Hàm mũ và Logarit

Hàm mũ và Logarit

Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit

1

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I Hàm số mũ

 y=a x ; TXĐ D=R

 Bảng biến thiên

x  0 + x  0 +

1



y +

1



f(x)=3^x

-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3

x

y

y=3 x

f(x)=(1/3)^x

-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3

x y

II Hàm số lgarit

 y=log ax, ĐK:













1 0

0

a

x

; D=(0;+)

 Bảng biến thiên

1



1



f(x)=ln(x)/ln(3)

f(x)=3^x

f(x)=x

-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x y

y=x

y=3 x

y=log3x

f(x)=ln(x)/ln(1/3) f(x)=(1/3)^x f(x)=x

-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x

y

y=x

III Các công thức

1 Công thức lũy thừa:

Với a>0, b>0; m, nR ta có:

n a a

a   ;( n

a

1

=am ; a0=1; a1=

a

1 );

n n

b

a b

a 











m a

2 Công thức logarit: logab=ca c =b (0<a1; b>0) Với 0<a1, 0<b1; x, x1 , x2>0; R ta có:

2

1

x

x

= logax1logax2;

x

aloga x

Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit x

a 1 log

log



a

x b

b

log

log

;(logab=

a b

log

1 ) logba.logax=logbx; alogb

x

=xlogb a

IV Phương trình và bất phương trình mũlogarit

1 Phương trình mũlogarit

a Phương trình mũ:

Đưa về cùng cơ số

+0<a1: a f(x) =a g(x) (1)  f(x)=g(x)



b x

f

b

a

log

0

Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) (a1)[f(x)g(x)]=0

Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=ax

(t>0), để đưa về một phương trình đại số

Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2 3), (7 4 3),… Nếu trong một phương trình có chứa {a 2x

;b 2x ;axbx}

ta có thể chia hai vế cho b 2x (hoặc a 2x ) rồi đặt t=(a/b) x

(hoặc t=(b/a) x

Phương pháp logarit hóa: af(x)

=b g(x) f(x).log ca=g(x).logcb,với a,b>0; 0<c1

b Phương trình logarit:

Đưa về cùng cơ số:

+logaf(x)=g(x)

   













x g a x f

a 1 0

+logaf(x)= logag(x)      

   





















x g x f

x g x

f

a

0 0

1 0

Đặt ẩn phụ

2 Bất phương trình mũlogarit

a Bất phương trình mũ:

 a f(x)

>a g(x)          



0 1

0

x g x f a

a

;  a f(x)a g(x)          



0 1

0

x g x f a

a

Đặt biệt:

* Nếu a>1 thì: a f(x) >a g(x)  f(x)>g(x);

a f(x)a g(x)  f(x)g(x)

* Nếu 0<a<1 thì: a f(x) >a g(x)  f(x)g(x);

a f(x)a g(x)  f(x)g(x)

b Bất phương trình logarit:

logaf(x)>logag(x)    

       

























0 1

0 ,

0

1 0

x g x f a

x g x f

a

; logaf(x)logag(x)    

       

























0 1

0 ,

0

1 0

x g x f a

x g x f

a

Đặt biệt:

 











0

x g

x g x f

;

+ Nếu 0<a<1 thì: log af(x)>logag(x)     

 











0

x f

x g x f

*

* *

Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNHBẤT PHƯƠNG TRÌNHHỆ

PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT

I Biến đổi thành tích

2x x 4.2x x 2 x   4 0 2x x 1 2 x 4 0

Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích thành

2

2x x 1 2 x 4 0 Đây là phương trình tích đã biết cách giải

2 log x log x.log 2x 1 1

Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích: log3x2 log3 2x 1 1 log 3x0

Đây là phương trình tích đã biết cách giải

Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi

thành tích

II Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn

Ví dụ 1: Giải phương trình: 9x 2(x2)3x 2x 5 0 Đặt t = 3 x (*), khi đó ta có:

Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi  là số chính phương

log x 1 x5 log x 1 2x 6 0 Đặt t = log3(x+1), ta có:

2

III Phương pháp hàm số

Các tính chất:

Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (kR) có không quá một

nghiệm trong khoảng (a;b)

Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có f u( ) f v  u v

Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b)

Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì

 a b

c ;

a b

a F b F c F







 ; : '  0 '  0

Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D

Ví dụ 1: Giải phương trình: log 2

trình có nghiệm duy nhất x=1

Ví dụ 2: Giải phương trình: 6x 2x 5x 3x Phương trình tương đương 6x5x 3x 2x, giả sử phương trình có nghiêm  Khi đó: 6 5 3 2

t t

t

f  1  , với t > 0 Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại c 2;5

f c   c  c     , thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của

phương trình

x

2

2x   x 1 2x x x x, xét hàm số f   t  2t  t là hàm đồng biến trên R ( ??? ) Vậy phương trình được

viết dưới dạng: f x  1 f x 2 x  x 1 x2  x x 1

Ví dụ 4: Giải phương trình: 3x 2x 3x2 Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1 Ta cần chứng minh

không còn nghiệm nào khác

Xét hàm số f x 3x 2x 3x 2 f '' x 3 ln 3x 2 2 ln 2x 2  0 Đồ thị của hàm số này lõm, suy ra

Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit

2

2007

1 2007

1

x

y

y e

y x e

x







có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0

HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số  

1

x

Nếu x < 1 thì    1 2007  0

e x

Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh

HD: BĐT

1

ln 2

2

x x

x



với x > 0

Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với a  b  0ta có f(a) f b (Đpcm)

IV Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên

1.Dạng 1: Khác cơ số:

Ví dụ: Giải phương trình log7xlog (3 x2) Đặt t = log7x x 7tKhi đó phương trình trở thành:

3

  

2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp

5 6

log (x 2x2)2 log x 2x3

Đặt t = x2

– 2x – 3 ta có log6t 1 log5t

Ví dụ 2: Giải phương trình  log 6 

log x3 x log x Đặt tlog6x, phương trình tương đương 3

2

t

 

3 Dạng 3: logbx c

a   x ( Điều kiện: b = a + c )

Ví dụ 1: Giải phương trình log 7 3

4 x x Đặt tlog7x 3 7t  x 3, phương trình tương

Ví dụ 2: Giải phương trình  

4

2log3 5  

x x

Đặt t = x+4 phương trình tương đương  

t

t 1 

log3

2

Ví dụ 3: Giải phương trình log 3 1   log 3 1

4 Dạng 4: s ax b clogsdxex , vớidac,ebc

Phương pháp: Đặt ay b log (s dxe)rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình một ta được: s ax b acxs ay b acy Xét   at b

f t s  act

Ví dụ: Giải phương trình 7x1 6log (67 x 5) 1 Đặt y 1 log76x5 Khi đó chuyển thành hệ

1 7

y



f t    t suy ra x=y, Khi

7x 6x 5 0 Xét hàm số    7 1 6  5

x x

nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2

5 Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình

Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit

Ví dụ: Giải phương trình

x

x  x  x x

2x 12x 2  2x 2x 2

u   v   u v

Nhận xét: u.v = u + v Từ đó ta có hệ:

u v u v

  









Bài tập

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a.2 3 x  2 3x  4 0

c.74 3x 3 2  3x  2 0

3 5 x 16 3 5 x  2x

     (ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x=1

f 3.8x+4.12x18x2.27x=0 (ĐH_Khối A 2006) ĐS: x=1

g 2x2x 4.2x2x 22x  4 0 (ĐH_Khối D 2006) ĐS: x=0, x=1

k 2x2x 22 x x2 3 (ĐH_Khối D 2003) ĐS: x=1, x=2

i 3.16x2.8x 5.32x

j

2.4x 6x 9x

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

a

x y



 







x y

x y









5





 



2 2

3x xy y 81

 







e





f 1  4

4

1

25

y x

y





  



(ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4)

g

1

x

x

y









(ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4)

Bài 3: Giải và biện luận phương trình:

a m2 2 x m.2x  m 0 b 3m x m.3x 8

Bài 4: Cho phương trình log32x log23x 1 2m 1 0 (m là tham số) (ĐH_Khối A 2002)

a Giải phương trình khi m=2

b Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1; 3 3

ĐS: a   3  

Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit

Bài 5: Cho bất phương trình 4x 1m 2 x  1 0 a Giải bất phương trình khi m=16

9

b Định m để bất phương trình thỏa x R

Bài 6: Giải các phương trình sau:

a log5 xlog5x6log5x2 b log5xlog25xlog0,2 3

1

x

x





e log2x 1(2x2+x1)+logx+1 (2x1)2=4 (ĐH Khối A_2008) ĐS: x=2; x=5/4

f 2 

1

x

 (ĐH_Khối D 2007) ĐS: x=log23

Bài 7: Giải bất phương trình:

3

b

2 0,7 6

4

x



  (ĐH_Khối B 2008) ĐS: 4< x < 3, x > 8

log 4x 144  4 log 2 1  log 2x  1 (ĐH_Khối B 2006) ĐS: 2 < x < 4

d

2

1

2

x

 (ĐH_Khối D 2008) ĐS: 2 2;1 2; 2 2

