TÌM NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH

NHĨM TỐN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Mơn Tốn - Mã đề 101 CÂU 49 – MÃ 101 CHỦ ĐỀ : TÌM NGHIỆM NGUYÊN CỦA PT Thực : Thầy Nguyễn Sỹ – Thầy Nguyễn Tất Thành Câu 49 [ ĐỀ GỐC-MÃ 101- TN 2020 ] Có số ngun x cho ứng với x có khơng   728 số nguyên y thỏa mãn log x  y  log3 ( x  y) ? A 59 B 58 C 116 D 115 m để BPT log  m2  x   log3 (m  x) có không 728 nghiệm nguyên *) Coi x tham số ta xét BPT theo ẩn y Ứng với giá trị x ta xét hàm số theo biến y Trên miền xác định D  ( x; ) , hàm   NHĨM TỐN VD – VDC PHÂN TÍCH VÀ BÌNH LUẬN Thầy Nguyễn Sỹ Đây tốn khó địi hỏi khả tư cao *) Ta phát biểu lại tốn thành quen thuộc: Có giá trị nguyên tham số số f ( y)  log3 ( x  y)  log x  y hàm số đồng biến ta thấy BPT f  y   ln có nghiệm y   x  Do để BPT có tối đa 728 nghiệm ngun cần f ( x  729)  Lời giải Chọn C Với x  ta có x  x   Xét hàm số f ( y)  log3 ( x  y)  log x  y NHĨM TỐN VD – VDC Tập xác định D  ( x; ) (do y   x  y   x ) f '( y)  1   0, x  D (do x2  y  x  y  , ln  ln ) ( x  y) ln  x  y  ln  f tăng D   Ta có f ( x  1)  log3 ( x  x  1)  log x  x   Có không 728 số nguyên y thỏa mãn f  y    f ( x  729)   log3 729  log  x  x  729   x2  x  729  46   x2  x  3367  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 66 NHĨM TỐN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Mơn Tốn - Mã đề 101  57,5  x  58,5 Mà x  nên x 57,  56, ,58 Vậy có 58  (57)   116 số nguyên x thỏa CÂU HỎI TƢƠNG TỰ, PHÁT TRIỂN Câu 35 [PHÁT TRIẾN CÂU 49 – MÃ 101 – TN 2020] Có số nguyên y cho ứng với y có khơng q 100 số ngun x thỏa mãn log5  x  y   3y 2 x  B 18 C 20 D 17 Thực : Thầy Nguyễn Sỹ – Phản Biện : Thầy Nguyễn Tất Thành Lời giải Chọn C Xét hàm số f  x   log5  x  y   32 x  y với x    y ;   Ta có f '  x   NHĨM TỐN VD – VDC A 19  2.32 x  y ln  0, x   y  x  y  ln Suy hàm số f  x  đồng biến khoảng   y ;    lim2 f  x     x y Ta có   f   y  1  32 y  y   Do để BPT f  x   có khơng q 100 số nguyên x thỏa mãn  f   y  101   log   y  101  y     0 2  y 101  y  y  202  log 101  y  y  202  log  log 101   10,33  y  9,83 Mà y   y 10; 9; ;9 Vậy có 20 giá trị nguyên y Câu 36 [PHÁT TRIẾN CÂU 49 – MÃ 101 – TN 2020] Có giá trị nguyên tham số m để bất phương trình x  m  log  x  m2   có tối đa 50 nghiệm nguyên e A 15 B 16 C 14 D 17 Thực : Thầy Nguyễn Sỹ – Phản Biện : Thầy Nguyễn Tất Thành Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 67 NHĨM TỐN VD – VDC  32 y NHĨM TỐN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Mơn Tốn - Mã đề 101 Chọn C ĐKXĐ x  m2 Xét hàm số f  x   e xm Ta có f '  x   e x m   log  x  m2  với x  m2  0, x  m2  x  m  ln NHĨM TỐN VD – VDC Suy ra, hàm số f  x  nghịch biến khoảng  m2 ;    lim f  x     x m Ta thấy   f  m  1   m2  m1  e  Do để BPT f  x   có khơng q 50 nghiệm ngun  f  m2  51   e  m 51 m  em 2  m 51  log  m2  51  m2    log 51  m2  m  51  ln  log 51   6, 78  m  7, 78 Mà m   m 6; 5; ,7 Vậy có 14 giá trị nguyên tham số m Câu 37 [PHÁT TRIẾN CÂU 49 – MÃ 101 – TN 2020] Có số nguyên y cho ứng với y có khơng q 10 số ngun x thỏa mãn B 18  log5  x  y   log  x  y   C 32 D 17 Thực : Thầy Nguyễn Sỹ – Phản Biện : Thầy Nguyễn Tất Thành Lời giải Chọn C Với y   y  y   y   y Xét hàm số f  x   x y  log5  x  y   log  x  y  với x    y;   Ta có f '  x   2 x  y.ln  1   0, x    y :   ;  x  y  ln  x  y  ln https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 68 NHĨM TỐN VD – VDC A 30 x y NHÓM TOÁN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Mơn Tốn - Mã đề 101 x  y2  x  y   ln  ln  Suy hàm số f  x  nghịch biến khoảng   y;    lim f  x     x y Ta có   f   y  1   log  y  y  1  0;  y  y    NHĨM TỐN VD – VDC Do để BPT f  x   có khơng q 10 số nguyên x thỏa mãn  f   y  11   log  y  y  11  log 11  211  log 11   y  y  11  11  log 11   y  y  11  11 0  15,35  y  16,35 Mà y   y 15; 14; ;16 Vậy có 32 giá trị nguyên y Câu 38 [PHÁT TRIẾN CÂU 49 – MÃ 101 – TN 2020] Có số nguyên x cho ứng với     x có khơng q 26 số nguyên y thỏa mãn log5 x2  y  log x  x  27  log3 ( x  y) ? B 423 A 211 C 424 D 212 Thực : Thầy Nguyễn Tất Thành– Phản Biện : Thầy Nguyễn Sỹ Lời giải Chọn C Với x  ta có x2  x   x   x2   NHĨM TỐN VD – VDC   Xét hàm số f ( y)  log3 ( x  y)  log5 x  y  log x  x  27 Tập xác định D  ( x; ) Ta có f '( y)  1   0, x  D (do x2  y  x  y  , ln  ln ) ( x  y ) ln  x  y  ln  f đồng biến D     Ta có f ( x  1)  log3 ( x  x  1)  log5 x  x   log x  x  27   y   x  nghiệm bất phương trình cho Suy ra, để có khơng 26 số nguyên y thỏa mãn f  y   https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 69 NHĨM TỐN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Mơn Tốn - Mã đề 101  f ( x  27)   log3 27  log5  x  x  27   log  x  x  27    log5  x2  x  27   log  x  x  27    log5 4.log  x2  x  27   log  x  x  27    (log5  1) log  x2  x  27    x2  x  27  43 log5 20  211,5  x  212,5 nên 211  x  212 Vậy có 212  (211)   424 số nguyên x thỏa mãn yêu cầu Câu 39 [PHÁT TRIẾN CÂU 49 – MÃ 101 – TN 2020] Có số nguyên x cho ứng với x có khơng q 10 số ngun y thỏa mãn 4x A 16 B 15 7 y  26  2 x y  8192 x  y  ? C 17 D Thực : Thầy Nguyễn Tất Thành– Phản Biện : Thầy Nguyễn Sỹ NHĨM TỐN VD – VDC Mà x  Lời giải Chọn A Xét hàm số f ( y)  4x 7 y  26  2 x y  8192 Tập xác định D  ( x; ) x  y   y   x x  Ta có : f '( y)  7.4x Ta có f ( x  1)  4x 2 7 y  26  x 19 ln  2 x y.ln  0, x  D  f nghịch biến D  2 x x1  213   4x NHĨM TỐN VD – VDC 49 27   27 27 x  x  19  x  x   x    4  2 4 2  x 19 27 27  4  2  213  x  x 19   213   y   x  nghiệm bất phương trình f  y   Suy ra, để có khơng 10 số nguyên y thỏa mãn f  y    f ( x  11)   4x  4x  x 51  213   x 51  2 x x11  213  1    x  x  51  log  213  11  11 2   https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 70 NHĨM TỐN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Mơn Tốn - Mã đề 101    x  x  51  log  213  11      11,8  x  4,8 Mà x  nên 11  x  Vậy có  (11)   16 số nguyên x thỏa mãn yêu cầu Câu 50 [ ĐỀ GỐC-MÃ 101- TN 2020 ] Cho hàm số bậc ba y  f ( x) có đồ thị đường cong hình sau:  NHĨM TỐN VD – VDC CÂU 50 – MÃ 101 CHỦ ĐỀ : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Thực :Thầy Dinh An – Thầy Huỳnh Đức Vũ  Số nghiệm thực phân biệt phương trình f x3 f ( x)   A B C D PHÂN TÍCH VÀ BÌNH LUẬN - Bài tốn cho đồ thị hàm số bậc ba y  f  x  hỏi số nghiệm phương trình f  x3 f  x     Đây dạng toán tương giao hàm ẩn, hàm hợp https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 71 NHĨM TỐN VD – VDC Tuy nhiên tốn tƣơng giao có hai bƣớc: Bƣớc 1: Tương giao đồ thị hàm số y  f  t  đường thẳng y  1 Bước đơn giản tốn có cho sẵn kiện để tìm số nghiệm t phương trình, chí cho thấy nghiệm thuộc khoảng a Bƣớc 2: Tương giao đồ thị hàm số y  f  x  đổ thị y  Với đồ thị x y  f  x  cho trước học sinh cần nắm dạng đồ thị hàm y  x với  số nguyên Đến bước rõ ràng em học sinh cần tìm số giao điểm mà khơng cần quan tâm hồnh độ giao điểm thuộc khoảng Các hƣớng phát triển toán: Hƣớng 1: Thay đổi đồ thị hàm bậc ba thành đồ thị hàm số khác; thay đổi tương giao bước hai từ hàm lũy thừa mũ nguyên lẻ thành hàm số lũy thừa số nguyên chẵn, mũ không nguyên; thay hàm lũy thừa thành hàm số khác hàm mũ, logarit, đưa dấu giá trị tuyệt đối vào để nhân đơi đồ thị (vì có hàm mũ logarit thơng thường đồ thị có nhánh) Hƣớng 2: Thay hỏi số nghiệm phương trình túy lồng ghép vào tốn: Tìm số tiệm cận ngang, số tiệm cận đồ thị hàm số Ví dụ như: Tìm số NHĨM TỐN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Mơn Tốn - Mã đề 101 tiệm cận ngang đồ thị hàm số: y  f  x f  x   Hoặc đổi câu hỏi thành tìm số cực trị, khoảng đồng biến nghịch biến hàm số, dựa cách xử lí tốn tương giao đồ thị Tuy nhiên với cách hỏi này, hàm số phải cho khéo để tạo đạo hàm mong muốn Lời giải Chọn C NHĨM TỐN VD – VDC x   f ( x)   x3 f ( x)    3 f  x f ( x)     f  x f ( x)   1   x f ( x)  a    f ( x)  a (do x  0) x3  x3 f ( x)  b     f ( x)  b (do x  0)  x3 f ( x)  có nghiệm dương x  c f ( x)  g ( x)  f '( x)  NHĨM TỐN VD – VDC Đặt g ( x)  f ( x)  k với x  0, k  x3 k x3 3k x4 Với x  c , nhìn hình ta ta thấy f ( x)   g ( x)  f ( x)  3k 0 x4  g ( x)  có tối đa nghiệm  g (c)  Mặt khác  g ( x) liên tục  c;   lim g ( x )    x  g ( x)  có nghiệm  c;   k Với  x  c f ( x)    g ( x)  vơ nghiệm x https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 72 NHĨM TOÁN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Mơn Tốn - Mã đề 101 Với x  , nhìn hình ta thấy f ( x)   g ( x)  f ( x)  3k 0 x4  g ( x)  có tối đa nghiệm  lim g ( x)  x0 Mặt khác  g ( x) liên tục  ;0  g ( x)    xlim   g ( x)  có nghiệm  ;0  Tóm lại g ( x)  có hai nghiệm  a b , f ( x)  có nghiệm phân biệt khác khác c x x  Vậy phương trình f x3 f ( x)   có nghiệm Cách xử lí khác cho phƣơng trình f ( x)  Xét h( x)  h( x)   k , Dh  x3 k x3 NHĨM TỐN VD – VDC Suy hai phương trình f ( x)  \ 0 \ 0 , k  3k  0, x  D  h( x) nghịch biến khoảng xác định x4 Bảng biến thiên (Lƣu ý: f ( x) hàm bậc ba nên ta chắn hình dáng đồ thị x   x   ) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 73 NHĨM TỐN VD – VDC Từ vẽ đồ thị hàm số y  f ( x) y  h( x) hệ trục tọa độ, ta hình vẽ NHĨM TỐN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Mơn Tốn - Mã đề 101 k có nghiệm, nghiệm khác x3 NHĨM TỐN VD – VDC Nhìn vào đồ thị, ta thấy phương trình f ( x)  khác c  Mỗi phương trình f ( x)   a b , f ( x)  có nghiệm phân biệt khác khác c x x  Vậy phương trình f x3 f ( x)   có nghiệm CÂU HỎI TƢƠNG TỰ, PHÁT TRIỂN Câu 40 [PHÁT TRIẾN CÂU 50 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hàm số đa thức bậc bốn y  f ( x) có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình A NHĨM TOÁN VD – VDC  f  x  f     ln x  B C https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com D Trang 74 NHĨM TỐN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Mơn Tốn - Mã đề 101 Thực :Thầy Huỳnh Đức Vũ – Thầy Dinh An Lời giải Chọn C NHĨM TỐN VD – VDC  f  x 0   f  x   ln x   f  x  f  x   f  x   ln x f          ln x   ln x   f  x  f  x   ln x 2   ln x 1  2  3 Xét phương trình f  x   ln x , y  f  x  hàm số đa thức bậc bốn nên ta có +)Trên  ;0  đồ thị hàm số y  ln x cắt đồ thị hàm số y  f  x  điểm +) Trên  0; a  , với x  a  1;2  điểm cực đại hàm số y  f  x  ln x  ln x  x   f ( x), x  0; a  nên khoảng  0; a  phương trình vơ nghiệm +) Trên  a;   , ta thấy đồ thị hàm số y  ln x cắt đồ thị hàm số y  f  x  điểm Do đó, phương trình f  x   ln x có nghiệm phân biệt hai nghiệm khác với hai nghiệm phương trình (1) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 75 NHĨM TỐN VD – VDC  x  x1  f ( x)     x  x2  NHĨM TỐN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Mơn Tốn - Mã đề 101 NHĨM TỐN VD – VDC Xét phương trình f  x   ln x Tương tự phương trình (2) với đánh giá 1 ln x   x  1  f ( x), x   0; a  ta chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt nghiệm không trùng với nghiệm hai phương trình (1) (2) Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt Câu 41 [PHÁT TRIẾN CÂU 50 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hàm số đa thức bậc ba y  f ( x) có đồ A B C D Thực :Thầy Huỳnh Đức Vũ – Thầy Dinh An https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 76 NHĨM TỐN VD – VDC  f  x  thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f  x     e  NHĨM TỐN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Mơn Tốn - Mã đề 101 Lời giải Chọn B +) f  x ex f  x f  x ex f  x ex f  x ex 0 NHĨM TỐN VD – VDC      f  x   f  x  f  x  1   f  x      e   e      (1)  a  1;  (2)  b  (3)  x  x1   0;1    f  x     x  x2   x1 ;1 x  x  b  vô nghiệm Trên  ;0  , hàm số y  f ( x) hàm số đa thức bậc ba nên kết hợp với đồ thị ta thấy NHÓM TOÁN VD – VDC  a  1;   f  x   ae x ex Trên  0;   , ta có e x  x   ae x  a  x  1  f ( x) Suy khoảng phương trình (2) +) phương trình (2) có nghiệm khoảng f  x +) x  b  f ( x)  be x Ta có be x  b  x  1  f ( x), x>0 lập luận tương tự phương trình e (2) ta chứng minh phương trình có nghiệm  ;0  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 77 NHĨM TỐN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Mơn Tốn - Mã đề 101 Câu 42 [PHÁT TRIẾN CÂU 50 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị NHĨM TỐN VD – VDC Các nghiệm ba phương trình (1), (2), (3) khơng trùng Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt đường cong hình vẽ Số nghiệm thực phân biệt phương trình f  x5 f  x     B C D Thực :Thầy Huỳnh Đức Vũ – Thầy Dinh An Lời giải Chọn C f  x5 f  x      f  x5 f  x    2 * Dựa vào đồ thị https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 78 NHĨM TỐN VD – VDC A NHĨM TỐN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Mơn Tốn - Mã đề 101  x5 f  x    *   x5 f  x   a   x f  x   b 1    1  a    3  3  b  2  x  x    f  x    x  x1 1    3  x1  2  Xét   : dễ thấy x  không nghiệm Với x  ,    f  x    1  a   hàm số y  f  x  hệ trục tọa độ suy Tương tự xét phương trình  3 phương trình có nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm Câu 43 [PHÁT TRIẾN CÂU 50 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị đường f  x  2 cong  hình vẽ Số nghiệm thực phân biệt phương trình f  x    C B D 12 Thực : Thầy Dinh An– Thầy Huỳnh Đức Vũ Lời giải Chọn C  x  2  f  x    f  x  2  f  x    * https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 79 NHĨM TỐN VD – VDC A f NHĨM TỐN VD – VDC a x5 phương trình có nghiệm Vẽ đồ thị hàm số f  x   a x5 NHĨM TỐN VD – VDC Ta có: f PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Mơn Tốn - Mã đề 101  x  2  x     x   f  x     x     x    f  x  f  x   a   1;0  f  x   b  2 f  x   c   3; 2   x  2 Xét phương trình:  x   f  x     mà f  x   có hai nghiệm  f  x    x   f  x   có ba nghiệm NHĨM TỐN VD – VDC Xét phương trình:  x   f  x   a  Do  x    ; x  2 khơng nghiệm phương trình  f  x   Xét g  x   a  x  2  g  x   a  x  2 0 2a  x  2 Bảng biến thiên: a  x  2 có nghiệm Tương tự:  x   f  x   b  x   f  x   c  b, c   phương trình có hai 2 nghiệm Vậy số nghiệm phương trình f  x  2  f  x   nghiệm Câu 44 [PHÁT TRIẾN CÂU 50 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 80 NHĨM TỐN VD – VDC Từ bảng biến thiên với f  x    f  x   NHĨM TỐN VD – VDC PBM - Phát triển đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 - Mơn Tốn - Mã đề 101   Số nghiệm thực phương trình f f  x   f  x   C 10 B 24 D Thực : Thầy Dinh An– Thầy Huỳnh Đức Vũ Lời giải Chọn A Đặt f  x   t  Khi phương trình trở thành NHĨM TỐN VD – VDC A 20 f  t   t , 1 Từ đồ thị hàm số ta có Khi phương trình f  x   a , f  x   b , f  x   c phương trình có nghiệm phân biệt khơng trùng Phương trình f  x   d có nghiệm phân biệt khơng trùng với nghiệm phương trình Vậy phương trình cho có 20 nghiệm phân biêt HẾT https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Upload mathvn.com Trang 81 NHÓM TOÁN VD – VDC  t  a ,   a  1   t  b ,  a  b  1 Phương trình  1 có nghiệm  t  c ,   c   t  d ,  d   