Chuyên đề tìm số nghiệm nguyên của phương trình

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ TÌM SỐ NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH Tài liệu sưu tầm, ngày tháng 12 năm 2020 Website: tailieumontoan.com DẠNG TOÁN 46: TÌM SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM HỢP KHI BIẾT BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊ PHẦN I I  f (x KIẾN THỨC CẦN NHỚ: )=m phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị y = f ( x ), y = m Số nghiệm phương trình số giao điểm hai đồ thị y = f ( x ) , y = m  f (x) = g (x) phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị y = f (x), y = g (x) Số nghiệm phương trình số giao điểm hai đồ thị y = f (x), y = g (x) II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Sử dụng BBT đồ thị hàm số f ( x ) để tìm số nghiệm thuộc đoạn [ a ; b ] phương trình c f ( g ( x ) ) + d = m , với g(x) hàm số lượng giác  Sử dụng BBT đồ thị hàm số f ( x ) để tìm số nghiệm thuộc đoạn [ a ; b ] phương trình c f ( g ( x ) ) + d = m , với g(x) hàm số thức, đa thức, …  Sử dụng BBT đồ thị hàm số f ( x ) để tìm số nghiệm thuộc đoạn [ a ; b ] phương trình c f ( g ( x ) ) + d = m , với g(x) hàm số mũ, hàm số logarit  Sử dụng BBT đồ thị hàm số f ( x ) để tìm số nghiệm thuộc đoạn [ a ; b ] phương trình c f ( g ( x ) ) + d = m , với g(x) hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN - BDG 2019 - 2020) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau:  5π  Số nghiệm thuộc đoạn 0;  phương trình f ( sin x ) =   A B C D Phân tích hướng dẫn giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com DẠNG TOÁN: Đây dạng toán sử dụng BBT đồ thị hàm số f ( x ) để tìm số nghiệm thuộc đoạn [ a ; b ] PT c f ( g ( x ) ) + d = m KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Số nghiệm thuộc đoạn [ a′ ; b′] PT f ( t ) = k số giao diểm đồ thị y = f ( t ) đường thẳng y = k với t ∈ [ a′ ; b′] ( k tham số) HƯỚNG GIẢI: B1: Đặt ẩn phụ t = g ( x ) Với x ∈ [ a ; b ] ⇒ t ∈ [ a′ ; b′] B2: Với c f ( g ( x ) ) + d = m ⇒ f ( t ) = k B3: Từ BBT hàm số y = f ( x ) suy BBT hàm số y = f ( t ) để giải toán số nghiệm thuộc đoạn [ a′ ; b′] phương trình f ( t ) = k Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn C Đặt = t sin x, t ∈ [ −1;1] PT f ( sin x ) = (1) trở thành f ( t ) = ( ) BBT hàm = số y f ( t ) , t ∈ [ −1;1] : Dựa vào BBT ta có số nghiệm t ∈ [ −1;1] PT (1) nghiệm phân biệt t1 ∈ ( −1;0 ) , t2 ∈ ( 0;1) Quan sát đồ thị y = sin x hai đường thẳng y = t1 với t1 ∈ ( −1; ) y = t2 với t2 ∈ ( 0;1)  5π  + Với t1 ∈ ( −1; ) PT sin x = t1 có nghiệm x ∈ 0;    Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com  5π  + Với t2 ∈ ( 0;1) PT sin x = t2 có nghiệm x ∈ 0;     5π  nghiệm Vậy số nghiệm thuộc đoạn 0;  phương trình f ( sin x ) = + =   Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình đây: Số nghiệm thuộc khoảng ( 0; π ) phương trình f ( sin x ) = −4 A B C D Lời giải Chọn C sin x = α ∈ ( −1;0 ) Xét phương trình: f ( sin x ) = −4 ⇔  sin x= β ∈ ( 0;1) β ( 0;1) Vậy Vì x ∈ ( 0; π ) ⇒ sin x ∈ ( 0;1] Suy với x ∈ ( 0; π ) f ( sin x ) = −4 ⇔ sin x =∈ phương trình cho có nghiệm x ∈ ( 0; π ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có bảng biến thiên sau: Phương trình f ( cos x ) = 13 có nghiệm thuộc khoảng A B C  π π − ; ?  2 D Lời giải Chọn C  π π Đặt t = cos x , x ∈  − ;  ⇒ t ∈ ( 0;1]  2 13 13 Phương trình f ( cos x ) = trở thành f ( t ) = 3 13 có nghiệm t ∈ ( 0;1) Với nghiệm t ∈ ( 0;1) , thay vào phép đặt ta phương trình cosx = t có hai nghiệm Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình f ( t ) =  π π phân biệt thuộc thuộc khoảng  − ;   2 13 Vậy phương trình f ( cos x ) = có hai nghiệm phân biệt thuộc thuộc khoảng Câu  π π − ;   2 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ sau: Số nghiệm phương trình f ( 2sin x ) = đoạn [ 0; 2π ] A B C Lời giải D Chọn C Đặt t = 2sin x , t ∈ [ −2; 2] Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Xét phương trình f ( t ) = , dựa vào đồ thị ta thấy: t = −3  t = −2 f (t ) = 1⇔  t = −1 t =  (l ) ( n )  sin x = −2 sin x = ⇔ ⇔ ( n )  2sin x = −1 sin x =  (l ) − Với sin x = −1 ⇔ x = −1 − π 3π + k 2π , x ∈ [ 0; 2π ] ⇒ x = 2 π  − + k 2π x=  11π 7π Với sin x = , x ∈ [ 0; 2π ] ⇒ x = , − ⇔ 7π 6 = + k 2π x  Vậy phương trình f ( 2sin x ) = có nghiệm đoạn [ 0; 2π ] Câu Cho hàm số f ( x ) có đồ thị hình vẽ sau: y -1 O x -1 -2  3π  Số nghiệm thuộc đoạn  − ; 2π  phương trình f ( cos x ) + =   A B C D Lời giải Chọn B cos x =  cos x = Ta có f ( cos x ) + =0 ⇔ f ( cos x ) =− ⇔  cos x = cos x=  a ∈ ( −2; − 1) b ∈ ( −1;0 ) c ∈ ( 0;1) d ∈ (1; ) Vì cos x∈ [ −1;1] nên cos x = a ∈ ( −2; − 1) cos x= d ∈ (1; ) vô nghiệm  3π  Xét đồ thị hàm số y = cos x  − ; 2π    Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Phương trình cos x = b ∈ ( −1;0 ) có nghiệm phân biệt Phương trình cos x = c ∈ ( 0;1) có nghiệm phân biệt, khơng trùng với nghiệm phương trình cos x = b ∈ ( −1;0 )  3π  Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc đoạn  − ; 2π    Câu Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau: Số nghiệm thuộc đoạn [ −π ; π ] phương trình f ( 2sin x ) + =0 A B C D Lời giải Chọn A Đặt t = sin x Vì x ∈ [ −π ; π ] nên t ∈ [ −2; 2] ⇒ f ( t ) + =0 ⇔ f ( t ) =− Dựa vào bảng biến thiên, phương trình f ( t ) = − Suy sin x = có nghiệm t1 ∈ ( −2; ) t2 ∈ ( 0; ) t1 t ∈ ( −1; ) sin x= ∈ ( 0;1) 2  Với sin x = t1 ∈ ( −1; ) phương trình có nghiệm −π < x1 < x2 <  Với sin x= t2 ∈ ( 0;1) phương trình có nghiệm < x3 < x4 < π Vậy phương trình có nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ −π ; π ] Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Câu Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau: 3π   Số nghiệm thuộc đoạn  −π ;  phương trình f ( cos x ) − =   A B C D Lời giải Chọn A Đặt t = cos x , t ∈ [ −2; 2] f ( cos x ) − = trở thành f ( t ) − = ⇔ f ( t ) = (1) Nhận xét: số nghiệm phương trình (1) số giao điểm hai đồ thị: ( C ) : y = f ( t ) đường thẳng ( d ) : y = Bảng biến thiên hàm số y = f ( t ) đoạn [ −2; 2] : Dựa vào bảng biến thiên, đoạn [ −2; 2] phương trình ( 2) có nghiệm phân biệt t1 ∈ ( −2;0 ) , t2 ∈ ( 0; ) 3π   Ta có đồ thị hàm số y = cos x  −π ;  :   Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com  Với t1 ∈ ( −2;0 ) ⇒ cos x = t1 ∈ ( −2;0 ) ⇒ cos x = t1 ∈ ( −1;0 ) 3π  t  Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x  −π ;  ta thấy phương trình cos x = ∈ ( −1;0 ) có   nghiệm phân biệt: −π < x1 < −  π < π < x2 < π < x3 < 3π t2 Với t2 ∈ ( 0; ) ⇒ cos x = t2 ∈ ( 0; ) ⇒ cos x = ∈ ( 0;1) 3π  t  Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x  −π ;  ta thấy phương trình cos x= ∈ ( 0;1) có 2   nghiệm phân biệt − π < x4 < < x5 < π 3π   Vậy số nghiệm thuộc đoạn  −π ;  phương trình f ( cos x ) − = nghiệm   Câu Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên sau: Số nghiệm đoạn [ −2π ;2π ] phương trình f ( cos x ) + = A B C D Lời giải Chọn D Từ f ( cos x ) + =0 ⇒ f ( cos x ) =− (1) Đặt t = cos x với x ∈ [ −2π ;2π ] t ∈ [ −1;1] − Ta có (1) ⇔ f ( t ) = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Xét hàm số= h ( x ) cos x ; x ∈ [ −2π ; 2π ] , ta có BBT: Với t = −1 phương trình có nghiệm Với −1 < t < phương trình có nghiệm Với t = phương trình có nghiệm Xét f ( t ) = − với t ∈ [ −1;1] Nhìn vào BBT, phương trình f ( t ) = − có nghiệm Vậy tất có nghiệm Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có đồ thị hình vẽ Tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình f ( x + x − ) = 3m + có nghiệm thuộc đoạn [ 0;1] A [ 0; 4] B [ −1;0] C [ 0;1]   D  − ;1   Lời giải Chọn D Đặt t = x + x − Với x ∈ [ 0;1] ⇒ t ∈ [ −2;1] Phương trình f ( x + x − ) = 3m + có nghiệm thuộc đoạn [ 0;1] phương trình f (= t ) 3m + có nghiệm thuộc [ −2;1] ⇔ ≤ 3m + ≤ ⇔ − ≤ m ≤ Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Số nghiệm thuộc đoạn [0;3π ] phương trình f (cos x) − =0 là: A 12 B C 10 D Lời giải Chọn A Đặt t = cos x với x ∈ [0;3π ] ⇒ t ∈ [−1;1]   f (t) = Phương trình f (cos x) − =0 trở thành   f (t) = −1  (1) (2) Căn đồ thị hàm số f ( x) ta thấy: t = t1 ∈ (−1;0) (t1 ≠ t2 ) + (1) ⇔  t = t2 ∈ (−1;0) Với t = t1 ∈ (−1; 0) ⇒ cos x = t1 có nghiệm thuộc [0;3π ] Với t = t2 ∈ (−1; 0) ⇒ cos x = t2 có nghiệm thuộc [0;3π ] t= t3 ∈ (0;1) + (2) ⇔  t= t4 ∈ (0;1) (t3 ≠ t4 ) Với t = t3 ∈ (0;1) ⇒ cos x = t3 có nghiệm thuộc [0;3π ] Với t =∈ t4 (0;1) ⇒ cos x = t4 có nghiệm thuộc [0;3π ] Các nghiệm khơng có nghiệm trùng Vậy phương trình cho có 12 nghiệm thuộc [0;3π ] Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 31 Website: tailieumontoan.com Câu 18 Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + c , a ≠ có đồ thị sau: ( ) m có nghiệm Tính tổng giá trị nguyên tham số m để phương trình f f ( sin x ) − =  π x ∈ 0;   2 A B C D Lời giải Chọn C  π   f ( t ) ∈ [ 2; 4] Đặt sin x = t , x ∈ 0;  ⇒ t ∈ [ 0;1] ⇒ f ( sin x ) = = Đặt u f ( sin x ) − ⇒ u ∈ [ −1;1] Phương trình trở thành: f ( u ) = m  π   Phương trình cho có nghiệm x ∈ 0;  đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số điểm có hoành độ thuộc [ −1;1] Dựa vào đồ thị suy ≤ m ≤ Vậy tổng giá trị nguyên tham số m thỏa mãn Câu 19 Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên sau: Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 32 Website: tailieumontoan.com Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( sin x + m ) + = có nghiệm phân biệt thuộc [ 0;3π ] ? A B C D Lời giải Chọn B −m −  sin x = −1   2sin x + m = f ( 2sin x + m ) + =0 ⇔ f ( 2sin x + m ) =−2 ⇔  ⇔ 2sin x + m = sin x = −m +  Nhận xét −m + −m − − = 2 Để phương trình f ( sin x + m ) + = có nghiệm phân biệt thuộc [ 0;3π ] −m −  sin x =  sin x = −m +  (1) ( 2) có nghiệm phân biệt thuộc [ 0;3π ] ⇔ (1) có nghiệm phân biệt ( ) có nghiệm phân biệt thuộc [ 0;3π ] (1) có nghiệm phân biệt ( ) có nghiệm phân biệt thuộc [ 0;3π ] Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x , để (1) có nghiệm phân biệt ( ) có nghiệm phân biệt thuộc [ 0;3π ] (1) có nghiệm phân biệt ( ) có nghiệm phân biệt thuộc [ 0;3π ]   −m − =0      −m + =  m = −1    ⇔  −1 < m < ⇔ −1 ≤ m <  − − m   −1 <   ( l ) = Câu t =  π Khi đó: f ( t ) = ⇔ t = t1 , t1 < −1 ( l ) hay sin x = ⇔ x = k π ⇔ x = k (k ∈ )  t t , t l = > ( ) 2  Vậy có điểm biểu diễn nghiệm phương trình cho đường tròn lượng giác Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên sau :    Phương trình f  f (sin x)  có nghiệm đoạn  ;   ?   A B C D Lời giải Chọn A  f (sin x)  1 f  f (sin x)     f (sin x)  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 42 Website: tailieumontoan.com sin x  a  1 ● f (sin x)  1   sin x  b 1 Phương trình vơ nghiệm sin x  c  1  ● f (sin x)   sin x  d 1  sin x   x  sin x    : Phương trình có nghiệm đoạn  x       ;        Vậy phương trình f  f (sin x)  có nghiệm đoạn  ;     Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có đồ thị hình vẽ Tìm tất giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( sin x ) = m có nghiệm  −π 3π  x ∈ ;  4  A B C D Lời giải Chọn D  π 3π   π 3π  Đặt t = sin x , x ∈  − ;  ⇒ x ∈  − ;  nên suy t ∈ [ −1;1]  4   2  Khi tốn trở thành: Tìm m để phương trình f ( t ) = m có nghiệm t ∈ [ −1;1] Quan sát đồ thị ta thấy với t ∈ [ −1;1] f ( t ) ∈ [ −2; 2] ⇒ −2 ≤ m ≤ ⇔ −4 ≤ m ≤ Vì m ∈  ⇒ m ∈ {−4; −3; − 2; − 1;0;1; 2;3; 4} Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 43 Website: tailieumontoan.com Vậy, có giá trị m Câu Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Với m tham số thực thuộc khoảng (1;3) , hỏi phương trình f ( x3 − 3x ) = m2 − 2m + có nghiệm thực? A B C D Lời giải Chọn D Đặt k = m − 2m + , ta có: k= ( m − 1) + ∈ (1; ) , ∀m ∈ (1; 3) Đặt = t x3 − 3x Phương trình trở thành f ( t ) = k Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y = k với k ∈ (1; ) cắt đồ thị f ( t ) điểm phân biệt có hồnh độ −2 < t1 < 0, < t2 < < t3 < x = Xét hàm số t ( x= ) x3 − 3x , có t ′ =3x − x =0 ⇔  x = Bảng biến thiên hàm số t ( x ) : Từ bảng biến thiên ta có - Phương trình x3 − x = t1 ∈ ( −2; ) có nghiệm phân biệt - t2 ∈ ( 0; ) có nghiệm Phương trình x3 − x = - t3 ∈ ( 2; 3) có nghiệm Phương trình x3 − x = Vậy, với m ∈ (1; 3) phương trình cho có nghiệm phân biệt Câu 10 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 44 Website: tailieumontoan.com Số nghiệm thuộc đoạn [ −π;2 π] phương trình f (2 sin x ) + = A C B D Lời giải Chọn B Đặt t = 2sin x Vì x ∈ [ −π;2 π] nên t ∈ [ −2;2 ] Ta có phương trình: f (t ) + =0 ⇔ f (t ) =−1 Dựa vào bảng biến thiên, phương trình f (t ) = −1 có nghiệm t1 ∈ ( −2;0 ) t2 ∈ ( 0;2 ) Suy ra: sin x = - Với sin x = -Với sin x= t t1 ∈ (−1;0) sin x= ∈ (0;1) 2 t1 ∈ (−1;0) phương trình có nghiệm t2 ∈ (0;1) phương trình có nghiệm Vậy phương trình có nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ −π; 2π] Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 45 ... thấy phương trình (1) ln có nghiệm ∀t ∈ (−∞;1] = f ( t ) a (2), t ≤ Phương trình cho có dạng: Số nghiệm phương trình cho số nghiệm (2) = Đồ thị hàm số y f ( t ) , t ≤ có dạng: Do đó: (2) vơ nghiệm. .. đoạn  −2π ;  phương trình (1) có nghiệm, cịn phương trình ( ) có nghiệm 2  khác nghiệm phương trình (1) π  Vì phương trình cho có nghiệm đoạn  −2π ;  2  Câu 12 Cho hàm số y = f ( x )... hàm số f ( x ) để tìm số nghiệm thuộc đoạn [ a ; b ] phương trình c f ( g ( x ) ) + d = m , với g(x) hàm số lượng giác  Sử dụng BBT đồ thị hàm số f ( x ) để tìm số nghiệm thuộc đoạn [ a ; b ] phương