Vấn đề 6 Bất phương trình Logarit Mũ và Hệ bất phương trình Logarit Mũ

Vấn đề 6 Bất phương trình Logarit Mũ và Hệ bất phương trình Logarit Mũ Vấn đề 6 Bất phương trình Logarit Mũ và Hệ bất phương trình Logarit Mũ Vấn đề 6 Bất phương trình Logarit Mũ và Hệ bất phương trình Logarit Mũ Vấn đề 6 Bất phương trình Logarit Mũ và Hệ bất phương trình Logarit Mũ Vấn đề 6 Bất phương trình Logarit Mũ và Hệ bất phương trình Logarit Mũ

VẤN ĐỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARITMŨ VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT-MŨ 121 Vấn đề Bất phương trình Logarit-Mũ hệ bất phương trình Logarit-Mũ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT I Giả sử f(x) g(x) hai hàm số xác định tập D R, : a) Nếu a > bất phương trình logaf(x) > logag(x) ⎧g ( x ) > ⎪ (1) tương đương với hệ bất phương trình ⎨ f ( x ) > g ( x ) ⎪ ⎩( x ∈ D ) b) Neáu < a < bất phương trình (1) tương đương với hệ bất phương trình : ⎧ f ( x) > ⎪ ⎨ f ( x) < g( x) ⎪ ⎩( x ∈ D ) II Giả sữ f(x) , g(x) α(x) hững hàm số tập hợp D R Khi bất phương trình logα(x)f(x) > logα(x)g(x) tương đương với hệ bất phương trình : ⎧α ( x ) > ⎧0 < α ( x ) < ⎪ ⎪ ⎪g ( x ) > ⎪ f ( x) > hay ⎨ ⎨ ⎪ f ( x) > g( x) ⎪ f ( x) < g( x) ⎪ x∈D ⎪ x∈D ) ) ⎩( ⎩( 122 B BAØI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Giải bất phương trình sau : log x (3 x ) ≤ ( ) log 3x Giải Điều kiện x > vaø x ≠ ⎡⎧log3x < (1) ⎢⎨ ⎢⎩log(3x ) ≥ Bpt ⇔ ⎢ ⎪log 3x ≥ ⎢⎧ x (2) ⎢⎨[log x (3x )]2 ≤ log x (3x ) ⎩ ⎣⎪ ⎧log x x < log x ⎧(x − 1)(3 x − 1) < ⇔ ⎨ ⇔x> Giaûi (1) ⇔ ⎨ 3 ⎩(x − 1)(3 x − 1) < ⎩log(3x ) ≥ log x (a) ⎧x > ⎪ Giaûi (2) ⇔ ⎨(x − 1)(3 x − ) > ⎪ ⎩(log x + 1) ≤ log x + (*) (*) ⇔ log + log x − ≤ ⇔ -2 ≤ logx ≤ x ⎧ ⎪0 < x < ∨ x > (2) ⇔ ⎨ ⎪− ≤ log x ≤ ⎩ ⎡⎧ ⎢⎪0 < x < ⎡⎧ ⎪ ⎢⎨ ⎢⎪0 < x < ⎢⎪ ⎢⎨ ⎪− ≤ log x ≤ ⇔ ⎢⎪ x ≥ ≥ x ⇔ ⇔ ⎢⎩ ⎩ ⎢ ⎢ ⎢⎧ x > ⎢⎧ x > ⎨ ⎢⎪ ⎢⎩− ≤ log x ≤ ⎨ ⎣ ⎢⎪ ≤ ≤ x ⎣⎩ x ⎡ ⎢0 < x ≤ ⎢ ⎢x ≥ ⎣ (b ) (c ) Hợp (a) (b) (c) ta có x > Baøi 123 log2(1 + log x – log9x) < Giải bất phương trình sau : Giải Điều kiện : x > ⇔ – log9x – log9x < (với x > 0) ⇔ – 2log9x < ⇔ log9x > − 1 ⇔ log 9x > − log33 ⇔ x > 2 Bài Giải bất phương trình sau : lg x + < lg x Giải Điều kiện : x > (1) ⇔ 3lgx.9 < 32lgx.35 – (với x > 0) đặt t = 3lgx +5 − (1) ⎡ ⎢t > 2 bpt ⇔ 9t < 243t – ⇔ 243t – 9t – > ⇔ ⎢ ⎢t < − ⎢ 27 ⎣ • Với t > : ⎛1⎞ > ⇔⎜ ⎟ ⎝3⎠ − lg x ⎛1⎞ > ⎜ ⎟ ⇔ -lgx < ⇔ lgx > -2 = -2lg10 ⎝ 3⎠ ⇔ x > 10-2 ⇔ x > 100 : • Với t < − 27 3lgx < − : bất phương trình vô nghiệm 27 KL : nghiệm cuả bất phương trình : x > 100 lgx 124 Bài Giải bất phương trình : log7x > log3(2 + x ) (**) Giải Điều kiện x > , đặt log7x = t ⇔ x = 7t Bất phương trình (**) t ⇔ t > log3(2 + t ⎛1⎞ ⎛ ⎞ t ⎟ = f(t) ) ⇔ > + ⇔ > ⎜ ⎟ + ⎜ 3⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ t t Do f(t) hàm nghịch biến R , f(2) = nên bất phương trình (**) ⇔ f(t) < f(2) ⇔ t > ⇔log7x > ⇔ x > 72 = 49 Bài Giải bất phương trình : 2-x Xeùt f(x) = 32− x + − 2x ≥ (*) 4x − (Đại học luật 1996) Giải - 2x + nghịch biến R , f(2) = , g(x) = 4x – đồng ⎛1⎞ ⎝2⎠ biến R , g ⎜ ⎟ = Bất phương trình (*) ⇔ f (x) ≥0 g( x ) ⎧⎧f ( x ) ≥ = f (2) ⎧⎧ x ≤ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨g( x ) > = g⎛ ⎞ ⎪⎨ ⎜ ⎟ x> ⎪⎪ ⎠ ⎪⎪ ⎝ ⎩ ⎪⎩ ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⇔ ⇔ x > ⎛ ⎞ ⎜ − ,+∞ ⎟ ⊂ R nên không thỏa yêu cầu (*) ñuùng ∀x ∈ R ⎝ ⎠ ⎧m + m + < ⎧m ∈ ∅ ⎧∆ ' < ⎪ • m ≠ -1 (*) ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎪m > −1 ⎩m + > ⎩m > −1 ⎩ ⇔m∈∅ Kết luận : m ∈ ∅ Bài Giải bất phương trình : ( x − 8e x −1 > x x e x −1 − ) (Đại Học Xây Dựng 2001) ( ) Giải x − 8e x −1 > x x e x −1 − ⇔ x(x3 + 8) – ex-1(x3 + 8) > ⇔ (x3 + 8) (x – ex-1) > (*) Xét hàm số : f(x) = x – ex-1 f’(x) = – ex-1 = ⇔ x = Bảng biến thiên : +∞ x -∞ f’(x) + f(x) +∞ -∞ Bảng biến thiên cho : f(x) ≤ ; ∀x ∈ R (f(x)=0⇔x=1) Deå thấy x = không thỏa (*) Vậy : f(x) < ∀x ≠ Khi : (*) ⇔ x3 + < ⇔ x < -2 126 Bài Tìm m cho bất phương trình sau nghiệm với x logm (x2 – 2x + m + 1) > (Đại học Đà Nẳng ) Giải Ta có : Logm (x2 – 2x + m + 1) > ⎡⎧0 < m < ⎢⎨ ⎢⎩x − x + m + < ⇔ ⎢ m >1 ⎢⎧ ⎨ ⎢⎩x − x + m + < ⎣ ⎡⎧0 < m < (1) ⎢⎨ ⎢⎩x − x + m < ⇔ ⎢ m >1 ⎢⎧ ( 2) ⎨ ⎢⎩x − x + m > ⎣ Xeùt (1) : ta thấy x2 –2x +m < xảy vơi x Xét (2) :x2 – 2x + m > nghiệm với x thuộc R ⇔ ∆ ' < ⇔ – m < ⇔ m >1 Vậy: m > bất phương trình cho nghiệm với x Bài 10 Tìm tất giá trị x thoả x > nghiệm bất phương trình sau : log 2( x2 + x ) ( x + m − 1) < với giá trị m : < m ≤ m (Đại học Giao thông vận tải ) Giải Vì x > ⇒ 2(x2 + x) > ; với < m ≤ ⇒ 2( x + x ) > vaø x + m – > m Bất phương trình cho viết thành : 127 x+ m –1 < 2( x + + x ) m ⇔ 2x2 + (2 – m) x – m2 + m > ⇔ (x – m + 1) (2x + m) > ⇔x>m–1 ( 2x + m > 0) Vì x > < m ≤ ⇒ x > Baøi 10 Giải bất phương trình : 2x + 23-x ≤ (Đại học Kỹ thuật công nghệ thành phố Hồ Chí Minh , khối A năm1998 – 1999) Giải Đặt t = 2x với t > ta : t2 – 9t + = Tam thức bậc hai theo t có nghiệm Tam thức âm ≤ t ≤ Từ suy nghiệm bất phương trình ≤ x ≤ Bài 11 a) Giải bất phương trình 22x+1 – 9.2x + ≤ (1) b) Định m để nghiệm bất phương trình (1) nghiệm bất phương trình : (m2 + 1)x + m(x + 3) + > (Đại học An ninh – Đại học cảnh sát , khối G năm 1998 – 1999) Giải a) Ta coù : 22x+1 – 9.2x + ≤ (1) ⇔ 2.22x = 9.2x + ≤ Đặt t = 2x > , ta có : (1) ⇔ 2t2 – 9t + ≤ Tam thức âm : ≤t≤4 ≤ 2x ≤ hay 2-1 ≤ 2x ≤ 22 Do ta có : Nghiệm tam thức theo t Đáp soá : –1 ≤ x ≤ b) (m2 + 1)x + m(x + 3) + > (2) 128 ⇔ (m2 + m + 1)x + 3m + > Đặt f(x) = (m2 + m + 1)x + 3m + Mọi nghiệm (1) nghiệm (2) f(x) > 0, ∀x ∈ [-1 , 2] ⎧ f (− 1) > ⇔0 x ≠ log x Trường hợp < x < (1) ⇔ x−5 6x ≤ x−5 6x ≥− 1 = log x3 (1) x ⇔ ⏐5 - x⏐ ≤ ⇔ x ≥ -1 ⇔ < x < (vì < x ≠ 1) x Trường hợp x > ⎡ x ≤ −1 ⎣ x ≥ 11 (1) ⇔ ⏐x - 5⏐ ≥ ⇔ ⎢ Do ta có < x < hay x ≥ 11 Bài 13 Tìm tham số a cho bất phương trình sau tương đương : ⎧(a − 1)x − a + > ⎨ ⎩(a + 1)x − a + > (Cao đẳng Hải quan năm 1998) Giải Xét a = -1 Hai bất phương trình cho có dạng –2x > -4 ; Ox > -3 Hai bất phương trình không tương đương 129 Xét a > : Nghiệm bất phương trình thứ x > nghiệm bất phương tình thứ hai laø x > a−2 a +1 a−3 vaø a −1 Muốn cho bất phương trình tương đương phải có : a−3 a−2 = ⇒a=5 a −1 a +1 Bằng cách tương tự a < -1 hay –1 < a < ta có hai phương trình không tương đương Kết luận : Hai bất phương trình tương đương a = Bài 14 Giải bất phương trình : log2x + log3x < + log2x.log3x (Đại học ngoại thương , khối A năm 1998 – CSII) Giải Bất phương trình tương đương với : log2x(1 – log3x) – (1 - log3x) < ; (x > 0) ⇔ (1 - log3x)(log2x – 1) < Có thể xảy trường hợp : • ⎧1 − log x > ⇔0 ⎡0 < x < ⎣x > Vậy nghiệm bất phương trình : ⎢ 130 14 +x ≥ (20, 25) 2x −7 ; 1) 2x +3 + 6.2x −1 − 33 > 0; 2) (2 / 9) x 3) 4(0,5) x(x +3) < (0, 25) 2x ; 4) 22x −3 − 3.2 x − + > 0; 5) 4.4x > 7.2x + 2; 6) 32x +5 ≤ 3x + + 2; 7) 52x +1 + x +1 > 30 + 5x 30 x ; 8) 5x +1/ − x ≥ 32x − − 5x −1/ ; x −3 9) + < 28.3 x −3−1 ; x −3x + 11) 11.3x −1 − 31 24 − 25− x 21) x − x /8 ≤ 5− x − − 21− x ≤ 1; −3x +1/ 2 < (1/ 2)−40x ; 14) 5.251/ x + 3.101/ x ≥ 2.41/ x ; 16) ≥ 5; 4.9x11.3x −1 − 10 + 4x / 17) x − < ; 19) x 12) 34x > x; 13) 9.41/ x + 5.61/ x ≤ 4.91/ x ; 15) 10) − 7.5x 52x +1 − 12.5x + ≤ / 3; 18) 32x /100 x > 2(0,3) x + 3; 20) ; < 71− x ( 7) x + 6; 2.3x +3 − 5x +3 5.3x − 3.5x 22) 3.4 2− x < 1; + < 10.2 2− x ; 23) (2x − 4)(x − 2x − 3) > 0; 24) ( + 1)(6x −6) /(x +1) ≤ ( − 1)− x ; 25) ( + 2) x −1 ≥ ( − 2)(x −1) /(x +1) ; 26) + 3− x +1 − 3− x + 3− x +1 > 5; 27) 4x + − x > + (x − 2)2x + 2x2 x − x ; 28) 4x + x +1 + x3 x < 2x x + 2x + 15 ⎧2x +1 = 4y + 1, ⎪ 1) ⎨ ⎪2 ⎩ x ≤ 2y; ⎧ x +1 = y + 4, ⎪2 2) ⎨ ⎪2 ⎩ x −1 ≥ y; y +1 ⎧x + ≥ 12, ⎪ 4x + 4y ≤ 32 ⎪ ⎩ 3) ⎨ 169 16 1) log (2x − 1) > −2; 2) log1/ (5x − 1) ≥ 0; 3) log3 (6x + 5) ≤ 1/ 3; 4) log1/11 (2x + 21) < −2; 5) log1/ (x − 5x + 6) > −1; 6) lg(x − 5x + 7) < 0; 7) log5 (5x + 6x + 1) ≤ 0; 8) log1/ (x / − x + 35 / 24) ≥ 0; 2x − < 0; x−2 x−4 11) log 0,5 ≤ −2; x+3 − 3x ≥ −1; x 3x + 12) log1/ > −1; x +1 9) log1,5 13) log 7x + ≤ 3; x+2 10) log 0,(3) 14) log1/ x + 4x < 1; 2x − 15) log 0,5sin π / (4x − 16x + 15) ≥ −2; 16) log (x − 4x − 5) ≤ 4; 17) log1/ ( x − − x + 1) < 0; 18) log (2 − x − x − 1) > 1; 19) lg x −1 < 2x + 17 1) log5 (3x − 1) < 1; 2) log0,5 (1 + 2x) > −1; 3) log3 (2 − 4x) ≤ 1; 4) log1/ (5x + 3) ≥ −1/ 2; 5) log (x − 2x) ≥ 3; 6) log5 (x − 11x + 43) > 2; 7) log8 (x − 4x + 3) ≤ 1; 8) log1/ (x − 3x + 2) < −1; 2x − > 0; 2x − 35 − x 11) log1/ ≥− ; x x −3 ≥− ; 13) log1/ x +3 10) log3 15) log 16) log12 (6x − 48x − 54) ≤ 2; 9) log sin π (x − 3x + 2) ≥ 2; 17) log1/ (1 + x − x − 4) < 0; 19) log3 x − < 170 − 2x ≤ 0; x + 2x 12) log3 < 1; 1+ x x 14) log ≤ −1; x −1 ⎛ ⎝ 1⎞ 18) log3 ⎜ x − − x + ⎟ > −1; ⎠ 18 log (x + 1) > 0; x −1 1) 2) (x + 1) log (x + 4) < 0; 5) − log 0,5 (− x) − 6x < 0; 7) (1/ − x)(x − 4) log log (x − 1) ≤ 0; x −3 x −5 ≥ 0; log (x − 4) − x − 4(log (1 − x) − 3) < 0; 8) 4) 6) 3) (x − 3) log1/ (x + 8) ≥ 0; 2x + 1/ ≤ 0; x +1 (x − 1/ 2)(3 − x) > 0; log x − 9) 11) 13) 15) log (x − 2x + /16) 4x + 12x + log 10) > 0; 3x − < 1; 2−x lg − lg(−8x − x ) > 0; lg(x + 3) 12) x2 − log 0,5 (x − 1) < 0; log (3.2x −1 − 1) ≥ 0; x 14) 5log (x −5x + 4,25) < 1/ 25; 16) log3 (x − 4) < 1; 17) log1/ (x − 2) > 19 1) log 0,5 (x + 1) < 0; x−4 x −5 3) ≥ 0; log3 (x − 2) 5) − log 0,5 (− x) −2 − 6x < 0; x +1 ⎛ ⎞ − x ⎜ log3 + ⎟ ≤ 0; x ⎝ ⎠ log 0,3 x − 9) < 0; x − 4x 7) 2) (x − 6) log5 (x − 3) > 0; 4) (x − 1) log1/ (x + 7) ≤ 0; x − 0,5 6) 8) log3 x ≥ 0; log (x − 3) 10) > 0; x − 25 + log1/ (15 − 2x) log3 0,5 − 2x ≤ 0; 171 11) 13) log (x − 3) 2 x − 4x − ≥ 0; − 2x log < 1; 1− x 15) − log x > 2; 12) x −1 14) (1/ 5) 16) ≤ 0; log3 (9 − 3x ) − log 0,5 3x −1 2x +3 > 1; log3 (x + 2) < 0; log (x − 3) 17) log (x + x − 4) < 20 1) log3 (2 − x) ≤ 1/ 4; 2) log 0,5 (2x − 1) ≥ 9; 3) log 0,2 (x − 1) > 4; 4) log (4 − x) < 1/ 9; 5) log (x − 1) − log 0,5 (x − 1) > 2; 6) log x 5 − 1, 25 ≥ log 5; x 7) log 0,5 x + log 0,5 x − ≤ 0; 8) log100 x + lg x < 2; 9) lg x − 13lg x + 36 > 0; 10) (log3 x + log3 x − 2) 25 − x ≥ 0; 11) log x − log x 49 < 3; 13) log 10 x lg(100x) < 3lg x; 14) log1/ x log x − / 2; 16) 12) log3 x − log x 27 ≤ 5; log x < ; log x − log x + 15) x 17) 2− log x + log x log 0,(3) x − log 0,(3) x + ≤ > 1/ x; log 0,(3) x − log 0,(3) x + 18) + log (7x + 14x + 8) ≤ + log8 (7x + 14x + 8) 21 1) lg x − lg x − ≥ 0; 2) log1/ (3x + 1) > log1/ (3x + 1) + 6; 3) 5log 0,5 x ≤ + log 0,5 x; 5) 4) lg x − 5lg x + < 0; log100 x > log10 x; 6) (log (2 − x) − 8log1/ (2 − x) − 5) x + ≥ 0; 172 ; 7) log x − log x 32 ≤ 4; 9) log x ≤ 8) log5 x − log x 125 < 1; ; log x − 10) lg x − 3lg x + < 1; lg x − 11) 1 + > 2; + lg x − lg x 12) log3x (3 / x) + log3 x ≤ 1; 13) 1 + ≥ 1; − log 0,5 x log 0,5 x 14) 2x 1−log x 2 + log x log 0,5 x 15) 1, 25 − 0, 64 16) −x − log0,5 x < −1; + 2) + 3log 0,5 (x − x + 2) + ≤ 0; log (x − x 2 17) log10 2x + 3 + log 18) ≤ 0; 10 < 3; (2x +3)3 log9 (3x − 4x + 2) + > log3 (3x − 4x + 2); 19) log8 x / log (1 + 2x) ≤ log + 2x / log x 22 1) log3 (13 − x ) > 2; 3) log1/ 2) log (24x + 22x ) < log 12; 4) log3 (34x − 32x +1 + 3) ≤ log9 7; (6x +1 − 36x ) ≥ −2; 5) (1/ 2)log (x 7) (1/ 3)log1/ 8) 2, 25log (x −1) 6) (1/ 2)log3 log1/ (x > 1; (x −10x / 3+1) −3x −10) < 1; ≤ 1; ≥ (2 / 3) log 0,5 (x + 4x + 4) 9) log1/ log5 (x − 4) > 0; 11) log 0,1 log 2 − / 5) x2 + < 0; x −1 ; x +1 ≥ 0; x −1 x − 2x 12) log 0,5 log8 ≤ 0; x −3 10) log1/ log3 13) log (2 x − 1).log 0,5 (2x +1 − 2) > −2; 14) log (18 − 2x ).log 18 − 2x ≤ −1; 15) log3 (3x − 1).log1/ (3x + − 9) ≥ −3; 173 2x − log1/ (2 x − 5) < 2; 27 17) log log 0,(3) log5 x > 0; 16) log3 − x log x −log (x + 6) 19) (2 + 3.2 ) x 18) log3 (log (2 − log x) − 1) < 1; > 23 1) log5 (26 − 3x ) > 2; 2) log1/ (2x + − x ) ≤ −1; 3) log (4 x − 5.2x + 2) < 2; 4) log1/ log3 5) x +2 7) (1/ 2) 6) (1/ 2) ≤ 1; log5 log 0,3 (x −0,7) < 1; (5x +1 − 25x ) ≥ −2; log1/ 8) (2 / 5) x +5 x +3 > 1; log1/ 4(x +5x +8) ≤ / 2; x +x ≤ 0; x+4 9) log1/ log (x − 5) > 0; 10) log 0,5 log x > 0; x +1 − 3x 13) log (5 − 3x ).log ≥ −1; 12) log8 / log1/ (x − x − 6) ≥ 0; 11) log 0,5 log 15) log (3x − 1).log1/ 3x − ≤ / 4; 16 17) log1/ log log x −1 > 0; 14) log3 (3x − 1).log3 (3x +1 − 3) < 6; 2 > 2; (5x − 1).log 5x − x −1 18) log3 log 0,2 log32 ≤ 0; x+5 16) log 19) (4.3x + 3− x )3log3 (x −1)−log3 (x −1)(2x +1) > 1; 24 1) log3 (1 − 2x) ≥ log3 (5x − 2); 2) log5 (1 − x) < log5 (x + 3); 3) log (3x + 4) > log (5 − 2x); 4) log7 (2 − x) ≤ log7 (3x + 6); 5) log1/ (x + 4) < log1/ (x + 2x − 2); 6) log1/ (x − x − 2) > log1/ (3 − x + 2x); 7) log3 (2x + 3) < log3 (x + 6); 8) lg(x − 3) ≥ lg(x + 3); 9) log0,5 (x + 1) ≤ log0,5 (2x − 5); 10) log1/ (8 − x) > log1/ 174 x+4 ; 2x − 11) log3 log 12) 4x − x +1 ; < log1/ log1/ x +1 4x − log1/ (3x − 8) − log1/ (x + 4) 10 − x ≥ 0; 13) log5 x + > log5 (x + 1); 14) 1/ log (x − 1) < 1/ log x + 1; 15) 1/ log1/ x + ≤ 1/ log1/ (x + 1); 16) log3 (x − 2) < log3 ⎜ ⎛3 ⎞ x − 1⎟ ; ⎝ ⎠ 17) log1/ (3 − x ) < log1/ (4 x − 2) 25 1) log (3x + 1) < log (2 − x); 2) log (7x − 3) ≥ log (1 − 2x); 3) log1/ (3x − 1) ≤ log1/ (3 − x); 4) log0,7 (x − 2) > log 0,7 (3x − 4); 5) log1/ (x + 5)2 > log1/ (3x − 1)2 ; 6) log3 (x + 10x + 24) ≤ log3 (6x + 36); 7) log1/ (x − 3x + 4) < log1/ (2x − 2); 8) log1/ (3x + 4) > log1/ (x + 2); 9) log3 (x + 4) < log3 (x + 2x − 2); 10) log7 (x − 6) ≤ log x ; 11) lg x − 3x + > lg x + 1; x −1 x +1 ; < log 0,5 log 0,(3) x +1 x −1 1 x+7 13) 14) log 0,4 > ; < log 0,4 (5 − x); log (x + 3) log x + 2x + x+2 ⎞ ⎛ 15) 36 − x ⎜ log 0,1 (x + 1) − log 0,1 ⎟ ≥ 0; 2−x ⎠ ⎝ 12) log log3 16) log1/ log ( x + + x ) < log log1/ ( x + − x); ⎛7 ⎞ x − 3⎟ ⎝ ⎠ 17) log 0,7 (4 − x ) > log 0,7 (6 x − 3); 18) log (x − 5) < log ⎜ 26 1) log0,5 x + log3 x > 1; 2) log3 x + log 3) log 0,5 (x + 0,5) + log0,5 x ≥ 1; 4) − log1/ (x + 2) > log3 (x − 3); x + log1/ x < 6; 175 5) log1/ (x − 2) < log1/ − log1/ (x + 2); 6) log0,2 (4 − x) ≥ log0,2 − log0,2 (x − 1); 7) log x + log ( x − 1) < log log 5; 8) log3 (x + 2) + log3 (x − 2) < log3 (4x + 1); x > 2; 11) log1/ x + log1/ (x − 1) ≤ log1/ 6; 9) log x − log 10) log5 ≤ log x − log x; 12) 1/ + log3 x − log3 5x > log1/ (x + 3); 13) log8 (x − 2) − log8 (x − 3) > / 3; 14) log x − log3 7.log3 x > log 0, 25; 15) log1/ (x − 1) + log1/ (x + 1) + log (5 − x) < 1; 16) log1/ (x − 2) − log1/ (x − x + 2) ≥ 1; 1 (1 + x) > log1/ ; 2 18) log (x − 1) − log (x + 1) + log (x +1) /(x −1) > 0; 17) log 25 (1 + x)(3 − x) − log 19) log3 log3 x + log1/ log3 (9 x ) ≥ 1; 20) log (1 + log1/ x − log9 x) < 27 1) log5 x − log 25 x > 2; 2) log1/ x + log x > 1; 3) log (x − 6) + log (x − 8) > 3; 4) log π (x + 27) − log π (16 − 2x) < log π x; 5) log < log (2 − x) − log (x − 1); 6) log 0,5 (x − 0,5) ≥ − log 0,5 (x − 1); 7) log (x + 14) + log (x + 2) < log0,5 ; 8) log 2 x − log x ≥ 1; 10) log3 x − log9 x > 2; 11) log (x − 3x + 2) < + log (x − 2); 176 9) log5 x − log 5 x > 1; 12) log1/ (x + 2)(4 − x) + log (4 − x) > −2 log 49 2; 13) log5 (x − 3) + log5 ≤ log5 (x + 6x + 7); 14) log1/ (x + 1) ≥ −2 log1/16 + log1/ (x + 3x + 8); 7; 16) log1/ (x + 1)(x + 3) + log (x + 3) > −2 log 11; 15) log3 (x + 2)(x + 4) + log1/ (x + 2) < log 17) log1/ x + ≥ log1/ 2; log x −1 1 18) log1/ (x − 1) ≤ − ; log x −x 19) log1/ (x − 3) − log1/ (x + 3) − log (x +3) /(x −3) > 0; 20) log3 (x − 1) − log 0,5 (x − 1) > − log (x − 1)3 28 4x + < −1; − 5x 1) log1/ x (2,5x − 1) ≥ −2; 2) log x 3) log x 2x − > 1; x −1 x − 14x + 51 5) log 2x − / 25 ≤ 0; 50 4) log3x − x ≤ 1; 6) log x −1 (1 + 2x − x ) > 0; ⎛ x −5 ⎞ ⎟ > 0; ⎝ 2x − ⎠ 2(x − 2)(x − 4) ≥ 1; 9) log x −1 x +5 8) log 0,2x (x − 8x + 16) ≥ 0; 10) log 1/ x 12) log (x + x − 3) + 3,5 < 0; x −10x + 31 30 (5x − 11/ 20) ≤ 0; 14) log x x − < 1; 7) log x + 2,5 ⎜ 11) log 2x − x 2 (x − / 2) > 0; 13) log x (6x + 27) > 2; 15) log x2 4x − ≥ ; x−2 177 16) log 4x − > 0; −4x +12x −8 18) log log (0,5x) (x − 10x + 22) > 0, 20) log x+4 − x x + 2x −3 x −1 ⎛ 17) log 19) 2x ⎞ ⎟ > 0; ⎠ log x −12x + 30 ⎜ ⎝ 10 log x log9 (3x − 9) ≤ 1; > 29 4x − ≥ 1; 4x + 4) log x ≤ 0; 6(x − 1) 1) log x −1 (x + 1) > 2; 3) log x 2) log x 2x + < 0; 4(x − 1) 5) log x +1 (x + x − 6)2 ≥ 4; 6) log3x (6 + 2x − x ) ≥ 1; 7) log x − (x − 8x + 15) > 0; 8) log x −3 (x − 4x + 3) < 0; 9) log 10) log x2 11) log 13) log (2 + x) < 1; 9x (6 + 2x − x ) ≤ 1/ 2; ⎛ ⎝ 5x − x −18x + 91 ⎜ 90 15) log log x 3⎞ ⎟ ≤ 0; 10 ⎠ 4x − 20x + 22 < 0; 12) (x − 2) > 0; 4x / 3− 4x / log 3x (x − 2,5x + 1) ≥ 0; x +1 14) log100x −7 25 16) log x2 x − 16x + 65 < 0; 64 2x ≤ ; x −3 17) log x ( − x − x − 1) ≥ 1; 18) log x + log 19) log x log (4x − 12) ≤ 1; 20) log x −1 > 0; x+2 − x − x / +1/ 16x − < 0; 30 1) 3) 1 > ; log3 x − log3 x lg x + lg x − 178 > −2; 2) − 3lg x < ; + 3lg x 2 4) (0, 25)2 x 0,5log x ≥ 0,5log x ; 0,25log3 x 5) 1 log3 x ≤ x3 ; 6) log x −1 (3x − 1) < log x −1x ; 7) log x −3 (2(x − 10x + 24)) ≥ log x −3 (x − 9); 8) log (x − 2) x+7 ≤ log x − x−2 2x; 11) 2(9 12) 0,25+ log9 x − 1) ≤ x 1+ log x; 9) log x (x + 1).log x +1 x > 2; 10) x log x + ≥ log x ; x − 5x + + x + 10x − 2x − 12 + 3log ≥ 3; x 13) (2 + x − 7x + 12)(2 / x − 1) ≤ ( 14x − 2x − 24 + 2) log x (2 / x); 14) log ( x − 4x + 3) > log1/ 15) log3 27 2 9x − x + − x + 2 x − 4x + x + + + 1; − < log1/ ( 9x − x + 3); 16) (log9 x )2 ≥ (log3 − x / 4)2 ; 17) log x 3.log9 − 5x ≤ ; 6x − 18) 5x + 6x + x − x log x > (x − x) log x + + + x − x ; 19) x −1 log (2 − 2x ) ≥ 31 1) 3) 1 > ; log x − log x lg x − − 3lg x 5) 5log x > 2) −1 ; − lg x + lg x 4) − 12x ≥ 25; x−6 0,25log x 6) log x − 4,5 < 2; ≤ log7 x x ; x+4 ≤ log x − 4,5 (x − 5); 2x − 7) log10− x (19 / − x)2 > log x −9 (x − 9); 8) (1/10)log x −3 (x − 4x + 3) ≥ 1; 9) log x (x + 1) < log1/ x (2 − x); 179 12) 13) 14) 15) + log x −0,5+ log x 4 log x − 1,5 ≤ x ; 11) ≥ x log x ; x ( x − 4x + + 1) log5 + ( 8x − 2x − + 1) ≤ 0; x x x − 7x + 10 + log ≥ 2x + 14x − 20 − 2x − 13; 25 log5 ( + x − x + 4) > log1/ + 2; 2 + x − x + 1− x + 16 log1/ ( x − 3x + + + 1) < log − 2; x − 3x + + x − + 10) 11/16 + 16 16) 12x + 3x + 4x − 4x log x > + 4x − 4x + 4x log x ; 17) log x 4.log − 12x ≥ 2; 12x − 18) log1/ x ≥ x − 1; 19) (log x + log 0,25 (x + 3)) x − > 32 4x − −1 > ; − 3x 3) log1/(x −1) 0, > 0; 1) log 2 5) 3log3 x −1 < 3log3 (x − 6) + 3; 2) log1/ (2x + 3) > log9 27; 4) log x + 0,2 < log x 4; 6) log 0,1 (x + x + 2) > log 0,1 (x + 3); 7) log3 (2 − x) < log1/ (x + 1); 8) log1/ (x 6x + 18) + log5 (x − 4) < 0; 2x + < 3; x−2 x +1 11) log3 ≤ −2; x − 2x 13) log < 1; 1− x 10) log 15) log 16) 9) log3 sin 17) log 180 π (x − 4x + 3) ≥ −3; 2x − 1 log3 4; tg 18) log1/ log8 x2 −1 < 0; x−2 19) log3 log9 /16 (x − 4x + 3) ≤ 0; 20) log / ( x + − x ) + log / 21) (1/ 4) log 0,3 log3 x −2 x −4 ≥ 0; 22) log1/ (x − 6) + log9 x ≥ 0; ≤ 1; 23) log x ≥ 2; 24) log (9x −1 + 7) − < log (3x −1 + 1); 25) log 0,7 (1 + x − x − 4) ≤ 0; 26) log1983 (x − 1982x) < 1; 27) log + 1/ x > 1; 28) log log3 x −1 x +1 < log1/ log1/ ; x +1 x −1 29) log1/ log5 ( x + + x) < log3 log1/ ( x + − x); 30) log3 − 4x > 2; 31) log3 x − log3 x − < 0; 32) − log1983 x + log1983 x − > 4; 33) log3 34) lg10lg(x + 21) x − 4x + x2 + x − ≥ 0; > + lg x; 2 35) log1/ x − log1/ x > log1/ − 1; 36) lg(10x).log x < log 10; 37) log x > log1/ x + log x + log1/ 2 x + 3; 2 38) − − 8log1/ x < 3log1/ x; 39) 40) 42) log1/ x + log x < 2(4 − log 16 x x −5 ≥ 0; log (x − 4) − x −1 log3 (9 − 3x ) − ); 41) 4x + 12x + log (x − 2x + /16) > 0; ≤ 0; 43) 1/ log3 (x − 7x + 12) < 1/ log3 20; 181 44) 1/ log x +1 < 1/ log (x + 3); x+2 45) 46) 1 < ; log3 (x + 1) log x + 6x + 9 47) lg x + 110 ≥ 1; lg x + 10 − log x ≤ ; + log x 48) lg(4x + x) / lg(2x) ≥ 1; 52) log5 x − log x 125 < 1; 49) log 0,25 x + / log 0,25 (x − 1) ≤ 1; 50) log5 x − ≥ log x ; 51) log1/ x > log x − / 2; log x 53) log x / + log x / < log x − ; x < (2 − log3 x).log5 x / log3 x; 55) log1/ (x − 1) − 3log x − > log1/ (x − 1) ; 54) log5 x + log x x3 32 + log < log1/ x; x 57) log (x +3) /(x −3) < 2(log1/ (x − 3) − log / 2 56) log x − log1/ 2 58) x + 3); 59) (x /10)lg x − < 100; x log x ≥ 2; 60) log x log (4 x − 6) ≤ 1; + log1/ x > 10 log1/ x ; 62) log x − ≥ log (x −3) /(x −5) 1; 61) log x 64) log 66) log (x −1)2 x2 x3 − / x−2 ≤ ; log x /16 > 1(log x − 6); 63) log3x −1 2x > 1; 65) log x 2.log 2x > log 4x 2; 67) log x + 2.log (x − x − 2) ≥ 1; 68) log x 2x ≤ log x 2x ; 69) log 2x + (x − x) > 1; 70) log3x +1 (x − 4) > 1; 71) log x 182 2x + 0, > 0; 5(1 − x) 72) log3x +5 (9x + 8x + 8) > 2; 74) log 25− x 24 − x − 2x > 1; 14 73) log 4− x 75) 2log 2− x (x > 1; x +8x +15) < 1; 16 76) log (x − 2x − 7)5 − log3 (x − 2x − 7)8 3x − 13x + log8 log + 2x 77) ≤ ; log (1 + 2x) log x ≤ 0; 78) log1/ log x (4x − 20x + 22) < 0; 79) log − x + 0,5x + 0,5 16x + < 0; 80) + log (7x + 14x + 8) ≤ + log8 (7x + 14x + 8); 81) lg 2x + 3 + log 10 < 3; (2x +3)3 82) log (5 − 3x ).log − 3x ≥ −1; 83) lg x − +2 ≥ 183 .. .Vấn đề Bất phương trình Logarit- Mũ hệ bất phương trình Logarit- Mũ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT I Giả sử f(x) g(x) hai hàm số xác định tập D R, : a) Nếu a > bất phương trình logaf(x) >... 45 Cho bất phương trình 9x – 5m.6x + 3m.4x > a) Giải bất phương trình m = b) Với giá trị m bất phương trình nghiệm với giá trị x ? (Đại học Văn Lang , năm 1998) Giải Với m = bất phương trình ⇔... vào bất phương trình ta 9t2 + 8t –1 ≥ ⇔ t ≥ (3 ) + 8.3 )≥ =3 -2 ⇔ (do t > 0) x − x ≥ -2 ⇔ ( )( x +1 ) x −2 ≤0 ⇔ x ≤ ⇔ ≤ x ≤ 16 Vậy bất phương trình có tập nghiệm ≤ x ≤ 16 b) Giải bất phương trình