Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 164 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
164
Dung lượng
0,99 MB
Nội dung
Mục lục Chủ đề Phươngtrình quy bậc hai 1.1 Một số phươngtrình quy phươngtrình bậc hai 1.2 Phươngtrình có chứa dấu giá trị tuyệt đối 24 Chủ đề Phươngtrình chứa 35 2.1 Phươngtrình 35 2.2 Sử dụng lượng liên hợp 47 2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 65 2.4 Phươngtrình đẳng cấp 85 2.5 Phương pháp đánh giá 92 2.6 Sử dụng tính đơn điệu hàm số 98 2.7 Sử dụng hàm hợp hàm ngược 112 2.8 Phương pháp hình học 119 2.9 Phương pháp lượng giác 126 Chủ đề Bấtphươngtrình 130 3.1 Giải bấtphươngtrình nhờ tính liên tục hàm số 130 Chủ đề Hệphươngtrình 137 4.1 Biến đổi hệphươngtrình 137 4.2 Sử dụng phương pháp 141 4.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 149 4.4 Hệphươngtrình đối xứng loại 159 4.5 Hệphươngtrình phản xứng 163 4.6 Hệphươngtrình đối xứng loại hai 164 Tài liệu tham khảo 168 Chủ đề Phươngtrình quy bậc hai 1.1 Một số phươngtrình quy phươngtrình bậc hai Bàitập 1.1 Giải phươngtrình sau: 1) 1 ; + = ( x + 2)2 ( x − 4)2 Hướng dẫn Đặt t = 2) Đáp số 1; − 3; + 3 ( x + 2) + ( x − 4) = x − + = 5; (2 x − 3) (4 x − 7)2 Đáp số 2; Hướng dẫn Viết phươngtrình cho dạng x− 2 + x− = Đặt x− t= + x− = x − 13 Với phươngtrình dạng ( x + a)4 + ( x + b)4 = c, ta đặt t= ( x + a) + ( x + b ) a+b = x+ 2 Chú ý 1) (a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 ; 2) (a − b)4 = a4 − 4a3 b + 6a2 b2 − 4ab3 + b4 Bàitập 1.2 Giải phươngtrình sau: 1) ( x − 6)4 + ( x − 8)4 = 16; Đáp số {6; 8} 1.1 Một số phươngtrình quy phươngtrình bậc hai 2) ( x − 2)4 + ( x − 4)4 = 16; Đáp số x = ∨ x = 3) ( x − 1)4 + ( x − 3)4 = 16 Đáp số x = ∨ x = Phươngtrình có dạng ( x + a) · ( x + b) · ( x + c) · ( x + d ) = A, với a < b < c < d a + d = b + c Ta đặt t= ( x + a) + ( x + b ) + ( x + c ) + ( x + d ) a+b+c+d = x+ 4 Bàitập 1.3 Giải phươngtrình sau: 1) x · ( x + 1) · ( x − 1) · ( x + 2) = 24 Đáp số {−3; 2} 2) ( x − 4) · ( x − 5) · ( x − 6) · ( x − 7) = 1680; Đáp số {−1; 12} 3) (12 x − 1) · (6 x − 1) · (4 x − 1) · (3 x − 1) = 5; Đáp số − 1 ; 12 Hướng dẫn Viết phươngtrình cho dạng x− 1 · x− · x− · x− = 12 3 · · · 12 Phươngtrình có dạng (ax2 + b x + c)(ax2 + b x + c) = dx2 , c = • Nhận xét x = khơng nghiệm phươngtrình • Chia phươngtrình cho x2 , ta ax + b + c c · ax + b + = d x x c x Đặt t = ax + Chú ý Ta đặt t = ax2 + Bàitập 1.4 Giải phươngtrình sau: 1) ( x − 2)( x − 3)( x − 6)( x − 9) = Trần b1 + b2 x + c VănToàn 45 x2 Đáp số x = ∨ x = 12 Chủ đề Phươngtrình quy bậc hai 2) ( x − 1)( x − 2)( x − 4)( x − 8) = 10 x Đáp số x = 3) x2 − x + x2 − x + = 1 ∨ x = ∨ x = 14 − 31 ∨ x = 14 + 31 3 3 x2 ; Đáp số x = ∨ x = 4) ( x − 1) · ( x − 2) · ( x − 6) · ( x − 12) = x2 ; Đáp số x = ∨ x = ∨ x = − 37 ∨ x = + 37 5) ( x2 − x + 1) · ( x2 − 4) = −4( x − 1)2 Đáp số x = ∨ x = ∨ x = 1 − 13 ∨ x = + 13 2 Hướng dẫn Đặt u = x − Phươngtrình dạng ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0, (a = 0) ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, Bàitập 1.5 a, b = 0, e d = a b Giải phươngtrình sau: 1) x4 − 35 x3 + 62 x2 − 35 x + = 0; Đáp số x = 1 ∨ x = ∨ x = ∨ x = 3 2) x4 − 25 x3 + 12 x2 + 25 x + = 0; Đáp số x = − ∨ x = − ∨ x = ∨ x = 3) x4 + x3 − 10 x2 + x + = 0; Đáp số x = −2 − ∨ x = − ∨ x = 1 3− ∨ x = 3+ 2 4) x4 − x3 + x2 + x + = 0; Đáp số x = − ∨ x = + ∨ x = − ∨ x = + 5) x4 − x3 − 14 x2 + x + = 0; Đáp số x = −1 − ∨ x = − ∨ x = 1 − 41 ∨ x = + 41 4 6) 16 x4 − 48 x3 + 24 x2 + 12 x + = Đáp số x = TrầnVănToàn 1 1 1− ∨ x = 1+ ∨ x = 2− ∨ x = 2+ 2 2 1.1 Một số phươngtrình quy phươngtrình bậc hai ∨x=1 7) x4 + x3 − x2 − 18 x + = Đáp số x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = 8) x4 − x3 − 34 x2 + 21 x + 18 = Đáp số x = −3 ∨ x = − ∨ x = ∨ x = 9) x4 − x3 − x2 + 12 x + 16 = Đáp số ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 4) 10) x4 + x3 − x2 − 12 x + 16 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 2) 11) x4 − 12 x3 + 47 x2 − 72 x + 36 = Đáp số ( x = ∨ x = ∨ x = ∨ x = 6) 12) x4 − x3 − x2 + 36 x + 36 = Đáp số ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 6) 13) x4 − x3 − 17 x2 + 24 x + 36 = Đáp số ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 6) 14) x4 + x3 − 23 x2 + 12 x + 36 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 3) 15) x4 − x3 − 23 x2 − 12 x + 36 = Đáp số ( x = −3 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 6) 16) x4 + x3 − 17 x2 − 24 x + 36 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 3) 17) x4 + x3 − x2 − 36 x + 36 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = 2) 18) x4 + 12 x3 + 47 x2 + 72 x + 36 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = −2 ∨ x = −1) 19) x4 − x3 − x2 + 72 x + 64 = Đáp số ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 8) 20) x4 − x3 − 30 x2 + 40 x + 64 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 8) 21) x4 + x3 − 38 x2 + 24 x + 64 = Đáp số ( x = −8 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 4) 22) x4 − x3 − 38 x2 − 24 x + 64 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 8) 23) x4 + x3 − 30 x2 − 40 x + 64 = Đáp số ( x = −8 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 4) 24) x4 + x3 − x2 − 72 x + 64 = Đáp số ( x = −8 ∨ x = −4 ∨ x = ∨ x = 2) 25) x4 + 15 x3 + 70 x2 + 120 x + 64 = Đáp số ( x = −8 ∨ x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = −1) 26) x4 − x3 − 18 x2 + 72 x + 81 = Đáp số ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 9) 27) x4 + x3 − 18 x2 − 72 x + 81 = Đáp số ( x = −9 ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = 3) 28) x4 − 12 x3 + x2 + 120 x + 100 = Đáp số ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 10) 29) x4 − x3 − 47 x2 + 60 x + 100 = Đáp số ( x = −5 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 10) 30) x4 + x3 − 57 x2 + 40 x + 100 = Đáp số ( x = −10 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 5) 31) x4 − x3 − 57 x2 − 40 x + 100 = Đáp số ( x = −5 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 10) 32) x4 + x3 − 47 x2 − 60 x + 100 = 33) x4 + 18 x3 + 97 x2 + 180 x + 100 = Chủ đề Phươngtrình quy bậc hai Đáp số ( x = −10 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 5) Đáp số ( x = −10 ∨ x = −5 ∨ x = −2 ∨ x = −1) 34) x4 − x3 − 20 x2 + 60 x + 144 = Đáp số ( x = −3 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 6) 35) x4 − x3 − 28 x2 + 36 x + 144 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 6) 36) x4 + x3 − 32 x2 + 12 x + 144 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 4) 37) x4 − x3 − 32 x2 − 12 x + 144 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = 6) 38) x4 + x3 − 28 x2 − 36 x + 144 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = 4) 39) x4 + x3 − 20 x2 − 60 x + 144 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −4 ∨ x = ∨ x = 3) 40) x4 + 15 x3 + 80 x2 + 180 x + 144 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −4 ∨ x = −3 ∨ x = −2) 41) x4 − 15 x3 + 20 x2 + 180 x + 144 = Đáp số ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 12) 42) x4 − x3 − 68 x2 + 84 x + 144 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 12) 43) x4 + x3 − 80 x2 + 60 x + 144 = Đáp số ( x = −12 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 6) 44) x4 − x3 − 80 x2 − 60 x + 144 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 12) 45) x4 + x3 − 68 x2 − 84 x + 144 = Đáp số ( x = −12 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 6) 46) x4 + 21 x3 + 128 x2 + 252 x + 144 = Đáp số ( x = −12 ∨ x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = −1) 47) x4 − 12 x3 − 13 x2 + 144 x + 144 = Đáp số ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 12) 48) x4 − 10 x3 − 35 x2 + 120 x + 144 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 12) 49) x4 + x3 − 67 x2 + 72 x + 144 = Đáp số ( x = −12 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 4) 50) x4 − x3 − 67 x2 − 72 x + 144 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = 12) 51) x4 + 20 x3 + 115 x2 + 240 x + 144 = Đáp số ( x = −12 ∨ x = −4 ∨ x = −3 ∨ x = −1) 52) x4 − 18 x3 + 37 x2 + 252 x + 196 = Đáp số ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 14) 53) x4 − x3 − 93 x2 + 112 x + 196 = Đáp số ( x = −7 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 14) 54) x4 − 16 x3 − x2 + 240 x + 225 = Đáp số ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 15) 55) x4 − 12 x3 − 58 x2 + 180 x + 225 = Đáp số ( x = −5 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 15) 56) x4 + x3 − 98 x2 + 120 x + 225 = Đáp số ( x = −15 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 5) 1.1 Một số phươngtrình quy phươngtrình bậc hai 57) x4 − x3 − 32 x2 + 96 x + 256 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 8) 58) x4 + x3 − 32 x2 − 96 x + 256 = Đáp số ( x = −8 ∨ x = −4 ∨ x = ∨ x = 4) 59) x4 − 21 x3 + 58 x2 + 336 x + 256 = Đáp số ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 16) 60) x4 − 15 x3 − 32 x2 + 240 x + 256 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 16) 61) x4 − 10 x3 − 15 x2 + 180 x + 324 = Đáp số ( x = −3 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 9) 62) x4 − x3 − 57 x2 + 72 x + 324 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 9) 63) x4 + x3 − 63 x2 + 36 x + 324 = Đáp số ( x = −9 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 6) 64) x4 − x3 − 63 x2 − 36 x + 324 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = 9) 65) x4 + x3 − 57 x2 − 72 x + 324 = Đáp số ( x = −9 ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = 6) 66) x4 + 20 x3 + 135 x2 + 360 x + 324 = Đáp số ( x = −9 ∨ x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = −2) 67) x4 − 24 x3 + 83 x2 + 432 x + 324 = Đáp số ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 18) 68) x4 − 20 x3 + 15 x2 + 360 x + 324 = Đáp số ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 18) 69) x4 − 14 x3 − 87 x2 + 252 x + 324 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 18) 70) x4 − x3 − 32 x2 + 180 x + 400 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 10) 71) x4 − x3 − 48 x2 + 140 x + 400 = Đáp số ( x = −5 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 10) 72) x4 + x3 − 68 x2 + 60 x + 400 = Đáp số ( x = −10 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 5) 73) x4 − x3 − 68 x2 − 60 x + 400 = Đáp số ( x = −5 ∨ x = −4 ∨ x = ∨ x = 10) 74) x4 + 21 x3 + 148 x2 + 420 x + 400 = Đáp số ( x = −10 ∨ x = −5 ∨ x = −4 ∨ x = −2) 75) x4 − 27 x3 + 112 x2 + 540 x + 400 = Đáp số ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 10 ∨ x = 20) 76) x4 − 20 x3 − 21 x2 + 400 x + 400 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 20) 77) x4 − 18 x3 − 59 x2 + 360 x + 400 = Đáp số ( x = −5 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 20) 78) x4 − 24 x3 + 38 x2 + 504 x + 441 = Đáp số ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 21) 79) x4 − 30 x3 + 145 x2 + 660 x + 484 = Đáp số ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 11 ∨ x = 22) 80) x4 − 15 x3 + x2 + 360 x + 576 = Đáp số ( x = −3 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 12) 81) x4 − x3 − 98 x2 + 120 x + 576 = Đáp số ( x = −8 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 12) Chủ đề Phươngtrình quy bậc hai 82) x4 − 12 x3 − 28 x2 + 288 x + 576 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 12) 83) x4 − x3 − 68 x2 + 192 x + 576 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 12) 84) x4 + x3 − 92 x2 + 96 x + 576 = Đáp số ( x = −12 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 6) 85) x4 − x3 − 92 x2 − 96 x + 576 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −4 ∨ x = ∨ x = 12) 86) x4 − x3 − 38 x2 + 168 x + 576 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = 8) 87) x4 − x3 − 58 x2 + 72 x + 576 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = 8) 88) x4 + x3 − 62 x2 + 24 x + 576 = Đáp số ( x = −8 ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = 6) 89) x4 − x3 − 62 x2 − 24 x + 576 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −4 ∨ x = ∨ x = 8) 90) x4 + x3 − 58 x2 − 72 x + 576 = Đáp số ( x = −8 ∨ x = −4 ∨ x = ∨ x = 6) 91) x4 − 28 x3 + 67 x2 + 672 x + 576 = Đáp số ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 24) 92) x4 − 25 x3 − x2 + 600 x + 576 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 24) 93) x4 − 21 x3 − 94 x2 + 504 x + 576 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 24) 94) x4 − 24 x3 − 50 x2 + 600 x + 625 = Đáp số ( x = −5 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 25) 95) x4 − 32 x3 + 102 x2 + 864 x + 729 = Đáp số ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 27) 96) x4 − 15 x3 − 20 x2 + 420 x + 784 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 14) 97) x4 − x3 − 92 x2 + 252 x + 784 = Đáp số ( x = −7 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 14) 98) x4 − 30 x3 + 25 x2 + 840 x + 784 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 28) 99) x4 − 20 x3 + 31 x2 + 600 x + 900 = Đáp số ( x = −3 ∨ x = −2 ∨ x = 10 ∨ x = 15) 100) x4 − 14 x3 − 47 x2 + 420 x + 900 = Đáp số ( x = −5 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 15) 101) x4 − 12 x3 − 73 x2 + 360 x + 900 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 15) 102) x4 − x3 − 53 x2 + 240 x + 900 = Đáp số ( x = −5 ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = 10) 103) x4 − x3 − 67 x2 + 180 x + 900 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = 10) 104) x4 + x3 − 83 x2 + 60 x + 900 = Đáp số ( x = −10 ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = 6) 105) x4 − x3 − 83 x2 − 60 x + 900 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −5 ∨ x = ∨ x = 10) 106) x4 − 30 x3 − 31 x2 + 900 x + 900 = Đáp số ( x = −5 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 30) 1.1 Một số phươngtrình quy phươngtrình bậc hai 107) x4 − 28 x3 − 89 x2 + 840 x + 900 = Bàitập 1.6 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) x4 + 100 x x2 − 10 x4 + 100 x x2 − 10 x4 + 81 x x2 − x4 + 81 x x2 − x4 + 81 x x2 − x4 + 64 x x2 − x4 + 64 x x2 − x4 + 49 x x2 − x4 + 49 x x2 − x4 + 36 x x2 − x4 + 36 x x2 − x4 + 36 x x2 − x4 + 25 x x2 − x4 + 25 x x2 − x4 + 25 x Trần x2 − Đáp số ( x = −6 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 30) Giải phươngtrình sau: = 29 Đáp số x = −2 ∨ x = ∨ x = = 89 Đáp số x = − ∨ x = ∨ x = = 17 = 41 = 97 10 = 10 190 + 10 1 20 − 10 ∨ x = 10 + 20 3 Đáp số x = − ∨ x = ∨ x = − 13 ∨ x = 13 + Đáp số x = −1 ∨ x = ∨ x = Đáp số x = −2 ∨ x = 1 − 73 ∨ x = 73 + 8 1 ∨ x = 18 − 61 ∨ x = 61 + 18 5 Đáp số x = −2 ∨ x = ∨ x = − ∨ x = + = 65 Đáp số x = −1 ∨ x = ∨ x = = 65 Đáp số x = − ∨ x = ∨ x = = 65 Đáp số x = −2 ∨ x = = 13 1 10 − 190 ∨ x = 3 1 − 114 ∨ x = 114 + 7 1 21 − 469 ∨ x = 2 469 + 21 1 ∨ x = 14 − 259 ∨ x = 3 259 + 14 Đáp số x = −2 ∨ x = ∨ x = − 42 ∨ x = 42 + = 37 Đáp số x = −1 ∨ x = ∨ x = = 73 10 Đáp số x = − ∨ x = ∨ x = 1 12 − ∨ x = + 12 5 = 13 Đáp số x = −1 ∨ x = ∨ x = 1 − 105 ∨ x = 4 105 + = 41 Đáp số x = −2 ∨ x = ∨ x = 10 − 105 ∨ x = 105 + 10 = 53 Đáp số x = − ∨ x = ∨ x = VănToàn 1 − 186 ∨ x = 5 1 15 − 305 ∨ x = 4 186 + 305 + 15 Chủ đề Phươngtrình quy bậc hai 10 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) x4 + 16 x x2 − x4 + 16 x x2 − x4 + 16 x x2 − x4 + x x2 − x4 + x x2 − x4 + x x2 − x4 + x x2 − x4 + x x2 − x4 + x x2 − x4 + x x2 − x4 + x x2 + x4 + x x2 + x4 + x x2 + = 17 = 41 = 97 15 = = 25 = x x4 + x x2 + x4 + Đáp số x = − ∨ x = ∨ x = Đáp số x = − ∨ x = ∨ x = Đáp số x = −1 ∨ x = ∨ x = 73 + 1 − 21 ∨ x = 2 21 + Đáp số x = − ∨ x = ∨ x = − 39 ∨ x = 39 + Đáp số x = −1 ∨ x = ∨ x = − ∨ x = + Đáp số x = − ∨ x = ∨ x = = 85 21 Đáp số x = − ∨ x = ∨ x = = 17 Đáp số x = − ∨ x = ∨ x = = 41 12 Đáp số x = − ∨ x = ∨ x = = 1 − 73 ∨ x = 4 1 12 − 61 ∨ x = 61 + 12 5 65 14 1 − 114 ∨ x = 7 114 + 1 − 134 ∨ x = 7 134 + 1 − 13 ∨ x = 3 13 + 1 − 73 ∨ x = 8 73 + Đáp số x = = 17 10 Đáp số x = ∨x=2 = 41 15 Đáp số x = ∨x=3 = x x2 + x2 + 1 − 13 ∨ x = 13 + 3 = x4 + x4 + Đáp số x = −1 ∨ x = ∨ x = Đáp số ( x = ∨ x = 2) = 65 18 Đáp số x = ∨x=4 = 85 33 Đáp số x = ∨x=3 = x x2 + Đáp số ( x = ∨ x = 3) Chủ đề Hệphươngtrình 150 Bình phương hai vế phươngtrình cuối này, ta phươngtrìnhhệ a4 − 8a3 − 18a2 + 200a − 175 = Giải phươngtrình này, ta có a = −5, a = 1, a = 5, Các giá trị a = 1, a = 5, a = thoả −a2 + 4a + 25 a = nên ta nhận loại a = −5 • Với a = 1, ta có b = Khi đó, hệ có nghiệm ( x; y) = (−29; 18); • Với a = 5, ta có b = Khi đó, hệ có nghiệm ( x; y) = (−5; 2); • Với a = 7, ta có b = Khi đó, hệ có nghiệm ( x; y) = (19; −18) Vậy hệ có tập nghiệm S = {(−29; 18); (−5; 2); (19; −18)} Vídụ 4.9 Giải hệphươngtrình (4 x2 − x y + y2 − 51)( x − y)2 − = 0, (4.5) (2 x − 7)( x − y) − = Lời giải Hệ (4.5) tương đương với 4( x − y)2 + x y − 51 ( x − y)2 − = 0, ( x + y) + ( x − y) − ( x − y) − = Đặt a = x + y, b = x − y Ta có, x · y = a2 − b2 Hệ (4.5) trở thành (a2 + b2 − 51) b2 − = 0, (4.6) (a + b − 7) b − = Từ phươngtrình thứ hai hệ, suy a = − b + Thay vào phươngtrình thứ nhất, ta b b3 − b2 − b + = ⇔ b = −1 ∨ b = ∨ b = Do đó, hệ (4.6) có nghiệm a= 53 ∨ (a = ∧ b = −1) ∨ (a = ∧ b = 1) ∧b= 14 Vậy hệ (4.5) có nghiệm ( x = ∧ y = 4) ∨ x = 51 ∧y= ∨ ( x = ∧ y = 3) 14 4.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 151 Bàitập 4.13 Giải hệphươngtrình sau: 1) 2) x−2− y − = 27 − x3 , Đáp số (3; 2) ( x − 2)4 + = y; x−1− y + = − x3 , Đáp số (2; 3) ( x − 2)4 − = y Bàitập 4.14 Giải hệphươngtrình sau: 1) (Cao đẳng 2010) 2 x + y = − x − y, x2 − x y − y2 = ( x, y ∈ R) Đáp số {(1; −1); (−3; 7)} 2) 3) 4) x + y + − x + y = 1, 2 x2 + x y + y2 + x + y − = 0; x + y + − x − y = 2, x2 + x y − y2 + x − y − 13 = 0; x− y+ x + y + = 4, x2 + x y + x − y2 − y − = 0; Đáp số {(2; 1)} Đáp số (3; 2), 17 10 ;− 3 51 , 5) 21 + x2 + y2 = ; 2x y Đáp số {(2; 1)} x2 + y2 + 2x y = Đáp số (2; 1), (1; 2), (−1; −2), (−2; −1), xy + = 5, 2x + y − x y 6) 10 2 x + y + = + x y; xy 12 17 + = 3, 2 x + y x − y 7) 34 + = 3; 3x − y 2x + y y + x y2 = x2 , 8) 1 + x y = x ; 5 5 5 5 ; , ; , − ;− , − ;− 10 10 5 10 10 Đáp số (1; 5), ;2 Đáp số {(2; 3); (−2; 3)} Đáp số (1; 2), ;1 Chủ đề Hệphươngtrình 152 9) (B, 2009) 10) x y + x + = y, x2 y2 + x y + = 13 y2 ; 1 + x3 y3 = 19 x3 , y + x y2 = −6 x2 ; 13) 14) 15) Đáp số 1 − ; , ; −2 Đáp số ; , − ; −2 3 9 x2 y + y2 = x; x( x + y + 1) − = 0, Đáp số (1; 1), 2; − ( x + y)2 − + = 0; x2 x2 + y2 + x y + = y, Đáp số (−2; 5); (1; 2) y( x + y)2 = x2 + y + 2; x + x y − x + y = 0, Đáp số {(0; 0), (1; 1)} x4 + x2 y − x2 + y2 = 0; x( x + 2)(2 x + y) = 9, Đáp số {(1; 1), (−3; 9)} x2 + x + y = 6; x x + y + = 5, y 16) x ( x + y) · = 6; y 1 x + y + + = 5, x y 17) 1 2 x + y + + = 9; x y Đáp số (2; 1), Đáp số 18) 27 x3 · y3 + y3 = 8, 11) (Dự bị 1, khối D, 2010) 12) (D, 2009) Đáp số (3; 1), 1; 1; ; 2 3+ 3− 3+ 3− ; 1; , ;1 ; ;1 2 2 x + y + x2 + y2 = 8, x y( x + 1)( y + 1) = 12; Đáp số {(1; 2), (1; −3), (2; 1), (2; −2), (−2; 2); (−2; −3), (−3; 1), (−3; −2)} 19) x4 + x2 + y2 − y = 2, x2 y + x2 + y = 23; Đáp số (1; 3), (−1; 3) 4.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 20) 21) 22) 153 x y + x + y = 1, x2 y + x y2 + x + y = 4; 2 x y + x + y = 2, Đáp số 4 x2 y + x y2 + 12 x + y = 8; x y + x − y + = 0, 2 x− x y2 − 12 x + 18 y = 16; x2 y2 2x − y + , 1 + x y = 2x − y xy 23) (2 x − y) · x − y = − x y; xy 24) 2x − y + xy xy 1 + 2x − y = x y xy = − x − y; 2x − y 26) y 2x − y 1) , (1; 2) − ; −2 , (1; 1) Đáp số − ; −2 , (1; 1) , Đáp số (1; 0) Đáp số (5; 3); (5; 4) = 12; y+2 = , 27) y + 2( x − 2) x + = − x + y + = , 28) y + 2( x − 2) x + = − Đáp số x − Bàitập 4.15 − ;2 , ;− 2 −3; − x2 − y2 = 12, x2 − y2 Đáp số 1 + x y + x y = x, 25) 1 +y y= + y; x x x x + y + Đáp số (−1; 1), 3; − Đáp số 2; − Đáp số −1; 17 Giải hệphươngtrình sau: 8 x2 y2 + 25 x y − y2 + 18 = 0, 2 x2 y + x − 27 y2 = 0; Đáp số TrầnVănToàn 1 − ; , 3; − 2 Chủ đề Hệphươngtrình 154 2) 32 x2 y2 + 49 x y − y2 + 18 = 0, 3 x + x2 y − 27 y2 = 0; Đáp số 3) −3; , ;− 4 2 x2 y2 + 60 x y − y2 + 288 = 0, 2 x2 y + 24 x − y2 = 0; Đáp số {(−3; 12), (1; −4)} 4) 2 x2 y2 − x2 + 18 = 0, x2 − x y2 + y = 0; Đáp số 5) 2; − , 6; − 2 −2 x2 y2 + x2 + x y − 10 y2 − = 0, x2 y − x + y2 = 0; Đáp số (−2; −1), 1; 6) 29 x2 y2 + 16 x y3 − 60 x y − y4 − y2 + 20 = 0, 6 x2 y2 − x y3 − x y + y2 = Đáp số (−1; −1), − ; − 7) 4 , ; , (1; 1) x2 y2 + 12 x y3 − 18 x y − 18 y4 − y2 + 27 = 0, x2 y2 − x y3 − x y + y2 = Đáp số {(−5; −1), (−1; −1), (1; 1), (5; 1)} Bàitập 4.16 Giải hệphươngtrình sau: 1) 2) 3x + y − x − y = 2, 3x + y − y − x = 1; x + 3y − x − y = 1, x + y − x − y = 2; Đáp số (2; 3) Đáp số [[ x = 1, y = 1], [ x = 3, y = 2]] 3) 2 x + y + 3 − x − y − − x − y = 7, x + y − = 1; Đáp số (3; 1) 4.4 Hệphươngtrình đối xứng loại 4) x+ y+ 155 x + y = 10, Đáp số (−4; 20) x + y + x + y = 16; 5) 11 x − y − y − x = 1, Đáp số 7 y − x + y − 26 x = 3; ; 2 Bàitập 4.17 Giải hệphươngtrình sau: 1) 3 x2 + y2 + x y + 2 x + = −1; x− y = 20, ( x − y)2 , 1; 3 Đáp số (−1; −2), − ; 2) 9( x2 + y2 ) + x y + 2 x + 3) = 3; x− y = 13, ( x − y)2 12( x2 + y2 ) + 12 x y + = 85, ( x + y)2 Đáp số x = ∧ y = ; − , (2; 1) 3 Đáp số 6 x( x + y) + = 13( x + y); 4) 8( x2 + y2 ) + x y + 2 x + 5) = 1; x+ y = 13, ( x + y)2 Đáp số {(0; 1)} (4 x2 − x y + y2 − 51)( x − y)2 − = 0, (2 x − 7)( x − y) − = Đáp số (3; 4), 51 ; , (4; 3) 14 Bàitập 4.18 (Thi thử Chuyên Lí Tự Trọng, Cần Thơ, khối B, 2014) 1+ y x(1 + x) = − , y2 ( x y + 1) · ( x2 y2 + 1) = y3 Đáp số x = ∧ y = 4.4 Hệphươngtrình đối xứng loại Definition Hệphươngtrình với hai ẩn x, y gọi hệphươngtrình đối xứng loại ta thay x y thay y x phươngtrìnhhệ khơng thay đổi ✷ Chủ đề Hệphươngtrình 156 Để giải hệphươngtrình đối xứng loại thường ta đặt S = x + y P = x · y Ta có 1) x2 + y2 = ( x + y)2 − x y = S − 2P ; 2) x3 + y3 = ( x + y)3 − x y( x + y) = S − 3SP Chú ý • Nếu ( x; y) nghiệm hệ (đối xứng), ( y; x) nghiệm hệ Do đó, điều kiện cần để hệ có nghiệm nhât x = y • Do cách đặt S = x + y P = x y, nên x, y nghiệm (nếu có) phươngtrình X − S X + P = Từ đó, điều kiện để hệ có nghiệm S 4P Bàitập 4.19 Giải hệphươngtrình sau: x2 + y2 − x − y = , 1) 11 x y + x + y = ; 5 x2 − x y + y2 = 29, 2) Đáp số 3 ; ; ; 2 2 , 7 x2 − x y + y2 = 43; Đáp số [ x = 3, y = 2], [ x = 2, y = 3], [ x = −2, y = −3], [ x = −3, y = −2] 3) x3 + x3 y3 + y3 = 17, Đáp số [ x = 2, y = 1], [ x = 1, y = 2] x + x y + y = 5; 4) x4 + x2 y2 + y4 = 91, x2 − x y + y2 = 7; Đáp số [[ x = 3, y = 1], [ x = −1, y = −3], [ x = 1, y = 3], [ x = −3, y = −1]] 5) x4 + x2 y2 + y4 = 84, x2 − x y + y2 = 6; Đáp số ( 2; 2), (− 2; −2 2); (2 2; 2); (−2 2; − 2) 6) 7) x4 + x2 y2 + y4 = 136, x3 y + x y3 = 30; ( x2 + y2 )( x + y) = 15 x y, ( x4 + y4 )( x2 + y2 ) = 85 x2 y2 ; Đáp số {(1; 3), (−1; −3); (3; 1); (−3; −1)} Đáp số (0; 0), (4; 2); (2; 4) 4.4 Hệphươngtrình đối xứng loại 8) 157 x3 + y3 = 19, Đáp số (−2; 3), (3; −2) ( x y + 8)( x + y) = 2; x y2 + = 12, 9) 1y x + = ; x y x3 y + x y3 = 10 ( x + y)2 , 10) 4 x y + x y = ( x + y)3 ; Đáp số (6; 6); 5−3 5−3 −3 − 3 − ;− ; ; 2 2 Đáp số {(0; 0), (1; 2), (2; 1), (−1; −2), (−2; −1)} 11) 12) x + y + x y = 14, Đáp số {[ x = 2, y = 8], [ x = 8, y = 2]} x2 + y2 + x y = 84; x x + y y = 341, Đáp số {[ x = 25, y = 36], [ x = 36, y = 25]} x y + y x = 330; 13) x2 y + y2 x = 20, Đáp số {[ x = 1, y = 4], [ x = 4, y = 1]} x y + y x = 6; 14) x + y x3 y + y = x + 1, xy Đáp số {(−9; −4), (−4; −9), (4; 9), (9; 4)} y3 x = 78; Hướng dẫn • Điều kiện để hệphươngtrình cho có nghĩa x y dấu • Nhận xét ( x; y) nghiệm hệphươngtrình, (− x; − y) nghiệm hệ, nên trước hết, ta xét x > y > • Với x > y > 0, đặt u = 15) x + y x3 y + x, v = y, hệ cho trở thành u v + = + 1, v u uv u3 v + v3 u = 78 y 61 = + 1, x xy Đáp số {(−81; −16), (−16; −81), (16; 81), (91; 16)} y3 x = 78; Hướng dẫn Nếu x > y > 0, đặt u = x, v = y Hệ cho trở thành 2 u + v = 61 + 1, v2 u u v2 u3 v + v3 u = 78 Chủ đề Hệphươngtrình 158 16) x + y + x y = 12, x+ xy+ y = 0; Đáp số (10 + 3; 10 − 3), (10 − 3; 10 + 3) Hướng dẫn Đặt 17) 18) 19) x+ x2 − x+ x = u, y = v y = 3, xy+ Đáp số {(1; 8), (8; 1)} y2 = 3; y = 9, x+ + y x+ Đáp số (1; 64); (64; 1) y = y+ = 2, x Đáp số (1; 1) ( x2 + 1) y + ( y2 + 1) x = x y; 20) x2 + y2 + x+ x y = 2, Đáp số (4; 4) y = 4; 1 x + y + + = , x y 21) = ; x y + xy Đáp số [[ x = 2, y = 1], [ x = 1, y = 2], [ x = 1, y = 1/2], [ x = 1/2, y = 1]] 22) 23) ( x + y)(1 + x y) = x y, ( x2 + y2 )(1 + x2 y2 ) = x2 y2 ; x + y + x y = 5, ( x + 1)3 + ( y + 1)3 = 35 − x2 − − y2 = 2( x + y), 24) x2 + y2 + x y = − ; x + y = 6, 25) x + 16 + y + 16 = 10; 26) x+2+ 4x + + y + = 4, y + = 6; Đáp số (1; 1) Đáp số {(1; 2), (2; 1)} Đáp số ( 2/4; − 2/4); (− 2/4; 2/4) Đáp số (3; 3) Đáp số (2; 2) 4.5 Hệphươngtrình phản xứng 27) (A, 2006) x + y − x+1+ 159 x y = 3, Đáp số (3; 3) y + = 4; x2 + y + x3 y + x y2 + x y = − , 28) (A, 2008) x4 + y2 + x y(1 + x) = − ( x, y ∈ R) Đáp số 29) x2 + y + x3 y + x y2 + x y = 1, x4 + y2 + x y(1 + x) = 1; − , 3 10 100 ;− ( x, y ∈ R) Đáp số {(−1; −1), (−1; 0), (0; 1), (1; −3), (1; 0)} 4.5 Hệphươngtrình phản xứng Trường hợp hệphươngtrình có chứa lượng x − y x · y, thường ta đặt S = x − y P = x y Cũng đặt t = − y để đưa hệ cho hệ đối xứng theo x t Bàitập 4.20 Giải hệphươngtrình sau: 1) x y + x − y = 3, x2 y − x y2 = 2; Đáp số (−1; −2), (2; 1), ( + 1; − 1), (1 − 2; − − 1) 2) 3) 4 x2 + y2 − x + y − x y − = 0, Đáp số {(0; −2), (2; 0)} 3 x2 + y2 − x y − 12 = 0; 2 x2 + y2 − x + y = 86, x2 + y2 + x y = 37; 157 − 11 ; Đáp số 4) (A, 2012) 157 + 11 − 157 − 11 − 157 + 11 , ; , (3; −7), (7; −3) 4 x3 − x2 − x + 22 = y3 + y2 − y, ( x, y ∈ R) x2 + y2 − x + y = Đáp số ( x; y) = Bàitập 4.21 Giải phươngtrình ( x+4− x) · (2 − 3 x + x ) + = 3 ;− ( x; y) = ; − ; 2 2 Chủ đề Hệphươngtrình 160 Đáp số Hướng dẫn Đặt a = 3 ;− 5−1 x Hệ cho trở thành (a − b)(2 − 3ab) + = 0, (a − b)(2 − 3ab) + = 0, ⇔ (a − b)3 + 3ab(a − b) = a3 − b = 4.6 x + 4, b = 5−1 Hệphươngtrình đối xứng loại hai Definition Hệ gồm hai phươngtrình với hai ẩn x, y gọi hệphươngtrình đối xứng loại hai thay x y thay y x, phươngtrình trở thành phươngtrình kia.✷ Xét hệhệphươngtrình đối xứng loại hai dạng f ( x, y) = (4.7) g( x, y) = Để giải hệ (4.7), ta viết f ( x, y) = 0, g( x, y) = ⇔ f ( x, y) − g( x, y) = 0, g( x, y) = Sau đó, phân tích f ( x, y) − g( x, y) = thành tích, có nhân tử x − y Bàitập 4.22 Giải hệphươngtrình sau: 1) 2) 2 x2 − x = y2 − 2, Đáp số {(1; 1), (2; 2)} 2 y2 − y = x2 − 2; x3 + = y, y3 + = x; Đáp số (1; 1), 2 x + y = , x 3) 2 y + x = ; y2 2 x + = , y x 4) 2 y + = ; x y −1 − −1 − −1 + −1 + ; ; ; 2 2 Đáp số {(1; 1)} Đáp số ( 2; − 2), − 2; ; (1; 1), (−1; −1) 4.6 Hệphươngtrình đối xứng loại hai 161 2 x = y + , y 5) 2 y2 = x + ; x y2 + 3 y = , x2 6) (B, 2003) x2 + 3 x = ; y2 x + + y = 5, Đáp số {(1; 1)} Đáp số {(1; 1)} 7) 8) x+5− y + x = −1, y+5− x + y = −1; Đáp số {(3; 3)} y + + x = 5; Đáp số {(4; 4)} 9) (Dự bị A, 2007) x + x2 − x + = y−1 + 1, y + y2 − y + = x−1 + Đáp số {(1; 1)} 10) (Dự bị B, 2007) x + y + 2x y x2 − x + = x2 + y, 2x y = y2 + x y2 − y + Đáp số {(0; 0), (1; 1)} 11) (Dự bị B, 2007) Chứng minh hệphươngtrình x e = 2007 − e y = 2007 − y y2 − , x x2 − có hai nghiệm ( x; y) thoả mãn x > 1, y > Bàitập 4.23 Giải phươngtrình sau: 1) x2 + x + = 2; 2) x3 + = · x − 1; 3) x2 + x − + x2 − = x; Hướng dẫn Đặt y = x2 + x − Đáp số −1; −1 + Đáp số 1, −1 ± Đáp số 13 − Chủ đề Hệphươngtrình 162 4) 5) − − x = x; x+ = 16 x3 − Hướng dẫn Đặt 6) Đáp số 7−1 Đáp số 13 + x+ = y 17 − 45 − x = x − 14; Đáp số 13 + Hướng dẫn Đặt y = 45 − x, phươngtrình cho trở thành 17 − y = 17 − y2 Lại đặt z = 17 − y, ta hệphươngtrình z2 = 17 − y, y2 = 17 − z Với phươngtrình có dạng ax + b = cx2 + dx + e, ta đưa hệphươngtrình đối xứng loại II Vídụ 4.10 Giải phươngtrình x2 − x − = x + Lời giải Phươngtrình cho tương đương với 2 x − x − 0, (2 x2 − x − 1)2 = x + Đặt x + = α y + β Ta có hệphươngtrình 2 x2 − x − = α y + β, 4 x2 − 12 x − 2α y = 2β + ⇔ α2 y2 + 2αβ y + β2 = x + α2 y2 + 2αβ y − x = − β2 Đưa hệphươngtrìnhhệ đối xứng loại II cách chọn α2 = 4, 2αβ = −12, −4 = −2α, 5 − β2 = 2β + Đặt x + = y − Ta có hệphươngtrình 4 x + = y2 − 12 y + 9, 2 x − x − = y − ⇔ ⇔ α = , β = −3 y2 − y − x + = 0, x2 − x − y + = 4.6 Hệphươngtrình đối xứng loại hai 163 Hệphươngtrình sau cho ta nghiệm (1 + 2; − 2), (1 − 2; + 2), Các giá trị x thoả x2 − x − (2 + 3; + 3), (2 − 3; − 3) + − Vậy phươngtrình cho có tập nghiệm S = + 3; − Chú ý Đối với phươngtrình có dạng ax + b = cx2 + dx + e, a, c = 0, = c Xét f ( x) = cx2 + dx + e Ta có f ( x) = cx + d, Đặt f ( x) = ⇔ x = − d 2c ax + b = c y + d Bàitập 4.24 Giải phươngtrình sau: 1) x2 − x = 2 x + 3; Đáp số + 10; − 2) x2 − x = 2 x − 1; Đáp số + 3) −4 x2 + 13 x − = x + Đáp số 15 − 97 11 + 73 ; 8 Đồng Nai, năm học 2018 – 2019, Sắp chữ LATEX TrầnVăn Toàn, Giáo viên trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hoà, Đồng Nai Tài liệu tham khảo [1] Suprun V.P, Toán học cho học sinh trung học (tiếng Nga), M.: LKI, 2008 [2] Suprun V.P, Toán học cho học sinh trung học, Phương pháp khơng mẫu mực để giải tốn (tiếng Nga), M.: LKI, 2009 [3] Balayan E.N, 800 tập olympiad toán học để chuẩn bị cho kỳ thi Lớp 9-11 (tiếng Nga), 2008 [4] A.I Kozko, V.S.Panfyorov, I.N.Sergeev, V.G.Chirsky, Các tốn có chứa tham số tốn khơng mẫu mực (tiếng Nga), Moscow Publisher Mir, 2016 [5] Khoroshilova E.V, Elementary Mathematics Textbook for high school students (tiếng Nga), M : MGU Publishing House, 2010 ...Chủ đề Phương trình quy bậc hai 1.1 Một số phương trình quy phương trình bậc hai Bài tập 1.1 Giải phương trình sau: 1) 1 ; + = ( x + 2)2 ( x − 4)2 Hướng... mẫu số hạng vế trái phương trình cho x, đặt t = ax + x Chú ý Cũng đặt t = ax2 + c Đưa phương trình cho phương trình bậc hai theo ẩn t, tham số x Bài tập 1.14 Giải phương trình sau: 1) x2 + x... = Phương trình có dạng a ( bx2 + c x + d )2 + a ( bx2 + c x + d )2 = ex2 • Kiểm tra xem x = có nghiệm phương trình hay khơng • Với x = 0, chia phương trình cho x2 Bài tập 1.15 Giải phương trình