MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ KIM NGẦN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM VĂN QUỐC HÀ NỘI - 2015 Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Một số kiến thức 1.1 Hệ phương trình 1.1.1 Hệ phương trình bậc hai ẩn 1.1.2 Hệ phương trình đối xứng 1.1.3 Hệ phương trình đẳng cấp 1.1.4 Hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh 1.2 Phương pháp 1.2.1 Phương pháp cộng đại số 1.2.2 Phương pháp 4 4 5 6 9 10 13 15 16 16 18 19 21 21 24 25 25 26 Một số phương pháp giải hệ phương trình 2.1 Phương pháp đặt ẩn phụ 2.2 Phương pháp phân tích thành nhân tử 2.3 Phương pháp sử dụng đẳng thức 2.4 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 2.5 Phương pháp khác 2.5.1 Phương pháp đánh giá 2.5.2 Phương pháp lượng giác hóa 2.5.3 Phương pháp sử dụng số phức Một số phương pháp xây dựng hệ phương trình 3.1 Xây dựng hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ 3.2 Xây dựng hệ phương trình từ đẳng thức 3.3 Sử dụng tính đơn điệu hàm số để xây dựng hệ phương trình 3.4 Xây dựng hệ phương trình phương pháp đánh giá 3.5 Sử dụng số phức để xây dựng hệ phương trình Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 29 Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Phạm Văn Quốc - người thầy truyền cho niềm say mê nghiên cứu Toán học Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thiện luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Toán - Cơ - Tin học, thầy cô giáo tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, thời gian trình độ hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì tác giả mong nhận góp ý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Mở đầu Hệ phương trình nội dung cổ điển quan trọng Toán học Ngay từ đầu, đời phát triển hệ phương trình đặt dấu ấn quan trọng Toán học Chúng có sức hút mạnh mẽ người yêu Toán, thúc người làm Toán phải tìm tòi, sáng tạo Bài toán hệ phương trình thường xuyên xuất kỳ thi học sinh giỏi, Olympic kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Hệ phương trình đánh giá toán phân loại học sinh giỏi, đòi hỏi kỹ thuật xử lý nhanh xác Là giáo viên Trung học phổ thông, muốn nghiên cứu sâu hệ phương trình nhằm nâng cao chuyên môn, phục vụ cho trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Với lý trên, lựa chọn nghiên cứu đề tài "Một số phương pháp giải hệ phương trình chương trình toán Trung học phổ thông" làm luận văn thạc sĩ Luận văn chia làm ba chương: Chương Một số kiến thức Chương Một số phương pháp giải hệ phương trình Chương Một số phương pháp xây dựng hệ phương trình Hà Nội, ngày 01 tháng năm 2015 Tác giả luận văn Vũ Thị Kim Ngần Chương Một số kiến thức 1.1 1.1.1 Hệ phương trình Hệ phương trình bậc hai ẩn Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ có dạng a1 x + b y = c a2 x + b y = c Phương pháp giải: Để giải hệ phương trình này, ta thường sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp thế, - Phương pháp cộng đại số, - Phương pháp dùng định thức a b c b a c Ký hiệu: D = a1 b1 ; Dx = c1 b1 ; Dy = a1 c1 2 2 2 Trường hợp : D = Dx x= D Hệ phương trình có nghiệm y = Dy D Trường hợp : D = Dx = Dy = Hệ phương trình có vô số nghiệm dạng {(x0 ; y0 ) |a1 x0 + b1 y0 = c1 } Trường hợp : D = 0; Dx = D = 0; Dy = D = 0; Dx = 0; Dy = Hệ phương trình vô nghiệm 1.1.2 Hệ phương trình đối xứng Hệ phương trình đối xứng loại I Hệ phương trình đối xứng loại I hai biến x y hệ phương trình mà ta thay x y , thay y x hệ không thay đổi Phương pháp giải: - Đặt x+y =S , điều kiện S ≥ 4P xy = P - Tìm S, P, - Khi đó, x, y nghiệm phương trình u2 − Su + P = Hệ phương trình đối xứng loại II Hệ phương trình đối xứng loại II x y hệ phương trình mà ta thay x y , thay y x phương trình biến thành phương trình ngược lại Phương pháp giải: - Trừ theo vế hai phương trình hệ, ta phương trình tích dạng: (x − y) f (x; y) = - Sau thay x = y; f (x, y) = 0, vào hai phương trình hệ, ta phương trình biết cách giải giải tiếp tìm nghiệm hệ 1.1.3 Hệ phương trình đẳng cấp Hệ phương trình f (x, y) = a gọi hệ đẳng cấp bậc k f (x, y); g(x, y) g (x, y) = b biểu thức đẳng cấp bậc k Chú ý : Biểu thức f (x, y) gọi đẳng cấp bậc k f (mx, my) = mk f (x, y) Phương pháp giải: - Xét y = (hoặc x = 0) thay vào hệ phương trình tìm nghiệm - Xét y = Đặt x = ty , ta có f (ty, y) = y k f (t, 1) ⇒ g (ty, y) = y k g (t, 1) y k f (t, 1) = a y k g (t, 1) = b a b Chia theo vế hai phương trình hệ ta được: f (t, 1) = g (t, 1) Giải phương trình tìm t thay ngược lại ta tìm nghiệm (x, y) 1.1.4 Hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh Hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh hệ có dạng: f (x1 ) = g (x2 ) f (x2 ) = g (x3 ) f (xn−1 ) = g (xn ) f (xn ) = g (x1 ) (Khi ta hoán vị vòng quanh biến hệ phương trình không đổi) Cụ thể, ta xét hệ hoán vị vòng quanh ba ẩn sau x = f (y) y = f (z) z = f (x) Phương pháp giải: Giả sử f hàm số xác định tập D có tập giá trị T , T ⊆ D f hàm số đồng biến D - Cách : Đoán nghiệm chứng minh nghiệm Để chứng minh hệ có nghiệm ta thường cộng theo vế ba phương trình hệ, sau suy x = y = z - Cách : Từ T ⊆ D ta suy f (x), f (f (x)) f (f (f (x))) thuộc D Để (x, y, z) nghiệm hệ x ∈ T Nếu x > f (x) f tăng D nên f (x) > f (f (x)) Do đó, f (f (x)) > f (f (f (x))) Suy ra: x > f (x) > f (f (x)) > f (f (f (x))) = x Điều mâu thuẫn Chứng tỏ có x > f (x) Tương tự ta chứng minh có x < f (x) Do đó, x = f (x) Việc giải hệ phương trình ban đầu quy việc giải phương trình x = f (x) Hơn ta có: ⇔ 1.2 1.2.1 x = f (y) y = f (z) ⇔ z = f (x) x = f (y) y = f (z) ⇔ z = f (z) x = f (y) x = f (y) y = f (z) y = f (z) ⇔ z = f (f (y)) z = f (f (f (z))) x = f (y) x=y=z z=y ⇔ z = f (z) z = f (z) Phương pháp Phương pháp cộng đại số Để giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số, ta kết hợp hai phương trình hệ phép toán cộng, trừ, nhân, chia để thu phương trình hệ đơn giản hơn, dễ giải Ví dụ 1.1 (Trích đề thi đại học an ninh nhân dân năm 1999) Giải hệ phương trình x2 + x + y + + x + x2 + x + y + − x + y + x + y + + y = 18 y2 + x + y + − y = (x, y ∈ R) Giải Điều kiện: x2 + x + y + ≥ 0; y + x + y + ≥ Cộng, trừ theo vế hai phương trình hệ ta x2 + x + y + + y + x + y + = 10 x+y =8 √ √ − 16x + 73 = 10 − x2 + x ⇔ y =8−x √ 10 − x2 + ≥ √ ⇔ x2 − 16x + 73 = 100 − 20 x2 + + x2 + y =8−x −9 ≤ x ≤ −9 ≤ x ≤ √ x≥− ⇔ x + = 4x + ⇔ + = (4x + 9)2 25 x y =8−x y =8−x − ≤x≤9 x=4 ⇔ ⇔ (TMĐK) y=4 (x − 4)2 = y =8−x Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (4; 4) 1.2.2 Phương pháp Đây phương pháp ứng dụng nhiều phương pháp giải hệ phương trình sau Dấu hiệu nhận biết phương pháp từ phương trình hệ ban đầu, ta rút biến theo biến (cũng biểu thức) thay vào phương trình lại để giải Trong số trường hợp, ta dễ dàng tìm biểu thức liên hệ biến ta cần biến đổi hệ để có điều mong muốn Cụ thể, ta xét ví dụ sau Ví dụ 1.2 (Trích đề thi HSG năm 2014 tỉnh Nghệ An) Giải hệ phương trình √ √ 5x + y + 2x + y = (1) √ 2x + y + x − y = (2) Giải Điều kiện: 5x + y ≥ 0; 2x + y ≥ Từ phương trình (1) hệ ta có: √ √ 5x + y = − 2x + y (x, y ∈ R) √ − 2x + y ≥√0 ⇔ 5x + y = − 2x + y + 2x + y √ √ − 2x + y ≥ − 2x + y ≥ x≤3 √ 3−x ⇔ ⇔ 2x + y = 2x + y = − x 2 √ − 2x + y ≥ x≤3 ⇔ y = x − 14x + x2 − 14x + Thay y = vào phương trình (2) ta được: 3−x x2 − 14x + +x− =1 ⇔ x − 16x + = √ ⇔ x = ± 57 √ ⇒ x = − √57 (TMĐK) − 57 ⇒y= Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = √ 9− − 57; √ 57 Chương Một số phương pháp giải hệ phương trình 2.1 Phương pháp đặt ẩn phụ Đây phương pháp thường sử dụng giải hệ phương trình Đặc điểm bật phương pháp cần phát ẩn phụ xử lý mối liên quan ẩn phụ với đại lượng có trọng hệ Từ đó, ta đưa hệ phương trình ban đầu hệ đơn giản dễ xử lý Có thể ẩn phụ xuất trực tiếp hệ có ta phải biến đổi hệ để đặt ẩn phụ Một số dạng hệ sử dụng phương pháp như: - Hệ đối xứng, - Hệ có chứa thức (Ta thường đặt ẩn thức để khử căn), - Hệ có chứa biểu thức dạng tổng - hiệu, tổng - tích chứa biểu thức lặp lại hai phương trình Với hệ phương trình có chứa thức, ta thường đặt u = u= v= f (x) f (x) để đưa phương trình hệ phương trình biết cách g (x) giải Ta xét ví dụ sau Ví dụ 2.1 (Trích đề thi HSG QG năm 2001) Giải hệ phương trình √ √ 7x + y + 2x + y = √ 2x + y + x − y = Giải Điều kiện: 7x + y ≥ 0; 2x + y ≥ (x, y ∈ R) Trong số toán, biến đổi hệ phương trình ta thu dạng sau: ∗ 2n 2n A2n + A2 + + Ak = 0; k = 1; 2; .; n ∈ N 2n 2n Khi đó, A2n = A2 = = Ak = Ví dụ 2.5 (Trích đề thi chọn đội tuyển HSG QG năm 2015 tỉnh Nghệ An) Giải hệ phương trình x 4y + 3y + 5y − x2 = y x2 + 4y + √ √ x + 12 − 2x = 2y − y − (x, y ∈ R) Giải Điều kiện: 5y − x2 ≥ 0; x ≤ 6; y ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với (x − 2y)2 4y + + x − ⇔ ⇔ ⇔ 5y − x2 =0 x − 2y = x − 5y − x2 = x = 2y x = 5y − x2 x = 2y x ≥ Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: √ √ 2y + 12 − 4y = 2y − y − √ √ ⇔ y + − y = y2 − y − √ √ ⇔ y2 − y − = − y + y ≥ ⇒ ≤ y ≤ Ta có: √ √ − y = y2 − y − √ √ ⇔ y − 3y + = − y − (y − 2) + y − (y − 1) y − 3y + y − 3y + ⇔ y − 3y + = − √ −√ y+y−1 3−y+y−2 1 ⇔ y − 3y + 1 + √ +√ = y+y−1 3−y+y−2 1 Vì 1+ √ +√ > 0; ∀y ∈ [2; 3] y+y−1√ 3−y+y−2 3± Nên suy y − 3y + = ⇔ y = √ √ 3+ Kết hợp với điều kiện ta có y = ⇒ x = + √ √ 3+ Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = + 5; y+ 14 2.4 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Để giải hệ phương trình phương pháp hàm số, trước tiên ta cần biết đến tính chất hàm số sau Cho hàm số y = f (x) xác định tập D (D đoạn, khoảng, nửa khoảng) Định lý Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) D phương trình f (x) = k có nhiều nghiệm D f (u) = f (v) u = v, với u, v thuộc D Định lý Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) D hàm số y = g(x) nghịch biến (hoặc đồng biến) D phương trình f (x) = g(x) có nhiều nghiệm D Định lý Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm đến cấp n D phương trình (k) f (x) = có m nghiệm Khi đó, phương trình f (k−1) (x) = có nhiều m + nghiệm D Lưu ý : Một số đặc điểm để nhận dạng hệ phương trình áp dụng phương pháp là: - Có phương trình hệ cô lập hai biến định dạng phương trình có tính đối xứng - Hệ đối xứng loại không giải phương pháp thông thường - Có phương trình hệ cô lập hai biến không đưa dạng đối xứng, chẳng hạn như: f (x) + f (y) = k f (x).f (y) = k f (x) + g(y) = k f (x) = k, với k số Trong số toán, ta dễ dàng phát hàm đặc trưng Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau Ví dụ 2.6 (Trích đề thi thử ĐH năm 2013 trường THPT chuyên ĐHSPHN) Giải hệ phương trình 1 x+ =y+ x +1 y +1 (x, y ∈ R) + 2x − 3x = 9x2 + y2 y Giải Điều kiện: y = 15 ; t ∈ R +1 2t t4 + t2 + (t − 1)2 = > 0; ∀t Có f (t) = − 2 (t2 + 1) (t2 + 1) Suy f (t) hàm đồng biến R Xét hàm số f (t) = t + t2 Do f (x) = f (y) ⇔ x = y Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: 3x2 + 2x − = x2 x ⇔ 9x2 + = 3x − + x x Đặt u = 3x − ⇒ 9x2 + = u2 + 12 x x 9x2 + (x = 0) Khi = 3x − + 2 x x √ ⇔ u + 12 = u + u+2≥0 ⇔ u2 + 12 = (u + 2)2 u≥2 ⇔ ⇔ u = 4u = ⇒ 3x − = ⇔ 3x2 − 2x − = x √ √ 1± 1± ⇔x= ⇒x=y= 3 9x2 + Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) = 2.5 2.5.1 √ √ 1− 1− ; 3 ; √ √ 1+ 1+ ; 3 Phương pháp khác Phương pháp đánh giá Nội dung chủ đề đề cập đến việc đánh giá hệ phương trình thông qua điều kiện nghiệm hệ phương trình bất đẳng thức bất đẳng thức Cô si, bất đẳng thức Bunhiacopski, bất đẳng thức véc tơ Bất đẳng thức Cô si Cho hai số thực không âm a, b Ta có: a+b √ ≥ ab Đẳng thức xảy a = b Tổng quát: Cho n số thực không âm a1 , a2 , , an 16 Khi ta có: √ a1 + a2 + + an ≥ n a1 a2 an n Đẳng thức xảy a1 = a2 = = an Bất đẳng thức Bunhiacopski Cho bốn số thực a, b, x, y Ta có: x2 + y ≥ (ax + by)2 a2 + b a b = x y Tổng quát: Cho 2n số thực , bi (i = 1, 2, , n) Ta có: Đẳng thức xảy b1 + + bn ≥ (a1 b1 + + an bn )2 a1 + + an Đẳng thức xảy a1 an = = b1 bn Bất đẳng thức véc tơ − − − − |→ u | + |→ v | ≥ |→ u +→ v | − − Đẳng thức xảy → u = k→ v , k ∈ R → → * Nếu u = (a; b) ; v = (c; d) ta có bất đẳng thức sau: a2 + b + c2 + d ≥ (a + c)2 + (b + d)2 Đẳng thức xảy ac = bd Bất đẳng thức dấu giá trị tuyệt đối |A| + |B| ≥ |A + B| Đẳng thức xảy AB ≥ |A − B| ≥ |A| − |B| Đẳng thức xảy (A − B) B ≥ Một số bổ đề thường dùng 1 √ với a > 0; b > 0; ab ≥ + ≥ 1+a 1+b + ab 1 √ với a > 0; b > 0; ab ≤ + ≤ 1+a 1+b + ab Dấu xảy hai bổ đề ab = a = b Ví dụ 2.7 (Trích đề thi Đại học khối A, A1 năm 2014) Giải hệ phương trình √ x 12 − y + y(12 √ − x ) = 12 x − 8x − = y − √ √ Giải Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 3; ≤ y ≤ 12 (x, y ∈ R) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: x 12 − y + y(12 − x2 ) ≤ (x2 + 12 − x2 )(12 − y + y) = 12 17 Đẳng thức xảy và√chỉ 12 − x2 x = √ y 12 − y √ ⇔ x y = (12 − x2 )(12 − y) x≥0 ⇔ y = 12 − x2 √ Thay y = 12 − x2 vào phương trình thứ hai hệ, ta được: Vì nên √ x3 − 8x − = 10 − x2 √ ⇔ x3 − 8x − + − 10 − x2 = x2 − √ ⇔ (x − 3) x2 + 3x + + =0 + 10 − x2 (x + 3) √ = ⇔ (x − 3) x2 + 3x + + + 10 − x2 (x + 3) √ x2 + 3x + + > 0; ∀x ≥ + 10 − x2 x−3=0 ⇔x=3⇒y=3 (TMĐK) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; 3) 2.5.2 Phương pháp lượng giác hóa Ví dụ 2.8 Giải hệ phương trình x2 + y = 3x − 4x3 Giải Đặt x = sin t y = cos t 3y − 4y = (x, y ∈ R) (t ∈ [0; 2π]) Khi phương trình thứ hai hệ trở thành: sin t − 4sin3 t ⇔ sin 3t.cos3t = − cos t − 4cos3 t = 2 ⇔ sin 6t = −1 π π ⇔t=− +k (k ∈ Z) 12 π 7π 11π 15π 19π Do t ∈ [0; 2π] nên t = ; ; ; ; 12 12 12 12 Vậy hệ phương trình có nghiệm π 7π 11π 15π 19π ; ; ; ; 12 12 12 12 (x; y) = (sin t; cos t) ; t ∈ 18 2.5.3 Phương pháp sử dụng số phức Phương pháp chung đặt z = x + yi Khi đó, chuyển toán tìm nghiệm (x; y) tìm số phức z thỏa mãn hệ phương trình cho Dùng phương pháp giải phương trình nghiệm phức tìm z = a + bi ⇔ x=a y=b Căn bậc n số phức: z n = r (cosϕ + isinϕ) = √ ϕ + k2π ϕ + k2π n r cos + i sin n n Ví dụ 2.9 Giải hệ phương trình 3x − y =3 x+ ; k = 0; 1; ; n − x +y y − x + 3y = 2 (x, y ∈ R) x +y Giải Điều kiện x2 + y = Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R) ⇒ x − yi = ; z x + y2 i xi + y = z x + y2 Hệ phương trình cho tương đương với 3x −y =3 x + 2 x +y yi − xi + 3yi = 2 x +y Cộng theo vế hai phương trình hệ ta được: xi + 3yi 3x − y + yi − =3 2 x +y x + y2 3x − y − xi − 3yi ⇔ (x + yi) + =3 x2 + y (x − yi) − (xi + y) ⇔ (x + yi) + =3 x2 + y 3−i ⇔z+ =3 z ⇔ z − 3z + − i = z =2+i ⇔ z = − i x+ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) = (2; 1) ; (1; −1) 19 Chương Một số phương pháp xây dựng hệ phương trình 3.1 Xây dựng hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ Để có hệ phương trình phức tạp có độ khó tùy ý, trước tiên ta xây dựng hệ phương trình Từ ta phát triển toán thu kết mong muốn Chẳng hạn như: Xét x = 1, y = Để có hệ đối xứng loại I hai biến x, y , đơn giản, ta cần tính xy + x + y = 3, x2 + y + x + y = 12 Từ ta có toán sau: Bài toán 3.1 Giải hệ phương trình xy + x + y = x2 + y + x + y = 12 (x, y ∈ R) Hướng dẫn: Đặt x+y =S , điều kiện S ≥ 4P xy = P Khi đó, ta có hệ phương trình: S+P =3 ⇔ S + S − 2P = 12 (S; P ) = (3; 0) (S; P ) = (−6; 9) Từ ta tìm nghiệm (x; y) = (3; 0); (0; 3); (−3; −3) Tương tự trên, ta xây dựng hệ phương trình đối xứng loại I hai biến u, v Sau đó, chọn u = f (x, y), v = g(x, y) để hệ Xét u = 1, v = Ta có hệ phương trình: u + uv + v = u2 v + uv = 20 (u, v ∈ R) Sau đặt S = u + v, P = uv ta hệ bậc hai S, P , có phương trình bậc theo S P , ta chọn u = 1, v = nên ta biết hệ phương trình có nghiệm (S, P ) = (1, 1) Vậy chắn ta giải hệ phương trình Bây giờ, để tạo hệ phương trình mới, hay hơn, khó hơn, ta cần √ chọn u = x; v = Như vậy, ta thu hệ: y −√1 √ √ √ x + x + = 3y − + =3 x+ x (y − 1) √ y − 1√ y − x x + =2 y − (y − 1)2 ⇔ x x = y−1 + (y − 1)2 Từ ta có toán sau Bài toán 3.2 Giải hệ phương trình √ √ x (y − 1) + x√+ = 3y − x − 2y + x + =0 y−1 (y − 1)2 (x, y ∈ R) Nhận thấy rằng, toán không đơn giản toán 1, ta bắt ý tưởng trở nên dễ dàng nhiều Ta xây dựng hệ phương trình đối xứng loại II hai biến (x, y), sau đó, cần thay (x, y) biểu thức khác ta thu toán giải hệ phương trình phong phú Chẳng hạn như: Xét x = 2, y = Ta có: x2 − xy + 3y = hay x2 − xy = 3(2 − y) Khi thay x y thay y x ta phương trình: y − xy = 3(2 − x) Từ ta có toán sau: Bài toán 3.3 Giải hệ phương trình x2 − xy = (2 − y) y − xy = (2 − x) (x, y ∈ R) Từ hệ phương trình đơn giản trên, ta sáng tác thêm nhiều toán, chẳng hạn như: Với u = 2, v = ta xây dựng hệ đối xứng loại II là: u2 − uv = (2 − v) v − uv = (2 − u) Chọn u = √ x2 + 1; v = √ , ta hệ phương trình: y 21 √ x2 + 1 2+1− x =3 2− √ √ y y ⇔ √ √ x2 + − = − x2 + √ 4y y √ √ √ 2 y x + + = x2 + + 12 y √ + x2 + = + √ 4y x2 + √ y Như vậy, ta xây dựng toán hay là: Bài toán 3.4 Giải hệ phương trình √ √ + + 12√y y x2 + + = x √ √ + x2 + = + 4y x2 + √ y (x, y ∈ R) Ngoài ra, từ nghiệm "đẹp" ban đầu, ta hoàn toàn xây dựng hệ đẳng cấp đơn giản, từ ta có hệ phương trình vô phong phú Chẳng hạn, ta xét x = 1, y = Khi có được: 2x3 + y = 10 x2 y − 3xy + x3 = −9 (Hoặc chọn hệ đẳng cấp khác, tùy theo nhu cầu người.) Như ta có toán sau Bài toán 3.5 Giải hệ phương trình 2x3 + y = 10 x2 y − 3xy + x3 = −9 (x, y ∈ R) u Từ toán trên, ta chọn x = u; y = có hệ là: v 2u3 + u = 10 3 3 v3 ⇔ u u u − 3u + u = v v2 2u v + u = 10v u3 v − 3u3 + u3 v = −9v Do đó, ta thu toán sau Bài toán 3.6 Giải hệ phương trình 2u3 v + u3 − 10v = u3 v − 3u3 + u3 v + 9v = 22 (x, y ∈ R) 3.2 Xây dựng hệ phương trình từ đẳng thức Để hệ phương trình có nghiệm "đẹp" ý, ta xuất phát từ đẳng thức đơn giản từ đẳng thức Chẳng hạn như, xét biểu thức x2 − y (2x − y + 1) = (∗) Khai triển (∗) ta 2x3 − x2 y + x2 + y − 2xy − y = (∗∗) Muốn có hệ phương trình, ta cần kết hợp (∗∗) với biểu thức liên hệ hai biến x, y , ví dụ xy + x − = (∗ ∗ ∗) Từ (∗∗) (∗ ∗ ∗) ta có toán sau Bài toán 3.7 Giải hệ phương trình xy + x − = (1) 2 2x − x y + x + y − 2xy − y = (2) (x, y ∈ R) Hoàn toàn tương tự, ta xét đẳng thức: (x − 4y) (x − y) = ⇔ (x − 4y) (x − y)2 = ⇔ x3 − 6x2 y + 9xy − 4y = Kết hợp với biểu thức liện hệ x; y , chẳng hạn có hệ phương trình √ √ x − y + x + y = 2, ta + 9xy − 4y = x √ − 6x y √ x − y + x + y = Từ đó, ta thu toán sau Bài toán 3.8 Giải hệ phương trình x3 − 6x2 y √ + 9xy − 4y = (1) √ x − y + x + y = (2) (x, y ∈ R) Xét biến đổi tương đương ta chọn (x − 2)3 = (y + 3)3 Ta có: (x − 2)3 = (y + 3)3 ⇔ x3 − 6x2 + 12x − =y3 + 9y + 27y + 27 (1) Nhận thấy (x; y) = (2; −3) (x; y) = (3; −2) thỏa mãn (1) Có: x3 − y = 35 (2) Từ (1) (2) ta được: 2x2 + 3y = 4x − 9y (3) Kết hợp (2) (3) ta có toán sau 23 Bài toán 3.9 Giải hệ phương trình x3 − y = 35 (1) 2 2x + 3y = 4x − 9y (2) 3.3 (x, y ∈ R) Sử dụng tính đơn điệu hàm số để xây dựng hệ phương trình Dựa vào tính chất "Nếu hàm số y = f (x) đơn điệu khoảng (a;b) x, y thuộc (a;b) f (x) = f (y) x = y " ta sáng tác nhiều phương trình Sau đó, cần kết hợp với biểu thức liên hệ hai biến x, y ta có hệ phương trình với nghiệm mong muốn Xét hàm số f (t) = t3 + 3t R Có f (t) = 3t2 + > với t Suy f (t) hàm đồng biến R Do đó, f (u) = f (v) ⇔ u = v √ Lấy u = 2x − 1; v = y ta được: (2x + 2) √ 2x − = y + 3y Kết hợp với biểu thức liên hệ x, y , chẳng hạn y − xy + = 5x − 6y Ta có toán sau Bài toán 3.10 ( Trích đề thi thử THPTQG năm 2015 tỉnh Nam Định) Giải hệ phương trình √ (2x + 2) 2x − = y + 3y (1) y − xy + = 5x − 6y (2) 3.4 (x, y ∈ R) Xây dựng hệ phương trình phương pháp đánh giá Vì bất đẳng thức lĩnh vực phát triển Toán Sơ Cấp nên theo đó, sử dụng bất đẳng thức ta sáng tạo nhiều hệ phương trình Điều đặc biệt lưu ý phương pháp đoán nghiệm góp phần lớn vào thành công lời giải Xét bất đẳng thức Cô si Cho hai số thực không âm a, b Ta có: a+b √ ≥ ab Đẳng thức xảy a = b 2 Chọn a = 2x +y ; b = 2y +x , có: 24 2x +y + 2y +x ≥2 +y+y +x 2x Mặt khác, theo bất đẳng thức Bunhiacopski √ √ x + y ; x2 + y ≥ (x + y)2 2 √ √ Ta cần chọn biểu thức liên hệ x, y có hệ phương √ √ trình, chẳng hạn, lấy x + y = 1 √ √ x + y = x2 + y ≥ (x + y)2 ≥ Suy x + y ≥ 22 √ √ Do 2x +y + 2y +x ≥ 2x2 +y+y2 +x ≥ 24 = x+y ≥ Đẳng thức xảy x = y = Từ đó, ta có toán sau Bài toán 3.11 Giải hệ phương trình 2 2√x +y + 2y +x = (1) √ x+ y =2 (2) 3.5 (x, y ∈ R) Sử dụng số phức để xây dựng hệ phương trình Xuất phát từ số phức cho trước, ta xây dựng nên hệ phương trình cách lũy thừa số phức đó, từ hai số phức, ta biến đổi thu hệ phương trình Xây dựng hệ phương trình cách lũy√thừa số phức cho trước π π + i =5 3 2 Giả sử w = x + yi; (x, y ∈ R) √ số phức thỏa mãn: (x + yi)3 = + i 2 √ 5 3 2 3 ⇔ x + 3x yi + 3xy i + y i = + i 2√ 5 ⇔ x3 − 3xy + 3x2 y − y i = + i (∗) 2 So sánh hai vế (∗) ta 5có: x3 − 3xy = 2x3 − 6xy = 5√ 2√ ⇔ 6x2 y − 2y = 3x2 y − y = Xét số phức z = cos + i sin Từ ta có toán Bài toán 3.12 Giải hệ phương trình 2x3 − 6xy = 5√ (1) 6x2 y − 2y = (2) 25 (x, y ∈ R) Xây dựng hệ phương√trình từ hai số phức cho trước Xét số phức z1 = √ − 5i ⇒ z2 = 5i z1 + z2 = √ z1 z2 = + 5i Suy z1 ; z2 nghiệm phương trình: √ z − 7z + +√ 5i = + 5i ⇔z−7+ =0 √z 5i ⇔z+ + =7 z z√ 5z 5iz ⇔z+ + = zz zz Giả sử z = x + yi (x, y ∈ R), đó√ ta có: (x − yi) (xi + y) x + yi + + =7 + y2 x + y2 x √ √ 5x − 5yi 5xi + 5y ⇔ x + yi + + =7 x + x2 + √ y2 √y 5x − 5y 5x + 5y + y+ i = (∗) ⇔ x+ 2 x +y x2 + y So sánh hai vế (∗), có: √ 5x + 5y x+ =7 x + y2 √ y + 5x − 5y = x2 + y Từ ta có toán sau Bài toán 3.13 Giải hệ phương trình √ 5x + 5y x+ = (1) x +y √ 5x − 5y y+ = (2) x2 + y 26 (x, y ∈ R) Kết luận Sau thời gian học tập khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tận tình giảng dạy hướng dẫn TS Phạm Văn Quốc, hoàn thành luận văn với đề tài "Một số phương pháp giải hệ phương trình chương trình toán Trung học phổ thông" Luận văn đạt số kết sau: Luận văn trình bày cách hệ thống kiến thức hệ phương trình, đồng thời đưa phương pháp giải thường sử dụng toán Trung học phổ thông Luận văn đưa số cách sáng tác hệ phương trình từ số phức, hay từ đẳng thức, bất đẳng thức, tính chất hàm số Luận văn sưu tầm nhiều toán đề thi Đại học, thi học sinh giỏi Quốc gia Olympic Vì vậy, luận văn dùng làm tài liệu tham khảo nhằm nâng cao kiến thức cho học sinh Trung học phổ thông Mặc dù trình làm luận văn, tác giả nghiêm túc có nhiều cố gắng, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn bè để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! 27 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tài Chung (2015), Sáng tạo giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, NXB Tổng hợp TPHCM [2] Hà Văn Chương (2012), Tuyển chọn giải hệ phương trình, hệ bất phương trình, phương trình, bất phương trình không mẫu mực, NXB ĐHQGHN [3] Nguyễn Văn Lộc (2012), Tuyển chọn thi vô địch Toán địa phương, NXB ĐHQGHN [4] Nguyễn Vũ Lương (Chủ biên)- Phạm Văn Hùng - Nguyễn Ngọc Thắng (2006), Hệ phương trình phương trình chứa thức, NXB ĐHQGHN [5] Nguyễn Văn Mậu, Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB GD [6] Đặng Thành Nam (2014), Những điều cần biết luyện thi Đại học kỹ thuật giải nhanh hệ phương trình, NXB ĐHQGHN [7] Lê Xuân Sơn (2014), Phương pháp hàm số giải Toán, NXB ĐHQGHN [8] Mai Xuân Vinh (Chủ biên) - Phạm Kim Chung - Phạm Chí Tuân - Đào Văn Chung - Dương Văn Sơn (2015), Tư logic tìm tòi lời giải hệ phương trình, NXB ĐHQGHN [9] Ban tổ chức kỳ thi, Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, NXB GD 28 [...]... "Một số phương pháp giải hệ phương trình trong chương trình toán Trung học phổ thông" Luận văn đã đạt được một số kết quả sau: 1 Luận văn đã trình bày một cách hệ thống những kiến thức cơ bản về hệ phương trình, đồng thời đưa ra được các phương pháp giải thường sử dụng trong toán Trung học phổ thông 2 Luận văn đã đưa ra được một số cách sáng tác hệ phương trình từ số phức, hay từ các đẳng thức, bất... Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x; y) = (2; 1) ; (1; −1) 19 Chương 3 Một số phương pháp xây dựng hệ phương trình 3.1 Xây dựng hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ Để có được một hệ phương trình phức tạp và có độ khó tùy ý, trước tiên ta sẽ xây dựng một hệ phương trình cơ bản Từ đó ta sẽ phát triển bài toán và thu được kết quả mong muốn Chẳng hạn như: Xét x = 1, y = 0 Để có được một hệ. .. 0 có m nghiệm Khi đó, phương trình f (k−1) (x) = 0 có nhiều nhất m + 1 nghiệm trên D Lưu ý : Một số đặc điểm để nhận dạng hệ phương trình có thể áp dụng phương pháp này là: - Có một phương trình trong hệ có thể cô lập được hai biến về một định dạng phương trình có tính đối xứng - Hệ đối xứng loại 2 nhưng không giải được bằng phương pháp thông thường - Có một phương trình trong hệ có thể cô lập được... bằng phương pháp này là: - Phương trình trong hệ là một phương trình bậc hai có biểu thức delta là một số chính phương - Phương trình trong hệ có dạng đẳng cấp 10 - Phương trình trong hệ xuất hiện nhân tử chung sau phép nhân với biểu thức liên hợp - Phương trình có tính đối xứng giữa hai biến Ví dụ 2.2 (Trích đề thi thử THPTQG năm 2015 trường THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQGHN) Giải hệ phương trình x2 √... và giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, NXB Tổng hợp TPHCM [2] Hà Văn Chương (2012), Tuyển chọn và giải hệ phương trình, hệ bất phương trình, phương trình, bất phương trình không mẫu mực, NXB ĐHQGHN [3] Nguyễn Văn Lộc (2012), Tuyển chọn các bài thi vô địch Toán ở các địa phương, NXB ĐHQGHN [4] Nguyễn Vũ Lương (Chủ biên)- Phạm Văn Hùng - Nguyễn Ngọc Thắng (2006), Hệ phương trình và phương. .. phương pháp giải hệ phương trình dạng: f (x; y) = 0 g (x; y) = 0 trong đó, f (x; y) = f1 (x; y) f 2 (x; y) Từ đó, ta đưa hệ về dạng: f1 (x; y) = 0 g (x; y) = 0 f2 (x; y) = 0 g (x; y) = 0 Giải hệ phương trình bằng phương pháp phân tích nhân tử là một kỹ thuật có tính phát triển nâng cao dựa trên nền tảng giải hệ bằng phương pháp thế Dấu hiệu nhận biết một hệ phương trình được giải bằng phương. .. được một hệ mới Xét u = 1, v = 1 Ta có hệ phương trình: u + uv + v = 3 u2 v + uv 2 = 2 20 (u, v ∈ R) Sau khi đặt S = u + v, P = uv ta được một hệ bậc hai đối với S, P , trong đó có một phương trình bậc nhất theo S và P , hơn nữa ta đã chọn u = 1, v = 1 nên ta biết rằng hệ phương trình có một nghiệm (S, P ) = (1, 1) Vậy chắc chắn ta sẽ giải được hệ phương trình trên Bây giờ, để tạo ra được một hệ phương. .. bài toán sau Bài toán 3.13 Giải hệ phương trình √ 5x + 7 5y x+ 2 = 7 (1) 2 x +y √ 7 5x − 5y y+ = 0 (2) x2 + y 2 26 (x, y ∈ R) Kết luận Sau thời gian học tập tại khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, được các thầy cô tận tình giảng dạy và dưới sự hướng dẫn của TS Phạm Văn Quốc, tôi đã hoàn thành luận văn với đề tài "Một số phương pháp giải hệ phương. .. t; cos t) ; t ∈ 18 2.5.3 Phương pháp sử dụng số phức Phương pháp chung là đặt z = x + yi Khi đó, chuyển bài toán tìm nghiệm (x; y) về tìm số phức z thỏa mãn hệ phương trình đã cho Dùng phương pháp giải phương trình nghiệm phức tìm được z = a + bi ⇔ x=a y=b Căn bậc n của số phức: z n = r (cosϕ + isinϕ) = √ ϕ + k2π ϕ + k2π n r cos + i sin n n Ví dụ 2.9 Giải hệ phương trình 3x − y =3 2 x+ 2 ;... Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = 3 + 5; 2 y+ 14 2.4 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số Để giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số, trước tiên ta cần biết đến các tính chất của hàm số như sau Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D (D có thể là một đoạn, một khoảng, hoặc nửa khoảng) 1 Định lý 1 Nếu hàm số y = f (x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì phương