Bài tập phương trình bất phương trình mũ và logarit

Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình đại số với hai ẩn mới... Sử dụng tính chất logarit biến đổi tương đương đưa về cùng một cơ số... Đặt ẩn phụ, đưa về phương trình đa thức bậc 2,3 một ẩn.

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT

I PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1 Logarit hĩa và đưa về cùng cơ số

Bài 1 Giải các phương trình:

a)93 1x 38 2x b)  2

3 2 2 x  3 2 2 c) 4x2 3 2x 4x2 6 5x 42x2 3 7x 1 d) 52x 7x5 35 7 35 02x  x 

e) 2x2 12x2 2 3x23x2 1 f) 5x x24 25

g)

2 2

4 3

2

x

x





 



 

7 1 2



i) 3 2x x 172 k) 5x 1 6 5 –3 5x x 152

l)

16 0,125.8

1

x x

x







Bài 2 Giải các phương trình:

a)

2 1 1

5 2 50

x

x x



3 2

3 2 6

x

x x 

d) 3 8 2 6

x

x x  e) 4.9x13 22x1 f) 2x22x.3x 1,5

g) 5 3x x2 1 h) 23x 32x i) x x2

3 2 1

2 Đặt ẩn số phụ

Bài 1. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):

a)4x2x1 8 0 b) 4x16.2x1 8 0 c) 34 8x 4.32 5x 27 0

d) 16x17.4x 16 0 e) 49x 7x1 8 0 f) 2x x2 22 x x2 3.

g)   x x

7 4 3  2 3 6 h)4cos2x4cos2x 3 i) 32 5x 36.3x1 9 0

k) 32x2 2 1x 28.3x x2  9 0 l) 4x229.2x22 8 0 m) 3.52 1x 2.5x10,2

Bài 2. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):

a) 25x 2(3x).5x2x 7 0 b) 3.25x2(3x10).5x2  3 x 0

c) 3.4x(3x10).2x  3 x 0 d) 9x2(x2).3x2x 5 0

e) 4x2x.3 x 31 x 2.3 x x22x6 f) 2 2

3.25x (3 10).5x 3 0

g) 4 +( –8)2 +12 –2x x x x0 h) (x4).9x (x 5).3x 1 0

4x (x 7).2x  12 4x 0 k) 9x (x 2).3x2(x4) 0

Bài 3. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):

a)4x2x1 8 0 b) 4x16.2x1 8 0 c) 34 8x 4.32 5x 27 0

d) 16x 17.4x 16 0 e) 49x7x1 8 0 f) 2x x2 22 x x2 3.

g)   x x

7 4 3  2 3 6 h)4cos2x4cos2x 3 i) 32 5x 36.3x 1 9 0

k) 32x2 2 1x 28.3x x2  9 0 l) 4x229.2x22 8 0 m) 3.52 1x 2.5x10,2

Bài 4 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):

a) 25x 2(3x).5x2x 7 0 b) 3.25x2(3x10).5x2  3 x 0

c) 3.4x (3 10).2x 3 0

e) 4x2x.3 x 31 x 2.3 x x22x6 f) 3.25x2(3x10).5x2  3 x 0

g) 4 +( –8)2 +12 –2x x x x0 h) (x4).9x  (x 5).3x  1 0

i) 4x2 (x27).2x2  12 4x2 0 k) 9x (x 2).3x 2(x4) 0

Bài 5 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 2):

a) 64.9x 84.12x27.16x 0 b) 3.16x2.81x 5.36x c) 6.32x13.6x6.22x 0

d) 25x 10x 22 1x e) 27x 12x 2.8x f) 3.16x2.81x 5.36x

g) 6.9 13.6 6.4 0

1 1 1





4x 6x 9x i)

2.4x6x 9x

k)   x  x  x

7 5 2  2 5 3 2 2  3 1 2  1 2 0.

Bài 6 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 3):

a)   x x

2 3  2 3 14 b)   x x

2 3  2 3  4 c) (2 3)x (7 4 3)(2 3)x  4(2 3) d)  x  x x 3

5 21 7 5 21 2 

e) 5 24 x 5 24x 10 f) 7 3 5 7 7 3 5 8

g)  6 35 x 6 35x 12 h)  ( 1) 2   2 2 1 4

2 3



i)     3

3 5 x16 3 5 x2x

k) 3 5 x 3 5x7.2x 0

l)  x  x

7 4 3 3 2 3  2 0 m)   x x

33 8  33 8 6

Bài 7 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 2):

a) 64.9x 84.12x27.16x 0 b) 3.16x2.81x 5.36x c) 2 2

6.3x13.6x6.2 x 0 d) 25x10x  22 1x e) x x x

8 2 12

27   f) 3.16x2.81x 5.36x

g) 6.9 13.6 6.4 0

1 1

1





4x 6x 9x i) 2.41x 61x 91x

k)   x  x  x

7 5 2  2 5 3 2 2  3 1 2  1 2 0.

Bài 8 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 3):

a)   x x

2 3  2 3 14 b)   x x

2 3  2 3  4 c) (2 3)x (7 4 3)(2 3)x  4(2 3) d)  x  x x 3

5 21 7 5 21 2  e) 5 24 x  5 24x 10 f) 7 3 5 7 7 3 5 8

g)  6 35 x 6 35x12 h)  ( 1) 2  2 2 1 4

2 3



3 5 x16 3 5 x 2x k) 3 5 x 3 5x7.2x 0

l)  x  x

7 4 3 3 2 3  2 0 m)   x x

33 8  33 8 6

3 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình đại số với hai ẩn mới

Bài 1 Giải phương trình (Đặt ẩn phụ)

a) 2x2 5x 621x2 2.2 5x 61

b) 3x33 2 x 6

c) 16sin2x16cos2x 10

d) 2 2   2

1 1

4x x2x 2x 1

Bài 2 Giải các phương trình (Đưa về tích)

a) 8.3x3.2x 24 6 x b) 12.3x 3.15x5x 120

c) 8x.2x 23x x 0  d) 2x 3x 16x

e) 4x23x24x26x5 42.x23x71

1 2

2

4x2x 1x2  x12 

g) x2.3x 3 (12 7 )x  x   x3 8x219x12 h) x2.3x1x(3x2 ) 2(2x  x3 )x1

i) 4sinx 21 sin xcos( ) 2xy  y 0 k) 22(x x2 )21x2 22(x x2 ) 1.2x2  1 0

4 Sử dụng tiêu chuẩn duy nhất nghiệm:

Bài 1 Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):

a)  x x x

3 2  3 2  5 c) 3 2 2  x 3 2 2x 6x d) 3 5x16 3  5x 2x3

e) 3 7 2

   

 

 

x

x

f)  2 3 x 2 3x2x

g) 2x3x5x 10x h) 2x3x 5x i) 2x 12x x2 (x1)2

k) 3x  5 2x l) 2x  3 x m) 2x 14x  x 1

n) 2 32 1

x

x

x x

q) x x x x

7 4 8

3 5 2

14 10 15

Bài 2 Giải các phương trình

a) 2013x2014 2014x20131

b) 1 82 3

x x

c) 3.4x3x10 2 x  3 x 0

d) 1 2  2

2x 2x x  x1

4 Phương pháp đánh giá

Bài 1 Giải các phương trình

2x2x 2 cos 2x x d) sin 1 sin

Bài 2 Giải các phương trình

a) 2x cos ,x4 với x  0 b) 3x2 6 10x  x26x6 c) 3sin x  cosx

d)

3 2

2

x

cos

sin



x

x

x

2

2

2  2  

g) x x

2 cos

2

5x cos3x

5 Bài tập tổng hợp

Bài 1 Giải các phương trình:

1) 3.8x4.12x18x2.27x 0

2) 2x2x22  x x2 3

2

cos x

4) 7 4 3 3 2 3 2

5) 22x 2x 6 6

Bài 2 Cho phương trình 34 2 x2 2.32x2 2m 3 0

a) Giải phương trình khi m = 0

b) Xác định m để phương trình cĩ nghiệm

-

II PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1 Sử dụng tính chất logarit biến đổi tương đương đưa về cùng một cơ số

Bài 1 Giải các phương trình:

a)  2   

2

log x  1 log x1 b) xlog29 2 x3

log x1 log 4 x log 4x

3

log  2 x x 2log 2x2 0

Bài 2 Giải các phương trình:

a) log2x x( 1)1 b) log2xlog (2 x 1) 1

c) log (2 x 2) 6.log1/8 3x 5 2 d) log (2 x 3) log (2 x 1) 3

e) log (4 x 3) log (4 x  1) 2 log 84 f) lg(x 2) lg(x  3) 1 lg5 g) 2log (8 2) log (8 3) 2

3

x  x  h) lg 5x 4 lg x  1 2 lg0,18 i) log (3 x2 6) log (3 x 2) 1 k) log (2 x 3) log (2 x 1) 1/ log 25

l) log4xlog (104 x) 2 m) log (5 x 1) log (1/5 x 2) 0

n) log (2 x 1) log (2 x 3) log 10 12  o) log (9 x 8) log (3 x26) 2 0 

Bài 3. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

a) log3xlog 3 xlog1/3x6 b) 1 lg( x22x 1) lg(x2 1) 2lg(1x)

c) log4xlog1/16xlog8x5 d) 2 lg(4 x24x 1) lg(x219) 2lg(1 2 )  x

e) log2xlog4xlog8x11 f) log (1/2 x 1) log (1/2 x  1) 1 log1/ 2(7x)

g) log log2 2xlog log3 3x h) log log2 3xlog log3 2x

i) log log2 3xlog log3 2xlog log3 3x k) log log log2 3 4xlog log log4 3 2x

Bài 4. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

a) log (9 2 ) 32  x  x b) log (33 x  8) 2 x

c) log (6 7 ) 17  x  x d) log (4.33 x1 1) 2x1

e) log (3 ) 5

2

log (9 2 ) 5 x  x f) log (3.22 x  1) 2x 1 0 g) log (12 2 ) 52  x  x h) log (26 3 ) 25  x 

i) log (52 x 125 ) 2x  k) log (3.24 x 1 5) x

l) 1 1

6

log (5x 25 )x  2 m) 1 1

5 log (6x 36 )x  2

Bài 5. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

a) log5 x(x22x65) 2 b) logx 1 (x24x 5) 1

c) log (5x x28x 3) 2 d) log (2x1 x32x23x 1) 3

e) logx 3 (x 1) 2 f) log (x x 2) 2

g) log (2x x25x 6) 2 h) logx3(x2x) 1

i) log (2x x27x12) 2 k) log (2x x23x 4) 2

l) log (2x x25x 6) 2 m) log (x x2 2) 1

n) log3 5x (9x28x 2) 2 o) log2 4x  (x2 1) 1

p) log 15 2

1 2

x  x   q) log (3 2 ) 1x2  x  r) logx2 3x(x 3) 1 s) log (2x x25x 4) 2

2 Đặt ẩn phụ, đưa về phương trình đa thức bậc 2,3 một ẩn

Bài 1 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

2 log x3log xlog x2

c) log 2 log4 7 0

6

2 2

2

log 4 log 8

8

x

e) 2

2 log x3log xlog x0 f) log 16 log 64 3x2  2x 

g) log5 log 1 2

5

x

7

x

i) 2log5 2 log 1

5

x

x  k) 3 log2xlog 42 x0 l) 3 log3xlog 33 x 1 0 m) 3 3

log x log x 4 / 3 n) 3 3

log x log x  2 / 3 o) 2

log x 2log 0

x

p) 2

log (2 x) 8log (2x) 5 q) 2

log x4log 5x 5 0 r) log 5 log 5 9 log2 5

4

x  x x  x s) log 3 logx2  9x1

4 lg x2 lg x  u)

5 lg x3 lg x 

log x x 14log x x 40log x x 0

Bài 2 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

a) log23x (x 12) log3x  11 x 0 b) log 2 2 log 6 2

6.9 x6.x 13.x

c) x.log22x2(x1).log2x 4 0 d) log22 x(x1)log2 x62x

e)(x2) log (23 x 1) 4(x1) log (3 x 1) 160f) log (2x2  x) log 2x x2

g) 2

log (x  1) (x 5)log (x 1) 2x 6 0 h) 4 log3x 1 log3 x 4

log (x 3x 2) log (x 7x12) 3 log 3 

Bài 3 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

a) log7xlog (3 x2) b) log (2 x 3) log (3 x 2) 2

c) log (3 x 1) log (25 x 1) 2 d) x log 6x x

log 3 log e) 4log 7 x3 x f)log 12  xlog3x

g) xlog 9 2 x2.3log 2xxlog 3 2

log x (9 12 x4 ) logx  x (6x 23x21) 4

log x x 1 log x x  1 log x x 1

3 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình

Bài 1 Giải các phương trình:

2log x  x log xlog x.log x   x 2 0

b) 2

log xlog xlog xlog x.log x0

lg x x  1 3lg x x  1 2

Bài 2 Với giá trị nào của a thì phương trình sau cĩ nghiệm?

a) 31 lg x31 lg x a

b) log2x 3 log 2x a

c) log2x 1 log 22 x a

Bài 3 Giải các phương trình:

a) 3 2 lg x 1 lgx1

3 log x 2x 3 2 5 log x 2x3 6

c)

2

2

3

2 4 5

4 Sử dụng tiêu chuẩn duy nhất nghiệm

Bài 1 Giải các phương trình:

lg x    x 6 x lg x 2 4

b) 2 log 2 log 5 2

3 x

c) log 3 2 log 5 2

d) 2log cot3 xlog2cosx

e)  2   

log x    4 x 3 log x2

f) loga1x 1 loga x a0;a1

2 3

2 2 3

log x 2x 2 log  x 2x 3

lg x  x 12  x lg x 3 5

i) log 9 2 2 log 2 log 3 2

.3 x

x x x (áp dụng công thức logb c logb a

BÀI TẬP TỔNG HỢP phần phương trình mũ và logarit

A Đặt ẩn phụ

Bài 1 Giải các phương trình:

a) 4 2 2 3

log x1 log x1 25

b) 3 3

log x log x4

c)  2 2

x

log x 3x 2 log x 7x12  3 log 3

2 log xlog x.log 2x 1 1

2 3 27

16log 3log x 0

g) log 55 x4 1 x

h) log 4.log25 12 2

12 8

x

x x

2 lnxln 2x3 0

j) 3log 3 3log27 2 log3

log x x 1 log x x  1 log x x 1

log x1  2 log 4 x log x4

m) xlog29 2 x3

B Dùng tính chất biến thiên của hàm số

Bài 2 Giải các phương trình:

a)  log 6 

log x3 x log x

b) log7xlog3 x2

c)  1 

lg 10x  1 2xlg 9

log x   x 1 log x2xx

2 5

log x 2x 3 log x 2x4

log x2 log x 3 m log x 3 có nghiệm trong 32; -

III BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1 Đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa

Bài 1 Giải các bất phương trình:

a)  2

1 x x 1

7.3x 5x 81.3x5x

2

1

2 2

x

x x



 

d)  2 2 7

3 x x 1

e)   3  1

f) 5 2 5 4

4.2 x 2 x 120

g) log2 log 6

6 xx x12

3x3x 3x 5x  5x 5x

2 Đặt ẩn phụ đưa về bất phương trình đa thức

Bài 1 Giải các bất phương trình:

a)

2 2

2

3

x x

x x



 

b) 22x62x7170

c) 3 1 22 1 122 0

x

x  x  

d) 2.14x3.49x4x 0

e)

1

f) 32x8.3x x4 9.9 x4 0

g)

1

2 2 1

0

2 1

x

   

h) 251 2 x x2 91 2 x x2 34.152x x 2

i) 8 2 x14x  5 2x1

3 Dùng tính chất biến thiên của hàm số

Bài 1 Giải các bất phương trình:

a) 2.2x3.3x6x1

b) 2x  3 x1

c) 16x3x4x9x

d) 3 x4 2 2x4 13

e) 2 1 1 2

     

Bài 2 Xác định tất cả các giá trị của tham số để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:

9x 1 3x 1 0

b) m9x  3x 1 0

Bài 3 Tìm m để bất phương trình sau đây có nghiệm 4xm2x  m 3 0

Bài tập vận dụng:

Bài 1 Giải các bất phương trình:

a)   1

x x





b) 11 311

2

2x  x

c) 2

1

3

2

x x

x x

 

    d)   1 

1

x x

x





e)

2

2.3 2

1

3 2



f) 9 x22x x 7.3 x22x x 1 2

x

h)

2

3 3 2

0

4 2

x

x

x

   

i) 3

2x2 x9

j) 5x12x 13x

k) 26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1

Bài 2 Tìm a để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x0 :

1

.2x 2 1 3 5 x 3 5 x 0

1 4x 2x 1 0

a) Giải bất phương trình khi m 1

b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1 Mũ hóa, logarit hóa đưa về cùng cơ số, dạng cơ bản

Bài 1 Giải các bất phương trình:

a)   2

log log

3 x x x 6

b) log 4 2 2

8

x

c) log 1 2

4

xx 

d) log4 2 1 1

x x

  

e) logxlog 93 x72 1

f)    2 1 

log 4x4 log 2 x 3.2x

g) 1 1  2

log x2 log x 1 log 60

2 4

log log x 2x x 0

2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đa thức

Bài 2 Giải các phương trình:

a) 2

5

log x5log x 6

b) 2log32 x5log22xlog2 x 2 0

3 log

2.x x 2 x

d) log2xlog 82x 4

e) 2log5xlog 125 1x 

f) log22 2 4 log2x 22 3 0

x



log x2 m1 log x m 2m0 a) Giải bất phương trình khi m = 1

b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x 1; 2

1 log x  1 log mx 4xm Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

3 Dùng tính chất biến thiên của hàm số

Bài 5 Giải các bất phương trình:

a) 2log3 x 9 log2 x 1 2

b) log22x 1 log34x22

c)   2  

d)

2

2 3

3 2

3

x

e) log3x x 4

log x   x 1 1 log x  x 2 1

g) x23xlog3x4

h) 3xlog3x3

i) 2  

log 2 log 3 0

V HỆ PT MŨ VÀ LOGARIT

1 Sử dụng phép biến đổi tương đương đưa về hệ đại số

Bài 1 Giải các hệ phương trình:

a) 1

2x 2y 2





b)

log log

4 log log 1



c) 1  4

4

2 2

1

25

y





  



d)

1

4 2

2 2

x

x

y





 



log 6 4 2

log 4 6 2

x

y





f)

4 3 0

log log 0





x

y





h) log log

2 2 3





i)

1

2x y 2x





j)





2 Đặt ẩn phụ đưa về hệ đại số

Bài 2 Giải các hệ phương trình:

2







b)

 

3

2 3

xy

  







c) log4 log4 1 log 94

20 0



   

d)  2 2

2

2 log log 4





e)    

log 1 2 log 1 2 2





f)

2cot sin

sin cot

x y







g)

   

lg lg

lg 4 lg 3

3 4







h)

5 log 2

4

log log 3 1

y x y



i)

 

sin

2 2

1 2

x y









j)

2

2 lg 3





3 Dùng tính chất đồng biến nghịch biến của hàm số

Bài 3 Giải các hệ phương trình

a)

3

2





  

b)

3 3

3





c) lg2 lg2





 1) Giải hệ khi m = 1; 2) Tìm m để hệ có hai cặp nghiệm phân biệt

d) 4 2 5

x

y





 

log 3 log 3

log 3 log 3





 

f) log2 2 log2

2 2 0





 1) Giải hệ khi m = 1; 2) Tìm m để hệ có hai cặp nghiệm phân biệt

g) 2 2

x

y

y x

 







4 Dùng phương pháp đánh giá (hệ không mẫu mực)

Bài 4 Giải các hệ phương trình:

3 3

1





b)  2 2  

2 2

log log 1 1





c)

2

   





5 Một số bài toán giải hệ chứa tham số

2



Bài 6 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

2

3 2

1 log log 0 2

0







Bài 7 Giải và biện luận hệ phương trình



Bài 8 Tìm m để hệ phương trình

 

m x y

x y

 







 có hai cặp nghiệm x y1, 1 ; x y2, 2 sao cho biểu thức   2 2

x x  y y có giá trị lớn nhất

Bài 9 Cho hệ phương trình

1 2

1 9 9 3

2 4

x









a) Giải hệ khi m = 3

b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó

Bài 10 Giải và biện luận các hệ phương trình:

2 4m x y xy 2

 

  







b) 3 4 4





c) 2 2

2x 2 y 1





d)

2

m







e) Chứng minh rằng với mọi m > 0 thì hệ phương trình e x e y ln 1 x ln 1 y





 

nhất

VI MỘT SỐ PT – BPT QUA CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY