[r]
(1)Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
Ví dụ 1: Tìm nghiệm ngun phương trình 3x + 4y = 29 Giải:
Ta có x = 29 4y y y
3
− = − + −
Muốn có x, y nguyên y
3
−
phải nguyên ước – y Vậy: – y = 3t (t ∈ Z)
Khi đó: y = – 3t x = – y + t = – + 3t + t = 4t + Vậy: x 4t 7(t nguyên)
y 3t
= +
= −
tất nghiệm ngun phương trình cho
Muốn tìm nghiệm nguyên dương phương trình trên, ta ñặt thêm ñiều kiện ñể x > 0; y >
Ta có:
7 t
x 4t 4
2 y 3t
t
> −
= + >
⇔
= − >
<
Do đó: t
4
− < < t có hai giá trị t1 = –1, t2 =
Với t1 = –1 x = 3, y = nghiệm nguyên dương phương trình cho Với t2 = x = 2, y = nghiệm nguyên dương phương trình cho Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 7x + 23y = 120 (1) Giải:
Ta có x = 120 23y 17 3y 2y
7
− = − + −
(2)
Muốn có x, y nguyên – 2y = 7t hay 2y = – 7t (t ngun) Từđó: y = –3t + t
2
−
(3)
Vì y, t nguyên nên – t = 2t1 (t1 nguyên) ⇔ t = – 2t1 Thay vào (3) ta có: y = –3(1 – 2t1) + t1 = 7t1 –
Thay vào (2) ta ñược: x = 17 – 3(7t1 – 3) + – 2t1 = 27 – 23t1
Vậy: x = 27 – 23t1 , y = 7t1 – nghiệm nguyên phương trình (1)
Muốn có nghiệm nguyên dương, ta phải có:
1
1
1 27 t x 27 23t 23
y 7t 3
t
<
= − >
⇔
= − >
>
Suy t1 = x = 4, y = nghiệm nguyên dương phương trình cho
Ví dụ 3: Tìm nghiệm tự nhiên phương trình xy – 4x = 35 – 5y (1) Giải:
(1) ⇒ xy – 4x + 5y – 20 = 15 hay ( x + 5)(y – 4) = 15 = 15.1 = 5.3 Vì x, y ñều số tự nhiên nên x + ≥ ước 15,
(2)Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH ta có: x 15 x 5
y y + = + =
− = − =
Suy ra: x = 10, y = x = 0, y = nghiệm tự nhiên phương trình ựã cho Vắ dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x2 Ờ 6xy + 13y2 = 100 (1)
Giải:
(1) ⇒ x2 – 6xy + 9y2 = 100 – 4y2 hay (x – 3y)2 = 4(25 – y2) ≥
Vậy
y ≤5 25 y− số phương
Với y = y = 25 – y2 khơng số phương (loại) Với y = ta có: x x 17
(x 9) 4.16
x x
− = ⇒ =
− = ⇒
− = − ⇒ =
Với y = ta có: (x 12)2 36 x 12 x 18 x 12 x
− = ⇒ =
− = ⇒
− = − ⇒ =
Với y = ta có: (x – 15)2 = ⇒ x = 15
Vậy nghiệm nguyên dương phương trình cho là: (1; 3), (17; 3), (6; 4), (18; 4), (15; 5) Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 3x2 + y2 = 345 (1)
Giải:
345 vừa chia hết cho vừa chia hết 3x2 + y2 vừa chia hết cho vừa chia hết cho Vì (3, 5) = nên x ⋮ ⇒ x = 5a (a ∈ Z) y ⋮ ⇒ y = 3b (b ∈ Z)
Ta có: 3.25a2 + 5.9b2 = 345 ⇔5a2 + 3b2 = 23 (2) Ngoài ra: a2 23;b2 23 a 2, b
5
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
Thay vào (2) giá trị a = 1, b = 1, ta thấy phương trình có nghiệm ngun dương với a = 2, b = Lúc x = 10, y =
Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 5x – 3y = 2xy – 11 (1) Giải:
(1) ⇒11 + 5x = y(2x + 3) hay y 11 5x 2y 2(5x 11)và 2y
2x 2x 2x
+ +
= ⇒ = = +
+ + +
Nếu x, y ñều nguyên dương 2x +3 phải ước tức –1, 1, –7,
Trong bốn trường hợp phương trình nhận cặp nghiệm nguyên dương với 2x + = & Lúc x = y =
Ví dụ 7: Tìm nghiệm ngun dương phương trình x + y + z = xyz (1) Giải:
Do vai trị x, y, bình ñẳng nên ta giả sử < x ≤ y ≤ z Ta có: xyz = x + y + z ≤ 3z ⇒ xy ≤
Nếu x = y = z z3 = 3z ⇒ z2 = điều khơng xảy với z nguyên
Vậy ba số x, y, z Vậy số nhỏ Ta có xy < Nếu xy = x = 1, y = ⇒ z =
Nếu xy = x = 1, y = ⇒ + z = z vô nghiệm
- HẾT -
TRUNG TÂM LUYÊN THI ðẠI HỌC ĐỨC KHÁNH