Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình − hệ phương trình Mũ_Logarit 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Hàm số mũ • y=a x ; TXĐ D=R • Bảng biến thiên a>1 0<a<1 x −∞ 0 +∞ x −∞ 0 +∞ y +∞ 1 −∞ y +∞ 1 −∞ • Đồ thị -3 -2 -1 1 -2 -1 1 2 3 x y y=3 x -2 -1 1 2 3 -2 -1 1 2 3 x y x y = 3 1 II. Hàm số lgarit • y=log a x, ĐK: ≠< > 10 0 a x ; D=(0;+∞) • Bảng biến thiên a>1 0<a<1 x 0 0 +∞ x 0 0 +∞ y +∞ 1 −∞ y +∞ 1 −∞ • Đồ thị -1 1 2 3 -2 -1 1 2 3 4 x y y=x y=3 x y=log 3 x -1 1 2 3 -2 -1 1 2 3 4 x y x y = 3 1 xy 3 1 log = y=x III. Các công thức 1. Công thức lũy thừa: Với a>0, b>0; m, n∈R ta có: a n a m =a n+m ; mn m n a a a − = ;( n a 1 =a −m ; a 0 =1; a −1 = a 1 ); (a n ) m =a nm ; (ab) n =a n b n ; m n n b a b a = ; n m n m aa = . 2. Công thức logarit: log a b=c⇔a c =b (0<a≠1; b>0) Với 0<a≠1, 0<b≠1; x, x 1 , x 2 >0; α ∈R ta có: log a (x 1 x 2 )=log a x 1 +log a x 2 ; log a 2 1 x x = log a x 1 − log a x 2 ; xa x a = log ; log a x α = α log a x; Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình − hệ phương trình Mũ_Logarit 2 xx a a log 1 log α α = ;(log a a x =x); log a x= a x b b log log ;(log a b= a b log 1 ) log b a.log a x=log b x; a log b x =x log b a . IV. Phương trình và bất phương trình mũ− −− −logarit 1. Phương trình mũ− −− −logarit a. Phương trình mũ: Đưa về cùng cơ số +0<a≠1: a f(x) =a g(x) (1) ⇔ f(x)=g(x). + 0<a≠1: a f(x) =b ⇔ ( ) = > bxf b a log 0 . Chú ý: N ế u a ch ứ a bi ế n thì (1) ⇔(a−1)[f(x)−g(x)]=0 Đặ t ẩ n ph ụ : Ta có th ể đặ t t=a x (t>0), để đư a v ề m ộ t ph ươ ng trình đạ i s ố L ư u ý nh ữ ng c ặ p s ố ngh ị ch đả o nh ư : (2 3 ± ), (7 4 3 ± ),… N ế u trong m ộ t ph ươ ng trình có ch ứ a {a 2x ;b 2x ;a x b x } ta có th ể chia hai v ế cho b 2x (ho ặ c a 2x ) r ồ i đặ t t=(a/b) x (ho ặ c t=(b/a) x . Ph ươ ng pháp logarit hóa: a f(x) =b g(x) ⇔ f(x).log c a=g(x).log c b,v ớ i a,b>0; 0<c≠1. b. Ph ươ ng trình logarit: Đư a v ề cùng c ơ s ố : +log a f(x)=g(x)⇔ ( ) ( ) = ≠< xg axf a 10 +log a f(x)= log a g(x)⇔ ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) = >> ≠< xgxf xgxf a 00 10 . Đặ t ẩ n ph ụ . 2. Bất phương trình mũ − −− − logarit a. B ấ t ph ươ ng trình m ũ : a f(x) >a g(x) ⇔ ( ) ( ) ( ) [ ] >−− > 01 0 xgxfa a ; a f(x) ≥a g(x) ⇔ ( ) ( ) ( ) [ ] ≥−− > 01 0 xgxfa a . Đặt biệt: * Nếu a>1 thì: a f(x) >a g(x) ⇔ f(x)>g(x); a f(x) ≥a g(x) ⇔ f(x)≥g(x). * Nếu 0<a<1 thì: a f(x) >a g(x) ⇔ f(x)<g(x); a f(x) ≥a g(x) ⇔ f(x)≤g(x). b. Bất phương trình logarit: log a f(x)>log a g(x)⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] >−− >> ≠< 01 0,0 10 xgxfa xgxf a ; log a f(x)≥log a g(x)⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ≥−− >> ≠< 01 0,0 10 xgxfa xgxf a . Đặt biệt: + Nếu a>1 thì: log a f(x)>log a g(x) ⇔ ( ) ( ) ( ) > > 0xg xgxf ; + Nếu 0<a<1 thì: log a f(x)>log a g(x) ⇔ ( ) ( ) ( ) > < 0xf xgxf . * * * Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình − hệ phương trình Mũ_Logarit 3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH − −− − BẤT PHƯƠNG TRÌNH − −− − HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT I. Biến đổi thành tích Ví dụ 1: Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4.2 2 4 0 2 1 . 2 4 0 x x x x x x x x+ − − − − + = ⇔ − − = . Nhận xét: M ặ c dù cùng c ơ s ố 2 nh ư ng không th ể bi ế n đổ i để đặ t đượ c ẩ n ph ụ do đ ó ta ph ả i phân tích thành tích: ( ) ( ) 2 2 2 1 . 2 4 0 x x x− − − = . Đ ây là ph ươ ng trình tích đ ã bi ế t cách gi ả i. Ví d ụ 2: Gi ả i ph ươ ng trình: ( ) ( ) 2 9 3 3 2 log log .log 2 1 1 x x x = + − . Nh ậ n xét: T ươ ng t ự nh ư trên ta ph ả i bi ế n đổ i ph ươ ng trình thành tích: ( ) 3 3 3 log 2log 2 1 1 .log 0 x x x − + − = . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi thành tích. II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn Ví dụ 1: Giải phương trình: 9 2( 2)3 2 5 0 x x x x + − + − = . Đặ t t = 3 x (*), khi đ ó ta có: ( ) 2 2 2 2 5 0 1, 5 2 t x t x t t x + − + − = ⇒ = − = − . Thay vào (*) ta tìm đượ c x. L ư u ý: Ph ươ ng pháp này ch ỉ s ử d ụ ng khi ∆ là s ố chính ph ươ ng. Ví d ụ 2: Gi ả i ph ươ ng trình: ( ) ( ) ( ) 2 3 3 log 1 5 log 1 2 6 0 x x x x + + − + − + = . Đặ t t = log 3 (x+1), ta có: ( ) 2 5 2 6 0 2, 3 t x t x t t x + − − + = ⇒ = = − ⇒ x = 8 và x = 2. III. Phương pháp hàm số Các tính chất: Tính chất 1: N ế u hàm f t ă ng (ho ặ c gi ả m) trên kho ả ng (a;b) thì ph ươ ng trình f(x)=k (k ∈ R) có không quá m ộ t nghi ệ m trong kho ả ng (a;b). Tính chất 2: N ế u hàm f t ă ng (ho ặ c gi ả m) trên kho ả ng (a;b) thì ∀ u, v ∈ (a,b) ta có ( ) ( ) f u f v u v = ⇔ = . Tính chất 3: N ế u hàm f t ă ng và g là hàm h ằ ng ho ặ c gi ả m trong kho ả ng (a;b) thì ph ươ ng trình f(x)=g(x) có nhi ề u nh ấ t m ộ t nghi ệ m thu ộ c kho ả ng (a;b). Định lý Lagrange: Cho hàm s ố F(x) liên t ụ c trên đ o ạ n [a;b] và t ồ n t ạ i F'(x) trên kho ả ng (a;b) thì ( ) bac ;∈∃ : ( ) ( ) ( ) a b aFbF cF − − =' . Khi áp d ụ ng gi ả i ph ươ ng trình n ế u có F(b) – F(a) = 0 thì ( ) ( ) ( ) ; : ' 0 ' 0 c a b F c F x ∃ ∈ = ⇔ = có nghi ệ m thu ộ c (a;b). Định lý Rôn: N ế u hàm s ố y=f(x) l ồ i ho ặ c lõm trên mi ề n D thì ph ươ ng trình f(x)=0 s ẽ không có quá hai nghi ệ m thu ộ c D. Ví d ụ 1: Gi ả i ph ươ ng trình: 2 log 2.3 3 x x + = . H ướ ng d ẫ n: 2 2 log log 2.3 3 2.3 3 x x x x + = ⇔ = − , v ế trái là hàm đồ ng bi ế n, v ế ph ả i là hàm ngh ị ch bi ế n nên ph ươ ng trình có nghi ệ m duy nh ấ t x=1. Ví d ụ 2: Gi ả i ph ươ ng trình: 6 2 5 3 x x x x + = + . Ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng 6 5 3 2 x x x x − = − , gi ả s ử ph ươ ng trình có nghiêm α . Khi đ ó: αααα 2356 −=− . Xét hàm s ố ( ) ( ) α α tttf −+= 1 , v ớ i t > 0. Ta nh ậ n th ấ y f(5) = f(2) nên theo đị nh lý lagrange t ồ n t ạ i ( ) 2;5 c ∈ sao cho: ( ) ( ) 1 ' 1 0 1 0 0, 1 f c c c α α α α α − − = ⇔ + − = ⇔ = = , th ử l ạ i ta th ấ y x = 0, x = 1 là nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình. Ví d ụ 3: Gi ả i ph ươ ng trình: 2 1 2 2 2 ( 1) x x x x − − − + = − . Vi ế t l ạ i ph ươ ng trình d ướ i d ạ ng 2 1 2 2 1 2 x x x x x x − − + − = + − , xét hàm s ố ( ) ttf t += 2 là hàm đồ ng bi ế n trên R ( ??? ). V ậ y ph ươ ng trình đượ c vi ế t d ướ i d ạ ng: ( ) ( ) 2 2 1 1 1 f x f x x x x x x − = − ⇔ − = − ⇔ = . Ví d ụ 4: Gi ả i ph ươ ng trình: 3 2 3 2 x x x + = + . D ễ dàng ta tìm đượ c nghi ệ m: x = 0 và x = 1. Ta c ầ n ch ứ ng minh không còn nghi ệ m nào khác. Xét hàm s ố ( ) ( ) 2 2 3 2 3 2 '' 3 ln 3 2 ln 2 0 x x x x f x x f x = + − − ⇒ = + > ⇒ Đồ th ị c ủ a hàm s ố này lõm, suy ra ph ươ ng trình không có quá hai nghi ệ m. Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình − hệ phương trình Mũ_Logarit 4 Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình 2 2 2007 1 2007 1 x y y e y x e x = − − = − − có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0. HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số ( ) 2 2007 1 x x f x e x = + − − . N ế u x < − 1 thì ( ) 02007 1 <−< − exf suy ra h ệ ph ươ ng trình vô nghi ệ m. N ế u x > 1 dùng đị nh lý Rôn và ch ỉ ra v ớ i x 0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra đ i ề u ph ả i ch ứ ng minh. Ví d ụ 6: Cho 0 > ≥ ba . Ch ứ ng minh r ằ ng 1 1 2 2 2 2 b a a b a b + ≤ + (ĐH Khối D−2007) HD: BĐT 1 1 ln 2 ln 2 1 1 2 2 ln 2 ln 2 2 2 a b a b a b a b b a a b + + ⇔ + ≤ + ⇔ ≤ . Xét hàm số ( ) 1 ln 2 2 x x f x x + = với x > 0 Suy ra f ’( x ) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với 0 > ≥ ba ta có ( ) bfaf ≤)( (Đpcm). IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên. 1.Dạng 1 : Khác c ơ s ố : Ví dụ: Giải phương trình 7 3 log log ( 2) x x = + . Đặt t = 7 log 7 t x x ⇒ = Khi đ ó ph ươ ng trình tr ở thành: 3 7 1 log ( 7 2) 3 7 2 1 2. 3 3 t t t t t t = + ⇔ = + ⇔ = + . 2.Dạng 2 : Khác c ơ s ố và bi ể u th ứ c trong d ấ u log ph ứ c t ạ p Ví d ụ 1: Gi ả i ph ươ ng trình ( ) 4 2 2 5 6 log ( 2 2) 2log 2 3 x x x x − − = − − . Đặ t t = x 2 – 2x – 3 ta có ( ) 6 5 log 1 log t t + = . Ví d ụ 2: Gi ả i ph ươ ng trình ( ) 6 log 2 6 log 3 log x x x + = . Đặt 6 log t x = , phương trình tương đương 3 6 3 2 3 1 2 t t t t t + = ⇔ + = . 3. Dạng 3 : ( ) log b x c a x + = ( Đ i ề u ki ệ n: b = a + c ) Ví d ụ 1: Gi ả i ph ươ ng trình ( ) 7 log 3 4 x x + = . Đặ t ( ) 7 log 3 7 3 t t x x = + ⇒ = + , ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng 4 1 4 7 3 3. 1 7 7 t t t t = − ⇔ + = . Ví d ụ 2: Gi ả i ph ươ ng trình ( ) 42 5log 3 += + x x . Đặ t t = x+4 ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng ( ) t t = +1log 3 2 Ví d ụ 3: Gi ả i ph ươ ng trình ( ) ( ) ( ) 3 3 log 1 log 1 4 1 2 0 x x x x + + − − − = . 4. Dạng 4: ( ) log ax b s s c dx e x α β + = + + + , với ,d ac e bc α β = + = + Phương pháp: Đặt log ( ) s ay b dx e + = + rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình một ta được: ax b ay b s acx s acy + + + = + . Xét ( ) at b f t s act + = + . Ví dụ: Giải phương trình 1 7 7 6log (6 5) 1 x x − = − + . Đặt ( ) 7 1 log 6 5 y x − = − . Khi đó chuyển thành hệ ( ) ( ) 1 1 1 1 1 7 7 6 1 1 7 6 5 7 6 7 6 1 log 6 5 7 6 5 x x x y y y y x y y x x − − − − − = − + = − ⇔ ⇒ + = + − = − = − . Xét hàm s ố ( ) 1 7 6 t f t t − = + suy ra x=y, Khi đ ó: 1 7 6 5 0 x x − − + = . Xét hàm s ố ( ) 567 1 +−= − xxg x Áp d ụ ng đị nh lý Rôn và nh ẩ m nghi ệ m ta đượ c 2 nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình là: x = 1, x = 2. 5. Dạng 5: Đặ t ẩ n ph ụ chuy ể n thành h ệ ph ươ ng trình. Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình − hệ phương trình Mũ_Logarit 5 Ví dụ: Giải phương trình 1 1 1 8 2 18 2 1 2 2 2 2 2 x x x x x− − − + = + + + + HD: Viết phương trình dưới dạng 1 1 1 1 8 1 18 2 1 2 2 2 2 2 x x x x− − − − + = + + + + , đặ t 1 1 2 1, 2 1. , 0 x x u v u v − − = + = + > . Nh ậ n xét: u . v = u + v . T ừ đ ó ta có h ệ : 8 1 18 . u v u v u v u v + = + = + Bài tập Bài 1: Gi ả i các ph ươ ng trình sau: a. ( ) ( ) 2 3 2 3 4 0 x x + + − − = b. ( ) ( ) 2 3 2 3 4 x x − + + = c. ( ) ( ) 7 4 3 3 2 3 2 0 x x + − − + = d. ( ) ( ) 3 3 5 16 3 5 2 x x x + + + − = e. ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 0 x x − + + − = (ĐH_Khối B 2007) ĐS: x =1, x =−1. f. 3.8 x +4.12 x −18 x −2.27 x =0. (ĐH_Khối A 2006) ĐS: x =1. g. 2 2 2 2 4.2 2 4 0 x x x x x+ − − − + = (ĐH_Khối D 2006) ĐS: x =0, x =1. k. 2 2 2 2 2 3 x x x x− + − − = (ĐH_Khối D 2003) ĐS: x =−1, x =2. i. 3.16 2.8 5.32 x x x + = j. 1 1 1 2.4 6 9 x x x + = Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: a. 3 2 3 4 128 5 1 x y x y + − − = = b. 2 ( ) 1 5 125 4 1 x y x y + − − = = c. 2 2 12 5 x y x y + = + = d. ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 log 1 log 3 81 x xy y x y xy − + + = + = ( Đ H_Kh ố i A 2009) Đ S: (2;2), (−2;−2) e. ( ) 2 3 9 3 1 2 1 3log 9 log 3 x y x y − + − = − = ( Đ H_Kh ố i B 2005) Đ S: (1;1), (2;2). f. ( ) 1 4 4 2 2 1 log log 1 25 y x y x y − − = + = ( Đ H_Kh ố i A 2004) Đ S: (3;4) g. 3 2 1 2 5 4 4 2 2 2 x x x x y y y + = − + = + ( Đ H_Kh ố i D 2002) Đ S: (0;1), (2;4). Bài 3: Gi ả i và bi ệ n lu ậ n ph ươ ng trình: a . ( ) 2 .2 .2 0 x x m m m − − + + = . b . .3 .3 8 x x m m − + = . Bài 4: Cho ph ươ ng trình 2 2 3 3 log log 1 2 1 0 x x m + + − − = (m là tham s ố ). ( Đ H_Kh ố i A 2002) a. Gi ả i ph ươ ng trình khi m=2. b. Tìm m để ph ươ ng trình có ít nh ấ t m ộ t nghi ệ m thu ộ c đ o ạ n 3 1;3 . Đ S: a. 3 3 x ± = , b. 0 ≤ m ≤ 2 Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình − hệ phương trình Mũ_Logarit 6 Bài 5: Cho bất phương trình ( ) 1 4 . 2 1 0 x x m − − + > a. Giải bất phương trình khi m= 16 9 . b. Định m để bất phương trình thỏa x R ∀ ∈ . Bài 6: Giải các phương trình sau: a. ( ) ( ) 5 5 5 log log 6 log 2 x x x = + − + b. 5 25 0,2 log log log 3 x x+ = c. ( ) 2 log 2 5 4 2 x x x − + = d. 2 3 lg( 2 3) lg 0 1 x x x x + + − + = − e. log 2x−1 (2 x 2 + x− 1)+log x+1 (2 x− 1) 2 =4 ( Đ H Kh ố i A_2008) Đ S: x =2; x =5/4. f. ( ) 2 2 2 log 1 6log 1 2 0 x x + − + + = ( Đ H_Kh ố i D 2008) Đ S: x=1, x=3. g. ( ) 2 2 1 log 4 15.2 27 2log 0 4.2 3 x x x + + + = − ( Đ H_Kh ố i D 2007) Đ S: x=log 2 3. Bài 7: Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình: a. ( ) 3 1 3 2log (4 3) log 2 3 2 x x − + + ≤ ( Đ H Kh ố i A_2007) Đ S: 3/4 ≤ x ≤ 3. b. 2 0,7 6 log log 0 4 x x x + < + ( Đ H_Kh ố i B 2008) Đ S: −4< x < −3, x > 8. c. ( ) ( ) 2 5 5 5 log 4 144 4log 2 1 log 2 1 x x− + − < + + ( Đ H_Kh ố i B 2006) Đ S: 2 < x < 4. d. 2 1 2 3 2 log 0 x x x − + ≥ ( ĐH_Khối D 2008) ĐS: ) ( 2 2;1 2;2 2 − + U . −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− . log b a.log a x=log b x; a log b x =x log b a . IV. Phương trình và bất phương trình mũ −− −logarit 1. Phương trình mũ −− −logarit a. Phương trình mũ: Đưa về cùng cơ số +0<a≠1: a f(x) =a g(x) (1) ⇔ f(x)=g(x) đề: Phương trình − Bất phương trình − hệ phương trình Mũ_ Logarit 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Hàm số mũ • y=a x ; TXĐ D=R • Bảng biến thi n a>1 0<a<1 x −∞ 0 +∞ x −∞ 0 +∞ y . trình − Bất phương trình − hệ phương trình Mũ_ Logarit 3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH − −− − BẤT PHƯƠNG TRÌNH − −− − HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT I. Biến đổi thành tích Ví dụ 1: Giải