 2x http://topdoc.vn - Website chuyên file word  cos 3x   cos2 3x   sin 2x  sin2 x  sin2 y  sin2  x  y   Bài 21 Giải phương trình sau sin3 x  cos3 x  sin xcos2 x  sin2 xcos x      sin2 x cos x   cos2 x sin x   sin 2x 2sin2 2x  sin7x   sin x  x x  sin  cos   cos x  x 2   sin2x  cos2x  2sinxsin2x  cot x sin 2xcosx  sin xcosx  cos2x  sin x  cosx sin 2x  cos x  sin x  0 tan x    sin  3x   4     cot  x   sin x  cos x 4  Bài 22 Giải phương trình sau 1  cos x  cos x cos 2x  sin 4x   sin x   cos x   cos x cos x sin x  sin x  sin2 x  cos x  1  sin x   sin x  2cos x cos2 2x  sin2 4x   sin 4xcos 2x  sin x 4 sin14 x  cos13 x  tan2 x  tan2 y  cot  x  y   1 sin2 x  sin2 3x  sin xsin2 3x 4    tan x  cot x   sin x  cos4 x   2     10  cos2 x    sin x   12  sin y   cos x   sin x   http://topdoc.vn - Website chuyên file word Giáo án dạy thêm 11 Vấn đề Tìm nghiệm phƣơng trình lƣợng giác Các ví dụ Ví dụ Tìm tổng nghiệm khoảng ( ; ) phương trình:   sin(3x  )  cos(2x  )  sin 2x  cos2 (3x  ) Lời giải    3  Phương trình  sin  3x    sin   2x  3       3x     3x     3   k2  2x  k2 x   12     x    k2  2x  k2  12 43 19  29 53  Do x   ;   nên ta có: x   ,x   ,x  ,x  ,x  ,x   60 60 12 60 60 12  Vậy tổng nghiệm  ;     Phương trình  cos  6x     cos 4x  cos    4x  4   5    x   k 6x   4x    k2   x   3  k 6x    4x    k2   40 Các nghiệm nằm ( ; ) phương trình là: 5 7 27  19 11 3  ,x   ,x   ,x   ,x   ,x   ,x  , 8 40 40 40 40 13 21 29 37  x ,x  ,x  ,x  40 40 40 40 7 Vậy tổng nghiệm thuộc ( ; ) là: x Ví dụ Tìm nghiệm dương nhỏ nghiệm âm lớn phương trình sau: sin2 2x  cos2 5x  42 (sin x  cos x)2  2cos2 3x http://topdoc.vn - Website chuyên file word Lời giải  cos 4x  cos10x  1 2  k x  10x  4x  k2  cos10x  cos 4x     x  k 10x  4x  k2  Vậy nghiệm dương nhỏ nghiệm âm lớn phương trình là:   x  ,x   7 Phương trình   sin 2x   cos6x   k    x  16  6x   2x  k2    cos 6x  sin 2x  cos   2x     2   x     k 6x     2x  k2   Vậy nghiệm dương nhỏ nghiệm âm lớn phương trình cho   là: x  ,x   16 Phương trình  Ví dụ Tìm số dương nhỏ phương trình :        cos    x2  2x     sin x2    Lời giải 2 sin x2  sin   x  1      Phương trình sin (x2  2x)  sin x2    (x2  2x)  x2  k2 x  k    2  (x  2x)    x  k2  2x  2x  2k   (1) Từ ta tìm x  1   2k   x2  (x  1)2  k2 x    Phương trình   x2    (x  1)2  k2  x2  x  k  Nghiệm dương nhỏ phương trình x   2k  ,k  x  Nghiệm dương nhỏ phương trình x2  x  k  là: x  Vậy x  nghiệm cần tìm http://topdoc.vn - Website chuyên file word 1   2 Giáo án dạy thêm 11 Ví dụ   Tìm nghiệm nguyên phương trình : cos   3x  9x2  160x  800        Lời giải Phương trình 3x  9x2  160x  800  16k  16k  16k x  x     x  8k  25 9x  24k  40  25   3k   3k   25 Theo toán suy ra:   k  0, 2, 10 3k  Thử lại ta có nghiệm ngun phương trình : x  7( k  2), x  31 (k  10) Ví dụ Tính tổng nghiệm nằm khoảng (0; 2) phương trình sau:    sin x     cos x  2 sin 2x Lời giải Ta có sin 7 6 7 6  ; cos  12 12 Nên phương trình cho tương đương với: 1 2 sin x  1 2 cos x  sin 2x 7 7  cos x.sin  sin 2x 12 12  7  7  x  12  k2  2x  x  12  k2 7  sin(x  )  sin 2x    12  x  5  k   2x    x    k2   36 12 Do x   0; 2  nên phương trình có nghiệm là:  sin x.cos  5 29 53 ; ; ; 12 36 36 36 Vậy tổng nghiệm cần tính là: 3 Chú ý: Ta giải theo cách khác sau Phương trình  sin x  cos x  cos x  sin x  2 sin 2x   7  sin(x  )  cos(x  )  sin 2x  sin(x  )  sin 2x 6 12 44 http://topdoc.vn - Website chuyên file word Tiếp tục giải ta kết CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Tìm tổng nghiệm phương trình:    cos(x  )  ( ; ) sin(5x  )  cos(2x  ) [0; ] 3 Bài Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau   sin   3x  9x2  16x  80     4  Bài Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: cos (3   2x  x2 )  1 Bài Tìm x  0;14  nghiệm phương trình : cos3x  4cos2x  3cosx   Bài Tìm nghiệm khoảng ( ; ) phương trình : 2(sinx  1)(sin2 2x  3sinx  1)  sin4x.cosx Bài Tìm nghiệm x   0;   phương trình : sin 3x  sin x  cos 2x  sin 2x  cos 2x Vấn đề Phƣơng pháp loại nghiệm giải phƣơng trình lƣợng giác có điều kiện Phƣơng pháp 1: Biểu diễn nghiệm điều kiện lên đưòng tròn lượng giác Ta loại điểm biểu diễn nghiệm mà trùng với điểm biểu diễn điều kiện Với cách cần ghi nhớ  Điểm biểu diễn cung    k2 , k  trùng 2k lên đường tròn lượng giác ta cho k nhận n giá  Để biểu diễn cung   n trị (thường chọn k  0,1,2, ,n  ) nên ta có n điểm phân biệt cách đường tròn tạo thành đa giác n cạnh nội tiếp đường tròn Phƣơng pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên l k Giả sử ta cần đối chiếu hai họ nghiệm     , m,n  m n biết, k,l  số chạy k l     ak  bl  c (*) Ta xét phương trình :   n m Với a, b,c số nguyên http://topdoc.vn - Website chuyên file word Giáo án dạy thêm 11 Trong trường hợp ta quy giải phương trình nghiệm nguyên ax  by  c (1) Để giải phương trình (1) ta cần ý kết sau:  Phương trình (1) có nghiệm  d  (a, b) ước c  Nếu phương trình (1) có nghiệm (x0 ; y0 ) (1) có vơ số nghiệm  b x  x0  d t ,t   y  y  a  t Phƣơng pháp 3: Thử trực tiếp Phương pháp ta giải phương trình tìm nghiệm thay nghiệm vào điều kiện để kiểm tra Phƣơng pháp 4: Biểu diễn điều kiện nghiệm thông qua hàm số lượng giác: Giả sử ta có điều kiện u(x)  ( u(x)  0,u(x)  ), ta biến đổi phương trình cho phương trình chứa u(x) giải phương trình để tìm u(x) Các ví dụ Ví dụ Giải phương trình sau: cot 3x  cot x cot 4x.cot7x  Lời giải Điều kiện: x  k  n ,n  Loại nghiệm: Để loại nghiệm phương trình ta có cách sau  Cách 1: Biểu diễn điểm cuối cung k ta có điểm A1 ,A2 ,A3 ,A4 ,A5 ,A6 Phương trình  3x  x  n  x  Biểu diễn điểm cuối cung 46 n ta có điểm B1 , B2 , B3 , B4 http://topdoc.vn - Website chuyên file word y A3 B2 A2 A1 B3 A4 B1 O A5 B4 x A6 Ta thấy A1  B1 , A4  B3 Vậy nghiệm phương trình cho là: x    m,m  k  3t n k 2k  n  3 n  2t Do ta cần loại giá trị n chẵn  Vậy nghiệm phương trình là: x   m,m   k  x  Điều kiện:   x  n   Phương trình  cot 7x  tan 4x  cot(  4x)     7x   4x  m  x  m 22 11   k k2 m    4m  11k  m  3k   Ta có: 22 11 4 k2  t  k  4t   m  11t  Vì m,k    m n     14m  22n  22n  14m   Ta có: 22 11 Vì 22n  14m số chẵn số lẻ nên phương trình vơ nghiệm Vậy nghiệm phương trình cho là: Cách 2: Ta có http://topdoc.vn - Website chuyên file word Giáo án dạy thêm 11 x  m với m  11t  , t   22 11 Ví dụ Giải phương trình sau: sin x cot 5x 1 cos 9x Lời giải  m x  sin 5x  Điều kiện:   cos 9x   x    m  18 Phương trình  sin xcos5x  cos9xsin 5x  sin6x  sin 4x  sin14x  sin 4x  sin14x  sin6x  k x  14x  6x  k2    x    k 14x    6x  k2  20 10 k bị loại hai phương trình sau có  Nghiệm x  nghiệm nguyên m,k  m  5t  k m     5k  4m k  4t     k (chẵn)  k   4t  k    m 9k  4m    18  m   9t  k bị loại hai phương trình sau có   Nghiệm x  20 10 nghiệm nguyên m,k   k m  20  10   4m  2k  ta thấy hai phương trình vơ      k    m 18k  10m   20 10 18 nghiệm  k  k  Vậy nghiệm phương trình cho là: x  , x  20 10 CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải phương trình : sin x  cos 2x Bài 2: Giải phương trình : cos 3xtan 4x  sin 5x http://topdoc.vn - Website chuyên file word 48 Bài 3: Giải phương trình  sin 3x  cos 3x    2sin 6x  2sin 2x Bài 4: Giải phương trình : tan 2xtan 3xtan7x  tan 2x  tan 3x  tan7x Bài 5: Giải phương trình : cos 2x  x   tan x  tan x.tan    sin 2x  cos x 2 4  sin x cos x cos 2x(2 cos 2x  1) Bài 7: Giải phương trình :  cot x sin 3x Bài Giải phương trình sau Bài 6: Giải phương trình : sin x  sin 2x  sin 3x  cos x  cos 2x  cos 3x cos 2x  tan x  1   cos x sin 2x sin 4x tan x   cos 3xtan 5x  sin7x cos2 x  cos3 x  cos2 x (2  sin2 2x)sin 3x cos4 x 2(sin x  cos x)  tan x  cot 2x cot x  Bài Giải phương trình sau 1 tan x  cot 2x  sin 2x  2 sin 2x tan 2x  tan 3x  tan 5x  tan 2xtan 3xtan 5x cos x cos 5x     sin2  x    cos2 x cos 3x cos x 4  cos 2x   sin 2x  sin x  cos x Vấn đề Phƣơng trình lƣợng giác chứa tham số Các ví dụ Ví dụ Giải biện luận phương trình: sin(x   )  2m  10 Lời giải    2m  Phương trình  sin  x    10   2m      m  phương trình có nghiệm  Nếu 1  2 http://topdoc.vn - Website chuyên file word Giáo án dạy thêm 11   2m   x   10  arcsin  k2   x  9  arcsin 2m   k2  10  m    Nếu   phương trình vơ nghiệm m   Ví dụ Giải biện luận phương trình: mcos 2x  m  Lời giải  Nếu m  m 1    phương trình có nghiệm m m 1 x   arccos  k2 m  Nếu m  phương trình vơ nghiệm Ví dụ Cho phương trình : (m  1)cos x  2sin x  m  Giải phương trình m  2 Tìm m để phương trình có nghiệm Lời giải Với m  ta có phương trình : 3cos x  2sin x  1 1  cos x  sin x    cos(x  )   13 13 13 13   Với sin   ,cos   ;    0;  13 13  2  x     arccos 1 13  k2  x    arccos 1 13  k2 Phương trình cho có nghiệm  (m  1)2   (m  3)2  m   Ví dụ Tìm m để phương trình:  m  1 cosx   m  1 sinx  2m  có nghiệm x1 ,x2 thoả mãn: x1  x2   Lời giải Ta có phương trình cho tương đương với 50 http://topdoc.vn - Website chuyên file word m 1 2m  m 1 cosx  2m   cos  x     cos (với đk 1  m 1 (Trong cos   sinx  2m  2m  2m+3 2m  2m+3  (*) ) )  x      k2 ; cos  2m  2m  Do x1 ,x2 có dạng x1      k1 2; x2      k2 2 (Vì x1,x2 thuộc họ nghiệm x1  x2  l2, l  Z )    2(k1 k2 )2  3   cos 2(k1 k2 )2  cos  cos 2  Do đ ó: x1  x2  Mặt khác cos2  2cos2   nên ta có:  m 1   m  1  1   2   2 2m   2m   2  m2  4m    m   (ko thoả mãn (*)) Vậy không tồn m thoả mãn yêu cầu tốn CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Giải biện luận phương trình sau:  4sin 2x  2m  (m  1)cos2 (4x  )  2m  3 tan(2x  )  m   m cot (2x  )  2m  Bài Giải biện luận phương trình sau: msin2 2x  m   (2m  1)tan2 3x  m  Bài Cho phương trình (m  1)sinx  mcos x  2m  (1)  Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x  , giải phương trình với giá trị m vừa tìm Tìm m để phương trình cho có nghiệm Bài Tìm tất giá trị tham số m để phương trình cos 2x  cos2 x  3sin x  2m  có nghiệm   cos 2x  (2m  1)cos x  m   có nghiệm  ;   2  http://topdoc.vn - Website chuyên file word Giáo án dạy thêm 11 Bài 5: Giải biện luận phương trình :     8m2  sin3 x  4m  sin x  2m cos3 x  2m sin xcos x   sin x  cos x    m cot 2x  cos2 x  sin x cos6 x  sin6 x Bài 6: Tìm m để phương trình : mcos2x  sin x  cosxcot x có nghiệm thuộc  0; 2  (1  m)tan x    3m  có nhiều nghiệm thuộc khoảng cos x    0;   2 m tan x  tan x   cos2 x có nghiệm   cos 4x  cos2 3x  msin2 x có nghiệm x   0;   12  Bài 7: Cho phương trình : sin4 x  cos4 x – cos 2x  sin 2x  a  iải a  2 Tìm a để phương trình có nghiệm Bài 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm sin4 x  cos4 x – cos2x  sin2 2x  m  Bài 9: Chứng minh phương trình cosx  mcos2x  ln có nghiệm với m 52 http://topdoc.vn - Website chuyên file word ...  Hàm số y  cos x hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng  Hàm số y  cos x hàm số tuần hoàn với chu kì T  2  Đồ thị hàm số y  cos x Đồ thị hàm số y  cos x cách tịnh... TẬP Bài 1: Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số y  sin 2x Bài 2: Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số y  cos x Vấn đề Giá trị lớn nhỏ hàm số Các ví dụ Ví dụ Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số. .. hồn hàm số Định nghĩa: Hàm số y  f(x) xác định tập D gọi hàm số tuần hồn có số T  cho với x  D ta có x  T  D f(x  T)  f(x) Nếu có số T dương nhỏ thỏa mãn điều kiện hàm số gọi hàm số tuần