Hàm mũ và hàm logarit

Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc – LT Tel: 016.55.25.25.99 Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T: 04.62.92.0398 1 HÀM MŨ VÀ HÀM LOGARIT. DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH MŨ. I - CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ: 1) Phương trình mũ cơ bản: + Dạng: a f(x) = a g(x) Với (a > 0, a ≠ 1) ⇔ f(x) = g(x) + Dạng: f(x) g(x) = f(x) h(x) ⇔      = ≠ > )x(h)x(g 1)x(f 0)x(f f(x) = 1 2) Phương pháp logarit hóa: 3) Phương pháp ñặt ẩn phụ: Nguyên t ắ c c ủ a ph ươ ng pháp ñặ t ẩ n ph ụ ñố i v ớ i các lo ạ i ph ươ ng trình và b ấ t ph ươ ng trình là nh ư nhau. Song tùy theo ñặ c thù c ủ a t ừ ng lo ạ i ph ươ ng trình mà ta có nh ữ ng ñặ c tr ư ng riêng, ñố i v ớ i nh ữ ng ph ươ ng trình m ũ th ườ ng có các lo ạ i sau: +) ðặ t a x = t ⇒ ðượ c ph ươ ng trình ñố i v ớ i bi ế n t. +) Tích không ñổ i ( hay cho d ướ i d ạ ng tích c ơ s ố b ằ ng 1). +) ðẳ ng c ấ p. 4) Phương pháp ñánh giá: a) Ph ươ ng pháp chung Gi ả s ử ph ả i gi ả i ph ươ ng trình: f(x) = g(x) (1)mà ta ñ ánh giá ñượ c: Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc – LT Tel: 016.55.25.25.99 Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T: 04.62.92.0398 2    ≤ ≥ A)x(g A)x(f Thì (1) có nghi ệ m khi và ch ỉ khi:    = = A)x(g A)x(f b) ð ánh gia theo ñồ th ị : Gi ả s ử ph ả i gi ả i ph ươ ng trình: f(x) = g(x).(1) Mà ta ñ ánh giá ñượ c: f(x) là hàm ñồ ng bi ế n còn g(x) là hàm ngh ị ch bi ế n. Thì (1) có nghi ệ m duy nh ấ t ( vì ñồ th ị hàm ñồ ng bi ế n ch ỉ c ắ t ñồ th ị hàm ngh ị ch bi ế n t ạ i 1 ñ i ể m). Th ườ ng ta s ẽ nh ẩ m ñượ c nghi ệ m duy nh ấ t này d ướ i d ạ ng nghi ệ m nguyên. 5) Phương pháp ñại số: II - BÀI TẬP LUYỆN: 1 . 4 x + 2 x - 6 = 0 2. 5 2x− = 3 - x 3. 3 x + 4 x = 5 x 4. 2 x2x 2 − .3 x = 1,5. 5 . 5 x 1x x 8 . − = 500 6. x x + 3 = 1. (Tìm nghi ệ m nguyên) 7 . 2xx 2 x −− = 1 8. 5 1 + x + 5 1 - x = 24 9. 2 x + 3 = 5 x 10 . (x 2 - x + 1) x2x 2 + = 1 11. 4 x + 6 x = 9 x 12. 2 x = 3 2 x + 1 13 . 2 3x + = 3 5x2x 2 −+ 14. 4 x + 4 -x + 2 x + 2 -x = 10 15 . 2 xcos − = xlog π + x log π 16. 4 x = 2.14 x + 3.49 x 17. 3.25 2x− + (3x - 10)5 2x− + 3 - x = 0 18. 9 x + 2(x - 3).3 x + 5 - 2x =0 19. )12.3(log x 2 − = 2x + 1 20. ( 5 + 2) 1x + = ( 5 - 2) 1x 1x + − 21. 3 x )83( − + 3 x )83( + = 2,5 22 . 4 x x = x 4 x Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc – LT Tel: 016.55.25.25.99 Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T: 04.62.92.0398 3 23. 25 x - 2(3 - x)5 x + 2x - 7 = 0 24 . ( 3 1 ) x 2 + 3. ( 3 1 ) 1 x 1 + = 12 25 . 8 - x.2 x + 2 3-x - x = 0 26. 2 x + 2 -x = 2.cos 3 x 27. 2 x = sin 2 x 28 . 2 x .3 x-1 .5 x-2 = 12 29 . (5 - 21 ) x + 7(5 + 21 ) x = 2 x+3 30. (26 + 15 3) x + 2. (7 + 4 3 ) x - 2. (2 + 3 ) x = 1 31 . (7 + 3 5 ) x + 16. (7 - 3 5 ) x = 2 x+3 32. 4 xsin 2 + 2 xcos 2 = 2 + 2 33. 4 x = 3.2 xx + + 4 x1 + 34 . 5 x 2 1 + - 7.10 x 1 + 2.4 x 1 = 0 35. ( 20 + 14 2 ) 3 x + (20 - 14 2 ) 3 x = 4 x 36. (9 - 45 ) 2 x + 2 x − ( 30 - 6 ) x = 2 37. (2 + 3) x + 2.( 2 26 + ) x = 3 38. 2 1 x 4 + - 5.3 1x2 − = 3 2 1 x − - 4 x 39. ð HQGHN – 00 (2 + 2 ) xlog 2 + x. (2 - 2 ) xlog 2 = 1 + x 2 40. ð HSP - D – 00 3 2x - 8.3 x4x ++ - 9.9 4x + = 0 41. ð HTL – 00 2 1x2 2 + - 9.2 xx 2 + + 2 2x2 + = 0 42. ð H Y HN – 00 2 3x - 6.2 x - )1x(3 2 1 − + x 2 12 = 1 43 . ð HBK – 99 4 lg(10 ) x - 6 lgx = 2.3 2 lg(100x ) 44. ð HC ð – 99 x 2 log x - 5log x +7 3 3 = 2 1 1 - x+1-1 x+1+1 45 . ð H M Ỏ - 01: log 3 7 5 6 36. 0 x x x − = 46. ð HSPHN - A - 01: x x 3 +5 =6x+2 47. 2 2 x +x x -x 2x 2 -4.2 -2 +4=0 Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc – LT Tel: 016.55.25.25.99 Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T: 04.62.92.0398 4 48. 125 3.50 2.8 0 x x x − + = 49. 8 18 2.27 x x x + = 50. 2 1 2 2 2 ( 1) x x x x − − − = − 51. 2 2 log 3 log 5 x x x + = 52. 2 2 sin os 4 2 2 2 x c x + = + 53. 2 2 sin os 81 81 30 x c x + = Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dỡng kiến thức LT Tel: 016.55.25.25.99 Số 8/462 đờng Bởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398 5 DNG 2: BT PHNG TRèNH M. I - CC PHNG PHP GII BT PHNG TRèNH M. 1. Bt phng trỡnh m c bn: + Dng : a f(x) > a g(x) (1)V i (a > 0, a 1) Khỏc v i ph ng trỡnh m , tựy theo c s a ta s ỏp d ng tớnh ch t ủ ng bi n hay ngh ch bi n c a hm s m ủ bi n ủ i (1): N u 0 < a < 1 thỡ (1) f(x) < g(x) N u a > 1 thỡ (1) f(x) > g(x) + Dng : [f(x)] g(x) > [f(x)] h(x) (2) Do (2) c s cú ch a x nờn ta ph i ủ t ủ i u ki n f(x) > 0 v f(x) 1 (chỳ ý khi (2) cú d u b ng) do ủ ú ta cú 2 tr ng h p nghi m sau: ( ) 1 ( ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) ( ) f x g x h x f x g x h x > < < < > 2. Phng phỏp Logarit hoỏ: Ph ng phỏp Logarit hoỏ trong vi c gi i b t ph ng trỡnh m . Vn ủ : Sau khi l y logarit hoỏ hai v thỡ chi u c a b t ph ng trỡnh s l y nh th no? Khi ủ ú tựy theo c s a c a phộp logarit húa: +N u 0 < a < 1 hm log a x l ngh ch bi n khi l y logarit húa thỡ ta ph i ủ i chi u. +N u a > 1 thỡ khi l y logarit húa c s a ta s gi nguyờn chi u. 3. Phng phỏp ủt n ph: Thụng th ng khi gi i b t ph ng trỡnh f(x) > g(x) (1). Vi c gi i tr c ti p theo bi n x g p khú kh n thỡ ta th ng ủ t t = (x) ủ ủ a (1) v b t ph ng trỡnh c a t ủ n gi n h n. Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dỡng kiến thức LT Tel: 016.55.25.25.99 Số 8/462 đờng Bởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398 6 (1) h(t) > 0 (2) (Ho c l h(t)< 0). Gi i (2) thỡ tỡm mi n nghi m c a t, sau ủ ú ta thay t = (x) ủ tỡm mi n nghi m c a bi n x. 4. Phng phỏp ủỏnh giỏ: Trong ph ng trỡnh m ta ủ ó g p 2 ph ng phỏp ủ ỏnh giỏ thỡ trong b t ph ng trỡnh m ta c ng g p 2 ph ng phỏp ny, v n ủ l vi c trỡnh by trong ph ng phỏp ủ th . Bi toỏn : Gi i b t ph ng trỡnh: f(x) > g(x). Trong ủ ú: y = f(x) l hm luụn ủ ng bi n. y = g(x) l hm luụn ngh ch bi n. Theo ph ng phỏp v gi i ph ng trỡnh thỡ f(x) = g(x) cú nghi m, gi s nghi m l x 0 . +Ta cú x = x 0 f(x 0 ) = g(x 0 ) = d x 0 khụng l nghi m. +N u x > x 0 f(x) > f(x 0 ) = d =g(x 0 ) > g(x) x > x 0 l nghi m c a b t ph ng trỡnh. +N u x < x 0 f(x) < f(x 0 ) = d = g(x 0 ) < g(x) x < x 0 khụng l nghi m. V y: Nghi m l x > x 0 . II - BI TP LUYN. Gi i cỏc b t ph ng trỡnh m sau: 1. 9 x - 2.3 x - 15 > 0. 2 . 4 x - 10.2 x + 16 > 0. 3 . 5.5 2x -26.5 x + 5 > 0. 4. 3 x+1 +3 1-x < 10 5. 11) x - (x x2x2 2 + + 6. 0 1 2 122 x xx1 + 7. 2 5 3 x x > 8. 1 3 .8 500 x x x < 9. 05x23).2x(29 xx >++ 10. 12) 3 1 .(3) 3 1 ( 1 x 1 x 2 <+ + 11. 02)13.(3 xx + 12 . 0 1 2 1x22 x x1 + Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dỡng kiến thức LT Tel: 016.55.25.25.99 Số 8/462 đờng Bởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398 7 13. 4 2 1 2 2 1 x x x + < 14. 1x 1x 1x )25()25( + + 15. 2 2 | 1| 1 3 ( ) 3 x x x x 16 . x1x 3 1 1 1 3 1 > + 17. 7575)245(2 xxx ++ 18 . 3 4 5 x x x + > 19. )24.(48 xx 20. 2 2 2 2 1 2 1 2 25 9 34.15 x x x x x x + + + 21. 2 2 3.25 (3 10).5 3 0 x x x x + + 22 . 3x 1x 1x 3x )310()310( + + <+ 23 . HTCKTON 98: 1 4 3.2 4 x x x x + + + 24. HNN 98: (2 3) (7 4 3)(2 3) 4.(2 3) x x + + + > + 25. 1 2 1 2 3 2 12 x x x + + < 26. 2.2 3.3 6 1 x x x + > 27. 2 1 2 1 (2. 3 11) (2 3 11) 4 3 x x + + 28. 2 2 2 3 5 2 3 3 .5 . 3 5 2 9 .5 x x x x x x x x x + + > + + 29. x22x2 3.x4x3x52.3.x2x2x3x52 +>+ 30. 2 1 2 4 .3 3 2.3 . 2 6 x x x x x x x + + + < + + 31. HXD - 01: )8e.x(xe.8x 1x21x4 > 32 . Y TB: 2 2 2 3 5 2 2 3 .2 . 3 5 2 4 .3 x x x x x x x x x + + > + + 33. HSP - D - 01: 2 2.3 2 1 3 2 x x x x + 34. 2 2 2 2 4 ( 3).2 2 2 0 x x x x + + 35. 9 2( 5).3 9(2 1) 0 x x x x + + + Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc – LT Tel: 016.55.25.25.99 Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T: 04.62.92.0398 8 DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT. I - CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI. 1) Phương trình logarit cơ bản: +) D ạ ng: log a f(x) = b ⇔ f(x) = a b v ớ i 0 < a ≠ 1. +) D ạ ng: log a f(x) = log a g(x) ⇔      =    > > )x(g)x(f 0)x(g 0)x(f +) D ạ ng: log )x(f g(x) = log )x(f h(x) ⇔          = ≠<    > > )x(h)x(g 1)x(f0 0)x(g 0)x(h 2) Phương pháp mũ hóa: Khi ph ươ ng trình logarit không có cùng c ơ s ố thì ta th ườ ng ñư a ph ươ ng trình này v ề ph ươ ng trình m ũ không chính t ắ c b ằ ng ph ươ ng pháp m ũ hóa: Ví d ụ : log 2 (1 + x ) = log 3 x 3) Phương pháp ñặt ẩn phụ: 4) Phương pháp ñánh giá: Nh ư ph ươ ng trình m ũ . II - BÀI TẬP LUYỆN 1 . log x 16 - log x 2 = 2 1 . 2 . log x log 3 (9 x - 7) = 1 3. log 12 ( 4 x x + ) = 2 1 .log 9 x 4. log 3 (3 3 x + ) + log 3 (3 9 1x + + ) = 2 Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc – LT Tel: 016.55.25.25.99 Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T: 04.62.92.0398 9 5. log 2 (x + 3 xlog 6 ) = log 6 x 6. lg( 1 x + ) = log 3 x 7. log 3 x + log 3 x + log 3 1 x = 6 8. log 2 x + log 8 x = 8 9. log x 2.log 2x 2.log 2 4x = 1 10 . log 9x 27 - log 3x 3 + log 9 243 = 0 11 . log x 2.log 2x 2 = log 8x 2 12 . HVBCVT – 99 log x 2 2 + log 2 4x = 3 13. ð H Y HN – 99 log 5 x + log 3 x = log 5 3.log 9 225 14. ð H TH Ủ Y S Ả N – 99 log x21 − (6x 2 - 5x + 1) - log x31 − (4x 2 -4x +1) - 2 = 0 15. ð HXD – 99 log x (cosx - sinx) + log x 1 (cosx + cos2x) = 0 16 . ð HNNHN – 99 log 2 x - log 4 x = - 6 7 17 . log 2 (x - 1 x 2 − ).log 3 (x + 1 x 2 − ) = log 6 (x- 1 x 2 − ) 18. ð H KINH T Ế - 00 ( 13x4x 2 ++− ).log 5 5 x + )16x2x8.( x 1 2 +−− = 0 19 . ð HBK – 00 log 4 (x + 1) 2 + 2 = log 2 x 4 − + log 8 (x + 4) 3 20 . ð HQG – 00 log 5 x = log 7 (x + 2) 21. ð HTN – 00 log 9 (x 2 -5x + 6) 2 = 3xlog 2 1x log. 2 1 3 3 −+ − 22. HVBCVT – 00 log 3 (x 2 + x+ 1) - log 3 x = 2x - x 2 23. ð HNT – 00 log xsin 4.log xsin 2 2 = 4 24. x 5,4xlg3xlg 22 −− = 10 xlg2 − 25 . ð HAN - A – 01 )1x(log2 2log 1 )1x3(log 2 3x 2 ++=+− + 26 . ð H LU Ậ T – 01 2 2 2 2 log 2 log 6 log 4 4 2.3 x x x − = 27. ð HNT TPHCM - A – 01 2x3x) 5 x 4 x 2 3xx (log 2 2 2 3 ++= + + ++ Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc – LT Tel: 016.55.25.25.99 Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T: 04.62.92.0398 10 28 . ð HSP VINH - A – 01 )1xx(log)1xx(log).1xx(log 2 20 2 5 2 4 −−=−+−− 29 . ð HNNI - B – 01 2xlog)x2(log x2 x 2 = + + + 30. ð HKTQD – 01 4)21x23x6(log)x4x129(log 2 3x2 2 7x3 =+++++ ++ 31. TS ð H - A - 2002. Cho ph ươ ng trình: 01m21xlogxlog 2 3 2 3 =−−++ a) Gi ả i ph ươ ng trình khi m = 2. b) Tìm m ñể ph ươ ng trình có ít nh ấ t 1 nghi ệ m thu ộ c [1, 3 3 ]. 32. 2 2 2 2 2 log [ ( 1) ]+log .log ( ) 2 0 x x x x x − − − = 33. 2 2 log log 5 2 3 x x x + = [...]... 3  ≥1 23 ðHAN - D - 01 Tìm t p xác ñ nh c a hàm s : y = log 2 ( x 2 + 2) log 2− x 2 − 2 24 TSðH - B – 2002 25 2(log x )2 + x log x ≤ 32 26 3(log x )2 log x (log 3 (9 x − 72)) ≤ 1 + x log x ≤ 6 2 3 2 3 Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN 13 §T: 04.62.92.0398 Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc – LT Tel: 016.55.25.25.99 D NG 5: H PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT I - CÁC PHƯƠNG PHÁP GI I 1) Phương pháp... N u0 1  g ( x ) > h ( x ) > 0  2) Phương pháp mũ hóa: Như trong ph n phương trình logarit Ví d : gi i b t phương trình log2(1 + x ) > log3x 3) Phương pháp ñ t n ph : Ví d : gi i b t phương trình 20 log 4 x x + 7 log16 x x 3 − 3 log x x 2 > 0 2 4) Phương pháp ñánh giá:...Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc – LT Tel: 016.55.25.25.99 D NG 4: B T PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT I - CÁC PNƯƠNG PHÁP GI I 1) B t phương trình logarit cơ b n: +) D ng: logaf(x) > b ⇔ f(x) > ab N u a > 1 ⇔ f(x) < ab n u 0 < a < 1 g ( x ) > 0 +) D ng: logaf(x) > logag(x) ⇔  N ua>1 f ( x ) > g ( x ) f ( x ) > 0 N u0