Hàm số mũ và hàm số logarit luyện thi đại học

Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Chuyên đề : HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LÔGARÍT PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT TRỌNG TÂM KIẾN THỨC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ 1. Các đònh nghóa: • n n thừa số a a.a a= 123 (n Z ,n 1,a R) + ∈ ≥ ∈ • 1 a a= a ∀ • 0 a 1= a 0 ∀ ≠ • n n 1 a a − = { } (n Z ,n 1,a R / 0 ) + ∈ ≥ ∈ • m n m n a a= ( a 0;m,n N> ∈ ) • m n m n m n 1 1 a a a − = = 2. Các tính chất : • m n m n a .a a + = • m m n n a a a − = • m n n m m.n (a ) (a ) a= = • n n n (a.b) a .b= • n n n a a ( ) b b = 1 Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 3. Hàm số mũ: Dạng : x y a= ( a > 0 , a ≠ 1 ) • Tập xác đònh : D R= • Tập giá trò : T R + = ( x a 0 x R> ∀ ∈ ) • Tính đơn điệu: * a > 1 : x y a= đồng biến trên R * 0 < a < 1 : x y a= nghòch biến trên R • Đồ thò hàm số mũ : Minh họa: • Đạo hàm của hàm số mũ: ( ) ' x x e e= ( ) ' .ln x x a a a= ( ) ' . ' u u e e u= (với u là một hàm số) ( ) ' . ln . ' u u a a a u= (với u là một hàm số) 2 a>1 y=a x y x 1 0<a<1 y=a x y x 1 f(x)=2^x -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x y f(x)=(1/2)^x -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x y y=2 x y= 1 x y y x 1 O O Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT 1. Đònh nghóa: Với a > 0 , a ≠ 1 và N > 0 dn M a log N M a N= ⇔ = Điều kiện có nghóa : N a log có nghóa khi      > ≠ > 0 1 0 N a a 2. Các tính chất : • a log 1 0= • a log a 1= • M a log a M= • log N a a N= • a 1 2 a 1 a 2 log (N .N ) log N log N= + • 1 a a 1 a 2 2 N log ( ) log N log N N = − • a a log N .log N α = α Đặc biệt : 2 a a log N 2.log N= 3. Công thức đổi cơ số : • a a b log N log b.log N= • a b a log N log N log b = * Hệ quả: • a b 1 log b log a = và k a a 1 log N log N k = 3 Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 4. Hàm số logarít: Dạng a y log x= ( a > 0 , a ≠ 1 ) • Tập xác đònh : + =D R • Tập giá trò =T R • Tính đơn điệu: * a > 1 : a y log x= đồng biến trên + R * 0 < a < 1 : a y log x= nghòch biến trên + R • Đồ thò của hàm số lôgarít: Minh họa: • Đạo hàm của hàm số lơgarit: ( ) 1 ln 'x x = và ( ) 1 ln 'x x = ( ) ' ln ' u u u = và ( ) ' ln ' u u u = (với u là một hàm số) ( ) 1 log ' ln a x x a = và ( ) 1 log ' ln a x x a = ( ) ' log ' .ln a u u u a = và ( ) ' log ' .ln a u u u a = (với u là một hàm số) 4 0<a<1 y=log a x 1 x y O f(x)=ln(x)/ln(1/2) -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x y y=log 2 x x y x y f(x)=ln(x)/ln(2) -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x y xy 2 1 log= 1 O 1 O a>1 y=log a x 1 y x O Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN: 1. Đònh lý 1: Với 0 < a ≠ 1 thì : a M = a N ⇔ M = N 2. Đònh lý 2: Với 0 < a <1 thì : a M < a N ⇔ M > N (nghòch biến) 3. Đònh lý 3: Với a > 1 thì : a M < a N ⇔ M < N (đồng biến ) 4. Đònh lý 4: Với 0 < a ≠ 1 và M > 0;N > 0 thì : log a M = log a N ⇔ M = N 5. Đònh lý 5: Với 0 < a <1 thì : log a M < log a N ⇔ M >N (nghòch biến) 6. Đònh lý 6: Với a > 1 thì : log a M < log a N ⇔ M < N (đồng biến) III. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: Dạng cơ bản: x a m= (1) • m 0≤ : phương trình (1) vơ nghiệm • m 0 > : x a a m x log m= ⇔ = 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng : a M = a N (Phương pháp đưa về cùng cơ số) Ví du 1 : Giải các phương trình sau : 1) x 1 2x 1 9 27 + + = 2) 2 x 3x 2 2 4 − + = 3) x x 2 x 1 x 1 1 1 3.4 .9 6.4 .9 3 2 + + + + = − Ví du 2ï : Giải các phương trình sau 1) x 10 x 5 x 10 x 15 16 0,125.8 + + − − = 2) x 5 x 17 x 7 x 3 32 0,25.128 + + − − = 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) 2x 8 x 5 3 4.3 27 0 + + − + = 2) x x x 6.9 13.6 6.4 0− + = 3) x x x 5.2 7. 10 2.5= − 4) x x ( 2 3 ) ( 2 3 ) 4− + + = 5) ( ) ( ) x x 5 2 6 5 2 6 10+ + − = 6) 322 2 2 2 =− −+− xxxx 7) 027.21812.48.3 =−−+ xxxx 8) 07.714.92.2 22 =+− xxx 5 Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 9) 2 2 x x 2 x 1 x 2 4 5.2 6 0 + − − + − − − = 10) 3 2cosx 1 cosx 4 7.4 2 0 + + − − = Bài tập rèn luyện: 1) 4)32()32( =−++ xx ( 1±x ) 2) xxx 27.2188 =+ (x=0) 3) 13 250125 + =+ xxx (x=0) 4) 12 21025 + =+ xxx (x=0) 5) x x ( 3 8 ) ( 3 8 ) 6+ + − = ( )2±=x 6) xxx 8.21227 =+ (x=0) 3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0, Ví dụ : Giải phương trình sau : 1) 8.3 x + 3.2 x = 24 + 6 x 2) 0422.42 2 22 =+−− −+ xxxxx 3) 2x 1 x 1 x 5 7 175 35 0 + + + − − = 4) x 3 6 x 3 4 2 x 1 2 x 1 x .2 2 x .2 2 − + − + − + + = + 5) ( ) 2 2 2 x 1 x x 1 x 4 2 2 1 + + − + = + 4. Phương pháp 4: Lấy lơgarít hai vế theo cùng một cơ số thích hợp nào đó (Phương pháp lơgarít hóa) Ví dụ : Giải phương trình 1) 2 x 1 x x 2 3 .2 8.4 − − = 2) 1 5 .8 500 x x x − = 5. Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm) * Ta thường sử dụng các tính chất sau: • Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) • Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = g(x 0 ) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)) Phương pháp chiều biến thiên hàm số Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) 3 x + 4 x = 5 x 2) 2 x = 1+ x 2 3 3) x 1 ( ) 2x 1 3 = + 4) 3 x 2 2 x 8x 14 − = − + − 5) ( ) x 2 x 2 3.25 3x 10 .5 3 x 0 − − + − + − = Bài tập rèn luyện: 1) 163.32.2 −=+ xxx (x=2) 2) x x −= 32 (x=1) 6 Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG: Dạng cơ bản: a log x m= (1) • m∀ ∈¡ : m a log x m x a= ⇔ = 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng : a a log M log N= (đồng cơ số) Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) 2 2 1 2 1 log log (x x 1) x = − − 2) [ ] 2 log x(x 1) 1− = 3) 2 2 log x log (x 1) 1+ − = Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) + = x log (x 6) 3 2) x x 1 2 1 2 log (4 4) x log (2 3) + + = − − 3) )3(log)4(log)1(log 2 1 2 2 1 2 2 xxx −=++− ( 141;11 +−=−= xx ) 4) ( ) ( ) ( ) 8 4 2 2 1 1 log x 3 log x 1 log 4x 2 4 + + − = ( ) x 3; x 3 2 3= = − + 5) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 1 1 1 4 4 4 3 log x 2 3 log 4 x log x 6 2 + − = − + + ( ) x 2; x 1 33= = − 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số. Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) 2 2 2 6 4 3 log 2x log x + = 2) 051loglog 2 3 2 3 =−++ xx 3) 4 2 2 4 log log x log log x 2+ = 4) x 3 3 x 1 log 3 log x log 3 log x 2 + = + + 5) ( ) 2 x 25 log 125x .log x 1= 6) x x x 16 64 log 2.log 2 log 2= 7) 2 5x 5 5 log log x 1 x + = 8) ( ) ( ) ( ) 3 log 9 x 2 3 x 2 9 x 2 − − = − 3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0, Ví dụ : Giải phương trình sau : log x 2.log x 2 log x.log x 7 7 2 2 + = + 7 Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất. (thường là sử dụng công cụ đạo hàm) * Ta thường sử dụng các tính chất sau: • Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) • Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = g(x 0 ) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)) Phương pháp chiều biến thiên hàm số Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) 2 2 2 log (x x 6) x log (x 2) 4− − + = + + 2) ( ) 6 log x 2 6 log x 3 log x+ = 3) ( ) 2 3 log 1 x log x+ = V. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M < a N ( , ,≤ > ≥ ) Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 3 6x 4x 11 2 x 6x 8 1) 2 1 1 2) 2 2 − − − + + >   >  ÷   Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 1) 2 x x 1 x 2x 1 3 ( ) 3 − − − ≥ 2) 2 x 1 x 2x 1 2 2 − − ≥ 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số. Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : x x 2x 1 x 1) 9 2.3 3 2) 5 5 4 + < + > + Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) 2x x 2 2 3.(2 ) 32 0 + − + < 2) x 3 x 2 2 9 − + ≤ 3) 2x 4 x 2x 2 3 45.6 9.2 0 + + + − ≤ 4) 2 1 1 x x 1 1 ( ) 3.( ) 12 3 3 + + > 5) 52428 11 >+−+ ++ xxx ( )20 ≤< x 6) 11 21212.15 ++ +−≥+ xxx ( 2 ≤ x ) 8 Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG: 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a a log M log N< ( , , ≤ > ≥ ) Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 1) 2 2 2 log (x x 2) log (x 3)+ − > + 2) 2 0,5 0,5 log (4x 11) log (x 6x 8)+ < + + 3) 2 1 3 3 log (x 6x 5) 2log (2 x) 0− + + − ≥ 4) ( ) 1 1 2 2 4 log x 2log x 1 log 6 0+ − + ≤ 5) 1 3 2 x 1 log log 0 x 1 + ≥ − Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 1) 2 x log (5x 8x 3) 2− + > 2) − < 2 3 3 log log x 3 1 3) 2 3x x log (3 x) 1 − − > 4) x 9 x log (log (3 9)) 1− ≤ 5) ( ) ( ) x x 3 log log 9 72 1− ≤ 6) )12(log12log4)1444(log 2 555 ++<−+ −xx 7) ( ) ( ) x 2x 1 x 1 1 4 2 log 4 4 log 2 3.2 + + ≥ − 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số Ví dụ : Giải bất phương trình sau : 1) 2 2 2 log x log x 2 0+ − ≤ 2) log x 4 2 x 32 + < 3) 2 log x log x 6 6 6 x 12+ ≤ 4) 2 3 1 4 2 log x log x 2 0+ − > Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) x x 2 3 2 log (3 2) 2.log 2 3 0 + + + − > 2) 2 2x x log 64 log 16 3+ ≥ 3) 2 3log 3)(log 2 2 2 > + + x x ( 2 1 8 1 << x ) 9 Chuyờn LTH THPT Chuyờn Nguyn Quang Diờu- ng Thỏp VII. HE PHệễNG TRèNH: Vớ duù : Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh 1) 2 3 9 3 x 1 2 y 1 3log (9x ) log y 3 + = = 6) =+ = 4)(log)(log ) 3 1 ()3( 22 2 yxyx yxyx 2) =+ = 25 1 1 log)(log 22 4 4 1 yx y xy 7) y 3 3 4 x ( x 1 1)3 x y log x 1 + = + = 3) = + + = + y yy x xx x 22 24 452 1 23 8) =+ = 2)(log 11522.3 5 yx yx 4) =+ = 3 644.2 yx yx 9) x 4 y 3 0 log x log y 0 4 2 + = = 5) =+ =+ 4loglog2 5)(log 24 22 2 yx yx 10 [...]... log 1 ( x + 3) 2 − log 1 ( x + 3) 3 2 3 x +1 (-2 < x 0 Bài 3 : Tìm tập xác đònh của các hàm số sau: 11 Chun đề LTĐH 1 y = log 1 2 3 − 2x − x2 x+2 2 y = 2 x −3 − 8− x + THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp − log 0,3 ( x − 1) x2 − 2x − 8 DẠNG 2: Sử dụng công cụ đại số giải các bài toán có chứa tham số x x Bài 1: Với giá trò nào của m thì phương trình sau có nghiệm: 4 − 4m.(2 − 1) = 0 ( m < 0∨...Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp BÀI TẬP RÈN LUYỆN DẠNG 1: Các bài toán giải phương trình và bất phương trình Bài 1: Giải các phương trình 1 12 3x x 1) 2 − 6.2 − 3( x −1) + x = 1 (x=1) 2 2 2 3 2) log 4 ( x + 1) + 2 = log 2 4 − x + log 8 (4 + x ) ( x = 2; x = 2 − 2 6 )... x1 + x2 = 3 (m=4) x x Bài 3: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: (m + 3).16 + (2m − 1)4 + m + 1 = 0 3 ( −1 < m < − ) 4 12 Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp BÀI TẬP RÈN LUYỆN (GIẢI MẪU) Bài 1: Giải phương trình: log 1 ( x - 1) + log 1 ( x + 1) - log 1 ( 7 - x ) = 1 2 2 (1) 2 Bài giải: ìx - 1> 0 ìx > ï ï ï ï ï ï ï ïx + 1> 0 Û ïx > ï Điều kiện: í í ï ï ï ï ï7- x > 0 ïx... −2 + 1)    ⇔ log5 ( 4 x + 144 ) < log 5 80 ( 2 x −2 + 1)    ⇔ 4 x + 144 < 80 ( 2 x −2 + 1) ⇔ 4 x − 20.2 x + 64 < 0 ⇔ 4 < 2x < 16 ⇔ 2 < x < 4 Vậy bpt(1) có tập nghiệm là S = ( 2; 4 ) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Giải bất phương trình: 2x + 3  log 1  log2  ÷≥ 0 x +1  3  Bài 2: Giải phương trình: 3+ Bài 3: Giải phương trình: 1 6 = log x  9x −   ÷ log3 x x  2 log2 ( 2x + 2 ) + log 1 ( 9x − . Tháp Chuyên đề : HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LÔGARÍT PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT TRỌNG TÂM KIẾN THỨC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ 1. Các đònh nghóa: • n n thừa số a a.a a= 123 . biến trên R • Đồ thò hàm số mũ : Minh họa: • Đạo hàm của hàm số mũ: ( ) ' x x e e= ( ) ' .ln x x a a a= ( ) ' . ' u u e e u= (với u là một hàm số) ( ) ' . ln. của hàm số lôgarít: Minh họa: • Đạo hàm của hàm số lơgarit: ( ) 1 ln 'x x = và ( ) 1 ln 'x x = ( ) ' ln ' u u u = và ( ) ' ln ' u u u = (với u là một hàm