SKKN Một số phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trình

SKKN Một số phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trìnhSKKN Một số phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trìnhSKKN Một số phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trìnhSKKN Một số phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trìnhSKKN Một số phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trìnhSKKN Một số phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trìnhSKKN Một số phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trìnhSKKN Một số phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trìnhSKKN Một số phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trìnhSKKN Một số phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trìnhSKKN Một số phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trìnhSKKN Một số phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trìnhSKKN Một số phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trìnhSKKN Một số phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐĂKLĂK  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRƢỜNG: THPT BN MA THUỘT GIÁO VIÊN: NGUYỄN THỊ THANH THỦY TỔ: TOÁN NĂM HỌC: 2014 – 2015 ĐĂKLĂK - 2015 CHƢƠNG I MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Giải phƣơng trình dạng tốn chƣơng trình THPT Học sinh đƣợc trang bị cách giải phƣơng trình bậc nhất, bậc hai từ bậc THCS đƣợc nhắc lại lớp 10 Tuy nhiên, tốn tìm nghiệm ngun phƣơng trình học sinh chƣa có đầy đủ phƣơng pháp để giải Đây nội dung quan trọng đề thi Đại học, Cao đẳng, TH chuyên nghiệp đề thi học sinh giỏi từ trƣớc đến Phƣơng trình tốn với nghiệm nguyên đề tài lý thú Số học Đại số Phƣơng trình nghiệm ngun vơ đa dạng, thƣờng khơng có quy tắc giải tổng quát Do nói đến tốn tìm nghiệm ngun phƣơng trình, nhiều học sinh tỏ ngại, lúng túng Mỗi toán, với số liệu riêng nó, đòi hỏi cách giải riêng phù hợp Vì vậy, việc trang bị cho học sinh số phƣơng pháp giải nhƣ dạng phƣơng trình khác phƣơng trình nghiệm nguyên điều cần thiết Với lý trên, xin đƣợc trình bày sáng kiến kinh nghiệm “Một số phƣơng pháp tìm nghiệm nguyên phƣơng trình” II Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu đề tài là: tập hợp số phƣơng pháp nhƣ dạng phƣơng trình khác phƣơng trình nghiệm nguyên, đƣa số tập để giúp học sinh củng cố lại kiến thức đƣợc học III Đối tƣợng nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu học sinh từ cấp THCS đến THPT IV Giới hạn phạm vi nghiên cứu Trong phạm vi sáng kiến kinh nghiệm, nêu số phƣơng pháp giải phƣơng trình nghiệm nguyên số phƣơng trình nghiệm nguyên thƣờng gặp Đã áp dụng cho học sinh khối 10 12 trƣờng THPT Buôn Ma Thuột, TP Buôn Ma Thuột, Tỉnh Đăk Lăk V Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp nghiên cứu: Nghiên cứu chƣơng trình SGK từ THCS đến THPT, nghiên cứu tài liệu tìm nghiệm ngun phƣơng trình - Phân tích, đánh giá, tổng hợp lời giải toán, dạng toán Theo dõi, đánh giá kết học sinh, giáo viên đúc rút kinh nghiệm CHƢƠNG II NỘI DUNG I Cơ sở lý luận - Đa số học sinh chƣa có phƣơng pháp để giải dạng tốn tìm nghiệm ngun phƣơng trình nên nhiều em thƣờng “bỏ qua” “bỏ dở” toán dạng - Xuất phát từ tầm quan trọng nội dung từ thực trạng trên, để học sinh dễ dàng tự tin gặp tập tìm nghiệm nguyên phƣơng trình, giúp em phát huy đƣợc khả phân tích, tổng hợp, khái qt hóa qua tập, tơi đƣa sáng kiến kinh nghiệm “Một số phƣơng pháp tìm nghiệm nguyên phƣơng trình” II Thực trạng - Trong chƣơng trình THCS, THPT thời lƣợng có hạn mà dạng tìm nghiệm nguyên phƣơng trình chƣa đƣợc trình bày đầy đủ, mang tính chất giới thiệu qua số tập đơn giản - Do chƣa đƣợc hệ thống kiến thức chƣa đƣợc học đầy đủ phƣơng pháp để giải dạng tìm nghiệm nguyên phƣơng trình nên gặp hầu hết học sinh thấy lúng túng khơng có hƣớng giải - Mặt khác, dạng tập tìm nghiệm nguyên phƣơng trình phong phú, đa dạng phức tạp III Nội dung Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình với nghiệm nguyên a Phƣơng pháp xét số dƣ vế Ví dụ 1: Tìm nghiệm ngun phƣơng trình 9x   y2  y Giải: Biến đổi phƣơng trình: x   y( y  1) Ta thấy vế trái phƣơng trình số chia hết cho dƣ nên y( y  1) chia cho dƣ Chỉ y  3k  1, y  3k  với k nguyên x   (3k  1)(3k  2) Khi  x  9k (k  1)  x  k (k  1) Thử lại, x  k (k  1), y  3k  thoả phƣơng trình cho  x  k (k  1) với k số nguyên tuỳ ý  y  3k  Đáp số:  b Phƣơng pháp đƣa dạng tổng Biến đổi phƣơng trình dạng: vế trái tổng bình phƣơng, vế phải tổng số phƣơng Ví dụ 2: Tìm nghiệm ngun phƣơng trình x2  y  x  y  (1) Giải (1)  x  y  x  y  32  (4 x  x  1)  (4 y  y  1)  34  x   y   32  52 2 Bằng phƣơng pháp thử chọn ta thấy 34 có dạng phân tích thành tổng hai số phƣơng 32  52 Do phƣơng trình thoả mãn hai khả năng:  x    2x 1     y    y   Giải hệ trên, phƣơng trình (1) có bốn nghiệm ngun (2;3), (3;2), (1;-2), (-2;-1) c Phƣơng pháp dùng bất đẳng thức Trong giải phƣơng trình nghiệm nguyên cần đánh giá miền giá trị biến, số giá trị mà biến số nhận khơng nhiều dung phƣơng pháp thử trực tiếp để kiểm tra Để đánh giá đƣợc miền giá trị biến số cần vận dụng linh hoạt tính chất chia hết, đồng dƣ, bất đẳng thức Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên x cho: 2x  3x  5x Giải: Viết phƣơng trình dƣới dạng: x x  2  3     1  5 5 (1) Với x=0 vế trái (1) 2, loại Với x=1 vế trái (1) 1, x x 2 3 Với x     ,     5 5 x x 3 Nên         không thoả mãn  5 5 5 Nghiệm phƣơng trình Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình: x  y  xy  x  y (1) Giải: Viết (1) thành phƣơng trình bậc hai x: x  ( y  1) x  ( y  y)  (2) 0  ( y  1)  4( y  y )  Điều kiện cần để (2) có nghiệm  3 y  y    y2  y 1   3( y  1)  Do ( y  1)2  suy ra: y-1 -1 y Với y=0 thay vào (2) đƣợc x2  x   x1  0; x2  Với y=1 thay vào (2) đƣợc x2  2x   x3  0; x4  Với y=2 thay vào (2) đƣợc x2  3x    x5  1; x6  Thử lại, giá trị nghiệm với phƣơng trình (1) Đáp số: (0;0), (1;0), (0;1), (2;1), (1;2) (2;2) d Phƣơng pháp dùng tính chia hết, tính đồng dƣ Khi giải phƣơng trình nghiệm ngun cần vận dụng linh hoạt tính chất chia hết, đồng dƣ, tính chẵn lẻ,…để tìm điểm đặc biệt biến số nhƣ biểu thức chứa phƣơng trình, từ đƣa phƣơng trình dạng mà ta biết cách giải đƣa phƣơng trình đơn giản Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dƣơng phƣơng trình sau: 19 x  28 y  729 Giải: Viết phƣơng trình cho dƣới dạng: (18 x  27 y )  ( x  y )  729 (1) 2 Từ (1) suy x  y chia hết cho 3, x y chia hết cho Đặt x=3u, y=3v Thay vào phƣơng trình cho ta đƣợc: 19u  28v  81 (2) Từ (2) lập luận tƣơng tự ta suy u=3s, v=3t Thay vào (2) ta có: 19s  28t  (3) Từ (3) suy s, t không đồng thời 0, đó: 19s  28t  19  Vậy (3) vơ nghiệm phƣơng trình cho vơ nghiệm e Phƣơng pháp dùng tính chất số phƣơng Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình: x  x  19  y Giải: x  x   21  y  2( x  1)2  3(7  y ) Ta thấy: 3(7  y )   y  Suy y lẻ 2 Ta lại có :  y  nên y  Khi (2) có dạng: 2( x  1)2  18 Ta đƣợc x   3 đó: x1  2; x2  4 Các cặp số (2;1),(2;-1),(-4;1),(-4;-1) thoả mãn (2) nên nghiệm phƣơng trình cho f Phƣơng pháp lùi vơ hạn, ngun tắc cực hạn Ví dụ 7: Tìm ba số ngun dƣơng đôi khác x, y, z thỏa mãn: x3  y  z  ( x  y  z )2 Giải: Vì vai trò x, y, z nhƣ nên giả sử x yz Áp dụng bất đẳng thức: x3  y  z  x  y  z    3   Với x, y, z ≥0 ta suy x + y + z ≤ Dấu khơng xảy x, y, z đôi khác Vậy x + y + z ≤ (1) Mặt khác : x + y + z ≥ + + = (2) Từ (1) (2) ta suy x + y + z thuộc {6; 7; 8} Từ kết hợp với phƣơng trình ban đầu ta tìm đƣợc x, y, z Vậy (x, y, z) = (1, 2, 3) hoán vị ba số g Phƣơng pháp xét chữ số tận Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dƣơng phƣơng trình : 1! 2!  x!  y Giải: Cho x lần lƣợt 1; 2; 3; ta có hai nghiệm nguyên dƣơng (x ; y) phƣơng trình (1 ; 1), (3 ; 3) Nếu x > dễ thấy k ! với k > có chữ số tận Suy 1! 2!  x!  33  5!  x! có chữ số tận Mặt khác vế phải số phƣơng nên khơng thể tận Vậy phƣơng trình cho có hai nghiệm nguyên dƣơng (x ; y) (1 ;1) (3 ;3) h Phƣơng pháp tìm nghiệm riêng  Cách giải Xét phƣơng trình ax + by + c = (1) Trong a, b, c  R, a  0, b  Không tính tổng quát, giả thiết (a,b,c)=1 Thật vậy, (a, b, c)  d  ta chia hai vế phƣơng trình cho d Ta có hai định lý: Định lý 1: Nếu phƣơng trình (1) có nghiệm ngun (a,b)=1 (*) Chứng minh : Giả sử ( x , y ) nghiệm nguyên (1) ax  by  c Nếu a b có ƣớc chung d  c d , trái với giả thiết (a,b,c)=1 Vậy (a,b)=1 Định lý : Nếu ( x , y ) nghiệm phƣơng trình (1) phƣơng trình (1) có vơ số nghiệm ngun nghiệm ngun có biểu diễn dƣới dạng :  x  x  bt   y  y  at Trong t số nguyên tuỳ ý  t  0, 1, 2,  Chứng minh: Bƣớc 1: Mọi cặp số (x o +bt,yo -at) nghiệm nguyên (1) Thật ( x , y ) nghiệm (1) nên ax o +byo =c Ta có: ax  by  a( x  bt )  b( y  at )  ax  by  c Do ( x  bt , y  at ) nghiệm (1) nên ax  by  c ax  by  c a( x  x )  b( y  y )  Trừ vế:  a( x  x )  b( y  y) (2) Ta có: a( x  x )b mà (a,b)=1 (theo định lý 1) nên x  x b Vậy tồn số nguyên t cho : x  x  bt Tức là: x  x  bt abt  b( y  y ) Thay vào (2):  at  y  y  y  y  at Vậy tồn số nguyên t cho:  x  x  bt   y  y  at  Ví dụ: Ví dụ 9: Tìm nghiệm ngun phƣơng trình: 3x  y  Giải: Cách 1: Ta thấy x  3; y  nghiệm riêng : Theo định lý 2, nghiệm nguyên phƣơng trình :  x   2t (t số nguyên tuỳ ý)   y   3t Cách : Ta thấy x  1; y  1 nghiệm riêng : Theo định lý 2, nghiệm nguyên phƣơng trình :  x   2t (t số nguyên tuỳ ý)   y  1  3t Chú ý : Qua hai cách giải trên, ta thấy có nhiều cơng thức biểu thị tập hợp nghiệm nguyên phƣơng trình  Cách tìm nghiệm riêng phƣơng trình bậc hai ẩn : Để tìm nghiệm nguyên riêng phƣơng trình ax  by  c , ta dùng phƣơng pháp thử chọn: lần lƣợt cho x số có giá trị tuyệt đối nhỏ (0; 1; 2; ) tìm giá trị tƣơng ứng y i Phƣơng pháp hạ bậc Ví dụ 10: Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình : x3  y  z  (1) Giải : (1)  x3  z  y3 (2) Rõ ràng vế phải (2) chia hết x3  x2 Đặt x  x1 ( x1 Z) Thay vào (2) ta có: (2)  8x13  x3  y3  y3  z3  x13 (3) Lập luận tƣơng tự ta có : y , đặt y  y1 ( y1 Z) Biến đổi tƣơng tự, ta đƣợc: z3  y13  2x13 (4) Lập luận tƣơng tự ta có : z2 , đặt z  z1 ( z1 Z) Biến đổi tƣơng tự, ta đƣợc: (4)  8z13  y13  x13  x13  y13  z13  (5) x y z ; ) 2 Rõ ràng số ( x ; y ; z ) nghiệm (1) số (  ; x y z số chẵn Quá ; ; 2 x y z trình tiếp tục số n ; n ; n số chẵn với n số 2 nghiệm (1), x ; y ; z số chẵn nguyên dƣơng Vậy x  y  z  Một số phƣơng trình nghiệm nguyên thƣờng gặp a Phƣơng trình bậc hai ẩn Ví dụ 1: Tìm nghiệm ngun phƣơng trình: 11x  18 y  120 (1) Giải: Ta thấy 11x6 nên x6 Đặt x = 6k (k nguyên) Thay vào (1) rút gọn ta đƣợc: 11k  y  20 Biểu thị ẩn mà hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta đƣợc: y 20  11k Tách riêng giá trị nguyên biểu thức này: y   4k  Lại đặt k 1 k 1  t với t nguyên suy k  3t  Do đó: y   4(3t  1)  t   11t x  6k  6(3t  1)  18  Thay biểu thức x y vào (1), phƣơng trình đƣợc nghiệm Vậy nghiệm nguyên (1) đƣợc biểu thị công thức:  x  18t  với t số nguyên tuỳ ý   y   11t Cách giải : - Rút gọn phƣơng trình, ý đến tính chia hết ẩn - Biểu thị ẩn mà hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn x) theo ẩn - Tách riêng giá trị nguyên biểu thức x - Đặt điều kiện để phân bố biểu thức x số nguyên t, ta đƣợc phƣơng trình bậc hai ẩn y t - Cứ tiếp tục nhƣ ẩn đƣợc biểu thị dƣới dạng đa thức với hệ số ngun b Phƣơng trình bậc hai hai ẩn Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình: x  y  xy  11 (1) Giải: Biểu thị y theo x: (2 x  3) y  x  11 Dễ thấy x   (vì x ngun) đó: y 5x  11 x5  2 2x  2x  x  5 x   2( x  5)  x  Để y  Z phải có  2x   72 x   72 x  Ta có: 2x+3 -1 -7 x -1 -2 -5 y -1 Thử lại cặp giá trị (x;y) thỏa mãn phƣơng trình cho c Phƣơng trình bậc ba trở lên có hai ẩn Ví dụ 3: Tìm nghiệm ngun phƣơng trình: x( x  1)( x  2)( x  3)  y (1) Giải : Nếu y thỏa mãn phƣơng trình –y thỏa mãn, ta giả sử y  (1)  ( x  3x)( x  3x  2)  y Đặt x2  3x    a , ta đƣợc: (a  1)(a  1)  y  a   y  (a  y)(a  y )  Suy a  y  a  y , y = Thay vào (1) đƣợc: x1  0; x2  1; x3  2; x4  3 Đáp số: (0;0), (1;0), (2;0), ( 3;0) d Phƣơng trình đa thức có ba ẩn trở lên Ví dụ 4: Chứng minh phƣơng trình sau khơng có nghiệm nguyên: x  y  z  1999 (1) Giải: Ta biết số phƣơng chẵn chia hết cho 4, số phƣơng lả chia cho dƣ chia cho dƣ Tổng x  y  z số lẻ nên ba số x2 ; y ; z phải có có số lẻ, hai số chẵn; ba số lẻ Trƣờng hợp ba số x2 ; y ; z có số lẻ, hai số chẵn vế trái (1) chia cho dƣ 1, vế phải 1999 chia cho dƣ 3, loại Trƣờng hợp ba số x2 ; y ; z lẻ vế trái (1) chia cho dƣ 3, vế phải 1999 chia cho dƣ 7, loại Vậy phƣơng trình (1) khơng có nghiệm ngun e Phƣơng trình dạng mũ Ví dụ 5: Tìm số tự nhiên x số nguyên y cho: 2x   y Giải: Lần lƣợt xét giá trị tự nhiên x: Nếu x  y  nên y  2 Nếu x  y  , khơng có nghiệm ngun x Nếu x   , vế trái chia cho dƣ 3, y lẻ nên vế phải chia cho dƣ Mâu thuẫn Kết luận: Nghiệm phƣơng trình (0;2), (0;-2) Ví dụ 6: Giải phƣơng trình với nghiệm tự nhiên: x  y  2z  1024 (1) với x  y  z Giải: x Chia hai vế (1) cho  ta đƣợc:  y x  2z x  210x (2) 10 x 10 x Do  nên bội 0 Ta lại có z > x, z = x x=y=z, (2) trở thành    BS , yx loại Do bội Suy  yx yx bội Do  , y = x Thay vào (2):   z  x  210 x   z  x  210 x  2(1  z  x 1 )  210 x   z  x 1  29 x 9 x 9 x z  x 1  1,  29 x 2  Do nên bội Do Từ x = 8; y = 9; z = Bài tập củng cố Bài 1: Tìm tất cặp nghiệm nguyên (x, y) thoả mãn: y ( x  1)  x  Bài 2: Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình sau: a)15 x  y  b)29 x  28 y  2000 Bài 3: Tìm số tự nhiên x, y, z thoả mãn: a)2002  2001y  b)5x   y c)5x   y d )2 x.3 y   52 Bài 4: Tìm số nguyên dƣơng x, y, z thoả mãn: a)1! 2!  x !  y b) x ! y !  10 z  Bài 5: Tìm số tự nhiên x cho: x 3y  35 IV Các biện pháp tổ chức thực Tổ chức thực - Thông qua dạy sách giáo khoa từ THCS đến THPT, qua trình làm tập SGK sách tập nâng cao để đánh giá lực học sinh - Trƣớc học sau học: “Một số phƣơng pháp tìm nghiệm nguyên phƣơng trình”, cho học sinh làm kiểm tra thống kê kết để thấy hiệu đạt đƣợc sáng kiến kinh nghiệm Kết nghiên cứu: Thơng qua q trình giảng dạy học sinh ơn tập cho đối tƣợng học sinh giỏi, áp dụng đề tài kết cho thấy: - Học sinh có khả nhìn nhận xác cách tìm nghiệm nguyên phƣơng trình - Học sinh tự tin phân tích để lựa chọn phƣơng pháp giải hay, ngắn gọn cho số phƣơng trình tìm nghiệm nguyên - Hình thành đƣợc tƣ logic, kỹ tìm nghiệm nguyên phƣơng trình Đồng thời tạo hứng thú học tập cho học sinh - Cụ thể, qua kiểm tra, thống kê kết thấy hiệu rõ rệt sáng kiến kinh nghiệm CHƢƠNG III KẾT LUẬN I Kết luận Trong q trình giảng dạy, tơi nhận thấy tài liệu hữu ích cho giáo viên mang lại kết khả quan dạy học sinh Hy vọng sáng kiến kinh nghiệm trở thành tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh ngƣời quan tâm đến vấn đề Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận đƣợc đóng góp ý kiến chân thành đồng nghiệp, tổ chuyên môn để sáng kiến kinh nghiệm tơi hồn chỉnh đƣợc áp dụng có hiệu cao q trình giảng dạy mơn tốn Tơi xin chân thành cảm ơn! II Đề xuất - Trong trình dạy học phƣơng trình, hệ phƣơng trình bất phƣơng trình nói chung, tơi thấy phƣơng pháp tìm nghiệm nguyên phƣơng trình chƣa đƣợc trình bày cách đầy đủ Vì vậy, khơng học sinh từ cấp THCS mà học sinh cấp THPT thấy lúng túng gặp dạng toán Rất mong có thêm nhiều tài liệu viết đề tài để góp phần cho việc dạy học đạt hiệu cao - Thƣờng xuyên tổ chức, triển khai chuyên đề toán học cho giáo viên học sinh MỤC LỤC CHƢƠNG I MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài II Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài III Đối tƣợng nghiên cứu IV Giới hạn phạm vi nghiên cứu V Phƣơng pháp nghiên cứu CHƢƠNG II NỘI DUNG I Cơ sở lý luận II Thực trạng III Nội dung Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình với nghiệm nguyên Một số phƣơng trình nghiệm nguyên thƣờng gặp 11 Bài tập củng cố 14 IV Các biện pháp tổ chức thực 15 Tổ chức thực 15 Kết nghiên cứu: 15 CHƢƠNG III KẾT LUẬN 16 I Kết luận 16 II Đề xuất 16 MỤC LỤC 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Vũ Hữu Bình, Phương trình tốn với nghiệm ngun [2] Hồng Chúng, Đinh Quang Hảo, Nguyễn Ngọc Hân, Phan Thanh Quang, Hoàng Quý, Nguyễn Văn Vĩnh, Phương pháp giải toán đại số , Sở GD ĐT TP Hồ Chí Minh [3] Trần Văn Hạo, Đại số 10,11,12 chuẩn, Sách giáo viên, Nhà xuất Giáo dục – Hà Nội năm 2009) [4] Đoàn Quỳnh, Đại số 10,11,12 Nâng Cao, Nhà xuất Giáo dục – Hà Nội năm 2009 [5] Đoàn Quỳnh, Đại số 10,11,12 Nâng Cao, Sách giáo viên, Nhà xuất Giáo dục –Hà Nội năm 2009 NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… NHẬN XÉT CỦA TỔ CHUYÊN MÔN ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………  ... giải nhƣ dạng phƣơng trình khác phƣơng trình nghiệm nguyên điều cần thiết Với lý trên, tơi xin đƣợc trình bày sáng kiến kinh nghiệm Một số phƣơng pháp tìm nghiệm nguyên phƣơng trình II Mục tiêu,... tạp III Nội dung Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình với nghiệm nguyên a Phƣơng pháp xét số dƣ vế Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình 9x   y2  y Giải: Biến đổi phƣơng trình: x   y( y... ràng số ( x ; y ; z ) nghiệm (1) số (  ; x y z số chẵn Quá ; ; 2 x y z trình tiếp tục số n ; n ; n số chẵn với n số 2 nghiệm (1), x ; y ; z số chẵn nguyên dƣơng Vậy x  y  z  Một số