Tài liệu tự học bất đẳng thức và bất phương trình

Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) Phần BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT  Phần BẤT ĐẲNG THỨC GTLT - GTNN Chủ đề BẤT ĐẲNG THỨC Dạng Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất .4 Dạng Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy (AM-GM) .7 Dạng Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy Schwarz .11 Dạng Chứng minh BĐT dựa vào BĐT C.B.S 12 Dạng Chứng minh BĐT dựa vào tọa độ vectơ .13 Dạng Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối 14 Dạng Sử dụng phương pháp làm trội 15 Dạng Ứng dụng BĐT để giải PT, HPT, BPT 16 Bài tập trắc nghiệm chủ đề 1: Bất đẳng thức 18 Chủ đề GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 21 Dạng Dùng tam thức bậc hai .21 Dạng Dùng BĐT Cauchy 22 Dạng Dùng BĐT C.B.S 24 Dạng Dùng BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối 25 Dạng Dùng tọa độ vectơ 26 Bài tập trắc nghiệm chủ đề 2: GTLN-GTNN 27 BÀI TẬP TỔNG HỢP PHẦN 29 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHẦN 32 Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình BẤT ĐẲNG THỨC Chủ đề Tóm tắt lí thuyết Tính chất: Điều kiện Nội dung Cộng hai vế với số a 0, c > 0  a  b   ac  bd 0 c  d (5) Nhân hai vế Nâng lên lũy Mũ lẻ a  b  a 2n1  b2 n1 (6a) thừa với n   Mũ chẵn  a  b  a 2n  b2 n (6b) a0 ab a  b (7a) a ab a  b (7b) Lấy hai vế Nghịch đảo 1  a b 1 ab  a b ab a, b dấu a, b khác dấu  Lưu ý:  Khơng có qui tắc chia hai bất đẳng thức chiều  Ta nhân hai vế bất đẳng thức biết chúng dương  Cần nắm vững đẳng thức đáng nhớ cách biến đổi Bất đẳng thức cạnh tam giác: Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, ta có:  a b  c  a b  a, b, c   bc  a  bc  ca b ca Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối:   x  x  x , với số thực x  x  0; x  x; x   x , với số thực x  x  a   a  x  a với a   x  a  x   a x  a với a   Định lí:  a, b ta có: a  b  a  b  a  b (8a) (8b) Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (Bất đẳng thức Cơ-si hay AM-GM)  Định lí: Với hai số khơng âm a, b ta có: ab  ab  ab hay a  b  ab hay    ab   Dấu “=” xảy a = b  Hệ 1: Nếu hai số dương thay đổi có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số Tức với hai số dương a, b có a + b = S khơng đổi thì: S2 S2 ab  S  ab   (ab) max  , đạt a = b 4 Ý nghĩa hình học: Trong tất hình chữ nhật có chu vi hình vng có diện tích lớn  Hệ 2: Nếu hai số dương thay đổi có tích khơng đổi tổng chúng lớn hai số Tức với hai số dương a, b có a b = P khơng đổi thì: a  b  P  ( a  b )  P , đạt a = b Ý nghĩa hình học: Trong tất hình chữ nhật có diện tích hình vng có chu vi nhỏ  Mở rộng: ① Với số a, b, c khơng âm, ta có: abc  a bc   abc hay a  b  c  3 abc hay    abc 3   Dấu “=” xảy a = b = c a  a  a   an n ② Với n số a1, a2, a3, …, an không âm, ta có:  a1a2 a3 an n Dấu “=” xảy a1 = a2 = a3 = … = an Bất đẳng thức Bunhiacôpxki (chứng minh trước dùng)  Dạng tổng quát: Cho 2n số thực tùy ý a1, a2, …, an, b1, b2, …, bn,khi đó:  Dạng 1: ( a1b1  a2 b2   an bn )  (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 ) Dấu “=” xảy   Dạng 2: a1b1  a2 b2   anbn  (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 ) Dấu “=” xảy   Dạng 3: a1 a2 a    n b1 b2 bn a1 a2 a    n b1 b2 bn a1b1  a2b2   anbn  (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 ) Dấu “=” xảy  a1 a2 a    n  b1 b2 bn  Hệ quả:  Nếu a1 x1  a2 x2   an xn  c số thì: min( x12  x22   xn2 )  c2 x x x     n 2 a1  a2   an a1 a2 an Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình  Nếu x12  x12   xn2  c số thì: max(a1 x1  a2 x2   an xn )  c a12  a22   an2  x1 x2 x    n  a1 a2 an max(a1 x1  a2 x2   an xn )   c a12  a22   an2  x1 x2 x    n  a1 a2 an  Trường hợp đặc biệt: Cho a, b, x, y số thực, ta có:  Dạng 1: ( ax  by )  ( a  b )( x  y ) Dấu “=” a b  x y  Dạng 2: ax  by  (a  b )( x  y ) Dấu “=” a b  x y  Dạng 3: ax  by  (a  b )( x  y ) Dấu “=” a b   x y Phương pháp giải toán Dạng Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Để chứng minh A  B định nghĩa, ta lựa chọn theo hướng sau: Hướng Chứng minh A – B  Hướng Thực phép biến đổi đại số để biến đổi bất đẳng thức ban đầu bất đẳng thức Hướng Xuất phát từ bất đẳng thức Hướng Biến đổi vế trái vế phải thành vế lại Chú ý: Với hướng hướng công việc thường biến đổi A – B thành tổng đại lượng không âm Và với bất đẳng thức A – B  cần dấu “=” xảy ? B BÀI TẬP MẪU VD 1.1 Cho a , b, c, d số thực Chứng minh bất đẳng thức sau: ① a  b  ab ② a  b   ab  a  b ③ a  b  c  ab  bc  ca ④ Nếu ⑤ a  b  a 2b  b a  ab ( a  b ) ⑥ a a ac   b b bc a  x  b  y  (a  b)2  ( x  y )2 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.1 Cho a , b, c, d số thực Chứng minh bất đẳng thức sau: ① a  b  c   2( a  b  c ) ③ a2  b  c  ab  ac  2bc ⑤ a (1  b )  b (1  c )  c (1  a )  abc ⑦ ② a  b  c  2( ab  bc  ca ) ④ a  b  c   2a ( a 2b  a  c  1) ⑥ a  b  c  d  e  a (b  c  d  e) 1 1 1      , với a, b, c  ⑧ a  b  c  ab  bc  ca , a b c ab bc ca với a, b, c  1.2 Cho a , b, c, d số thực Chứng minh bất đẳng thức sau: a  b3  a  b   ①  , với a , b    ② a  b  a 3b  ab ③ a   4a ④ a  b  c3  abc , với a,b,c  a b6 ⑤ a  b   , với a, b  b a ⑦ 1   , với a, b  2  a  b  ab ⑥ a2  a2  2 ⑧ ( a  b )( a  b )  ( a  b )( a  b ) ,với ab  Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 1.3 Cho a, b, c, d , e   Chứng minh a  b  2ab (1) Áp dụng bất đẳng thức (1) để chứng minh bất đẳng thức sau: ① ( a  1)(b  1)( c  1)  8abc ② ( a  4)(b  4)(c  4)( d  4)  256abcd ③ a  b  c  d  4abcd 1.4 Cho a, b, c   Chứng minh a  b  c2  ab  bc  ca (2) Áp dụng bất đẳng thức (2) để chứng minh bất đẳng thức sau: ① ( a  b  c)  3( a  b  c ) ② a  b  c  abc ( a  b  c ) ③ ( a  b  c)  3( ab  bc  ca ) ⑤ 1.5 a bc  ④ ab  bc  ca , với a, b, c  Cho a, b , c, d  Chứng minh rằng: a2  b2  c2  a  b  c    3   ⑥ a  b  c  abc , với a  b  c  a a ac   (3) Áp dụng bất đẳng thức (3) để b b bc chứng minh bất đẳng thức sau: a b c a b c d ①   2 ② 1    2 a b bc ca a bc bc d c d a d a b a b bc cd d a ③ 2    3 abc bcd cd a d ab 1.6 Cho a, b, c   Chứng minh a3  b3  a 2b  b a  ab(a  b) (4) Áp dụng bất đẳng thức (4) để chứng minh bất đẳng thức sau: a  b b3  c c  a ①    2( a  b  c ) ab bc ca 1 1 ② 3  3   , a, b, c  a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc 1 ③ 3  3   , với abc  a  b  b  c  c  a3  1 1 ④    , với a, b, c  abc  a  b 1 b  c 1 c  a 1 ⑤ 1.7  a3  b3    b3  c3    c3  a   2(a  b  c) , a, b, c  Cho a, b, x, y   Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min-côp-xki): a  x  b  y  (a  b)2  ( x  y )2 (5) Áp dụng (5): ① Cho a , b  thỏa a  b  Chứng minh:  a   b  ② Tìm GTNN P  a  1  b  , với a , b  b a ③ Cho x, y , z  thỏa x  y  z  Chứng minh: x2  1  y   z   82 x y z Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) Dạng Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy (AM-GM)  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Các dạng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM):  x  y  xy ①  Với x, y   Dấu “=” xảy x  y 2  x  y  xy ②  x  y 2  xy ③   Với x, y     Dấu “=” xảy x  y  ( x  y )  xy ④  x  y  z  3 xyz ⑤   Với x, y, z   x  y  z 3 Dấu “=” x  y  z  xyz ⑥     B BÀI TẬP MẪU Loại 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân ngược lại: VD 1.2 Cho a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: ① ( a  b )  ab ② 2( a  b )  ( a  b ) ③ 1   a b ab ④ 1    a b c abc Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình Loại 2: Tách cặp nghịch đảo VD 1.3 Chứng minh bất đẳng thức sau: a b    a, b   b a x ③    x   x2 ① x 18    x   x 10 ④ a   a  3 a ② Loại 3: Sử dụng bổ đề suy luận từ BĐT Cauchy (AM-GM): 1 1 1    hay   (1) Dấu “=” xảy x = y x y x y x y Dạng 1:  x  y  Dạng 2:  x  y  z 1 1 1     hay    (2) Dấu “=” xảy x=y=z x y z x yz x y z VD 1.4 Cho a, b  Chứng minh 1   (1) Áp dụng bất đẳng thức (1) để chứng minh a b ab bất đẳng thức sau: 1 1   ①    2      a, b, c   a b c  a b bc ca  ② 1 1 1      2    ab bc ca  2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b   a , b , c   Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) Loại 4: Đặt ẩn phụ để áo dụng BĐT Cauchy: VD 1.5 Cho a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức (BĐT Nesbit) sau: a b c    bc ca a b b  c  x  HD: Đặt c  a  y a  b  z  C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Loại 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân ngược lại: 1.8 Cho a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: ① a  b  2ab ② (a  b)(1  ab)  4ab 1 1 ③ (a  b  c )      a b c 1 1 ④ (a  b)     a b  a  b   c  ⑤      1     b  c   a  ⑥ 1 1 16     a b c d abcd ⑦ (1  a  b )( a  b  ab)  9ab ⑧  ⑨ 3a  7b  9ab ⑩ ( a  b )(b  c)(c  a )  8abc ⑪ 1.9  a b   2(a  b) ab ⑫ a b   64ab(a  b)2 a4  2, a  3 a3 Cho a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: ① a  b  c  ab  bc  ca ab bc ac    abc c a b a b ⑤ ab    a  b  b a ③ ② ab  bc  ca  abc  a b c a b c 1      bc ca ab a b c a b3 c ⑥    ab  bc  ca b c a ④ 1.10 Cho a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: a b2 c2    abc b c a a b3 c3 a b c ③ 2 2    b c a b c a 3 a b c ⑤    ab  bc  ca b c a ① a3 b3 c    abc b2 c a a b3 c ④    abc bc ca ab a5 b5 c ⑥    a  b2  c b c a ②  Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 10 Loại 2: Tách cặp nghịch đảo 1.11 Chứng minh bất đẳng thức sau: ① a  a ③ x8 6 x 1 a2    a    a2  1 ④ a   a  b   a (a  b)  a   ②  x  1 Loại 3: Sử dụng bổ đề suy luận từ BĐT Cauchy (AM-GM): 1.12 Cho a, b  Chứng minh 1   (1) Áp dụng bất đẳng thức (1) để chứng minh bất a b ab đẳng thức sau, với a, b, c  : ① 1 1      2    a b c  a b bc ca  ③ 1 1 1    với    a  b  c a  b  c a  b  2c a b c ④ 1 1 1      2    a b bc ca  2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b  ② ab bc ca abc    a b bc ca 1.13 Cho a , b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: 1 1 1    2    pa pb pc a b c 1.14 Cho a, b, c  Chứng minh 1    (2) Áp dụng bất đẳng thức (2) để chứng a b c a bc minh bất đẳng thức sau: ① ② ③ ④ ⑤ 2      a, b , c   a b bc ca a bc  a2  b2  c2   a 1 b  b 1 c  c 1 a   32 (a  b  c)  a, b, c  0 x y z     x  y  z  0; x  y  z  1 x 1 y 1 z 1 1     a, b, c   a  2bc b  2ac c  2ab 1 1     30  a, b, c   2 a b c ab bc ca Loại 4: Đặt ẩn phụ để áo dụng BĐT Cauchy: 1.15 Cho x  2014 Chứng minh bất đẳng thức sau: x  2013 x  2014 1    HD: Đặt x2 x 2015 2014 a  x  2013   b  x  2014  1.16 Cho x, y, z  Chứng minh bất đẳng thức sau: x y z    HD: Đặt x  y  z x  y  z x  y  2z a  x  y  z   b  x  y  z  c  x  y  z   Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 81 2.74 Tìm giá trị m để bất phương trình sau nghiệm với x (có tập nghiệm  ): ①  x  2m x  2m   ② ( m  1) x  2( m  1) x   ③ ( m  3) x  2( m  1) x   ④ ( m  2) x  2( m  1) x   ⑤ ( m  1) x  2( m  1) x  m  ⑥ ( m  4) x  ( m  6) x  m   ⑦ ( m  1) x  ( m  1) x   m  ⑧ ( m  1) x  2( m  1) x  m   ⑨ ( m  2) x  2( m  3) x  m   ⑩ ( m  1) x  2( m  1) x  3( m  2)  2.75 Tìm giá trị m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:  x  x  15  x2  5x   4 x   x  ① ② ③ (m  1) x  mx + <  x  2mx    x  3x   ④ (m  1) x   2.76 Tìm giá trị m để hệ bất phương trình sau vơ nghiệm:  x  10 x  16   x  3x   ① ② mx  3m  (m  1) x   2.77 Tìm giá trị m để: ① x  2( m  1) x  m   x  ② x  ( m  1) x   x  ③ (3  m) x  2( m  1) x   x  ④ x  2( m  2) x  m   x   0; 1 ⑤ x  mx  3m   x  1;  2.78 Tìm tham số m để bất phương trình: mx  2( m  1) x  m   ① Có nghiệm ② Có nghiệm ③ Có nghiệm đoạn trục số có độ dài 2.79 Tìm tham số m để bất phương trình: (1  m ) x  mx  m   ① Có nghiệm ② Có nghiệm ③ Có nghiệm đoạn trục số có độ dài 2.80 Tìm giá trị m cho phương trình: x  (1  m ) x  m   ① Vô nghiệm ② Có nghiệm phan biệt ③ Có nghiệm phân biệt 2.81 Tìm giá trị a cho phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: ( a  1) x  ax  a   BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ  TN2.58 Cho tam thức bậc hai f  x   x  x  12 Khẳng định sau khẳng định sai ?  2371  A f     801   1583492  C f  0  4100013   35683  B f      12110  D f  x   với x thuộc  ; 3 TN2.59 Cho tam thức bậc hai f  x   x  x  12 Khẳng định sau khẳng định sai ? A f  x   với x  B Tồn giá trị x mà f  x   C Tập nghiệm bất phương trình f  x    D Phương trình f  x   , vơ nghiệm Tốn 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 82 TN2.60 Cho tam thức bậc hai f  x   x  x  20 Khẳng định sau khẳng định ? A f  2016     C f  B f  2017   D Phương trình f  x   có hai nghiệm phân biệt TN2.61 Xét khẳng định sau: x2  x  24  với x thuộc  (II)  x    x   với x thuộc  6;  (I) (III)  x    x   với x thuộc  \  6; 8 (IV) x  x  48  với x thuộc  (V)  x  x  48  với x thuộc  \  6; 8 Số khẳng định khẳng định A B C TN2.62 D Cho f  x   ax  bx  c với a  ,   b  4ac Khẳng định sau khẳng định sai ? A Nếu a  tồn số x0 cho f  x0     B Nếu tồn số x0 cho af  x0   phương trình f  x   có hai nghiệm phân biệt C Nếu tồn số x0 cho af  x0     D Nếu với số x có af  x0   phương trình f  x   vô nghiệm Cho biểu thức f  mx  x  1 Chọn kết tập TN2.63 Tìm tất giá trị tham số m cho biểu thức f  x    mx  x  1  0, x   A m  C m   25  25  B m    ;0    D Khơng có giá trị m TN2.64 Tìm tất giá trị tham số m cho biểu thức f  x    mx  x  1  0, x   A m  25 C m   B m  D Khơng có giá trị m TN2.65 Cho biểu thức f  x   x  2mx  Xét khẳng định sau: (I) Khơng có giá trị m để f  x   với giá trị x (II) Khơng có giá trị m để f  x   với giá trị x (III) Với giá trị m tồn x0 cho f  x   (IV)Với giá trị m tồn x0 cho f  x   Các khẳng định là: A  I   II  B  I   IV  C  II   III  TN2.66 Tập nghiệm S bất phương trình x2  x   D  III   IV  Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) A S   83 8  B S   1;  3   8 C S   \  1;   3 D S   TN2.67 Trong bất phương trình sau, bất phương trình có tập nghiệm S   0;5 A x2  5x  B x2  5x  C x2  5x  D  x2  5x  TN2.68 Trong bất phương trình sau, bất phương trình vơ nghiệm A x2  x  m2   B x  x   m    C x  x  m2   D x  x   m    TN2.69 Bất phương trình ln có tập nghiệm  với giá trị m A x2  2mx  2m2  m   B x2  2mx  2m2  m   C x2  2mx  2m2  m   D x2  2mx  2m2  m   TN2.70 Tập nghiệm S bất phương trình  x  x  1  x   A S   ;1  1;   B S   1;1 C S   D S   TN2.71 Tập nghiệm S bất phương trình  x   x   x   A S   ; 2    2;   B S   2;2  C S   2; 2 D S   \  2;2  TN2.72 Tập nghiệm S bất phương trình A S   2;3 C S   ;2    3;   TN2.73 Tập nghiệm S bất phương trình x2  x   x2  5x  B S   2;3  2 D S   2;3  2 x  x     17    17  A S   ;    1;  2    1  17    17  B S   ;    1;  2    1  17  17  C S   ;  4      17  1  17 D S   ; ;        TN2.74 Tập nghiệm S bất phương trình 2x2  x 1  1  59  59  A S   ;    1  59    59  B S   ;    1;  2      59    59  C S   ;    1;  4        59  1  59 D S   ; ;         TN2.75 Tập nghiệm S bất phương trình | x  x  | 1  41    41  A S   ;    1;  4     B S   1  3  C S   1;    1;  2  2    41    41  D S   ; 1   ;     2 Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 84 BÀI TẬP TỔNG HP PHẦN  2.82 Giải bất phương trình sau: 3x  ①  x   2x  3 ② 2x  3x  3  x2 ④ ( x  5)  ( x  5)  10 ③ (1  3) x   2.83 Giải bất phương trình sau: ① x  16  x3  x 3 x3 ② x6  x3   x  ② x  14 x  49  x  14 x  49  14 ③ 3x  x   x  x   2.84 Giải phương trình sau: ① x   x   x   x 1  ③ 2 x 1 1  ④ x   x   2(2 x  1) 2.85 Giải phương trình sau: ① x2  2x    2x 1 ② x   x   3x  ③ ④ x   x2  5x  x  1  x  1  ⑤ 3x  3 x3 ⑦  x2 x  1 ⑥ x2  x 0  x3 ⑧  x2 x 5 3 2.86 Giải hệ bất phương trình sau: 2 x  x   ① 5 x  x   3x  11x   ②  x  x  20  2( x  1)  3( x  4)  x   ③  3x   x  x    3x  x   x   ④  3x  x    x  2.87 Tìm tất nghiệm nguyên hệ bất phương trình sau:   6 x   x  15 x   x  ① ②  x   x  25 2( x  4)  x  14   2.88 Giải bất phương trình sau: ① 3 x 5  x ② 4 x 9  x 9 ③ x  13  24  6  x  ④ x( x  6)   x  x   Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 85 2.89 Giải biện luận bất phương trình sau theo tham số m : ① mx   x  m ③ ② m( m  2) x   m  3x x 1  ( m  7) m7 ④ x  mx   ⑤ mx  x   ⑥ ( m  3) x  2( m  1) x  (2m  3)  2.90 Tìm a b để bất phương trình sau có tập nghiệm  0; 2 : ( x  2a  b  1)( x  a  2b  1)  2.91 Tìm a b ( b  –1 ) để hai bất phương trình sau tương đương: ( x  a  b )( x  a  b)  x  a   b  2.92 Giải bất phương trình, hệ bất phương trình sau (ẩn m ): ① 2m  m   ② m2  m   ③ (2 m  1)  4( m  1)( m  2)  ④ m  (2 m  1)( m  1)   (2m  1)  4(m  m)    ⑤ 0 m  m  2m   m  m   (m  2)2  (m  3)(m  1)   m  ⑥ 0 m 3  m 1  m   2m   ⑦ m  (m  2)(2m  1)  m2  m   ⑧ 2 (2m  1)  4(m  m  2)  2.93 Tìm giá trị tham số m để tam thức bậc hai sau có dấu khơng đổi (dấu không phụ thuộc vào x ): ① f ( x)  x  (m  2) x  m  m  ② f ( x)  ( m  m  1) x  (2m  1) x  2.94 Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm: ① x  2( m  2) x   4m  m  ② ( m  1) x  2( m  3) x  m   2.95 Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt trái dấu: ① ( m  1) x  ( m  3) x  ( m  m )  ② x  ( m  m  2) x  m  m   2.96 Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt: ① x2  2x  m2  m   ② ( m  m  3) x  (4 m  m  2) x  m  ③ ( m  m  1) x  (2 m  3) x  m   ④ x  mx   2m  m  ⑤ ( m  2) x  mx  m   2.97 Cho: mx –  2m  1 x  m   Tìm m để phương trình có: ① hai nghiệm trái dấu ② hai nghiệm âm ③ nghiệm dương phân biệt 2.98 Cho tam thức: f  x   x – mx  5m – ① Tìm m để f  x   với x ② Tìm m để phương trình f  x   có nghiệm dương phân biệt Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 86 2.99 Cho tam thức: f  x    m –  x –  m  1 x  m  ① Tìm m để f  x   với x ② Tìm m để phương trình có hai nghiệm dấu 2.100 Cho phương trình:  m  1 x –  m   x  m   Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa: ① x1   x2 ② x1  x2  ③  x1  x2 2.101 Tìm m cho nghiệm x1 , x2 phương trình: ①  m –  x –  m – 1 x  m  thỏa x1  –1  x2 ②  m   x –  m   x   m – 1  thỏa  x1  x2 ③  m  1 x  x  m   thỏa x1  x2  ④  m  1 x –  m   x   m – 1  thỏa x1   x2 ⑤ x – mx  3m –  thỏa x1   x2 ⑤  m  3 x   m – 3 x  m –  thỏa x1  x2  ⑥  m –  x   – 3m  x  10 m – 11  thỏa –4  x1  x2 2.102 Cho tam thức: f  x    m –  x – 2mx  m – Định m để: ① f  x   0, x   ② Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa: x1  x2  2.103 Cho phương trình:  m –  x   m –  x  m –  ① Tìm m cho phương trình vơ nghiệm ② Tìm m cho phương trình có nghiệm phân biệt 2.104 Với giá trị m hệ phương trình sau có nghiệm thỏa mãn điều kiện x  y  ? 2 x  (m  m  1) y  m   m x  (2m  1) y  2.105 Tìm m để bất phương trình sau ln với x : ① 5x2  x  m  ② ( m  1) x  2( m  1) x  3m   x  mx  ③  1 x  3x  ④ m( m  2) x  mx   ⑤ mx  10 x   ⑥ ( m  m  5) x  2( m  1) x   x  mx  1 x2  x  x  mx  ⑨ 4  6 x2  x 1 ⑦ 3x  x  0 ( m  4) x  (1  m) x  2m  x  x  20 ⑩ 0 mx  2( m  1) x  9m  ⑧ 2.106 Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:  x   x  ② m  x  2.107 Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm: 7 x   4 x  19 ① 2 x  3m   ① 5x2  x  m  ② mx  10 x   Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 87 2.108 Tùy theo giá trị m , biện luận số nghiệm phương trình: ( m  3) x  (2 m  1) x   2.109 Tùy theo giá trị m , xác định số nghiệm phương trình: x  x   m 2.110 Tìm tất giá trị m để ứng với giá trị phương trình sau có nghiệm:  mx   (1  m ) x  mx 2.111 Cho phương trình: ( m  5) x  3mx  m   Với giá trị m phương tình cho: ① Có nghiệm ? ② Có hai nghiệm trái dấu ? 2.112 Cho phương trình: ( m  2) x  2( m  1) x  m   Tìm m để phương trình có: ① Một nghiệm ② Hai nghiệm phân biệt ③ Bốn nghiệm phân biệt BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHẦN  TN2.76 Tìm điều kiện xác định bpt x     x A x  B x  C  x  D Điều kiện khác TN2.77 Tìm điều kiện xác định bpt  x  x   A x  B x  C x  D 2  x  x 5 TN2.78 Tìm điều kiện xác định bpt A  x   x  2x 1 B x  x  6 x C  x  D x  x  x7  x5 x  11x  24 C x  x  D x  x  B x  TN2.81 Xét cặp bất phương trình sau: I D x  x  x2  x   TN2.80 Tìm điều kiện xác định bất phương trình: A x  x  5x   x  5x  x  10 B  x  C x  x  TN2.79 Tìm điều kiện xác định bpt A x  x3  x   x2 II x    x    x  x  3  III x   ( x  1)( x  x  3)  Cặp bất phương trình tương đương? A Chỉ I B Chỉ II C II III TN2.82 Giải bất phương trình sau: x   x  10   x 5 A x  B x  C x  2 x  3x   x  x  x 1 5 B x   x  C x  3 D I III D Vô nghiệm TN2.83 Giải bất phương trình sau: A x   D x  x  D x  1 TN2.84 Giải bất phương trình sau: (2  4) x   A x   1 B x  1 C x   1 Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình  TN2.85 Giải bất phương trình sau: x  A x  88   B x  C x  2 D x  2 x ( x  5)  TN2.86 Giải bất phương trình sau: A x  C x  x  B x  D x  x   x  1 x  2  TN2.87 Giải bất phương trình sau: A x  x    40  x  B x  C x  D x  TN2.88 Giải bất phương trình sau: | 10  x |  x  A x  C x  B x  x  D x  TN2.89 Tập hợp nghiệm bất phương trình sau: ( x  4) | x  | là: A  C 1;   B 1;   A (0;  ) 1  3x   là: x 1 x x  x B  \{0;1} C ( ; 0) D 1;   TN2.90 Tập hợp nghiệm bất phương trình sau: TN2.91 Giải bất phương trình sau: D  ;1 2x  2x   x4 x3 A x   x  C  x   x  B  x  D x   x  TN2.92 Giải bất phương trình sau: x3 x   x 1 x 1 D x  1  x  A 1  x  B x  1  x  C 1  x  x  TN2.93 Giải bất phương trình sau: 3x  x   3x  x4 A x  3 C x  B 3  x  D x  x  3 TN2.94 Giải bất phương trình sau: 3 x  x   3  x  3 x   A x  2   x  C 2  x   x  B x  2 x  D 2  x  TN2.95 Bất phương trình  m   x   mx  5m có tập hợp nghiệm tập  ;0  khi: A m   B m  C m   D m  Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) TN2.96 Bất phương trình ( m  2) x  m  x  4m  A Vô nghiệm m  3 m 1   B Có tập nghiệm  ;  m3   m 1  C Có tập nghiệm  ;    m3  D Cả đáp án 89  m  3 m   3  m  TN2.97 Tập hợp nghiệm bất phương trình x   x  là:   A   ;     1  B  ;   4   1 C   ;   4 D Đáp số khác C  2;3  D  2;3 TN2.98 Giải phương trình: x   x   B 2;3 A Vơ nghiệm TN2.99 Giải bất phương trình: 2x   2 x x 1 x  C x   x  A  x  B x  x  D  x  TN2.100 Cho bất phương trình: ( m  3)( x  4)  m  m  (1) Xét mệnh đề sau: I Nếu m  3 : (1) có nghiệm x  m  II Nếu m  3 : (1) có nghiệm x  m  III Nếu m  3 : (1) vô số nghiệm Mệnh đề đúng? A Chỉ I B Chỉ II TN2.101 Giải bất phương trình: D I, II III 3x  x   x2 x2 A 2  x  C 2  x   x  TN2.102 Giải bất phương trình: C I II B x  x  2 D x  x  x  15 x  x  x  25 x5 A 5  x  C x  5 x  x  D x  5   x  B 5  x   TN2.103 Giải bất phương trình: x  x3  x  x   A 1  x   x  B x  1  x  x  C 1  x  D 1  x  x  TN2.104 Miền nghiệm bất phương trình: ( x  4) x  x  61  x  9 61 C x   x  A  x3  549 x2  5x là: 61  x   x  61 D x    x  B  Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình TN2.105 Miền nghiệm bất phương trình: 1  A 4  x   90  x2  x   là: x2  x  C   x  B 4  x  D x  4 x  TN2.106 Giải bất phương trình: ( x  9)(4  x)  x  x  12 : A 4  x  B 4  x  x  C x  4 x  D x  4  x  TN2.107 Giải phương trình: x   x  A x  10 C x  x  10 TN2.108 Giải bất phương trình: x  x   x  A x   x  1 C   x  1 B x  D Vô nghiệm B x   x   D x  1 TN2.109 Định m để bất phương trình  x  2( m  4) x  m  11  có miền nghiệm  A m  m  C m  5 m  1 B  m  D 5  m  1 x  2mx  m TN2.110 Giải bất phương trình 4   có miền nghiệm  khi: x2  x  13 13 A   m  12 B m   m  12 2 3 C 3  m  D m  3 m  2 TN2.111 Định m để phương trình x   m  1 x  m   có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x13  x23  A m  1 m  B m  TN2.112 Giải bất phương trình: x  x   x  A x   x  1 C   x  1 C m  1 B x   D 1  m  3 x   D x  1 TN2.113 Với điều kiện m để phương trình mx  2(3m  2) x  8m  16  có nghiệm phân x x biệt x1, x2 khác thỏa mãn   x2 x1 A 2  m  B m  m  C m  m  D  x  TN2.114 Tập nghiệm phương trình: x  x   x  11 A 7;1 B 5; 3 C 3; 1 D 7; 5; 3;1 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 91 TN2.115 Giải bất phương trình: x  x  x  A 5  x  1 x  C x  1 x  x2  5x    TN2.116 Giải hệ phương trình:  5x  5  x2 x 3 B 5  x  D 1  x  (1) (2) A  x  C x  3  x  B  x  26 D x  3  x  2 (2 x  4)  ( x  2)  TN2.117 Giải hệ phương trình:   x  x   A  x  C x  x  26 26 (1) (2) B 2  x  D x  2 x   x2  x   x  x   TN2.118 Giải hệ phương trình:   x  x2 0  x  x  15 A x  x  C  x  (1) (2) B  x  x  D  x   2x 2x   x   x  > TN2.119 Giải hệ phương trình:   x  x2 0  x  x  15 A 9  x  3 x  C 3  x  B 3  x  D Vô nghiệm x2  x  TN2.120 Giải bất phương trình:  3 x  2x  A x  B 5  x  C 5  x  (1) (2) D  x   x2  5x    TN2.121 Miền nghiệm hệ bất phương trình:  x  x  15    x  10 x   A x   x  B  x  C.Vô nghiệm D  x   x  x  10  TN2.122 Miền nghiệm hệ bất phương trình   x  x  x   A 5  x  2 B 5  x  2 1  x  C x  2 1  x  D Vô nghiệm  x  5x   TN2.123 Định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm  ( m  5) x    A 4  x  B 4  m  C m  D Không tồn m Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 92  x  x   TN2.124 Định m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm:   x  (2m  3) x  m  3m  A  m  B m  m  C m  D Không tồn m x  3x  a  x2  2x  C a  D.Không tồn a TN2.125 Tìm giá trị a cho với x, ta ln có:  A a  71 9 71 a  B  a  12 12 TN2.126 Giải phương trình x   x  11 11 C x  x   B x   11 D x   x  A x  TN2.127 Số nghiệm phương trình x  x   4 x  A C B D TN2.128 Tập nghiệm phương trình x  x   4 x   là: A 1;0; 2 B 1; 0 TN2.129 Giải bất phương trình C 2;5 D 1;0; 2;5 4x   2x  3 A x  3 x   2 C x   x   B x  3 x   D  TN2.130 Giải bất phương trình x   x  x  A 1  x  C x  2 x  11 TN2.131 Giải phương trình A x  2 B 2  x  1 5  x  11 D Vô nghiệm x  16 x    x B x  C 2  x  D x   x  TN2.132 Giải phương trình: x  x   x  A x  1 x  3 C x  x  B x  1 D x  x  3 TN2.133 Giải phương trình 59  x  x  A x  5 x  10 C x   10 x  10 TN2.134 Tìm nghiệm bất phương trình: 1 x 1 C x  x  A B x  10 D x   x  x2  x  1 x 1 2x 1 x 1 D x  x  B Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 93 TN2.135 Với giá trị m bất phương trình sau vơ nghiệm:  m   x   m   x  A m  4 B m  4 C m  4 D Không tồn m TN2.136 Với giá trị m bất phương trình sau vơ nghiệm:  m  1 x   mx  A   m   B m   m   C  2  m   2 D m   2 m   2 TN2.137 Định m để bất phương trình ( m  7) x  m   ( m  2) x có tập hợp nghiệm tập hợp  ;1 A m  5 B m  C m  D m  TN2.138 Định m để bất phương trình (2 m  7) x   mx  m có tập hợp nghiệm tập hợp  2;   A m  B m  C m  4 D m  4  3x   có học sinh lí luận qua giai đoạn sau: 4x   3x   x  5  3x 9x  I 3  0 < (1) 4x  4x  4x  II (1)   x   x   < (2) TN2.139 Để giải bất phương trình III (2)    x  7 Vậy bất phương trình có tập nghiệm là:   ;    9 Lí luận hay sai? Nếu sai sai từ giai đoạn nào? A Sai từ giai đoạn I B Sai từ giai đoạn II C Sai từ giai đoạn III D Cả I, II, III x5  x   TN2.140 Giải hệ bất phương trình:   x   2  x  A x  4 x  3 B 4  x  3 C x  4 x  3 D 6  x  3 ( x  5)  ( x  4)   TN2.141 Giải hệ bất phương trình:  x  x   0  x 2 x 1 A  x  B x  x  2 C x  2  x  D x  2 x   1  x   x  TN2.142 Giải hệ bất phương trình:  x    0  x  x  A x  x  C x  x  x  2 D 2  x   x  B 2  x   Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình TN2.143 Giải bất phương trình: 5  2x   x 8 A x  x  C x  x  94 B x  x  37 37 D x  8 x  x2  x   TN2.144 Giải hệ bất phương trình:   x  5x   x  x  A  x  37 C x  x  B.Vô nghiệm D x  3  x  x  TN2.145 Gọi x1 x2 hai nghiệm phương trình: x   x  Khi x12  x22 A 25 B C 25 D 5 TN2.146 Giải bất phương trình: x  x  28  x  x  A 9  x  B x  9 x  C  x  D x  x  TN2.147 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P  x    x với  x  A B C 2 D 2 Giả thiết sau dùng cho câu 148, 149, 150 Cho năm hàm số: 1 f1  x  x  3 , f  x  | x |  , f3  x   x  , f  x   x  f5  x    x  x Hãy chọn | x| x x khẳng định đúng: TN2.148 Hàm số khơng có giá trị nhỏ A f1  x  C f  x  B f  x  D f  x  TN2.149 Hàm số có giá trị lớn -2 khoảng  ;0  A f1  x  B f  x  C f  x  D f  x  TN2.150 Hàm số có giá trị lớn A f1  x  C f  x  B f  x  D f  x  TN2.151 Hãy khẳng định sai khẳng định sau Mọi nghiệm bất phương trình x   nghiệm bất phương trình mx  m   A m  B m  2 C m  m  D  m  3 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) TN2.152 Cho năm phương trình: x2   m  2 x  m  95 (1)  m  1 x  2mx   (3) x2   x   m  1 x  m   (2) x   m   x  3m  5m  12  (4)  3m  x  m  3m   (5) Hãy chọn khẳng định khẳng định sau Trong năm phương trình trên, phương trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị m A (1) B (1) (2) C (1), (2) (5) D (1) (5) TN2.153 Với năm phương trình cho TN2.152, chọn khẳng định Các phương trình có hai ngiệm với giá trị m A (3) B (3) (5) C (3), (4) (5) D (3) (4) TN2.154 Cho ba biểu thức f1  x   x  x  m  f2  x    x2  x  m  f3  x    3m   x   3m   x  m  Trong khẳng định sau, khẳng định sai ?  22 22  A Với m thuộc  ;  ta có f  x  ln số âm x thay đổi 3   B Khi m  f1  x   với giá trị x C Khơng có giá trị m để f1  x   với giá trị x D Chỉ m   tồn x0 để f  x0   ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM PHẦN B D B C C D C D C 10 C 11 B 12 B 13 A 14 C 15 D 16 B 17 D 18 C 19 A 20 D 21 A 22 A 23 A 24 C 25 D 26 C 27 C 28 D 29 A 30 D 31 D 32 A 33 C 34 B 35 C 36 D 37 B 38 D 39 A 40 C 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 C A B C B D D B C A B D A A C B B C B A 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 C C D C D B D A C A D D D C A C A B D C 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 B C A D C D A B D D A C B A D D B D A C 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 C D A B A D A D B C A D C D C A B C D C 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 B A B A B C A B B D D A C A 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 A D C B C A C D D C C B C A D C A D D B ... ,với ab  Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 1.3 Cho a, b, c, d , e   Chứng minh a  b  2ab (1) Áp dụng bất đẳng thức (1) để chứng minh bất đẳng thức sau: ① ( a  1)(b  1)(... 24 x  x  x Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 18 Bài tập trắc nghiệm chủ đề 1: Bất đẳng thức  TN1.1 TN1.2 TN1.3 Nếu a  b c  d bất đẳng thức sau ln đúng? A ac  bd B a... Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 20 TN1.29 Cho a  Nếu x  a bất đẳng thức sau đúng? A x  a B  x  x C x  a D 1  x a TN1.30 Nếu x  a bất đẳng thức sau ln đúng? A x