Chuyên đề đại số dãy số có quy luật Chú ý : Có bốn cách thông thường để làm loại toán - Cách : Truy toán - Cách : Phân tích đánh giá số hạng tổng quát - Cách : Dùng quy nạp toán học - Cách : Đưa tính ngiệm phương trình - Cách : Vận dụng tổng hợp cách học Ví dụ : Cho A có 100 dấu Chứng minh A số tự nhiên Giải : Dễ tháy A > Sau ta chứng minh A < 2 2 Thật 22 2 2 < A 2 2 22 2 < Do ta có < A < , chứng tỏ A N ( dpcm ) Cách giải thường gọi truy toán Ví dụ : Rút gọn dẫy tính sau 1 2 3 n 1 n Với n số tự nhiên lớn Giải : Xét số hạng tổng quát 1 n n 1 n n 1 n n 1 n 1 n n n 1 Vậy : 1 2 3 n 1 Trang = ( 1) ( 2) ( 3) ( n n 1) n = n 1 Như cho n giá trị cụ thể ta lại toán Cách giải gọi cách phân tích đánh giá số hạng tổng quát Ví dụ : Chứng minh với số nguyên dương n ta có 1 1 < 2 ( n 1) n Giải : Xét số hạng tổng quát ta có : n 1 1 n n (n 1) n (n 1)n n n 1 n n 1 n n 1 1 1 n n n n n 1 n n n 1 n = n Ví dụ : B n 1 = Từ tiếp tục giải toán dễ dàng Tính giá trị biểu thức 13 13 13 Trong dấu chấm có nghĩa lặp lặp lại cách viết thức có chứa 13 cách vô hạn lần Giải : Nhận xét B > 2 Ta thấy : B 13 13 13 ( B2 – )2 = 13 + B B4 – 10 B2 + 25 = 13 + B B4 – 10 B2 – B + 12 = B4 – B2 – B2 + – B + = B2 ( B – )( B + ) – ( B – 3)( B + 3) – ( B – 3) = ( B – 3)[ B2( B + 3) – ( B + 3) – ] = ( B – 3)[ ( B + 3)( B2 – ) – ] = Vì B > nên B2 – > B + > nên ( B + 3)( B2 – 1) – > 11 B – = Vậy B = Trang Cách giải ví dụ gọi đưa tính ngiệm phương trình Ví dụ : Tính giá trị biểu thức 1 1 1 1 C 1 1 1 1 2 3 99 100 Giải : Xét số hạng tổng quát : 1 với k số nguyên k ( k 1) 2 dương , ta có 1 1 1 k (k 1)2 k k : 2 1 12 1 2 2 1 k k 1 k k k 1 k 1 k 1 k 1 1 0 Vì : k k k 1 k k (k 1) 1 Vậy : 1 k (k 1)2 Nên : 1 1 1 k (k 1) 1 1 1 k (k 1)2 k (k 1) k k 1 áp dung vào 1 1 1 1 C 1 1 1 1 2 3 4 99 100 1 1 1 1 1 99 100 99,99 2 3 4 99 100 100 Ví dụ : Chứng minh với số nguyên dương n ta có 4 4 < Giải : Ta chứng minh quy nạp toán học Với n = ta có D1 = < Đúng Trang Giả sử toán với n = k , tức ta có : Bk < k Ta c/m toán với n = k + B k 1 = Bk k 1 Vì Bk < ( Giả thiết quy nạp ) , nên Bk+1 = B k < 43 < Vậy toán với n = k + Do toán với n Ví dụ : Cho biểu thức A 2 2 2 2 2 2 tử có 100 dấu , mẫu có 99 dấu Chứng minh A > Giải : Đặt : an an2 2an1 Ta có : Ta có a1 a100 a100 a 99 a100 a100 a100 a100 an1 an2 2 a100 a100 A Vậy : 2 (a100 2) a100 Sau ta c/m có biểu thức có n dấu A < truy toán < a2 a1 < a3 a2 < a100 a99 < 22 22 Trang 1 Vậy : a100 < + = , nên : > a1 0 ( dpcm ) Bài toán giải vận dụng tổng hợp kiến thức học Từ A > Ví dụ : Chứng minh : 2003 2004 < Giải : Đặt : ak k (k 1) (k 2) (n 1) n n k số nguyên dương Ta chứng minh Phản chứng : Giả sử ak k Với n > k ak k theo cách đặt ta có : ak2 2 ak k ak 1 a k ak 1 ak 1 mà a k ( k 1) k a k2 ( k 1) k k k k k2 nên a k 1 k k k k k với số nguyên dương k , tức điều vô lý Vậy ak k 1 2002 2003 2003 phải sai Vậy ak k Do a2 Ta có điều phải chứng minh Ví dụ : Tìm ngiệm tự nhiên phương trình x x x x x 3x x Giải : Dễ thấy x = ngiệm Nếu x = , ta có : Trang 1 1 1 1 3.1 1 Vậy x = ngiệm phương trình Nếu x = , ta có : 2 2 2 2 Vậy x = ngiệm phương trình Nếu x = , xét ta có : x x x = nên x 3x 3.3 Căn : x x 3x 3.3 trình lặp lại , ta có : 3 2.3 Vậy x = ngiệm phương trình Nếu x > , x x x x x x x x x x x x x x x2 = x + 2x x2 – 3x = x = x = Nhưng x > nên trường hợp phương trình vô ngiệm Vậy phương trình có hai ngiệm Trang Bài tập luyện tập dãy tính có quy luật Bài : Tính giá trị biểu thức sau a) A vô hạn dấu b ) B Bài : Chứng minh : vô hạn dấu a ) C 6 n 3 b ) D 6 n Bài tập : Dùng quy nạp toán học chứng minh : Tn a a a a a ; Với n Z+ n Bài tập : Chứng minh 1 1 (n 1) n n n 1 1 với số nguyen dương n Bài : Chứng minh với n nguyên dương n > , ta có n 3 1 1 2 n 2 n Bài : Rút gọn biểu thức sau a) A 1 b) B 1 4 7 10 97 100 1 1 2 3 4 100 101 Bài : Chứng minh S 1 1 1 100 số tự nhiên Trang Bài : Dùng quy nạp toán học chứng minh : 1 1 n Bài : Cho 100 số : n , với n Z+ a1 , a , a , a , , a100 100 số tự nhiên 1 1 a1 a2 a3 a4 cho ta có : 20 a100 Chứng minh tồn hai số Bài 10 : Chứng minh bất đẳng thức 1 1 2001 3(1 2) 5( 3) 7( 4) 4003( 2001 2002) 2003 Bài 11 : Chứng minh : 1 1 12 22 22 32 32 42 20022 20032 Bài 12 : Chứng minh : 15 n2 16 n , n N n > số nguyên Bài 13 : a ) Chưng minh n Z+ ta có 1 n 1 n 1 1 n n ( n 1) b ) áp dụng chứng minh 2007 3 44 55 2008 2008 2008 2007 Bài 14 : Tìm ngiệm nguyên phương trình x x x x x z y vế trái có y dấu