Luyện thi đại học hàm Mũ Logarit

Luyện thi đại học hàm Mũ Logarit

Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Hàm số mũ  y=ax; TXĐ D=R  Bảng biến thiên a>1 0<a<1 x  0 + x  0 + y + 1  y + 1   Đồ thị f(x)=3^x-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1-15-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123xyy=3x f(x)=(1/3)^x-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3-15-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123xy II. Hàm số lgarit  y=logax, ĐK:100ax; D=(0;+)  Bảng biến thiên a>1 0<a<1 x 0 0 + x 0 0 + y + 1  y + 1   Đồ thị f(x)=ln(x)/ln(3)f(x)=3^xf(x)=x-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3-15-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-11234xyy=xy=3xy=log3x f(x)=ln(x)/ln(1/3)f(x)=(1/3)^xf(x)=x-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3-15-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-11234xyy=x III. Các công thức 1. Công thức lũy thừa: Với a>0, b>0; m, nR ta có: anam =an+m; mnmnaaa;(na1=am ; a0=1; a1=a1); (an)m =anm ; (ab)n=anbn; mnnbaba; nmnmaa . 2. Công thức logarit: logab=cac=b (0<a1; b>0) Với 0<a1, 0<b1; x, x1, x2>0; R ta có: loga(x1x2)=logax1+logax2 ; loga21xx= logax1logax2; xaxalog; logax=logax; Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit 2 xxaalog1log;(logaax=x); logax=axbbloglog;(logab=ablog1) logba.logax=logbx; alogbx=xlogba. IV. Phƣơng trình và bất phƣơng trình mũlogarit 1. Phƣơng trình mũlogarit a. Phương trình mũ: Đưa về cùng cơ số +0<a1: af(x)=ag(x) (1)  f(x)=g(x). + 0<a1: af(x)=b  bxfbalog0. Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) (a1)[f(x)g(x)]=0 Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=ax (t>0), để đưa về một phương trình đại số Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (23), (743),… Nếu trong một phương trình có chứa {a2x;b2x;axbx} ta có thể chia hai vế cho b2x(hoặc a2x) rồi đặt t=(a/b)x (hoặc t=(b/a)x. Phương pháp logarit hóa: af(x)=bg(x) f(x).logca=g(x).logcb,với a,b>0; 0<c1. b. Phương trình logarit: Đưa về cùng cơ số: +logaf(x)=g(x)  xgaxfa 10 +logaf(x)= logag(x)       xgxfxgxfa0010. Đặt ẩn phụ. 2. Bất phƣơng trình mũlogarit a. Bất phương trình mũ:  af(x)>ag(x)       010xgxfaa;  af(x)ag(x)       010xgxfaa. Đặt biệt: * Nếu a>1 thì: af(x)>ag(x)  f(x)>g(x); af(x)ag(x)  f(x)g(x). * Nếu 0<a<1 thì: af(x)>ag(x)  f(x)g(x); af(x)ag(x)  f(x)g(x). b. Bất phương trình logarit: logaf(x)>logag(x)         010,010xgxfaxgxfa; logaf(x)logag(x)          010,010xgxfaxgxfa. Đặt biệt: + Nếu a>1 thì: logaf(x)>logag(x)      0xgxgxf; + Nếu 0<a<1 thì: logaf(x)>logag(x)      0xfxgxf. * * * Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit 3 MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNHBẤT PHƢƠNG TRÌNHHỆ PHƢƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT I. Biến đổi thành tích Ví dụ 1: Giải phương trình:   2 2 2222 4.2 2 4 0 2 1 . 2 4 0x x x x x x x x         . Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích thành tích:  222 1 . 2 4 0x x x  . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. Ví dụ 2: Giải phương trình:   29 3 32 log log .log 2 1 1x x x  . Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích:  3 3 3log 2log 2 1 1 .log 0x x x   . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi thành tích. II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn Ví dụ 1: Giải phương trình: 9 2( 2)3 2 5 0xxxx    . Đặt t = 3x (*), khi đó ta có:  22 2 2 5 0 1, 5 2t x t x t t x         . Thay vào (*) ta tìm được x. Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi  là số chính phương. Ví dụ 2: Giải phương trình:      233log 1 5 log 1 2 6 0x x x x      . Đặt t = log3(x+1), ta có:  25 2 6 0 2, 3t x t x t t x         x = 8 và x = 2. III. Phương pháp hàm số Các tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (kR) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có  ()f u f v u v  . Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b). Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì  bac ;:    abaFbFcF'. Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì      ; : ' 0 ' 0c a b F c F x     có nghiệm thuộc (a;b). Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D. Ví dụ 1: Giải phương trình: 2log2.3 3xx . Hướng dẫn: 22log log2.3 3 2.3 3xxxx    , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình có nghiệm duy nhất x=1. Ví dụ 2: Giải phương trình: 6 2 5 3x x x x  . Phương trình tương đương 6 5 3 2x x x x  , giả sử phương trình có nghiêm . Khi đó: 2356 . Xét hàm số    tttf  1, với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại  2;5c sao cho:    1'10 1 0 0, 1f c c c         , thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của phương trình. Ví dụ 3: Giải phương trình:2122 2 ( 1)x x xx   . Viết lại phương trình dưới dạng 2122 1 2x x xx x x    , xét hàm số  ttft 2 là hàm đồng biến trên R ( ??? ). Vậy phương trình được viết dưới dạng:   221 1 1f x f x x x x x x        . Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 2 3 2xxx  . Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1. Ta cần chứng minh không còn nghiệm nào khác. Xét hàm số    223 2 3 2 '' 3 ln 3 2 ln 2 0x x x xf x x f x         Đồ thị của hàm số này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghiệm. Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit 4 Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình 222007120071xyyeyxex có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0. HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số  220071xxf x ex  . Nếu x < 1 thì  020071exfsuy ra hệ phương trình vô nghiệm. Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 6: Cho 0 ba. Chứng minh rằng 112222baabab           (ĐH Khối D2007) HD: BĐT 11ln 2 ln 21122ln 2 ln 222ababababbaab                       . Xét hàm số  1ln 22xxfxx với x > 0 Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với 0 bata có  bfaf )((Đpcm). IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên. 1.Dạng 1: Khác cơ số: Ví dụ: Giải phương trình 73log log ( 2)xx. Đặt t = 7log 7txxKhi đó phương trình trở thành: 371log ( 7 2) 3 7 2 1 2.33ttt t tt       . 2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp Ví dụ 1: Giải phương trình  42256log ( 2 2) 2log 2 3x x x x    . Đặt t = x2 – 2x – 3 ta có  65log 1 logtt. Ví dụ 2: Giải phương trình  6log26log 3 logxxx. Đặt 6logtx, phương trình tương đương 36 3 2 3 12tt t t t    . 3. Dạng 3:  logbxcax ( Điều kiện: b = a + c ) Ví dụ 1: Giải phương trình  7log 34xx. Đặt  7log 3 7 3tt x x    , phương trình tương đương 414 7 3 3. 177tttt             . Ví dụ 2: Giải phương trình  425log3xx. Đặt t = x+4 phương trình tương đương  tt1log32 Ví dụ 3: Giải phương trình    33log 1 log 14 1 2 0xxxx   . 4. Dạng 4:  logax bss c dx e x   , với,d ac e bc    Phƣơng pháp: Đặt log ( )say b dx e  rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình một ta được: ax b ay bs acx s acy  . Xét  at bf t s act. Ví dụ: Giải phương trình 177 6log (6 5) 1xx  . Đặt  71 log 6 5yx  . Khi đó chuyển thành hệ   1111177 6 1 17 6 57 6 7 61 log 6 57 6 5xxxyyyyxyyxx        . Xét hàm số 176tf t tsuy ra x=y, Khi đó: 17 6 5 0xx  . Xét hàm số 5671xxgx Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2. 5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình. Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit 5 Ví dụ: Giải phương trình 1 1 18 2 182 1 2 2 2 2 2xx x x x      HD: Viết phương trình dưới dạng 1 1 1 18 1 182 1 2 2 2 2 2x x x x      , đặt 112 1, 2 1. , 0xxu v u v    . Nhận xét: u.v = u + v. Từ đó ta có hệ: 8 1 18.u v u vu v u v Bài tập Bài 1: Giải các phương trình sau: a.   2 3 2 3 4 0xx     b.    2 3 2 3 4xx    c.   7 4 3 3 2 3 2 0xx     d.    33 5 16 3 5 2xxx    e.    2 1 2 1 2 2 0xx    (ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x=1. f. 3.8x+4.12x18x2.27x=0. (ĐH_Khối A 2006) ĐS: x=1. g. 2222 4.2 2 4 0x x x x x    (ĐH_Khối D 2006) ĐS: x=0, x=1. k. 2222 2 3x x x x   (ĐH_Khối D 2003) ĐS: x=1, x=2. i.3.16 2.8 5.32x x x j.1 1 12.4 6 9x x x Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: a. 3 2 34 12851xyxy b.2( ) 15 12541xyxy c.2 2 125xyxy d.   222222log 1 log3 81x xy yx y xy   (ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2), (2;2) e.  23931 2 13log 9 log 3xyxy    (ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2). f.  144221log log 125yxyxy   (ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4) g. 3212 5 44222xxxxyyy (ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4). Bài 3: Giải và biện luận phương trình: a .  2 .2 .2 0xxm m m   . b . .3 .3 8xxmm. Bài 4: Cho phương trình 2233log log 1 2 1 0x x m     (m là tham số). (ĐH_Khối A 2002) a. Giải phương trình khi m=2. b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 31;3. ĐS: a. 33x, b. 0  m  2 Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit 6 Bài 5: Cho bất phương trình  14 . 2 1 0xxm   a. Giải bất phương trình khi m=169. b. Định m để bất phương trình thỏaxR. Bài 6: Giải các phương trình sau: a.    5 5 5log log 6 log 2x x x    b. 5 25 0,2log log log 3xx c.  2log 2 5 4 2xxx   d.23lg( 2 3) lg 01xxxx    e. log2x1(2x2+x1)+logx+1(2x1)2=4 (ĐH Khối A_2008) ĐS: x=2; x=5/4. f.  222log 1 6log 1 2 0xx     (ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3. g.  221log 4 15.2 27 2log 04.2 3xxx    (ĐH_Khối D 2007) ĐS: x=log23. Bài 7: Giải bất phương trình: a.  3132log (4 3) log 2 3 2xx    (ĐH Khối A_2007) ĐS: 3/4  x  3. b. 20,7 6log log 04xxx (ĐH_Khối B 2008) ĐS: 4< x < 3, x > 8. c.    25 5 5log 4 144 4log 2 1 log 2 1xx     (ĐH_Khối B 2006) ĐS: 2 < x < 4. d. 21232log 0xxx (ĐH_Khối D 2008) ĐS:  2 2;1 2;2 2.  . trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_ Logarit 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Hàm số mũ  y=ax; TXĐ D=R  Bảng biến thi n a>1 0<a<1 x. alogbx=xlogba. IV. Phƣơng trình và bất phƣơng trình mũ logarit 1. Phƣơng trình mũ logarit a. Phương trình mũ: Đưa về cùng cơ số +0<a1: af(x)=ag(x) (1)