Bất phương trình logarit mũ và hệ bất phương trình logarit mũ

121 VAN ẹE 6 BAT PHệễNG TRèNH LOGARIT- MUế VAỉ HE BAT PHệễNG TRèNH LOGARIT-MUế 122 Vấn đề 6 Bất phương trình Logarit-Mũ và hệ bất phương trình Logarit-Mũ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số xác đònh trên một tập con D của R, khi đó : a) Nếu a > 1 thì bất phương trình log a f(x) > log a g(x) (1) tương đương với hệ bất phương trình ( ) () () () 0gx f xgx xD >⎧ ⎪ > ⎨ ⎪ ∈ ⎩ b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình (1) tương đương với hệ bất phương trình : () () () () 0fx f xgx xD >⎧ ⎪ < ⎨ ⎪ ∈ ⎩ II. Giả sữ f(x) , g(x) và α(x) là hững hàm số trên một tập hợp con D của R .Khi đó bất phương trình log α(x) f(x) > log α(x) g(x) tương đương với 2 hệ bất phương trình : () () () () () 1 0 x gx f xgx xD α >⎧ ⎪ > ⎪ ⎨ > ⎪ ⎪ ∈ ⎩ hay ( ) () () () () 01 0 x fx f xgx xD α < <⎧ ⎪ > ⎪ ⎨ < ⎪ ⎪ ∈ ⎩ 123 B. BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI . Bài 1 Giải bất phương trình sau : () ( ) 3 3log3log xx x ≤ Giải Điều kiện x > 0 và x ≠ 1 Bpt ⇔ () () [] ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≥ ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < (2) )3(log3log 03log (1) 03xlog 0log3x 2 2 3 xx x xx x Giải (1) ⇔ () ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < 1log3log 1log3log 3 x xx x x ⇔ ( ) ( ) () () ⎩ ⎨ ⎧ <−− <−− 0131 0131 3 xx xx ⇔ x > 3 3 1 (a) Giải (2) ⇔ ()( ) () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +≤+ >−− > (*) 33log13log 0231 0 2 xx xx x (*) ⇔ 023log3log 2 ≤−+ xx ⇔ -2 ≤ log x ≤ 1 (2) ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤− >∨<< 13log2 1 3 1 0 x xx ⇔ () () ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ≥ ≤< ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤ > ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥≥ << ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤− > ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤− << c 3 b 3 1 0 3 1 1 3 1 3 1 x0 13log2 1 13log2 3 1 0 2 2 x x x x x x x x x x x Hợp (a) và (b) và (c) ta có x > 0 Bài 2 124 Giải bất phương trình sau : log 2 (1 + 9 1 log x – log 9 x) < 1 Giải Điều kiện : x > 0 ⇔ 1 – log 9 x – log 9 x < 1 (với x > 0) ⇔ 1 – 2log 9 x < 1 ⇔ log 9 x > 2 1 − ⇔ log 9 x > 2 1 − log 3 3 ⇔ x > 3 1 Bài 3 Giải bất phương trình sau : 233 5lg2lg 2 −< ++ xx (1) Giải Điều kiện : x > 0 (1) ⇔ 3 lgx .9 < 3 2lgx .3 5 – 2 (với x > 0) đặt t = 3 lgx bpt ⇔ 9t < 243t 2 – 2 ⇔ 243t 2 – 9t – 2 > 0 ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −< > 27 2 9 1 t t • Với t > 9 1 : 3 lgx > 9 1 ⇔ ⇔ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2lg 3 1 3 1 x -lgx < 2 ⇔ lgx > -2 = -2lg10 ⇔ x > 10 -2 ⇔ x > 100 1 • Với t < 27 2 − : 3 lgx < 27 2 − : bất phương trình vô nghiệm KL : nghiệm cuả bất phương trình là : x > 100 1 125 Bài 5 Giải bất phương trình : log 7 x > log 3 (2 + x ) (**) Giải Điều kiện x > 0 , đặt log 7 x = t ⇔ x = 7 t Bất phương trình (**) ⇔ t > log 3 (2 + t 7 ) ⇔ 3 t > 2 + t 7 ⇔ 1 > 2. t 3 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + t 3 7 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = f(t) Do f(t) là hàm nghòch biến trên R , f(2) = 1 nên bất phương trình (**) ⇔ f(t) < f(2) ⇔ t > 2 ⇔log 7 x > 2 ⇔ x > 7 2 = 49 . Bài 6 Giải bất phương trình : 24 x233 x x2 − −+ − ≥ 0 (*) (Đại học luật 1996) Giải Xét f(x) = 3 2-x - 2x + 3 nghòch biến trên R , f(2) = 0 , g(x) = 4 x – 2 đồng biến trên R , g ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 = 0 Bất phương trình (*) ⇔ )x(g )x(f ≥ 0 ⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =< =≤ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ => =≥ 2 1 g0)x(g )2(f0)x(f 2 1 g0)x(g )2(f0)x(f ⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ 2 1 x 2x 2 1 x 2x ⇔ 2 1 < x ≤ 2 Vậy bất phương trình có nghệm là 2 1 < x ≤ 2 126 Bài 7 Với giá trò nào của m thì : y = () [ ] mmx2x1mlog 2 2 2 −−+ có tập nghiệm xác đònh là R. Giải Yêu cầu đầu bài cho ta (m + 1)x 2 – 2mx – m > 0 (*) , ∀x ∈ R • m = -1 : 0.x 2 + 2x + 1 > 0 ⇔ x > - 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +∞− , 2 1 ⊂ R nên không thỏa yêu cầu (*) đúng ∀x ∈ R. • m ≠ -1 (*) ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ >+ <∆ 01m 0' ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −> <++ 1m 01mm 2 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ −> ∅∈ 1m m ⇔ m ∈ ∅ Kết luận : m ∈ ∅ Bài 8 Giải bất phương trình : ( ) 8exxe8x 1x21x4 −>− −− (Đại Học Xây Dựng 2001) Giải ( ) 8exxe8x 1x21x4 −>− −− ⇔ x(x 3 + 8) – e x-1 (x 3 + 8) > 0 ⇔ (x 3 + 8) (x – e x-1 ) > 0 (*) Xét hàm số : f(x) = x – e x-1 f’(x) = 1 – e x-1 = 0 ⇔ x = 1 Bảng biến thiên : x -∞ 1 +∞ f’(x) + 0 - f(x) 0 - ∞ +∞ Bảng biến thiên cho : f(x) ≤ 0 ; ∀x ∈ R (f(x)=0⇔x=1) Dể thấy x = 1 không thỏa (*) Vậy : f(x) < 0 ∀x ≠ 1 . Khi đó : (*) ⇔ x 3 + 8 < 0 ⇔ x < -2 127 Bài 9 Tìm m sao cho bất phương trình sau đây được nghiệm đúng với mọi x log m (x 2 – 2x + m + 1) > 0 (Đại học Đà Nẳng ) Giải Ta có : Log m (x 2 – 2x + m + 1) > 0 ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ <++− > ⎩ ⎨ ⎧ <++− << 11mx2x 1m 11mx2x 1m0 2 2 ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ >+− > ⎩ ⎨ ⎧ <+− << )2( 0mx2x 1m )1( 0mx2x 1m0 2 2 Xét (1) : ta thấy x 2 –2x +m < 0 không thể xảy ra vơi mọi x Xét (2) :x 2 – 2x + m > 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc R ⇔ '∆ < 0 ⇔ 1 – m < 0 ⇔ m >1 Vậy: m > 1 thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x. Bài 10 Tìm tất cả các giá trò của x thoả x > 1 nghiệm đúng bất phương trình sau : 2 2( ) log ( 1) 1 xx m xm + +−<với mọi giá trò của m : 0 < m ≤ 4 (Đại học Giao thông vận tải ) Giải Vì x > 1 ⇒ 2(x 2 + x) > 4 ; cùng với 0 < m ≤ 4 ⇒ m )xx(2 2 + > 1 và x + m – 1 > 0. Bất phương trình đã cho được viết thành : 128 x+ m –1 < m )xx(2 2 ++ ⇔ 2x 2 + (2 – m) x – m 2 + m > 0 ⇔ (x – m + 1) (2x + m) > 0 ⇔ x > m – 1 ( vì 2x + m > 0) Vì x > 1 và 0 < m ≤ 4 ⇒ x > 3 Bài 10 Giải bất phương trình : 2 x + 2 3-x ≤ 9 (Đại học Kỹ thuật công nghệ thành phố Hồ Chí Minh , khối A năm1998 – 1999) Giải Đặt t = 2 x với t > 0 ta được : t 2 – 9t + 8 = 0 Tam thức bậc hai theo t ấy có 2 nghiệm là 1 và 8 .Tam thức ấy âm khi và chỉ khi 1 ≤ t ≤ 8 Từ đó suy ra nghiệm của bất phương trình là 0 ≤ x ≤ 3 Bài 11 a) Giải bất phương trình 2 2x+1 – 9.2 x + 4 ≤ 0 (1) b) Đònh m để mọi nghiệm của bất phương trình (1) cũng là nghiệm của bất phương trình : (m 2 + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0 (Đại học An ninh – Đại học cảnh sát , khối G năm 1998 – 1999) Giải a) Ta có : 2 2x+1 – 9.2 x + 4 ≤ 0 (1) ⇔ 2.2 2x = 9.2 x + 4 ≤ 0 Đặt t = 2 x > 0 , ta sẽ có : (1) ⇔ 2t 2 – 9t + 4 ≤ 0 Nghiệm của tam thức theo t là 2 1 và 4. Tam thức âm hoặc bằng 0 khi : 2 1 ≤ t ≤ 4 Do đó ta có : 2 1 ≤ 2 x ≤ 4 hay 2 -1 ≤ 2 x ≤ 2 2 Đáp số : –1 ≤ x ≤ 2 b) (m 2 + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0 (2) 129 ⇔ (m 2 + m + 1)x + 3m + 1 > 0 Đặt f(x) = (m 2 + m + 1)x + 3m + 1 Mọi nghiệm của (1) là nghiệm của (2) khi và chỉ khi f(x) > 0, ∀x ∈ [-1 , 2] ⇔ ( ) () ⎩ ⎨ ⎧ > >− 02 01 f f ⇔ 0 < m < 2 Đáp số : 0 < m < 2 Bài 12 Giải bất phương trình : 3 1 6 5 log 3 −≥ − x x x (Đại học An ninh – Đại học cảnh sát , khối A năm 1998 – 1999) Giải Ta phải có điều kiện x > 0 và x ≠ 1 3 1 6 5 log 3 −≥ − x x x = x x 1 log 3 (1) Trường hợp 0 < x < 1 (1) ⇔ xx x 1 6 5 ≤ − ⇔ ⏐5 - x⏐ ≤ 6 ⇔ x ≥ -1 ⇔ 0 < x < 1 (vì 0 < x ≠ 1) Trường hợp x > 1 (1) ⇔ ⏐x - 5⏐ ≥ 6 ⇔ ⎢ ⎣ ⎡ ≥ −≤ 11 1 x x Do đó ta có 0 < x < 1 hay x ≥ 11 Bài 13 Tìm tham số a sao cho 2 bất phương trình sau đây tương đương : ( ) () ⎩ ⎨ ⎧ >+−+ >+−− 021 031 axa axa (Cao đẳng Hải quan năm 1998) Giải Xét a = -1. Hai bất phương trình đã cho sẽ có dạng –2x > -4 ; Ox > -3 . Hai bất phương trình ấy không tương đương 130 Xét a > 1 : Nghiệm của bất phương trình thứ nhất là x > 1 3 − − a a và nghiệm của bất phương tình thứ hai là x > 1 2 + − a a Muốn cho 2 bất phương trình đó tương đương thì phải có : 1 2 1 3 + − = − − a a a a ⇒ a = 5 Bằng cách tương tự khi a < -1 hay –1 < a < 1 ta có hai phương trình không tương đương . Kết luận : Hai bất phương trình tương đương khi a = 5 Bài 14 Giải bất phương trình : log 2 x + log 3 x < 1 + log 2 x.log 3 x (Đại học ngoại thương , khối A năm 1998 – CSII) Giải Bất phương trình tương đương với : log 2 x(1 – log 3 x) – (1 - log 3 x) < 0 ; (x > 0) ⇔ (1 - log 3 x)(log 2 x – 1) < 0 Có thể xảy ra 2 trường hợp : • ⎩ ⎨ ⎧ <− >− 01log 0log1 2 3 x x ⇔ 0 < x < 2 • ⎩ ⎨ ⎧ >− <− 01log 0log1 2 3 x x ⇔ x > 3 Vậy nghiệm của bất phương trình là : ⎢ ⎣ ⎡ > << 3 20 x x [...]... 35 Cho bất phương trình : x 2 − (3 + m) x + 3m ≤ ( x − m) log 1 x 2 1 Chứng minh rằng với m = 2 thì bất phương trình vô nghiệm 2 Giải và biện luận bất phương trình theo m (Đề Đại Học Kinh Tế Quốc Dân Hà Nội ) Giải 1-\ Với m = 2 , bất phương trình có dạng : x 2 − 5x + 6 < ( x − 2) log 1 x 2 ⇔ (x – 2)( x – 3) < (x – 2) log 1 x ⇔ (x – 2)(x + log2 – 3) < 0 2 * Nếu x – 2 = 0 ⇔ x = 2 bất phương trình vô... Giải bất phương trình : log2 log2 (x 2 (x 2 ) + 3 − x 2 − 1 + 2 log 2 x ≤ 0 Giải ) + 3 − x 2 − 1 + 2 log 2 x ≤ 0 ⎧ x2 + 3 − x2 −1 > 0 ⎪ ⎪x > 0 ⎩ Điều kiện của nghiệm: ⎨ Khi đó : log2x < 0 và ⇒ log2 (x 2 ⇔ 0 0 (1) 1-\ Giải bất. .. luận : nghiệm bất phương trình là : 0 < x < ; 1 < x < ; x > 5 2 2 Bài 36 t2 −1 ≥ t – m (1) t+2 1 Giải bất phng trình khi m = 1 2 Tìm m để bất phng trình (1) nghiệm đúng với mọi t ≥ 0 (Đề Đại Học Quốc Gia TP HC M ) Giải 1 Bất phng trình có dạng : t2 −1 ⎛ t +1 ⎞ ≥ t–1⇔ (t–1)⇔ ⎜ − 1⎟ ≥ 0 t+2 ⎝t+2 ⎠ ⎛ −1 ⎞ ⇔ ( t − 1)⎜ ⎟ ≥ 0 ⇔ −2 0 Điều kiện : ⎨ 2 ⇔ x 0 Khi đó : log2 (3 – x) > log2 (3 – 1) > 0 Phương trình đã cho ⇔ log 2 ( x 2 − 9x + 8 ) < 2log2 (3 – x) 1 ⇔ x2 –9x +8 < (3 – x)2 ⇔ x > − 3 1 Đáp số : − < x < 1 3 150 Bài 42 Cho bất phương trình (a + 2) x − a ≥ x + 1 (1) 1 Giải bất phương trình. .. [1 , 4] Và g(x) = 4x2 – 4x + (5 – 2m) có g’(x) = 8x – 4 > 0 ∀x ∈ [1 , 4] Nên f(x) và g(x) tăng ngặt trên [1 , 4] ⎧ f (1) = 5 + 2m ≥ 0 5 5 ⇔ − ≤m≤ 2 2 ⎩ g (1) = 5 − 2m ≥ 0 ⇒ (4) ⇔ ⎨ ⎡ 5 5⎤ ; , mọi nghiệm của (2) đều là nghiệm của (3) ⎣ 2 2⎥ ⎦ Vậy với m ∈ ⎢− 153 Bài 45 Cho bất phương trình 9x – 5m.6x + 3m.4x > 0 a) Giải bất phương trình trên khi m = 2 b) Với giá trò nào của m thì bất phương trình nghiệm... nghiệm y1 ; y2 thoả y1 ≤ 0 < 1 < y2 ⎧f (0) ≤ 0 ⎩f (1) < 0 ⇔ ⎨ ⎧− m ≤ 0 ⎩− 2m + 24 < 0 ⇔ ⎨ ⇔ m > 12 131 Bài 16 1 Giải bất phương trình : log 2 ( x − 5) + 3 log 5 5 ( x − 5) + 6 log 1 ( x − 5) − 4 log 25 ( x − 5) + 2 ≤ 0 1 5 25 2 Với giá trò nào của m thì bất phương trình trên và bất phương trình sau: (x – m)(x – 35) ≥ 0 chỉ có một nghiệm chung duy nhất Giải 2 1/ log1 (x − 5) + 3log5 5 (x − 5) + 6 log... cho mọi nghiệm của bất phương trình trên cũng là nghiệm của bất phương trình sau : 1 + log5(x2 + 1) + log 1 (x2 + 4x + 2m) > 0 (2) 5 (Đại học tài chính kế toán Hà Nội , năm 1998 – 1999) Giải a) Điều kiện x ≥ 0 x +4 x Ta có : (1) ⇔ 8.3 ⇔ 8.3 4 x− x ( Đặt t = 3 4 + 9.3 2 ( x− x 4 + 32 x− x) 4 x +2 ≥ 32 ( ≥1 ⇔ 9 3 x 4 x− x Do đó ta có : 4 x− x 2 4 x− x −1 ≥ 0 ) Thay vào bất phương trình trên ta được 9t2... (1) vô nghiệm (không thoả điều kiện ); 1 11 (2) cho ta < x < −1 + 2 3 1 11 KL: nghiệm bất phương trình đã cho là: < x < −1 + 2 3 143 Bài 34 ( x − 2) log 2 4( x − 2 ) = 2 α ( x − 2) 3 Cho phương trình : 1 Giải phương trình với α = 2 2 Xác đònh α để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn : 5 5 ≤ x 1 ≤ 1 và ≤ x2 ≤1 2 2 (Đề Đại Học Kiến Trúc Hà N ội ) Giải log 2 4 ( x − 2 ) α 3 ( x − 2) =... 5 Bài 46 Cho bất phương trình : 9x – 2(m + 1).3x – 2m – 3 > 0 (1) , trong đó m là tham số thực Tìm tất cả giá trò của m để bất phương trình (1) luôn nghiệm đúng ∀x (Đại học Mỏ – Đòa chất , năm 1998) Giải x x 9 – 2(m + 1)3 – 2m – 3 > 0 ⇔ (3x)2 – 2(m + 1)3x – 2m – 3 > 0 ⇔ (3x + 1)(3x – 2m – 3) > 0 ⇔ 3x – 2m – 3 > 0 ⇔ 3x > 2m + 3 Do đó bất phương trình (1) luôn luôn đúng với mọi số x khi và chỉ khi 2m