Tài liệu phương trình bất phương trình và hệ phương trình

Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Phương trình-Hệ phương trình-Bất phương trình dành cho lớp 10 Tác giả: Nguyễn Văn Quốc Tuấn - Lớp B – K112 - Đại Học Y Hà Nội Các bài toán trong tài liệu là do Tuấn tổng hợp ở 1 số diễn đàn, 1 số tài liệu,. . . về phần lời giải thì đa số là do Tuấn giải lại nhưng 1 số câu là do nhác quá :3 nên chép i nguyên lời giải của nó. Vì thế nên tài liệu có gì sai sót mong các bạn ghóp ý để chỉnh sửa lại. Tài liệu này Tuấn viết tặng 1 bạn ( Đừng hỏi là ai nhé :v ). Bên cạnh đó hi vọng các bạn có 1 tài liệu để có thể tham khảo thêm. Chúc các bạn học tốt. Bài 1. Giải phương trình sau: √ x + 3 + √ 3x + 1 = 2 √ x + √ 2x + 2 Lời giải: Điều kiện: x ≥ 0 Ta có: √ 3x + 1 − √ 2x + 2 = 2 √ x − √ x + 3 ⇐⇒ 3x + 1 + 2x + 2 − 2 √ 6x 2 + 8x + 2 = 4x + x + 3 − 4 √ x 2 + 3x ⇐⇒ √ 6x 2 + 8x + 2 = 2 √ x 2 + 3x ⇐⇒ 6x 2 + 8x + 2 = 4 (x 2 + 3x) ⇐⇒ 2x 2 − 4x + 2 = 0 ⇐⇒ x = 1 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 1 Bài 2. Giải phương trình sau: x 3 √ 35 − x 3  x + 3 √ 35 − x 3  = 30 Lời giải: Đặt 3 √ 35 − x 3 = y ⇐⇒ x 3 + y 3 = 35 Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ:  x 3 + y 3 = 35 xy (x + y) = 30 ⇐⇒  (x + y) 3 − 3xy (x + y) = 35 xy (x + y) = 30 ⇐⇒  (x + y) 3 = 125 xy (x + y) = 30 ⇐⇒  x + y = 5 xy = 6 ⇐⇒  x = 3 x = 2 1 Nguyễn Văn Quốc Tuấn www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Vậy nghiệm của phương trình là:  x = 3 x = 2 Bài 3. Giải phương trình sau: 16x 4 + 5 = 6 3 √ 4x 3 + x Lời giải: Ta có V T > 0 nên điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là V P > 0 ⇐⇒ x > 0 Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương ta có: 6 3 √ 4x 3 + x = 2.3. 3  (4x 3 + x) .1.1 ≤ 2  4x 3 + x + 1 + 1  Mặt khác ta có: 16x 4 + 5 ≥ 2  4x 3 + x + 1 + 1  ⇐⇒ 16x 4 − 8x 3 − 2x + 1 ≥ 0 ⇐⇒ (2x − 1) 2  4x 2 + 2x + 1  ≥ 0 Do đó: V T ≥ V P khi đó 16x 4 + 5 = 6 3 √ 4x 3 + x ⇐⇒  4x 3 + x = 1 2x − 1 = 0 ⇐⇒ x = 1 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1 2 Bài 4. Giải phương trình sau: 3  x 2 − 1  + 4x = 4x √ 4x − 3 Lời giải: Điều kiện: x ≥ 3 4 Ta có: 3  x 2 − 1  + 4x = 4x √ 4x − 3 ⇐⇒ 3x 2 + 4x − 3 = 4x √ 4x − 3 ⇐⇒ 3x 2 − 4x √ 4x − 3 + 4x − 3 = 0 ⇐⇒  x − √ 4x − 3  3x − √ 4x − 3  = 0 ⇐⇒  x = √ 4x − 3 3x = √ 4x − 3 ⇐⇒  x 2 = 4x − 3 9x 2 = 4x − 3 ⇐⇒  x = 3 x = 1 2 Nguyễn Văn Quốc Tuấn www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:  x = 3 x = 1 Bài 5. Giải hệ phương trình sau:   √ x + 1 + 3y  .x + (3y 2 + 1) √ x + 1 − 51y −27 = 7y 3 + 36y 2 x 2 + y 2 + 3x + 5y + 10 = 0 Lời giải: Điều kiện: x ≥ −1 Đặt: √ x + 1 = a (a ≥ 0) Thay a 2 − 1 = x vào phương trình thứ nhất ta được (a + 3y) (a 2 − 1) + (3y 2 + 1) a −51y −27 = 7y 3 + 36y 2 ⇐⇒ a 3 + 3a 2 y + 3ay 2 = 7y 3 + 36y 2 + 54y + 27 ⇐⇒ a 3 + 3a 2 y + 3ay 2 + y 3 = 8y 3 + 36y 2 + 54y + 27 ⇐⇒ (a + y) 3 = (2y + 3) 3 ⇐⇒ a = y + 3 ⇐⇒ y = a − 3 ⇒ y = √ x + 1 − 3 Thế xuống phương trình thứ 2 ta được: x 2 + 4x + 5 = √ x + 1 Đặt √ x + 1 = y + 2 (y ≥ −2) Khi đó ta có hệ phương trình:  x 2 + 4x + 3 = y y 2 + 4y + 3 = x ⇐⇒  x 2 − y 2 + 5 (x −y) = 0 x 2 + 4x + 3 = y ⇐⇒  (x − y) (x + y + 5) = 0 x 2 + 4x + 3 = y ⇐⇒  x = y x 2 + 3x + 3 = 0 (V N) Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 6. Giải phương trình sau: 2x − 1 + √ 3x − 2 = √ 8x 2 − 2x − 2 Lời giải: Điều kiện: x ≥ 2 3 3 Nguyễn Văn Quốc Tuấn www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Biến đổi phương trình đầu trở thành: 2x − 1 + √ 3x − 2 =  2(2x − 1) 2 + 2 (3x −2) Đặt:    2x − 1 = a  a ≥ 1 3  √ 3x − 2 = b (b ≥ 0) Khi đó phương trình đã cho trở thành: a + b = √ 2a 2 + 2b 2 ⇐⇒ a 2 + 2ab + b 2 = 2a 2 + 2b 2 ⇐⇒ (a − b) 2 = 0 ⇐⇒ a = b Từ đó ta có: 2x − 1 = √ 3x − 2 ⇐⇒ 4x 2 − 4x + 1 = 3x − 2 ⇐⇒ 4x 2 − 7x + 3 = 0 ⇐⇒   x = 1 x = 3 4 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:   x = 1 x = 3 4 Bài 7. Giải hệ phương trình sau:    6x y − 2 = √ 3x − y + 3y (1) 2  3x + √ 3x − y = 6x + 3y −4 (2) Lời giải: Điều kiện:  3x ≥ y = 0 3x + √ 3x − y ≥ 0 Ta có: (1) ⇐⇒ 2 (3x −y) = y √ 3x − y + 3y 2 ⇐⇒ 2 (3x −y) − y √ 3x − y −3y 2 = 0 ⇐⇒  2 √ 3x − y −3y  √ 3x − y + y  = 0 ⇐⇒  2 √ 3x − y = 3y √ 3x − y = −y Trường hợp 1: 2 √ 3x − y = 3y thì    2 √ 3x − y = 3y 2  3x + 3y 2 = 6x + 3y −4 ⇐⇒      2 √ 3x − y = 3y 6x + 3y ≥ 0  2 (6x + 3y) = 6x + 3y −4 ⇐⇒  2 √ 3x − y = 3y 6x + 3y = 8 Trường hợp 2: √ 3x − y = −y thì  √ 3x − y = −y 2  3x + √ 3x − y = 6x + 3y −4 ⇐⇒  √ 3x − y = −y 2 √ 3x − y = 6x + 3y −4 4 Nguyễn Văn Quốc Tuấn www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình ⇐⇒  √ 3x − y = −y −2y = 6x + 3y −4 ⇐⇒  √ 3x − y = −y 6x + 5y = 4 Từ đây các bạn tự tìm ra nghiệm. Bài 8. Giải phương trình sau: √ 2x 2 + x + 9 + √ 2x 2 − x + 1 = x + 4 Lời giải: Xét x = −4 không phải là nghiệm của phương trình khi đó ta biến đổi phương trình như sau: √ 2x 2 + x + 9 + √ 2x 2 − x + 1 = x + 4 ⇐⇒ 2x + 8 √ 2x 2 + x + 9 − √ 2x 2 − x + 1 = x + 4 ⇐⇒ √ 2x 2 + x + 9 − √ 2x 2 − x + 1 = 2 Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ:  √ 2x 2 + x + 9 − √ 2x 2 − x + 1 = 2 √ 2x 2 + x + 9 + √ 2x 2 − x + 1 = x + 4 ⇒ 2 √ 2x 2 + x + 9 = x + 6 ⇐⇒ 4 (2x 2 + x + 9) = x 2 + 12x + 36 ⇐⇒ 7x 2 − 8x = 0 ⇐⇒  x = 0 x = 8 7 Thử lại ta thấy thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là   x = 0 x = 8 7 Bài 9. Giải phương trình sau: x +  5 + √ x − 1 = 6 Lời giải: Điều kiện: x ≥ 1 5 Nguyễn Văn Quốc Tuấn www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Biến đổi phương trình đã cho như sau: x +  5 + √ x − 1 = 6 ⇐⇒ x − 1 +  5 + √ x − 1 = 5 Đặt:  √ x − 1 = a  5 + √ x − 1 = b (a ≥ 0, b ≥ 5) Khi đó ta có:  a 2 + b = 5 b 2 = a + 5 ⇐⇒  a 2 + b = 5 a 2 − b 2 + a + b = 0 ⇐⇒  a 2 + b = 5 (a + b) (a −b + 1) = 0 ⇐⇒      a 2 + b = 5  a + b = 0 a − b + 1 = 0 ⇐⇒      a 2 + b = 5  a 2 − a − 5 = 0 a 2 + a + 1 = 5 ⇐⇒            a 2 + b = 5    a = 1 ± √ 21 2 a = −1 ± √ 17 2 ⇐⇒      a = −1 + √ 17 2 b = 1 + √ 17 2 Từ đó ta tính được x = 11 − √ 17 2 . Vậy x = 11 − √ 17 2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. Bài 10. Giải phương trình sau: √ 1 − x 2 =  2 3 − √ x  2 Lời giải: Điều kiện:  1 − x 2 ≥ 0 x ≥ 0 ⇐⇒ 0 ≤ x ≤ 1 Đặt:    a = √ x b = 2 3 − √ x  a ≥ 0, b ≤ 2 3  Khi đó ta có hệ mới. 6 Nguyễn Văn Quốc Tuấn www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình    a + b = 2 3 √ 1 − a 4 = b 2 ⇐⇒    a + b = 2 3 a 4 + b 4 = 1 ⇐⇒    a + b = 2 3 (a 2 + b 2 ) 2 − 2a 2 b 2 = 1 ⇐⇒    a + b = 2 3  (a + b) 2 − 2ab  2 − 2a 2 b 2 = 1 ⇐⇒      a + b = 2 3  4 9 − 2ab  2 − 2a 2 b 2 = 1 ⇐⇒      a + b = 2 3 2a 2 b 2 − 16 9 ab − 65 81 = 0 ⇐⇒                a + b = 2 3 ab = 8 − √ 194 18      a + b = 2 3 ab = 8 + √ 194 18 a, b là nghiệm của phương trình    y 2 − 2 3 y + 8 − √ 194 18 = 0 y 2 − 2 3 y + 8 + √ 194 18 = 0 (V N) Từ đó ta tìm được nghiệm duy nhất của phương trình đã cho là: x = 1 9  −2 +  2  √ 194 − 6  +  97 2  Bài 11. Giải hệ phương trình sau:    x + 3 = 2  (3y −x) (y + 1) (1) √ 3y −2 −  x + 5 2 = xy −2y − 2 (2) Lời giải: Điều kiện:        y ≥ 2 3 x ≥ −5 (3y −x) (y + 1) ≥ 0 ⇐⇒        y ≥ 2 3 x ≥ −5 3x − y ≥ 0 Ta có: (1) ⇐⇒ 3 (y + 1) − (3y −x) = 2 √ 3y −x. √ y + 1 ⇐⇒  2  √ y + 1  2 − 2 √ 3y −x. √ y + 1  +   √ y + 1  2 −  √ 3y −x  2  = 0 ⇐⇒ 2 √ y + 1  √ y + 1 − √ 3y −x  +  √ y + 1 − √ 3y −x  √ y + 1 + √ 3y −x  = 0 ⇐⇒  √ y + 1 − √ 3y −x  3 √ y + 1 + √ 3y −x  = 0 ⇐⇒  √ y + 1 − √ 3y −x = 0 0 = 3 √ y + 1 + √ 3y −x > 0 (L) ⇐⇒ √ y + 1 = √ 3y −x ⇐⇒ x = 2y − 1 (3) 7 Nguyễn Văn Quốc Tuấn www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Thay (3) vào (2) ta được √ 3y −2 − √ y + 2 = 2y 2 − 3y −2 ⇐⇒ 2 (y −2) √ 3y −2 + √ y + 2 = (y −2) (2y + 1) ⇐⇒ (y −2)  2 √ 3y −2 + √ y + 2 − (2y + 1)  = 0 ⇐⇒   y = 2 ⇒ x = 3 2 √ 3y −2 + √ y + 2 − (2y + 1) = 0 (4) Và (2) ⇐⇒ 2 − (2y + 1)  √ 3y −2 + √ y + 2  = 0 (5) Do y ≥ 2 3 ⇒ (2y + 1)  √ 3y −2 + √ y + 2  ≥  2. 2 3 + 1   2 3 + 2 ⇐⇒ −(2y + 1)  √ 3y −2 + √ y −2  ≤ − 7 3  8 3 Mà 2 − (2y + 1)  √ 3y −2 + √ y −2  ≤ 2 − 7 3  8 3 < 0 nên (5) vô nghiệm. So với điều kiện hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x; y) = (3; 2) Bài 12 Giải hệ phương trình sau:  x + √ x 2 + 1 = y +  y 2 − 1 x 2 + y 2 − xy = 1 Lời giải: Điều kiện:  y ≥ 1 y ≤ −1 Biến đổi phương trình đầu như sau: x + √ x 2 + 1 = y +  y 2 − 1 ⇐⇒ x − y =  y 2 − 1 − √ x 2 + 1 ⇒ x 2 − 2xy + y 2 = x 2 + y 2 − 2 √ x 2 + 1.  y 2 − 1 ⇐⇒ xy = √ x 2 + 1.  y 2 − 1 ⇒ x 2 y 2 = (x 2 + 1) (y 2 − 1) ⇐⇒ y 2 − x 2 = 1 Khi đó ta được hệ mới: 8 Nguyễn Văn Quốc Tuấn www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình  y 2 − x 2 = 1 x 2 + y 2 − xy = 1 ⇐⇒  x 2 + y 2 − xy = y 2 − x 2 y 2 − x 2 = 1 ⇐⇒  2x 2 − xy = 0 y 2 − x 2 = 1 ⇐⇒       x = 0 2x = y y 2 − x 2 = 1 ⇐⇒          x = 0 y = ±1      x = ±1 √ 3 y = ±2 √ 3 Thử lại thì hệ phương trình có các nghiệm: (x; y) = (0; 1) ,  1 √ 3 ; 2 √ 3  Lưu ý: Bài toán được giải hoàn chỉnh nhưng tại sao lại phải thử lại nghiệm. Ở đây vì khi biến đổi phương trình thứ nhất chúng ta không đặt điều kiện nên sau khi giải ra nghiệm chúng ta phải thử lại. Mặt khác nếu chúng ta không đặt điều kiện mà bình phương thì dùng dấu ⇒ nhé. Bài 13. Giải phương trình sau: 4 √ x 2 + x + 1 = 1 + 5x + 4x 2 − 2x 3 − x 4 (1) Lời giải: Ta có: (x 2 + x + 1) 2 = x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 2x + 1 Khi đó (1) ⇐⇒ 4 √ x 2 + x + 1 = −  x 2 + x + 1  2 + 7  x 2 + x + 1  − 5 Đặt: a = √ x 2 + x + 1 (a > 0) Khi đó phương trình đã cho trở thành: a 4 − 7a 2 + 4a + 5 = 0 ⇐⇒  a 2 − a − 1  a 2 + a − 5  = 0 ⇐⇒    a = 1 + √ 5 2 a = −1 + √ 21 2 Với a = 1 + √ 5 2 thì √ x 2 + x + 1 = 1 + √ 5 2 ⇐⇒ x 2 + x − 1 + √ 5 2 = 0 ⇐⇒ x = −1 ±  3 + 2 √ 5 2 9 Nguyễn Văn Quốc Tuấn www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Với a = −1 + √ 21 2 thì √ x 2 + x + 1 = −1 + √ 21 2 ⇐⇒ x 2 + x + −9 + √ 21 2 = 0 ⇐⇒ x = −1 ±  19 − 2 √ 21 2 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:     x = −1 ±  3 + 2 √ 5 2 x = −1 ±  19 − 2 √ 21 2 Bài 14. Giải phương trình sau: 16x 2 − 23x + 10 = (x + 2) √ 4x 2 + 4x − 7 Lời giải: Điều kiện:    x ≥ −1 + 2 √ 2 2 x ≤ −1 − 2 √ 2 2 Ta có: 16x 2 − 23x + 10 = (x + 2) √ 4x 2 + 4x − 7 ⇐⇒ 4x 2 + 4x − 7 − (4x − 3) √ 4x 2 + 4x − 7 + (5x + 1) √ 4x 2 + 4x − 7 − (5x + 1) (4x −3) = 0 ⇐⇒  √ 4x 2 + 4x − 7 + 5x − 1  √ 4x 2 + 4x − 7 − (4x − 3)  = 0 ⇐⇒  √ 4x 2 + 4x − 7 + 5x − 1 = 0 √ 4x 2 + 4x − 7 − (4x − 3) = 0 ⇐⇒  √ 4x 2 + 4x − 7 = 1 − 5x √ 4x 2 + 4x − 7 = 4x − 3 ⇐⇒            x ≤ 1 5 4x 2 + 4x − 7 = 25x 2 − 10x + 1    x ≥ 3 4 4x 2 + 4x − 7 = 16x 2 − 24x + 9 ⇐⇒            x ≤ 1 5 21x 2 − 14x + 8 = 0    x ≥ 3 4 12x 2 − 28x + 16 = 0 ⇐⇒   x = 4 3 x = 1 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:   x = 4 3 x = 1 Bài 15. Giải phương trình sau: 3 √ 12x 2 + 46x − 15 − 3 √ x 3 − 5x + 1 = 2x + 2 Lời giải: Đặt: a = 3 √ 12x 2 + 46x − 15, b = 2x + 1, c = 3 √ x 3 − 5x + 1 10 Nguyễn Văn Quốc Tuấn www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com [...]... hệ phương trình có nghiệm là: (x; y) = Bài 50 −4 + √ 13; 1− √ 13 2 , √ 1+ −4 − 13; √ 2 13 , (−2; − 1) Giải bất phương trình sau: x− 1 + x 1− 1 ≥x x Lời giải: www.DeThiThuDaiHoc.com 34 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình- hệ phương trình- bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam x≥1 −1 ≤ x < 0 Điều kiện: TH 1: Nếu −1 ≤ x < 0 thì nó thỏa mãn bất phương trình TH 2: Nếu x ≥ 1 thì bất phương. .. đó hệ phương trình đã cho trở thành: y+1 ab = 25 ⇐⇒ a = b = 5 ⇐⇒ 2 + b = 10  x=3    y=1 ⇐⇒     x = −3  2   y = 11  2 x2 + y 2 = 5 (y + 1) x + y + 1 = 10 Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: (x; y) = (3; 1) , www.DeThiThuDaiHoc.com 26 −3 11 ; 2 2 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình- hệ phương trình- bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Bài 40 Giải hệ phương trình. .. ⇐⇒  x = 0 ⇐⇒ √ √ x=1 2x2 + 1 = 5x2 + 1 Vậy nghiệm của phương trình là: www.DeThiThuDaiHoc.com x=0 x=1 11 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình- hệ phương trình- bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Bài 17 Giải bất phương trình sau: √ (x + 1) (x − 3) −x2 + 2x + 3 < 2 − (x − 1)2 Lời giải: Điều kiện: x≥3 x ≤ −1 Biến đổi bất phương trình như sau: √ (x + 1) (x − 3) −x2 + 2x + 3 < 2 − (x...  √  x= 2 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:   x=2 x=0 Bài 49 1509 Giải hệ phương trình sau: (x + y)(x + 4y 2 + y) + 3y 4 = 0 (x, y ∈ R) x + 2y 2 + 1 − y 2 + y + 1 = 0 Lời giải: www.DeThiThuDaiHoc.com 33 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình- hệ phương trình- bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Điều kiện: x + 2y 2 + 1 ≥ 0 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: (x + y)2... − 1 5 Dấu bằng xảy ra khi: x = 2 Vậy nghiệm của phương trình là: x = 2 Bài 38 Giải bất phương trình sau: x (x + 2) √ ≥1 (x + 1)3 − x Lời giải: Điều kiện: x ≥ 0 Với x ≥ 0 thì (x + 1)3 − √ x > 0 www.DeThiThuDaiHoc.com 25 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình- hệ phương trình- bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Khi đó ta có bất phương trình đã cho tương đương: BP T ⇐⇒ (x + 1)3 − x (x... 2a ≥ 0 ⇐⇒ www.DeThiThuDaiHoc.com 17 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình- hệ phương trình- bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nhận thấy với x ≥ 2 luôn đúng Vậy nghiệm của bất phương trình là: x ≥ 2 Bài 27 Giải phương trình sau: 4x2 − 7x − 19 = Lời giải:  √ 4x2 − 4x − 14 √ 15 x≥  2 √ Điêu kiện:  1 − 15 x≤ 2 Biến đổi phương trình đã cho như sau: √ 4x2 − 7x − 19 = 4x2 − 4x − 14 1+... 257 ⇒x= ⇒y= 16 16 √ Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = (1; 1) , www.DeThiThuDaiHoc.com 19 1+ √ √ 257 129 + 257 ; 16 16 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình- hệ phương trình- bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Bài 30 Giải phương trình sau: x= √ √ √ √ √ √ 3 − x 4 − x + 5 − x 4 − x + 3 − x 5 − x Lời giải: Điều kiện: x ≤ 2 Biến đổi phương trình trở thành: √ √ √ √ √ 3 − x 2... = 0 ⇐⇒ a = 12 ⇒ b=8 ⇐⇒ x = 16 y = 32 Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: Bài 37 7x + y = 144 2x + y = 64 x = 16 y = 32 Giải phương trình sau: x+2 www.DeThiThuDaiHoc.com 4 3x − 1 4 x + 4 =4 5 20 24 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình- hệ phương trình- bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Lời giải: Điều kiện: x ≥ 1 3 Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: x+2 3x − 1 3x − 1 8x + 4... x>1+ 6 √ ⇐⇒ x2 − 2x − 5 > 0 ⇐⇒ x 1 + Bài 25 √ 6 Giải phương trình sau: x + 3 2 − 3x2 2 =2 Lời giải: www.DeThiThuDaiHoc.com 16 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình- hệ phương trình- bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Đặt: 2 − 3x2 = y ta có hệ x + 3y 2 = 2 y + 3x2 = 2 ⇐⇒ x = 2 − 3y 2 y = 2 − 3x2    x=y    x −... có nghiệm của bất phương trình là: x = 2 Bài 39 √ 5 Giải hệ phương trình sau: (x2 + y 2 ) (x + y + 1) = 25 (y + 1) x2 + xy + 2y 2 + x − 8y = 9 Lời giải: Hệ phương trình đã cho tương đương: (x2 + y 2 ) (x + y + 1) = 25 (y + 1) x2 + y 2 + x (y + 1) + (y + 1)2 − 10 (y + 1) = 0 Dễ thấy y = −1 không phải là nghiệm của hệ phương trình Chia cả 2 vế phương trình một và hai cho y + 1 ta được hệ mới:  2  . Tài liệu phương trình- hệ phương trình- bất phương trình Phương trình- Hệ phương trình- Bất phương trình dành cho lớp 10 Tác giả: Nguyễn Văn Quốc Tuấn. học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com Tài liệu phương trình- hệ phương trình- bất phương trình Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x = 0 Bài 19. Giải bất phương trình sau: (3 − x) √ x − 1 + √ 5 − 2x. Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com Tài liệu phương trình- hệ phương trình- bất phương trình Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:  x = 3 x = 1 Bài 5. Giải hệ phương trình sau:   √ x + 1 + 3y  .x