Ứng dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức và giải phương trình, hệ phương trình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ NHÀI ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI- 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ NHÀI ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: TS Phạm Văn Quốc HÀ NỘI- 2015 Mục lục Mở đầu Kiến thức sở 1.1 Hàm số đồng biến, nghịch b 1.2 Đạo hàm 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 Định lí Rolle 1.4 Định lí Lagrange 1.5 Hàm lồi, lõm khả vi bậc hai 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 1.6 Giá trị lớn giá trị nh 1.6.1 1.6.2 Ứng dụng đạo hàm giải phương trình hệ phương trình 11 2.1 Phương trình có dạng f(x) = c, với x thuộc K 11 2.2 Phương trình cho biến đổi dạng f(u) = f(v) 16 2.3 Hệ phương trình 25 2.4 Áp dụng định lí Rolle 2.5 Bài tập Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức 3.1 Sử dụng tính đơn điệu h 3.2 Áp dụng định lí Lagrange v 3.3 Bài tập Kết luận Tài liệu tham khảo Mở đầu Như ta biết, chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình hệ bất phương trình chiếm lượng lớn, xun suốt chương trình phổ thơng Nhiều tập giải phương pháp thông thường gặp nhiều khó khăn, nhiên biết sử dụng phương pháp hàm số tập giải dễ dàng Hơn số năm gần đề thi đại học cao đẳng; thi học sinh giỏi thường xuyên gặp tốn phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức vận dụng phương pháp hàm số Chính việc trang bị cho học sinh kỹ ứng dụng hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức cần thiết, giúp em tự tin kỳ thi, nên chọn đề tài "Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức giải phương trình, hệ phương trình " với mục đích - Trang bị cho học sinh phương pháp giải phương trình, hệ phương trình , chứng minh bất đẳng thức ứng dụng hàm số - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn Qua đó, học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo Do trình nghiên cứu, biên tập nhiều hạn chế nên nội dung cách trình bày luận văn chắn cịn nhiều thiếu xót, mong thầy bạn đọc xem xét, có ý kiến đóng góp để luận văn hồn thiện Nội dung khóa luận bao gồm: ⋄ Chương 1: Kiến thức sở ⋄ Chương 2: Ứng dụng đạo hàm giải phương trình hệ phương trình ⋄ Chương 3: Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Phạm Văn Quốc người trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo em suốt trình thực khóa luận Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2015 Học viên Nguyễn Thị Nhài Chương Kiến thức sở 1.1 Hàm số đồng biến, nghịch biến Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y=f(x) xác định K ⊂ R(K khoảng, đoạn nửa khoảng) Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) K với cặp x1; x2 thuộc K mà x1 < x2 f(x1) < f(x2): Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) K với cặp x1; x2 thuộc K mà x1 < x2 f(x1) > f(x2): Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung hàm số đơn điệu K (Trích SGK 12 – Nhà XBGD - 2007) 1.2 1.2.1 Đạo hàm Định nghĩa Định nghĩa 1.2 Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b) xo ∈ (a; b) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) giới hạn gọi đạo hàm hàm số y = f(x) điểm xo kí hiệu ′ ′ f (xo) (hoặc y (xo)), tức ′ f (xo) = lim x→xo Định nghĩa 1.3 Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b) xo ∈ (a; b) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) giới hạn gọi đạo hàm bên phải hàm số y = f(x) điểm x o ′ + kí hiệu f (x o) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) giới hạn gọi đạo hàm bên trái hàm số y = f(x) điểm x o ′ − kí hiệu f (x o) Định nghĩa 1.4 Hàm số y = f(x) gọi có đạo hàm khoảng (a;b) có đạo hàm điểm x khoảng Hàm số y = f(x) gọi có đạo hàm đoạn [a;b] có đạo hàm điểm x khoảng (a;b) có đạo hàm bên phải a, có đạo hàm bên trái b 1.2.2 Tính chất Định lí 1.1 Giả sử u = u(x); v = v(x) hàm số có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định Ta có ′ ′ ′ (u ± v) = u ± v : ′ ′ ′ (u:v) = u v + uv : ( ); ′ ′ u = u v − uv (v = v(x) ≠ 0): v v2 ′ Định lí 1.2 Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x u x hàm số y = f(u) có ′ đạo hàm u y u hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm x 1.2.3 ′ ′ ′ y x = y u:u x Tính đơn điệu dấu đạo hàm Định lí 1.3 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K ′ Nếu f (x) > với x thuộc K hàm số f(x) đồng biến K ′ Nếu f (x) < với x thuộc K hàm số f(x) nghịch biến K Định lí 1.4 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K ′ ′ Nếu f (x) ≥ với x thuộc K f (x) = số hữu hạn điểm hàm số f(x) đồng biến K ′ ′ Nếu f (x) ≤ với x thuộc K f (x) = số hữu hạn điểm hàm số f(x) nghịch biến K 1.3 Định lí Rolle Định lí 1.5 Giả sử f(x) hàm số liên tục đoạn [a;b] có đạo hàm x thuộc khoảng (a;b) Nếu f(a) = f(b) tồn điểm c ∈ (a; b) cho f’(c)=0 Hệ Giả sử hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] có đạo hàm khoảng (a;b) Khi đó, phương trình f’(x) = có khơng q n-1 nghiệm phân biệt khoảng (a;b) phương trình f(x) = có khơng q n nghiệm phân biệt khoảng 1.4 Định lí Lagrange Định lí 1.6 Giả sử f(x) hàm số liên tục đoạn [a;b] có đạo hàm khoảng (a;b) Khi tồn điểm c ∈ (a; b) cho ′ f(b) − f(a) = f (c):(b − a): 1.5 1.5.1 Hàm lồi, lõm khả vi bậc hai Định nghĩa Ta ký hiệu I(a; b) ⊂ R tập hợp có bốn dạng tập hợp sau: (a; b), [a; b), (a; b] [a; b] Định nghĩa 1.5 Hàm số f(x) gọi lồi tập I(a; b) với x1; x2 ∈ I(a; b) với cặp số dương ; có tổng + = 1; ta có f( x1 + x2) ≤ f(x1) + f(x2): Nếu dấu đẳng thức (1.1) xảy x1 = x2 ta nói hàm số f(x) hàm lồi thực (chặt) I(a; b) Hàm số f(x) gọi lõm tập I(a; b) với x1; x2 ∈ I(a; b) với cặp số dương ; có tổng + = 1; ta có f( x1 + x2) ≥ f(x1) + f(x2): Nếu dấu đẳng thức (1.2) xảy x1 = x2 ta nói hàm số f(x) hàm lõm thực (chặt) I(a; b) 1.5.2 Định lí Định lí 1.7 Nếu f(x) hàm số khả vi I(a;b) f(x) hàm lồi I(a;b) f’(x) hàm đơn điệu tăng I(a;b) Định lí 1.8 Nếu f(x) khả vi bậc hai I(a; b) f(x) lồi (lõm) ′′ ′′ I(a; b) f (x) ≥ 0(f (x) ≤ 0) I(a; b): 1.5.3 có Biểu diễn hàm lồi lõm Nếu f(x) lồi khả vi I(a; b) với cặp x0; x ∈ I(a; b); ta ′ f(x) ≥ f(x0) + f (x0)(x − x0): Dễ nhận thấy (1.3) xảy đẳng thức x0 = x: Vậy ta viết ′ (1.3) dạng f(x) = [f(u) + f (u)(x u I(a;b) ∈ có Nếu f(x) lõm khả vi I(a; b) với cặp x0; x ∈ I(a; b); ta ′ f(x) ≤ f(x0) + f (x0)(x − x0) Dễ nhận thấy (1.4) xảy đẳng thức x0 = x: Vậy ta viết ′ (1.4) dạng f(x) = max [f(u) + f (u)(x − u)] : u∈I(a;b) 1.5.4 Định lí Karamata Định lí 1.9 (Bất đẳng thức Karamata) Cho hai dãy số {xk; yk ∈ I(a; b); k = 1; 2; :::; n} ; thỏa mãn điều kiện x1 ≥ x2 ≥ ::: ≥ xn; y1 ≥ y2 ≥ ::: ≥ yn Khi đó, ứng có f(x1) + f(x2) + · · · + f(xn) ≥ f(y1) + f(y2) + · · · + f(yn): Ta có phát biểu tương tự hàm lõm cách đổi chiều dấu bất đẳng thức Chứng minh Suy hàm số f(x) đồng biến khoảng (0; +∞) ,do f(x + 1) > f(x); ∀x > ⇔ (1 + x) ln(1 + ( Hay + Bài tập 3.22 Cho n nguyên dương Chứng minh n√ x Lời giải Ta có n√ x 2n ⇔ x (1 − x) < 2ne 2n 1 ⇔ x 2n(1 − x) < e; ∀x ∈ (0; 1) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 2n x 2n(1 − x) ] 2n+1 = x:x::::x:x(2n Ta chứng minh Thật ( ( ⇔ (2n + 1) [ln(2n + 1) − ln(2n)] > ⇔ ln(2n + 1) − ln(2n) > 2n + Xét hàm số f(x) = ln x [2n; 2n + 1] , f(x) khả vi (2n; 2n + 1) Theo định lí Lagrange tồn c ∈ (2n; 2n + 1) cho ′ f (c) = Do 2n < c < 2n + nên √ n 1−x< Vậy x 60 Bài tập 3.23 Cho tam giác ABC không nhọn Chứng minh Lời giải Giả sử A Xét hàm số f(x) = tgx; x ′ f (x) = cos ( Suy f(x) hàm lồi khả vi 0; Áp dụng bất đẳng thức Karamata,ta có A B C f( ) + f( ) + f( ) ≥ f( ) + f( ) + f( ) Bài tập 3.24 Cho ABC tam giác nhọn Chứng minh Lời giải Khơng tính tổng qt, ta coi A ≥ B Vì ≥A≥ ( Xét hàm số f x) = cos x với x ′′ Ta có f (x) = − cos x < 0; ∀x ∈ ] [ 0; 61 : Khi đó, theo bất đẳng thức Karamata, 2) f +f () ta có ( ) + f(0) ≤ f(A) + f(B) + f(C) ≤ 3f 22( hay ≤ cos A + cos B + cos C ≤ 2: Bài tập 3.25 Chứng minh với số thực dương a, b, c, ta ln có bất đẳng thức a+b Lời giải Khơng tính tổng quát, ta coi a ≥ b ≥ c; tức dãy số (a; b; c) dãy giảm Khi đó, ta có Xét hàm số f(x) = ′′ Ta có f (x) = (0; +∞): Từ đó, áp dụng bất đẳng thức Karamata ta nhận bất đẳng thức cần chứng minh Bài tập 3.26 Cho số dương a; b; c Chứng minh ( a−1+b thỏa mãn điều kiện abc = 1: Lời giải c−1+ x y (Trích đề thi IMO 2000) z Vì abc = nên ta đặt a = y; b = z ; c = x với x; y; z > 0: Ta viết bất đẳng thức cho theo x; y; z (x z ) (y x )( z y) y−1+y z−1+ z x −1+x ≤1 ⇔ (x − y + z)(y − z + x)(z − x + y) ≤ xyz: Để ý (x − y + z) + (y − z + x) = 2x > 0; ba số x − y + z; y − z + x; z − x + y khơng thể có trường hợp hai số âm 62 Nếu ba số có ba số âm, hiển nhiên ta có bất đẳng thức cần chứng minh Trường hợp ba số dương, cách lấy lôgarit hai vế với số e, ta ln(x − y + z) + ln(y − z + x) + ln(z − x + y) ≤ ln x + ln y + ln z: Khơng tính tổng quát, ta coi x ≥ y ≥ z: Khi đó, ta có (y − z + x; x − y + z; z − x + y) > (x; y; z): ′′ Xét hàm số f(x) = ln x với x > 0: Ta có f (x) = −x < 0; ∀x > nên hàm số f(x) lõm khoảng (0; +∞): Khi theo bất đẳng thức Karamata, ta có ln(y − z + x) + ln(x − y + z) + ln(z − x + y) ≤ ln x + ln y + ln z: Đẳng thức xảy x = y = z hay a = b = c = 1: Bài tập 3.27 Cho a; b số thực không âm Chứng minh Lời giải Giả sử b a+ Xét hàm số f(x) = ≥ √ a: a; x1 số lớn nhất, x4 số nhỏ Ta có √ đó, áp dụng bất đẳng thức Karamata cho hàm số f(x) = [0; +∞) √ hay Bà i tập 3.28 Cho a,b,c,d số thực dương Chứng h √ a+ a+b+c + Lời giải Giả sử a ≥ b ≥ c ≥ d Khi 3a a + b + c 3a + 3a + 3b + ≥ ≥ ≥ 3a + 3b + 3c + 3d = (a + b + c) + (b + c + d) + (c + d + a) + (d + a + b) 63 khoảng (0; +∞) Xét hàm số f(x) = ′ x ′′ > ∀ x ∈ (0; +∞) f (x) = −x ; f (x) = x Suy f(x) hàm lồi khoảng (0; +∞).Theo bất đẳng thức Karamata ta có f(3a) + f(3b) + f(3c) + f(3d) ≥ f(a + b + c) + f(b + c + d) + f(c + d + a) + f(d + a + b) Tức a+b+c Bài tập 3.29 Cho a; b; c ∈ [−1; 1] thỏa mãn a + b + c = − Lời giải ≥ Giả sử a Xét hàm số f(x) = x ′ ′′ f (x) = 12:x ; f (x) = 132:x [-1 ;1] Theo bất đẳng thức Karamata ta có f(a) + f(b) + f(c) ≤ f(1) + f(− 3.3 Bài tập Bài tập 3.30 Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a+b+ab=3 Chứng minh 4a b+1 Bài tập 3.31 Cho x,y,z số thực khơng âm có tổng Chứng minh 2 x + y + z + xyz ≥ 4: 64 2 Bài tập 3.32 Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3.Tìm giá trị lớn biểu thức P = xy + yz + zx + x + y + z : Bài tập 3.33 Cho a,b,c số dương có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 2 Bài tập 3.34 Cho hai số thực x,y thay đổi thỏa mãn hệ thức x + y = 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P 2(x + 6xy) = + 2xy + 2y2 : Bài tập 3.35 Cho x,y số thực dương thỏa mãn x + y + xy = Tìm giá trị lớn biểu thức xy P= : x+y+1 Bài tập 3.36 Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn 21ab+2bc+8ac ≤ 12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a + b + c: 2 Bài tập 3.37 Cho số thực không âm x,y,z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh 2 2 2 x y +y z +z x +1 √ Bài tập 3.38 Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Chứng minh < xy + yz + zx − 2xyz ≤ 27 : 65 Kết luận Khóa luận đạt kết quan trọng sau: - Nghiên cứu số ứng dụng hàm số giải phương trình , hệ phương trình - Nghiên cứu số phương pháp hàm số chứng minh bất đẳng thức - Vận dụng vào số tập q trình ơn luyện học sinh giỏi 66 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hữu Điển- Nguyễn Minh Tuấn , LATEX tra cưú soạn thảo, NXB ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI-2009 [2] Lê Hồng Đức , Phương pháp giải tốn Mũ – Lơgarit, NXB Hà Nội 2003 [3] GS.TSKH.Nguyễn Văn Mậu , Bất đẳng thức định lí áp dụng2006 [4] Giáo trình giải tích tập 1, Nhà XB Đại học QG HN - 2000 [5] Tạp chí THTT, NXB Giáo dục - 2012 [6] Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 lần thứ 9, NXB Giáo dục - 2003 [7] Olympic toán học Châu Á Thái Bình Dương, NXB Giáo dục -2003 [8] Sách giáo khoa đại số giải tích 11, NXB Giáo dục - 2007 [9] Sách giáo khoa giải tích 12, NXB Giáo dục - 2007 [10] Tủ sách tạp chí THTT, Các toán thi Olympic Toán THPT, NXB Giáo dục - 2007 [11] Tuyển tập 30 năm tạp chí THTT, NXB Giáo dục 1996 [12] Các diễn đàn Toán học http://mathcope, http://mathlink.ro 67 ... kỹ ứng dụng hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức cần thiết, giúp em tự tin kỳ thi, nên chọn đề tài "Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức giải phương trình, hệ phương. .. bao gồm: ⋄ Chương 1: Kiến thức sở ⋄ Chương 2: Ứng dụng đạo hàm giải phương trình hệ phương trình ⋄ Chương 3: Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận,... phương trình " với mục đích - Trang bị cho học sinh phương pháp giải phương trình, hệ phương trình , chứng minh bất đẳng thức ứng dụng hàm số - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải toán