Ứng dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức và giải phương trình, hệ phương trình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN:

TS Phạm Văn Quốc

HÀ NỘI- 2015

2.2 Phương trình đã cho biến đổi được về dạng f(u) = f(v) 16

2.3 Hệ phương trình 25

2.4 Áp dụng định lí Rolle 382.5 Bài tập 41

3.1 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 44

Mở đầu

Như ta đã biết, chuyên đề về phương trình, bất phương trình, hệ phươngtrình và hệ bất phương trình chiếm một lượng khá lớn, xuyên suốt chươngtrình phổ thông Nhiều bài tập nếu giải bằng phương pháp thông thường sẽgặp nhiều khó khăn, tuy nhiên nếu biết sử dụng phương pháp hàm số thì cácbài tập đó sẽ được giải quyết dễ dàng hơn

Hơn nữa một số năm gần đây trong các đề thi đại học cao đẳng; thi họcsinh giỏi thường xuyên gặp các bài toán về phương trình, hệ phương trình, bấtđẳng thức vận dụng phương pháp hàm số Chính vì vậy việc trang bị cho họcsinh kỹ năng ứng dụng hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bấtđẳng thức là rất cần thiết, giúp các em tự tin hơn trong các kỳ

thi, nên tôi đã chọn đề tài "Ứng dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng

thức và giải phương trình, hệ phương trình " với mục đích

- Trang bị cho học sinh về phương pháp giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức bằng ứng dụng hàm số.

- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó, học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.

Do quá trình nghiên cứu, biên tập còn nhiều hạn chế nên nội dung cũngnhư cách trình bày trong luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu xót, rất mong cácthầy cô và bạn đọc xem xét, có ý kiến đóng góp để luận văn được hoàn thiện.

Nội dung chính của khóa luận bao gồm:

⋄ Chương 1: Kiến thức cơ sở

⋄ Chương 2: Ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình và hệ phương trình⋄ Chương 3: Ứng dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biếtơn sâu sắc tới T.S Phạm Văn Quốc người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tìnhchỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận.

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáotrong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học QuốcGia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạnbè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tậpvà thực hiện khóa luận tốt nghiệp.

Hà Nội, ngày 20 tháng 3 năm 2015.Học viên

Nguyễn Thị Nhài

4

Chương 1

Kiến thức cơ sở

1.1 Hàm số đồng biến, nghịch biến

Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y=f(x) xác định trên K ⊂ R(K là khoảng, đoạn

hoặc nửa khoảng)

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm xovàkí hiệu là f′(x+o).

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

Định nghĩa 1.4 Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a;b)

nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn [a;b] nếu nó có đạohàm tại mọi điểm x trên khoảng (a;b) và có đạo hàm bên phải tại a, có đạohàm bên trái tại b.

1.2.2Tính chất

Định lí 1.1 Giả sử u = u(x); v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x

thuộc khoảng xác định Ta có

(u ± v)′ = u′ ± v′:(u:v)′ = u′v + uv′:

1.2.3Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lí 1.3 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

Nếu f′(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

Nếu f′(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.Định lí 1.4 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

Nếu f′(x) ≥ 0 với mọi x thuộc K và f′(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì

hàm số f(x) đồng biến trên K.

Nếu f′(x) ≤ 0 với mọi x thuộc K và f′(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì

hàm số f(x) nghịch biến trên K.

6

1.3 Định lí Rolle

Định lí 1.5 Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm tại

mọi x thuộc khoảng (a;b) Nếu f(a) = f(b) thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a;b) sao cho f’(c)=0.

Hệ quả

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên khoảng(a;b) Khi đó, nếu phương trình f’(x) = 0 có không quá n-1 nghiệm phân biệttrên khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = 0 có không quá n nghiệm phân biệttrên khoảng đó.

1.4 Định lí Lagrange

Định lí 1.6 Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên

khoảng (a;b) Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao chof(b) − f(a) = f′(c):(b − a):

1.5 Hàm lồi, lõm khả vi bậc hai

1.5.1Định nghĩa

Ta ký hiệu I(a; b) ⊂ R là một tập hợp có một trong bốn dạng tập hợpsau: (a; b), [a; b), (a; b] và [a; b].

Định nghĩa 1.5 Hàm số f(x) được gọi là lồi trên tập I(a; b) nếu với mọi x1; x2

∈ I(a; b) và với mọi cặp số dương ; có tổng + = 1; ta đều có

1.5.2Định lí

Định lí 1.7.

Nếu f(x) là hàm số khả vi trên I(a;b) thì f(x) là hàm lồi trên I(a;b) khi và chỉkhi f’(x) là hàm đơn điệu tăng trên I(a;b).

Định lí 1.8 Nếu f(x) khả vi bậc hai trên I(a; b) thì f(x) lồi (lõm) trên

I(a; b) khi và chỉ khi f′′(x) ≥ 0(f′′(x) ≤ 0) trên I(a; b):

1.5.3Biểu diễn hàm lồi và lõm

Nếu f(x) lồi khả vi trên I(a; b) thì với mọi cặp x0; x ∈ I(a; b); ta đều

f(x) ≥ f(x0) + f′(x0)(x − x0): (1.3)

Dễ nhận thấy rằng (1.3) xảy ra đẳng thức khi x0 = x: Vậy ta có thể viết

(1.3) dưới dạng f(x) = min [f(u) + f′(u)(x

Dễ nhận thấy rằng (1.4) xảy ra đẳng thức khi x0 = x: Vậy ta có thể viết

(1.4) dưới dạng f(x) = max [f(u) + f′(u)(x − u)] :

f(x1) + f(x2) + · · · + f(xn) ≥ f(y1) + f(y2) + · · · + f(yn): (1.6)

Ta cũng có phát biểu tương tự đối với hàm lõm bằng cách đổi chiều dấubất đẳng thức.

Chứng minh

Sử dụng biểu diễn đối với hàm lồi

8

t1; :::; tn ∈ I(a; b)

cũng là một bộ số giảm, tức là

t1 ≥ t2 ≥ ::: ≥ tn:

Khi đó, để chứng minh (1.7), ta chỉ cần chứng minh rằng

x1f′(t1)+x2f′(t2)+:::+xnf′(tn) ≥ y1f′(t1)+y2f′(t2)+:::+ynf′(tn): (1.8) Sử dụng biếnđổi Abel

x1f′(t1) + x2f′(t2) + ::: + xnf′(tn)

= S1[f′(t1) − f′(t2)]+S2[f′(t2) − f′(t3)]+:::+Sn−1[f′(tn−1) − f′(tn)]+Snf′(tn)

9

1.6.2Quy tắc tìm GTLN,GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a;b] bằng đạo hàm

Bước 1 Tìm các điểm x1; x2; :::; xn trên khoảng (a;b), tại đó f’(x)=0 hoặc f’(x) không xác định.

Bước 2 Tính f(a),f(x1); f(x2); :::; f(xn); f(b).

Bước 3 Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên Ta cóM= max f(x); m = min f(x).

+ Kết luận phương trình có nghiệm duy nhất x = x0.

Bài tập 2.1 Giải phương trình

suy ra f(x) đồng biến trên [1; +∞).

Nhận thấy x = 0 là một nghiệm của phương trình.Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.

Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên [5; +∞).

Do đó phương trình (2.3) ⇔ f(x) = 14 có nghiệm duy nhất x = 9.Bài tập 2.4 Giải phương trình

do đó f(x) đồng biến trên (√35; +∞ ).

Vậy phương trình (2.4) có nghiệm duy nhất x =1.

12

Bài tập 2.5 Giải phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 7.

Bài tập 2.6 Giải phương trình3x7 − √

+

2x2+ √

∀x ∈

; ]45

4

13

Nhận thấy x =1 là một nghiệm của phương trình (2.6.1)Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.Bài tập 2.7.

suy ra f(x) đồng biến trên (2; +∞).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=3.

Bài tập 2.8 Giải phương trình:

Hàm số f(x) nghịch biến trên ( 2 2; ].

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.

14

Bài tập 2.9 Giải phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.

Bài tập 2.10 Giải phương trình :

Từ đó, f(t) là hàm nghịch biến trên (e; +∞).Mà f(8) =

2.2 Phương trình đã cho biến đổi được về dạng f(u) = f(v)

trong đó u = u(x),v = v(x), u, v cùng thuộc K’ với mọi x ∈ K

+ Chỉ ra f(t) đơn điệu trên K’ (Khoảng, đoạn, nửa khoảng).

Bài tập 2.13 Giải phương trình

Lời giảiPhương trình

16

⇔ (x + 1) + 3(x + 1) = 3x + 5 + 3

Xét hàm số f(t) = t3 + 3t liên tục trên Rf’(t) = 3t2 + 3 > 0 ∀t ∈ R

suy ra f(t) đồng biến trên R

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1; x = -2.

Nhận xét:Từ đặc điểm phương trình có biểu thức x3 + 3x2 + 3x − 1 ta nghĩđến việc phân tích thành tổng trong đó có số hạng dạng (ax + b)3.

Bài tập 2.15 Giải phương trình

4x + 5

⇔ (2x + 3) + 1 = 2

⇔ (2x + 3) + 2(2x +3) = 4x + 5 + 2

Xét hàm số f(t) = t3 + 2t liên tục trên R f’(t)= 3t2 + 2 > 0∀t ∈ R

Suy ra f(t) đồng biến trên R

17

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = −5.

Nhận xét: Trong bài toán này đòi hỏi người làm toán phải có phân tích

Xét hàm số f(t)=t3 + 5t liên tục trên R f(t) = 3t2 + 5t > 0; ∀t ∈ R:

suy ra f(t) đồng biến trên R:

18

(2.17.1) ⇔ f(x − 5) = f( 3 2x − 9) ⇔ x − 5 = 3 2x − 9⇔ x3 − 15x2 + 73x − 116 = 0 ⇔ (x − 4)(x2

Bài tập 2.18 Giải phương trình

Khi đó ( 2.19.1) ⇔f(|2x − 1|) = f(x − 2) ⇔ |2x − 1| = x − 2

Bài tập 2.20 Giải phương trình sau:

Bài tập 2.21 Giải phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.

20

Bài tập 2.22 Giải phương trình

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 và x = 3.

Bài tập 2.23 Giải phương trình

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho chỉ có một nghiệm x = 2 Bài tập 2.24 Giải phương trình

5x2+3 cos x −5x2+4cos3x = 8 cos 3x

Lời giảiTa biến đổi

(2.24) ⇔ 5x2+3 cosx − 5x2+4cos3x = 8(4cos3x − 3 cos x)

⇔ 5x2+3 cosx + 8(x2 + 3 cos x) = 5x2+4cos3x + 8(x2 + 4cos3x)

( 2.24.1)

Xét hàm số f(t) = 5t + 8t , f′(t) = 5t ln 5 + 8 > 0 với mọi t∈ R Hàm số f(t) đồng biến trên R nên phương trình

( 2.24.1) ⇔ f(x2 + 3cosx) = f(x2 + 4cos3x) ⇔ x2 + 3 cos x = x2

+ 4cos3x

⇔ cos 3x = 0 ⇔ x = 6 + k 3 ; k ∈ Z

,k ∈ Z.Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = 6 + k 3

Bài tập 2.25 Giải phương trình

+ 2 = cos 2x + log4 (3 cos 2x − 1)

⇔ 2cos 2x + 1 = 2 cos 2x + log2 (3 cos 2x − 1)

⇔ 2cos 2x + cos 2x = 3 cos 2x − 1 + log2 (3 cos 2x − 1) ( 2.25.1)Xét hàm f(t) = 2t+t đồng biến trên R nên phương trình

⇔ cos 2x = 3 cos 2x − 1 ⇔ cos 2x = 12

⇔ x = ±6 + k ; k ∈ Z(2.25) ⇔2co2x−1

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = ±6 + k ; k ∈ Z Bài tập 2.26 Giải phương trình

(1

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = −2 và x = −1.Bài tập 2.29 Tìm nghiệm dương của phương trình

suy ra g(t) > 0 với mọi t>0 ⇒ f′(t) = (2t + 1)g(t) > 0∀t > 0 ⇒ f(t) đồng

−− √ −−

(Trích đề thi HSG LỚP 12 TP Hà Nội 2013-2014)

Lời giải

25

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho (x;y) là (0;1).

Bài tập 2.31 Giải hệ phương trình

Suy ra x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình Vậy

hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x

Bài tập 2.32 Giải hệ phương trình

x3 − 5x = y3 − 5y (1)x8 + y4 = 1 (2)Lời giải

( 2.31.1),từ đó y =

1 ;y) là (2 ;1)

Từ phương trình (2) ⇒ x; y ∈ [−1; 1]

Xét hàm số f(t) = t2 − 5t liên tục trên đoạn [−1; 1] f’(t)= 2t-5 < 0 với ∀x ∈ [−1; 1] Suy ra f(t) nghịch biến trên [−1; 1]

26

Bài tập 2.34 Giải hệ phương trình

Lời giải

(1) ⇔ x3 − x2y + x − y = x2 + 1 ⇔ (x2 + 1)(x − y − 1) = 0⇔ x - y -1 = 0Thế vào (2)ta có

Suy ra f(t) đồng biến trên R:

y liên tục trên

g’(y) = 7y + 8y + 1 > 0 ∀y ≥ 0 ⇒ hàm số g(y) đồng biến trên [0; +∞).

28

Mà g(1) = 0 nên (4) có nghiệm duy nhất y =1

Với y = 0 ⇒ x = 1Với y = 1 ⇒ x = 2

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) là (1;0) và (2;1).

Bài tập 2.36 Giải hệ phương trình

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên [0; +∞) :

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) là (1;1).

Nhận xét: Đối với hệ phương trình nhiều ẩn số ta tìm cách biến đổi làm xuấthiện các phương trình giải được bằng phương pháp hàm số để đưa về mốiquan hệ giữa các ẩn số đơn giản hơn rồi tuỳ từng trường hợp tìm ra cách giảitiếp.

Bài tập 2.37 Giải hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) =(3;1).

Bài tập 2.38 Giải hệ phương trình

( )

⇒ hàm số g(x) nghịch biến trên 0;3

Bài tập 2.39 Giải hệ phương trình

Bài tập 2.40 Giải hệ phương trình

x3 − 3x2 − 9x + 22 = y3 + 3y2 − 9yx2 + y2 − x + y =

12Lời giải

Hệ phương trình đã cho tương đương

Với x =1 ⇒ y = -2 thỏa mãn điều kiện

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là (1;-2).

Bài tập 2.42 Giải hệ phương trình

x5 + xy4 = y10 + y6√

( x)5

33

Suy ra y = ±1 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy hệ phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm (x;y) là (1; 1) ; (1; −1) :Bài tập 2.43 Giải hệ phương trình

biến trên khoảng (0; +∞)

34

Do đó x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (2),từ đó y = 1

( )2Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x ;y) là 1; 1

Bài tập 2.44 Giải hệ phương trình

Phương trình (2) tương đương với

(1) ⇔ ex − x = ey − y (3)

Xét hàmt số f(t) = et − t liên tục trên (0; +∞)

f’(t) = e − 1 > 0 ∀t > 0 ⇒ f(t) đồng biến trên (0; +∞)

35

(3) ⇔ f(x) = f(y) ⇔ x = y.

Thay vào (2) được

log2x − 1 + 2log2(4x3) = 10 ⇔ log2x = 1 ⇔ x = 2 ⇒ y = 2 (thỏa mãn

điều kiện)

Vậy hệ có một nghiệm (x;y) là (2;2).

Bài tập 2.46 Giải hệ phương trình

-phương trình thứ hai của hệ ta được

y3 + 2y + 3 + ln(y2 + y + 1) = 0Xét hàm số f(y) = y3 + 2y + 3 + ln(y2 + y + 1)f′(y) = 3y2

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) là (0;-1).

Bài tập 2.47 Giải hệ phương trình

2 4

36

Suy ra f(t) là hàm đồng biến trên R

Mà g(1) = 0 nên phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 1

Vậy hệ phương trình đã cho chỉ có một nghiệm là (1;1;1)

Nhận xét :Hệ phương trình đã cho là hệ hoán vị vòng quanh.

Bài tập 2.48 Giải hệ phương trình√

Do vai trò của x,y,z như nhau nên giả sử x ≥ y thì g(x) ≥ g(y) do đó f(y) ≥

f(z),suy ra y ≤ z ,suy ra g(y) ≤ g(z) do đó f(z) ≤ f(x),suy ra

z≥ x ,suy ra g(z) ≥ g(x) do đó f(x) ≥ f(y) ,suy ra x ≤ y .

Từ đó suy ra x=y=zxthay vào hệ ta được x

Theo định lí Rolle phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm, mà f(0) =

f(1) = 0 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0; x = 1 .

Bài tập 2.50 Giải phương trình

f(t) liên tục và đồng biến trên khoảng(0; +∞) do đó phương trình tương đương với

38

−2; +∞ , do đó phương trình g′(x) = 0 có không quá một nghiệm.

Theo định lí Rolle ta có phương trình g(x) = 0 có không quá hai nghiệm Mà

g(0) = g(1) = 0 nên phương trình g(x) = 0 có đúng hai nghiệm là x = 0 và x =

Mặt khác nhận thấy y = 0; y = 2; y = 1 là 3 nghiệm của phương trình f(y) = 0

Suy ra phương trình đã cho có các nghiệm tương ứng là:

trình đã cho tương đương với f(7x) = f(6x + 1) ⇔ 7x − 6x − 1 = 0 Xét hàm số g(x) = 7x − 6x − 1,

g′(x) = 7x ln 7 − 6; g′′(x) = 7xln27 > 0 nên g′(x) đồng biến trên khoảng (0;

Suy ra phương trình g′(x) = 0 có không quá một nghiệm.

Theo định lí Rolle phương trình g(x) = 0 có không quá hai nghiệm.

Mà g(0) =g(1) =0 nên x=0,x= 1 là hai nghiệm của phương trình g(x) = 0 Vậy phương trình đã cho có đúng hai nghiệm x = 0; x = 1.

Bài tập 2.53 Giải phương trình

Ta có g”(x) > 0 với mọi x nên g’(x) là hàm đồng biến trên R

Suy ra g’(x)=0 có không quá 1 nghiệm trên R Do đó g(x)=0 có không quá 2

nghiệm Bằng cách thử nghiệm ta có pt g(x) = 0 có 2 nghiệm là x = 0; x =

1.Kết luận phương trình đã cho chỉ có một nghiệm là x=1

Bài tập 2.54 Giải phương trình

log2(cosx + 1) = 2cosx

(Trích đề thi Olimpic 30/4-2003)

Lời giải

Điều kiện cosx ≠ 0

Đặt y = cosx, với −1 < y ≤ 1, ta có phương trình log2(y + 1) = 2y ⇔ 4y − y − 1 = 0

40

Xét hàm số f(y) = 4y − y − 1; −1 < y ≤ 1

f′(y) = 4y ln 4 − 1; f′′(y) = 4yln24 > 0 nên f’(y) đồng biến trên nửa khoảng (−1;

1] Suy ra phương trình f’(y)=0 có không quá một nghiệm Theo định lí Rollephương trình f(y)=0 có không quá hai nghiệm Lại có

7: 6x = 1 + 2x + 3log6 (1 + 5x)8: 5x = 1 − x + 5log5 (1 + 4x)9: 3x = 1 + 2x + 2log3 (1 + 4x)10: 5x + x = 1 + 5log5 (1 + 4x)

x4 + 14x2 + 7x + 1

11: log3 13x2 + 13x + 9= x4 + x2 − 6x − 812: log3 x2 + x + 3

= x2 + 3x + 22x2 + 4x + 5

Giải các hệ phương trình sau{

(Trích đề thi HSG LỚP 12 TP Hà Nội 2012-2013)

(Trích đề thi TSĐH khối B năm 2006)Lời giải

+ √

(y − 2)

45

Bài tập 3.4 Cho 3 số thực dương x,y,z thay đổi.Chứng minh rằng

Áp dụng bất đẳng thức a2 + b2 ≥ 2ab; ∀a; b Ta có

x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx

,đẳng thức xảy ra khi x = y = z Suy ra P ≥x3 + y3 + z3