Giới hạn và liên tục của Hàm Số

Trang 1

Thuviendientu.org

2

Chương IV GIỚI HẠN

A GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ §1 DAY CO GIGI HAN 0 1 Định nghĩa dãy số giới han 0

Định nghĩa:

Ta nói rằng dãy số (u,) cớ giới hạn là 0 (hay có giới hạn 0) nếu mọi số hạng của

dãy đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tuỳ ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi

Khi đó ta viết lim (u,) = 0, viết tắt là lim(u,) = 0 hoặc limu, = 0 hoặc u,—>0

noo

Nhận xét: Dãy số (u,) có giới hạn 0 khi và chỉ khi day số 6) có giới hạn 0

2 Một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp

Sử dụng định nghĩa, người ta chứng minh được rằng 1

1 1

a lim— =0; lim—— =0, lim— =0,

n vn Vn

Nói rộng hơn lim ir = 0 (k là số nguyên dương cho trước);

n

b Dãy không đổi (u,), với u„ = 0 có giới hạn 0.; c Néu Iq! < I thì limq" = 0

Các bạn được sử dụng kết quả này khi làm bài mà không phải chứng minh

Thí dụ 1 a lim + = ñm 2] =0, 2n 3 >

b lim 2 = im( -2 _=0,c) lim > = im( 3) = 0

(-5)" 5, nh rn

; , , Ju,l<V,

Dinh ly: Cho hai day số (u,) và (v„) Nếu ( thì limu, = 0

mv, =

Thí dụ 2 Ching minh lim S222*) ~ o,

Loi giai

Ta có: HN HH <= = (2) va lim (2) = 0 Theo định lý trên ta có đpcm

Trang 2

Thuviendientu.org

§2 DAY CO GIGI HAN 1 Định nghĩa dãy số giới hạn

Xét dãy số (u,) với u„= 9 + st © U,—

vn

1

Ta có: lim(u,— 9) = lm—— =0

vn

Ta nói rằng dãy số đã cho có giới hạn là 9 Một cách tổng quát, ta có:

Định nghĩa: Ta nói rang day sé (u,) có giới hạn là số thực L nếu lim(u, — L) = 0 Khi đó ta viết lim (u,) = L, viết tắt là lim(u,) = L hoặc limu,= L hoặc u,—> L

I

9= —= vn

Thí dụ 3 Chứng minh:

n n 3

a lim 3.2" -(1) =3; b lim sin tn + 4Vn =4

n fn

c lim(u,) = c véi u, = (c 1a hang sé)

Loi giai

a Ta có Gan = im(-2) =0<— lim 222) _ =0

3 oo

b Ta có lim [re _ ‘ = lim 2

sin mn 1 Í sinan < — và Ìlim—— =0 >lim——— =0

Ye Ya ; 3 ey : Tn 3

c lim sinn + 4‡ƒn 4] 206 lim sinn + 4Ÿ/n

| Vn Vn

c Ta có lim(u„— c) = Íin(c — c) = lim0 = 0 © lim(u,) = c (đpcm) 2 Một số định lý

Định lý I: Giả sử lim u, = L Khi d6

a limlu,| = ILI và lim‡ƒu„ =WL

b Nếu u,> 0 với mọi n thì L > 0 và lim./u„ =XL

Dinh ly 2: Gia str lim u, = L, lim v, = M vac la hang s6 Khi đó

a các dãy s6 (u, + v,), (u,—V,), (U,-V,), (c.u,) có giới han và e lim(u, + V,)=L+M e lim(u,— v,) =L-M e lim(u,.v„) =L.M e lim(c.u,) =c.L Ta có = 4 (đpcm)

b Nếu M #0 thì dãy số [>2 có giới hạn và lim R =+

Vv n V n M

Trang 3

Thuviendientu.org

Dinh ly 3: (Dinh ly kep vé gidi han)

Cho ba dãy số (v,), (u,), (w,) và số thực L Vv, su, sw a n

Nếu với mọi n ta có | thì (u,) có giới hạn va limu, = L

limv, =limw, =

Dinh ly 4: (Vai-o-xto-rat-xo)

a Day số tăng va bi chặn trên thì có giới hạn

b Day số giảm va bị chặn dưới thì có giới hạn 3 Kết quả đáng nhớ

a i + | =e (e=2,7 18281828459 )

on

b Téng cua cp sé nhan lai v6 han (Iqi < 1) 18: S=u,+uqtuq es = a

~q

4 Các thí dụ

Thí dụ 1 Với k là số nguyên dương và c là hằng số, ta có: lim — = clim — =0 n n

Thí dụ 2 lim 3 „ sng + 3n) - 4 n ` 24 n? và lim + ŸÊG c2) 2, n? 4

Thí dụ 3 Tìm các giới hạn sau đây:

2n°+n”~7 _ 13n?-3n+2

oo b lim——————— -

9n" -3n" +n+l n> +4n° +1

Lời giải

(Chia cho luỹ thừa bậc cao nhất của n trong mẫu thức của phân thức)

a Chia tử thức và mẫu thức cho n” ta có: a lim 2,1 4 . 2n°+nˆ-7 i nw 2+0-0 2 lim ————- = lim = = — On? —3n* +n+1 9 3 1 1 9-0+0+0 9 non on

b Chia tử thức và mẫu thức cho n” ta có :

l3 3 2 5 2 ~ ~ —- n`+á4nˆ +] tt 4 1 1+0+1 3n+2

Thi du 4 Tim im( 222)

Trang 4

Thuviendientu.org Ta có: 3n+2 3n+2 n / ny Lời giải i+ n 1 J[4 2,4 n n n? “(slay (all +tim[1+2 4 ip} =14040=1 (2) n nh n 3 n n ft 1 1 l 1)" 3

+n (142) | = tin (12) (+4) [xe] | =eee=e (3)

n n n n Từ (1), (2), (3) suy ra im +1 3n+2 =le=e’ Thí dụ 5 Tính tổng 'S = ; + 22:12 1 1 - Lời giải

Rõ ràng S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u, = > q= D nên áp dụng công thức S= “_ tacéS= 55 - l

l-q 1-0,5

Bạn biết thêm : Một cách minh hoa hình học tổng trên Xét tam giác ABC có diện tích bằng I

Gọi A,,A-, A¿, theo thứ tự là trung điểm AC, A,C, A;C, và Bị, B;,Bạ theo

thứ tự là trung điểm BC, B,C, B;C, ta có :

~ Diện tích tam giác ABB, bằng 3 — Diện tích tam giác AB,A, bằng x

— Diện tích tam giác A,B,B; bằng = — Dién tich tam gidc A,B,A, bang a

— Dién tich tam gidc A;B,B, bing s

Tiếp diễn quá trình trên mãi mãi ta có I1 l1

—=+t—r ~ + =]

2 2° 2

| Thí dụ 6 Đổi mỗi số thập phân vô hạn tuần hoàn sau thành phân số:

Trang 5

Thuviendientu.org

Loi giai

a Viét lai 0,3333 25 24+ 2+ 24+ 4 I0 102 10° 10

= 0,3333 là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u, =: = „q

03333 ,= -10_ - } Bê 3 10

b Viết lại 7,28282828 = 7 + 0,28282828

Ta c6: 028282828 = 2% + 25 +78, 28, 100 1002 100° 100

=> 0,28282828 là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn vớ: u, = 28 q= —— 100 100 28 nên 028282828 = _100_ - 28 1 99 100 Từ đó suy ra 7 + 0,28282828 =74 2% = 72! pay 728082828 = 2! 99 99 99

Thí dụ 7 Gọi C là đường trịn đường kính AB = 2a (a là số thực dương cho trước) C; là đường gồm hai nửa đường trịn đường kính = ,

: co ca AB

C; là đường gồm bốn nửa đường trịn đường kính Sp

~

C, là đường gồm 2" nửa đường tròn đường kính "

Gọi p„ là độ dài của C, và S, diện tích hình phẳng giới hạn bởi C„ và đoạn thẳng AB

a Tinh p, va C,

b Tìm giới hạn của các dãy số (p,) và (S,)

Lời giải

a Mỗi đường trịn đường kính ^Š có bán kính là r,= -^P = _2® = -Â suy ra 2n 2n+l 2nrl 2n

e Nửa chu vi của nó là mr, hay ¬ —=Pp,= = = ra

2 : 2 2

e Diện tích của nó là nr? hay {= => S, = 2" (=) = >

b

e Thấy rằng (p,) là dãy số không déi va limp, = limza = 7a (bằng nửa độ dài đường tròn đường kính AB)

Trang 6

Thuviendientu.org |

4

e Thấy rằng (S,) là cấp số nhân lùi vô han cé S, = > , công bội là q = 5

Bởi vậy, theo định nghĩa tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn ta có:

ma” |

lim S, = = = a = ma’ (bang dién tich dudng tron dudng kinh AB) vy

t- 2

Thí dụ 8 Cho lại < 1, lQI < 1 Biết rằng:

a=l+q+g + +d? + b=l+Q+Q + +Q"'+ Tính tổng S= l + qQ + q?Q° + + q"Q"+ Lời giải Thấy rằng:

e a là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u = 1 và có cơng bội là q e b là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u, = l và có cơng bội là Q

e© S là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u, = l và có công bội là qQ Theo công thức tông của một cấp số nhân lùi vô hạn ta có

+ a= —— => q=Ì—- (1) I~q a + b=— > SQ=1-— 1-Q ~- b (2) I + S=—_—— (3) I~qQ 1 ab ab

Thay (1), (2) vào (3) có: S = ay (1), (2) vào (3) c am = ab-(a-l)\(b—l) = a+b-l L

af ob

§3 DAY DAN TOI VO CUC

1 Cac dinh nghia

Dinh nghia 1; Ta noi rang day số (u,) có giới hạn là + œ nếu mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi Khi đó ta viết:

lim(u,) = + œ, viết tắt là lim(u,)= + œ

n>+0

hodc limu, = + œ hoặc u, —> + œ

Định nghĩa 2: Ta nói rằng đấy số (u,) có giới hạn là —œ nếu mọi số hạng của

dãy số đều nhỏ hơn một số âm bé tuỳ ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi Khi đó ta viết:

th

lim(u,,) = —00, viet tat 1a tim(u,) = —00

n—»+œ

hoặc limu, = —œ hoặc u„ —> —œ,

Trang 7

Thuviendientu.org Thí dụ 1 ro imvn = +7: ® linn= +: A có ven ® lim([ - 2n)=-z: lim\-n= Chủ y:

vô cực hay dần đến vô cực

2 Vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

` +1ự , ”

limon os tons imo’ = ber

su TH? đa

+ Các dãy số có giới hạn là + œ và —œ được gọi chung là các dãy số có giới hạn + Dãy số có giới hạn là số thực L được gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn

Vì + œ và -œ không phải là các số thực nên không áp dụng được các định lý

Chia cả tử thức và mẫu thức cho thức ta có: 2 — + a.lim 2t = lim —2n —=2 n =—-00 (vi lim (2 +n trong §2

Ta thừa nhận các quy tắc sau:

Quy tác 1 limu, limv, lim(u,v,)

To xu +00 +cO +00

Nếu limu, = £00 va limv, = +00 thi +œ x —œ lim(u,v,) được cho trong bảng bên: —œ + —œ

—œ —0O +00

Quy tắc 2 limu, Dấu của L lim(u,v,)

, +œ + +œ

Nếu limu, = +00 va limv, = L # 0 thì +œ _ —œ lim(u,v,) được cho trong bảng bên: —œ + —œ

—œ - +œ

Quy tác 3 Dấu của L Dấu của vụ lim(u,v,)

Nếu limu, = L # 0, limv, = 0 va + + +00

u + ~ ~œ@

vạ# 0 thì lim—— được cho trong - + ~œ

vn ~ ~ +00

bang bén:

ae ee

Chú ý: © Néu lim vụ, =0 va v,#0 thi lim 3 = +0

Vv n

e Néu limlu,! = + œ thì lim =0

tạ

Thí dụ 2 Tính các giới hạn sau:

2 3

a lim TT; —2n b lim 222+ 5 3nˆ +3n+]

Lời giải

luỹ thừa bậc cao nhất của n trong mỗi phân

}=~

—=2

)**=(: = +0, lim

n n

Trang 8

Thuviendientu.org 1 3 In? - 2 b.lim 2 = 843 < jim—_2 = +00 5n" +4n —] s.4_ 1 n n?

(vi im(2n—4 + 2] = 0, iim(s+ 4-5] = 5)

n n° non 132), c lim 13-2n +t3n _lmnỶ n_ _„0-0+3_ 3 I~7nÌ ly 0-7 7 3 n

Nhận xét: Bằng cách chia tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của n trong mẫu

thức như cách làm trong thí dụ trên ta thu được kết quả sau:

._ AnnP +a, ¡nP””+ +a¡n+ao, p<q p= 4 P>q

Gọi œ = lim ¬ a b,n?+b,_,n4 + + bịn + bọ a=0 a= — œ=œ (p, q là số nguyên dương) bạ Thí dụ 3 Tính các giới hạn sau: a lim(vVn+ -n ); I I b lim — —==: ——| Lai giải Tick

a Ta có lim(Ja+1 - Jn) = lim ———~ = 0 (vi lim (Vn+1 +n) = +0) vn? +1

stn = ea "ưng ch "(ode rt asda)

Trang 9

Thuviendientu.org

Thi du 5 Tim lim V2.3" —n+5

Loi giai

Theo Thi du 5§1 chuongI: (1 +a)"21+na+ 2072 a’,

Với a = 2 có: (l + 2)"> 1+ 2n + 2n(n— 1) hay 3°21 + 2n? suy rt 2 2.3°~n+5>2(1 +2n’?)-n+5=4n-n+7= [n-2) +3nˆ+ - > 1 VneN* l l < 42.3"-n+5_ A4n?-n+7 Lại có lim———— =0 (2) 4l4n?—n+7

Từ (1), (2) suy ra lim————— =0=> limv2.3" -n+5 = +0

V2.3" —n+5

Thí dụ 6 Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng 6 và tổng của hai số hạng

Suy ra 0< (1)

đầu bing Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân ấy

Lời giải

Goi u,, q theo thứ tự là số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đã cho

Tổng của cấp số nhân bằng 6 nghĩa là S = _— =6 =>u,=6(I -q ()

I-q

2 ~ is 9 Tựa 9 9

Tông hai số hạng đầu bang 2 nghia 1a u, + u,q = 1 u,(+q)= P (2) Thay (1) vào (2) có 6(1~q) +4)= 2 œ1 =g)= Š

`

1 4 4

Thay vao (1): * Voi q=5 có u =6(1= -)=3

<Ằ>q=‡d—

q52

* Với q=~2 có u =6(1 + 2) =9

Vậy ta cé hai cặp số hạng đầu và công bội của cấp số nhân thoả mãn yêu cầu bài

1 l

toán là: (u, (u, = 3; q= —),(u,=9;q=——) q 2 ), (uụ q 2 )

u, =Ì

\.| Thi dụ 7 Cho dãy số (u,) : (1)

n+l

u, =-2-3,khin>2 2

a Chứng minh dãy (v,) xác định bởi v, = u, + 6 1a mét c4p s6 nhan b Tim lim u,

Trang 10

Thuviendientu.org

Loi giai

a Tacé v,=u,+6<2 u, =v,- 6 (2)

Thay (2) vao (1) c6v,,,-6= vạ =6 =3 C©v,.¡= 23 (v,,) là cấp số nhân với công bội q= > và vị =l+6=7,

Bởi thế (v„) có số hạng tổng quát là v„ = 7 :

Qn!

Thay vào (2) ta có uạ = sar - 6 Đó là số hạng tổng quát của dãy số (u,)

7

b lim u, = lim ( -6] =0—6=-6 Vậy lim u, = —6 2m1]

BÀI TẬP Bài 1 Tìm các giới hạn sau

l‡n-2n” I+án _ 13n°+8n~-l

a lm————————, b lim——————r, c lim———————-

2-n+nˆ I+nˆ -5n” án +n+3

Bài 2 Tìm các giới hạn sau :

a lim L†Zt3t b lim(+Ín + sin?(n + 1) —+/n — cos?(n + 1) ) l+n”

Bài 3 Tìm các giới hạn sau :

2n+!

a im{ 2 = ; b lim tt c lim V3.4" -n4+1

n+1 3° 42771

u, =3

Bai 4 Cho diy số (u,):

Y u ¡Sa +Á, khi n >2 n+

a Gọi (v,) là dãy xác định bởi v„ = u„ + œ Tìm œ để (v,) là một cấp số nhân

b Tim lim u,,

Bai 5 Biéu thi moi số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số

a 2,22222 b 5,123123123

Bai 6 Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a Hình vng A,B, C, D,có đỉnh là

trung điểm các cạnh của hình vng ABCPD, hình vng A,B,C,D, cé đỉnh là trung

điểm các cạnh của hình vng A,B,C,D,, , hình vng A,B,C,D, có đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vng A,_,B„_.C,_¡D,s,, GỌI pị, p›› Pạ và SỊ, S, ,

Sn, theo thứ tự là chu ví và diện tích các hình vng A,B,C,D,, A;B;C;D;, ,

A,-iB,s.Cu- Dị ¡,

a Tìm giới hạn các dãy số (Pa) va S0

b Tìm cdc t6ng p, + prt +p, + vaS,+S+ 4+S5, 4

Trang 11

Thuviendientu.org

i

‘

Bai 8 Cho Iqi<1 Tinh cdc t6ng sau: a.1+2q+3q?+ +nq"'+ b.1+4q4+9q° + +n°q™' +

30-1

c.1+8q+27q?+ +nq"'+ ,

B GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ HÀM SỐ LIÊN 1ỤC §4 KIẾN THỨC CƠ BẢN

I, Các định nghĩa

a Giới hạn tại một điểm

Giả sử xạ là một điểm thuộc khoảng (a; b), f(x) là một hàm số xác định trên

khoảng (a; bì có thể khơng xác định tại Xọ

Định nghĩa † (giới hạn hữu hạn)

Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dan đến xạ (hoặc tại điểm

Xọ) nếu với mọi dãy số (x,) trong tập hợp (a; b)\xe}(tức là x„e(a; b) và x„# xạ) mà

limx, = xạ ta đều có limf(x,) = L

Khi đó ta viết: lim f(x)= L hoặc f(x)—>L khi x—>Xạ

X~>Xu

(Theo định nghĩa đó :

e Nếu f(x) = c (hằng số) thì lim f(x) = limc =c

X—>Xụ XX,

e Néu f(x) =x thi lim f(x) =limx = Xo.) Định nghĩa 2 (giới hạn vơ cực)

Ta nói rằng ham số f có giới hạn là vô cực khi x dần đến xạ (hoặc tại điểm xạ)

nếu với mọi dãy số (x,) trong tập hợp (a; b)\{xo}(tttc 14 x,e(a; b) va x, # Xo) ma

limxX,, = Xp ta déu cé limf(x,) = 0

Khi đó ta viết lim f(x)= œ hoặc f(x)—>œ khi x—>Xạ

b Giới hạn tại vô cực

Định nghĩa 3 (tại vô cực)

e Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoang (a; +00)

Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dân đến + œ© nếu với mọi

day s6 (x,) trong khoảng (a; +œ) (tức là x„> a với mọi n) mà limx„ = +œ ta đều có limf(x,) = L

Khi đó ta viết: lim Í(x) = L hoặc f(x)—>L khi x—> +

se lim f(x)=L, lim f(x)= +0, lim f(x) =—o duoc định nghĩa tương tự c Giới hạn một bên

Định nghĩa 4 (giới hạn phải)

Giả sử f(x) là một hàm số xác định trên khoảng (xạ; b) (xạc R )

Ta nói rằng hàm số f có giới hạn phải là số thực L khi x dần đến xọ (hoặc tại điểm xo) nếu với mọi dãy số (x,) trong khoảng (xạ; b) mà limx, = xạ ta đều có limf(x,) = L

Trang 12

Thuviendientu.org

Khi đó ta viết: lim f(x) = L hoac f(x)->L khi xx 4

Định nghĩa 5 (giới hạn trái)

Gia sử f(x) là một hàm số xác định trên khoảng ( a; xạ) (xạeR)

Ta nói rằng hàm số f có giới hạn trái là số thực L khi x dần đến xạ (hoặc tại điểm

xọ) nếu với mọi dãy số (x,) trong khoảng (a; xẹ) mà limx, = xọ ta đều có limf(x,) = © Khi đó ta viết lim f(x) = L hoặc f(x)—>L khi xx 4

x¬^%

Nhận xét: Hàm số f có lim f(x) = L khi và chỉ khi nó có lim f(x) = lim f(x)=L X—Xọ KX XG

Điều nói trên đúng cả giới hạn vô cực IL Định lý và quy tắc

1 Giới hạn hữu hạn

Định lý I: Giả sử lim f(x) = L và lim g(x) =M (L,MeR) Khi đó

a lim [f(x)+g(x)] =L+M; b lim [f(x)-g(x)] =L-™M;

c lim [f(x)g(x)] = LM Đặc biệt, nếu c là hằng số thì lim [c.ƒ(x)] = c.L

d Nếu MzZ0thì im C2 xx) g(x) M

(Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số tại một điểm bằng tổng, hiệu, tích, thương các giới hạn của chúng tại điểm đó.(trong trường hợp thương, giới hạn cuả mẫu phải khác không))

Nhận xér: Nếu k là số nguyên dương và a là hằng số thì với mọi xạeR, ta có: lim ax* = ax‘

x¬Xp

Dinh ly 2: Giả sử lim f(x) = L Khi đó

X¬—Xo

a lim lf(x)l = lLI;

b lim $f(x) =ŸL ;

c Nếu f(x) > 0 với mọi x # xọ thì L> 0 và lim Jf(x) = VL X—Xo

Định lý 3: (kẹp) Giả sử f, h và g là ba hàm số xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm xạ (có thể khơng xác định tại xạ)

Néu f(x) < h(x) < g(x) v6i moi xE(a; b)\{ Xp} va lim f(x)= lim g(x) =L(LeR)

X—>Xụ XX yy

thì lim h(x) = L

Chi y:

Ba định lý vừa nêu trên đây đúng cả khi thay x~—>Xọ bởi X—> + co hoặc x—> —co Ba định lý vừa nêu trên đây không áp dụng được cho giới hạn vô cực 164

Trang 13

Thuviendientu.org Lea Định lý 4: im" = 1 x90 x 2 Giới hạn vô cực

Khi gặp giới hạn vô cực, bạn có thể áp dụng các quy tắc sau :

™ Quy tác 1 limu, limv, lim(u,v,)

oa vấn _ +00 +00 +00

Néu lim f(x) = +œ và lim g(x) =L #0 +œ —œ —œ thì lim [fx)g(x)] được cho trong bảng bên: ~œ +œ ~eœ

X>Xọ —©œ —œ +00

Quy tác 2 limu, Dấu của L ¡ lim(u,v,)

Nếu lim f(x) =L #0, lim g(x) = 0 va g(x )# 0 +œ + +œ

X¬—ọ - X—PXy +00 _ —0O

thi lim 1œ) được cho trong bảng bên: —œ + —œ

5-**› B(X) —œ ~ +20

Chú ý I:

eNếu lim g(x) = Ö và g(x) #0 thì lim = +0

XX pq x>tụ | g(x)

e Néu lim lf(x)l =+© thì lim ls 0 x->Xọ xy | f(x) I

Chú ý 2: Một số kết quả thường sử dụng

elim + = lim L =0

xơ^đ~ Y xơ+đ Y

e sim = fim = 0, với mọi số nguyên dương k cho trước

+00; khi A chan e lim x‘ = +00; lim(x*)= ,

x-»+e x¬—œ —œ, khi & lẻ {

§5 CAC KY THUẬT TÌM GIỚI HẠN

I Kỹ thuật tìm giới hạn dạng xác định Kĩ thuật I Áp dụng trực tiếp định lý và qui tắc

Thí dụ 1 Tìm các giới hạn sau

a lim (3x?-x + 5), x2 b lim2——3, x94 x +] _—€ lim(x-5x?+4) x1

Trang 14

Thuviendientu.org c lim(x —V5x? +4) =1- V5.144 =1-3=2 xl Thí dụ 2 Tìm các giới hạn sau: . 2x? -5x+2 "x7 +2x-8 a lim ———————_ ;; b lim —————— xạ 1-2x xa-4 x" 4+ 4x Lời giải 2 —— — —

a lim 2x et 2 = lim ex =) = lim(2 -x) = —

xi l—2x rol 1-2x Am

2 2 2

2 _ _ _

b lim X †2X-8 _ mŒ-2ŒX+4)_ un X2 „3,

x—>-4 x? +4x x—>-4 x(x +4) x>-4 X 2

Lời bình 1: Giới hạn của hàm số tại điểm x = a không phụ thuộc hàm số tại điểm ấy Trong thí dụ vừa nêu, hàm số có giới hạn mặc dầu tại đó hàm số không tồn tại

Thí dụ 3” Tìm các giới hạn sau: a lim — CC —; b lim ——————— x¬=L 7N +5x-2` : x¬2 3x—2 ar +5 Loi giai .J#m(đx-3)=-l3<0ay_s a Ta có > => lim ————— = - lim (7x° + 5x —2) =0 x>~-l7Xx“ +5x— 2 x—-l lim(x ~1) =1>0 => lm ——— lim(3x —2Vx2+5)=0 Tớ *?23x~ +5 x2 b Ta có = +0 Thí dụ 4” Tìm các giới hạn sau: x—3,khi x< Ï

a lim f(x) voi fox) = x=-13,khix=1; 1—V7x? +2,khix >1 3x —2 b lim g(x) voi g(x) = 4 x41 om x +10, khix >-2 khi x< —2 ia giai | lim f(x) = lim(x ~3) = xi” xi" - a Tacé | tim f(x) = lim (1 — ¥7x? +2)=-2 xi xt

Vay lim f(x) = lim f(x) =-2 => limÍ(x) =~2

xi! x1

166

Trang 15

Thuviendientu.org lim g(x)= lim =8 b Ta có 4*>-2 x-2 X +] => lim g(x) =8 tim f(x)= lim (x+l0)=8 *?2

Lời bình 2: Giới hạn của hàm số và giá trị của hàm số tại điểm lấy giới hạn có thể bằng nhau, có thể khác nhau (đó cũng là lẽ tự nhiên) Trong thí dụ trên:

lim f(x) ¥ f(1) = —13; lim g(x) = g(-2) = 8 Thi du 5 3x -2 ,khix<0 _

a Tim cdc giới hạn của hàm số g(x) = 4 x+] —_ tại x =0 x+10,khix>0

3

x +]

; ——,khix<-I > wae

b Tim m dé ham s6 h(x) = { x +1] xs cé gidi han tai x =—1 mx? —x+m?,khix >—1 Loi giai ~2 lim g(x) = lim =~2 a Ta có: 4x20 x90 X +1 ‘| lim g(x) = lim (x + 10) = 10 x—>0° x-0°

Thấy rằng lim g(x) # lim g(x) nén hàm số không có giới hạn tại x = 0

x0" x—x›0°

3

lim h(x) = lim 2! = tim (x2 -x+1) =3

| b Ta có: 4x>-L x+-l x +] x¬-l"

lim h(x) = lim (mx? -x+m?)=m?+m+41

x¬-! x¬-I?

Hàm số có giới hạn tại x = —l khi và chỉ khi lim h(x) = lim h(x)

x17 x-1*

2o3=m+m+1om'+m-2=00 (m=1;m=-2}

Lời bình 3 Mặc dầu hàm số xác định tại điểm x = a, nhưng giới hạn của hàm số tại điểm ấy chưa chắc đã tồn tại Câu a) trong thí dụ trên muốn nói với bạn điều đó

Thí dụ 6” Tìm các giới hạn sau: _ 2x*-x+l _ x? -5x43 5+x a lim ———————~; im ———— ; c lim —————, rom x? 42x 43 s9 3X” + 4x —Í 19-2 4 + 5x — 2X Lời giải a Chia cả tử thức và mẫu thức cho xỶ, ta có:

Trang 16

Thuviendientu.org

b Chia cả tử thức và mẫu thức cho x’, ta cé:

x + 2

lim x lim ——Š—_X~ = lim Š = +œ

x¬+ø 3x7 +4x_—] x74 4 4 l x+m 3

Am X X

c Chia cả tử thức và mẫu thức cho xỶ, ta có: ` St 3 2

tim —2** lim —< x’ = 2 =0

me AtSx-2x) x9 4 5, -2

Nhắc lại: Để tính giới hạn tại vô cực, bạn có thể chia cho luỹ thừa bậc cao nhất

của x có trong mẫu thức

Thí dụ 7 Tìm các giới hạn sau: 4 _ 3

a lim ~~ 4x x90 x“ 4] b lim Lox ne + 4x

xe 3—2x

Lời giải

4

x? —4x xi m 2

a Tacó: lim 5 = lim x lim x +00

Xt +1 x—+œ 1+-S— x—>+œ

x2

x‘

Tuong tu lim ~ 5 4x = lim x” = +

xơđ X +] x>

x4 4 4

Thay rang: lim Š 5 ax lim Š 5 ax = +0= lim~ 5 ax = +00

nate x“ +4 ram x" +] x90 xX" +] l 9

_ 3 wag t 4x

_b.Tacó lim TC ¥—>+00 *‡#X - lim X % 3— 2x? X—>+00 3 2 = lim (-2x) =- X+00

x2

_ 3

Tuong tu lim one = lim (-2x) =

x->—= 3-2x x—>—œ

_ 3 _ 3 4

x>»+m 3— 2X xe 3— 2X

=> lim 19+ 4x" không tồn tại

xo 32x?

Trang 17

Thuviendientu.org

Loi giai

Với mọi xeR có 0< L2sin 3x + 3cos 2x | < 3+2 =— 5 2x° +2x+1 2x +x+l 2x“ +x+l Ta có lim 5 =0 lim |2sin3x + 3cos2x Ì =0>K=0

x0 2x" +x4+] x0 2x? +2x+1

II Ki thuật tìm giới hạn dạng vơ định

1 Dang —,—: lim——, trong dé lim f(x) =lim g(x) = 0, hoặc 4 *Ê

"G0 x¬A g(x) lim g(x) = too

t 2 Dạng 0.œ: lim {f(x)g(x)], trong dé lim f(x) = 0, lim 2(x) = too

|

lim f(x) = lim g(x) = +00

/ 3 D _ :]l fi _ , t d , x

ạng œ~e: lim [f(x}-g@x)], trong đó hoặc lim f(x) = lim g(x) = =œ

( lim được hiểu A thay cho một trong các kí tự Xọ, Xọ osXạ, +9, —œ)

x^A

Để tìm giới hạn các dạng trên, bạn phải khử dạng vô định Các bạn theo dõi một

số kỹ thuật thường dùng để khử dạng vô định trong mỗi thí dụ dưới đây Kĩ thuật 2 Khử nhân tử chung

3

Thí du 9”, (dang 5 Tim lim na

Lời giải

2 2

Ta có: lim lx’ = Jim COUR ERD) Loi LXER Ld

Trang 18

Thuviendientu.org

Nén lim (1 —x) xt =~ lim | =Đ6+3) =0 xi" Vx? 42x -3 xi x+3

Kĩ thuật 3 Nhán biểu thức liên hợp

Hằng đẳng thức Liên hợp với a-b | Liên hợp với a+b

a°— bỉ =(a— b)(a +b}) a+b a-—b

a’ — b’ = (a — b)(a’ + ab + b’) a—ab +b a— ab+b' a’ + b> =(a + b)(a — ab + b) A liên hợp với B thì B liên hợp với A

7]

Thí dụ 12” (dạng — =) Tim lim ——==

19x 4 3x7 +1

Loi giai

Nhân cả tử thức và mẫu thức với 2x — v3x” + l (biểu thức liên hợp của mẫu thie) §

(x? -1D(2x-V3x7 +1) | (x? -1)(2x —Vx7 +1)

(2x+V3x7+1)(2x-Y3x7 +41) 4x7 - Bx" +1

ta có

x?-] Suy ra lim = lim(2x - V3x” +1) = -4

lm +[J x?I

Thi du 13 (dang 2) Tìm lim 2x-9

.¬5 3— mm" Lời giải 2 Ta có: 42x-1-4x- 2x-I-Yx-1)(2x-1+Xx—1)(3+Xx+4) lim bey s5 3-jXIA xa (3—xx+4)(3+xx+4)(J2xT—1+x— 1)

mad soy lim[2x(3 vi + Vx —1)] = =

limG —X)=0 1— 1-Ÿ12x+l 12x +1 — 4x = lim x^5 5-x

Thi du 14 (dang + Tìm lim

x0

Lời giải

- 1-Ÿ12x41 1? -—(12x +1) Taco: lim ——————— = lim x—0 4x 3Í

*?® 4x[! +Ä/12x + Í ++ V2x +1)? J

3 -3

= lim =-l

x^01+4/ 12x +1 +Y(12x +1)" ~ 1+1+l

170

Trang 19

Thuviendientu.org

Nén lim (1 ~ x), x17 — = — im — = 0

x” +2x —3 x1" x+3

Kĩ thuật 3 Nhân biểu thức liên hop

Hằng đẳng thức Liên hợp vớia-b_ | Liên hợp với a+b

?— b°=(a-— b)(a +b) a+b a-b

a”— b° =(a - b)(a” + ab + b) a°-ab + bỉ a’—ab+b 2 +b a (a+ bya? — ab +b’) | — A liên hợp với B thì B liên hợp voi A

"

Thi du 12 (dang 5) Tim lim ——

O19 x 4 3x7 +1

Lời giải

Nhân cả tử thức và mẫu thức với 2x —- 3x” + 1 (biểu thức liên hợp của mẫu thức)

(x? (2x -V3x2 41) _ @&?-D@x-vs?+l)

(2x+v3x?+1)2x-aJ3x +0) 4x? - Gx? +1)

_ 7 =x -vx? +1)

x7 -1

2

Suy ra lim ——X_=—— = lim (2x - V3x” +1) = -4

19x 4x24] XH ta có =2xT—V3x?+l

Thi du 13° (dạng O ) Tìm lim 2x — SVX x95 aoe 3— Lời giải Ta có: lim V¥2x-1-vx-1 L _ pm (2x=1~x=1)(2x T1 †ýx =1) @+ Jx+4) 95 3—-Ax+4 >5 (3—Ax+4)(3+vx+4)(Ý2x—1+vÝx—l) ._ 2X(3+xx-—]) | ‹ lim[2x(3 + vx - 1)]=50>0 = lm————————- = + | VÌ ma — lim(5~x) =0 3

Thi du 14 (dang 5) Tim li —=

x" x

Lời giải

Ta cé: lim aut? +! = tim I (12x +1)

Trang 20

Thuviendientu.org

Kĩ thuật 4 Đổi biến

Thí dụ 18”) (Dạng œ - œ ) Tìm gidi han K = lim (Vx* + 3x? — Vx? -2x) Loi giai

Viét lai K= lim 'Í-š -[i-2}]- os 1 =

x—<+œ X X X

Khi x —>oœ <>y >0, ta có:

K = lim Vit 3y -vI-2y ins = tn WE cua

và y¬0 | y y Tóm lại: K = 2 4 _ 5 _ Thí dụ 19, (Dạng 5) Tim lim v2 lity TS Thế Y 2x I1 xTZ, X—

Lồi giải Đặt x =t + 1, x —> 1 khi và chỉ khi t —> 0, ta có ¬== = _ if Meat ett xoi Xx~Ì xi { t~>0 t t 7 —+—-=— 2 5 10 ca: V2K-149x-2 7 Tóm lại lim *“#=—- x X— TT ==^ =

Thi du 20.(Dang 0.20) Tim lim (5 - x)tan So -

Lời giải

Đặt x = 5 — t Khi x —> Š5 & t—>0 Ta có:

số nt

lim ttan TỢ =0 = lim tan Š~ 1g) = lim = 10 im 10 = 107,

t0 10 10 2 | 130 HAI T t>0 TẾ tT

tan — tg—

10 10

Tóm lại: lim (5— ~x)tan = 19

x35 10 TN

Lời bình: Với mọi a # 0, bằng cách đặt x =a- t, bạn có kết quả: '

tmx 2a lim (a — x)tan—- = —

xa 2a T1

III Phương pháp gọi số hạng vắng

Bản chất khử dạng không xác định % của bài tốn tìm giới hạn là làm xuất hiện nhân tử chung để:

Trang 21

Thuviendientu.org

— FSV

* Hoặc là đưa về dang “co ban”, quen thudéc đã biết rõ kết quả hoặc cách giải Trong các bài tập khó, các hạng tử cấu thành nhân tử chung thường thiếu vắng Để giải quyết bài toán, điểm mấu chốt là khôi phục các hạng tử thiếu vắng đó Việc khơi phục, gọi lại các hạng tử đó như thế nào, bằng cách nào, sẽ được trình

bày trong ba phương pháp dưới đây

Kĩ thuật 5 Gọi số hạng vắng bằng hệ số bất định

Thi du 21 Tim lim

xl x7 -] Lời giải ¬ -Đ\x?+7 Sax’? Vx?+7-2 Ta có: lim—————>—————— = 5 (1) xi x" =Ï lim X —Ì 5-x? -2 1-x? lim——————— =_ lim xi x? — | x1 (x? ~ ls_ x3 +2) x¬! ( mal x" +2) 8 _ Vx? +7-2 x? -1 lim———=————— = lim vơi x? =] 1x2 lx? +7 +8Äk 1+4 = lim (3) I(x? +7) AR +744_ 3 1 1 Thay ay (2), (3) vào (L) có: (2), (3 1 Az -—=— 8 12 24

Lời bình 1: Trong lời giải trên ta đã thêm bớt 2 vào tử thức của f(x) Ba câu hỏi đặt ra:

` (1) Tại sao phải có số 2? (2) Tại sao lại là số 2? (3) Tìm số 2 như thế nào?

Trả lời ba câu hỏi đó ta có phương pháp giải loại toán này

* Trả lời câu hỏi 1: Số 2 là hạng tử đã bị xoá Muốn giải, ta phải khơi phục nó

* Trả lời câu hỏi 3: Cách tìm số 2, thực hiện theo các bước sau đây: VÝ5-x”-c _ Vx°+7-c

x? -] x?

Bước]: Với mọi c e R, ln có : ƒ(x)=

-l

Bước 2: Trong các số c đó, ta tìm số c sao cho x”—l cùng có nhân tử chung với

fix) = Ý5—x” — c và f(x) = Vx? +7- c Diéu đó xẩy ra khi và chỉ khi c là :

nghiệm của tuyển: | Ị

Trang 22

Thuviendientu.org | he b N li { c= | f,(1) =0 = 6 = f(-1)=0~ {°- & c=2 f,(-1) =0

Đó cũng là câu trả lời tại sao lại là số 2

Qua thí dụ trên, chúng ta nêu lên thuật toán như sau:

e Thuật toán 1: Giả sử F(x) = 1` có giới hạn dang

g(x)

Bước 1: Phân tích ƒ@&)= h2 +€ „ hOI=e |

g(%) g(x)

Bước 2 (Tim c): Goi @, (i = 1; 2; ) là nghiệm của g(x) = 0

ae as ys f(œ)+c=0 „

Khi đó c là nghiệm của hệ (i = 1; 23 ) f,(a;)-c =0

Với c tìm được thì lim CO Ê€ và tim BC sẽ hoặc là dạng xác định, xa, g(x) xX; g(x)

hoặc là dang quen thuộc

Sau khi tìm được c, việc trình bày lời giải như đã làm

3 — Thí dụ 22 Tìm lim X11 -Ÿ8—x x0 X Lai giai X FT 23 i -—-C

Bước 1: (Phân tích) VceR, ln có: /x)= ZYX‡1=€_ x x Š

Bước 2: (Tìm c) Nghiệm của mẫu thức là x = 0

V0+1-c=0

Suy ra c là nghiệm của hệ I, 0 0” c= 1 Vay

—-—-c= xl x xe] X x90 2°24) «12 | X — 3 —_— —_ Wx+1-¥8-x Vil¢tx-l 8 1 1 13 lim“—————————— =2| lim—————-lim———— | =2|—' =—— X

Lời bình 2: Ở phương pháp 1, nhân tử chung được khử để đưa giới hạn về dạng

xác định, hoặc dạng quen thuộc, hoặc đạng “cơ bản”

Trang 23

Thuviendientu.org

Loi giai -

Goi A= V1+xsin3x -Acos2x = (J1+xsin3x —1)+(1—xjcos2x) _ il +xsin3x ~1\(V¥14+xsin3x +1) (1—-v¥cos2x)(1+-V¥cos 2x)

V1l4+xsin3x +1 _ 1+Vcos2x

_ x sin 3x + l-cos2x _ x sin 3x + 2sin? x vl+xsin3x +1 Vcos2x +1 I+Vl+xsin3x I+-vc2s2x > lim = lim xsin3x - 2sin? x

x0 x? x90) x 24 Viaxsin3x) xỉ “(1+ cos2x) _ im( SR 3 b im[Sn x2 x0 3X 14+ V¥1+xcos3x x0 x? I+A/cos2x = 12 +l.l= > 2 2 => lim = lim—— Xs 2 x0 /! 4+ x sin 3x Sean 0A 5

Thí dụ 24”, (Chúng ta trở lại bài này trong phương pháp hai bằng thí dụ 28) ý1+2x -Ÿ 1+3x_ Tìm lim xã Lời giải Tạ có: lìm yD AIK — him HH == x¬0 x? 0 x x X | i 2 3 = lim

in| ees Vi+2x +1 _1Íq+3x) ee

" 2¢(1 + 3x)? + V4 3x + 1)- 3/14 2x +1)

X (jl+2x+ yaa +3x)? 44/14 3x 41) 2Ÿ rào) -1 2Ñ 1+3x-1_ 112%] = lim

.ơo ch + naa Se} +Ơ1+3x yD

3ƒ 23 2v _

2đG/T+3x+Ð) 1+3x — la 3x- 1 1+ 2x —!

= jim x * :

- (V1+2x + ain + 3x)? na +1) ị

_ 2đ+D.I+21-3.1 1 Tóm lại lm—————>—— VI+2x=Ý1+3x „

Trang 24

Thuviendientu.org

Kĩ thuật 6 Gọi số hạng vắng bằng tách bộ phận kép

z 'Wf(x) — Nj

Áp dụng cho dạng lim AEG) ~ VEO) xa (x —a)

{n, m, k là các số tu nhién, 1 <k < min(n, m) } V8x2 +x? 46x +9 —V9x2 +27x +27 3 Thí dụ 25”) Tìm K =lim x0 X Lời giải

Gọi A = &x° +x?+6x+9=8x'+(x+3)—= A(x +3)" = Bx"

Goi B = 9x? + 27x + 27 = x—( + 3)’ => (x +3)-B=x° _ -3/B

Viết lại: K = lim (“A +3) HH) = (1)

x—>0 X X

Gọi K,= lim} =Œ+3) & jig ADE AD" 2 tim — 3 ——— x90 X x0 x” (JA +x +3) x90 x" x3(VA +x +3)

8 8 4 = lim =— (2) 10(JA 4x43) V9+3 3 Goi Ky = lim a VB _ tìm (x+3)'- o0 x? *^9 x®[( +3)” Thiền VB°] = lim 90 31(x +3)? +(x +3)VB + VB? | = lim £90 1x +3)? +(x +3)¥B + VB" | - 3?+3/27+12? 9+9+9 2ï ec @) 4 | 37 37 Tir (1), (2), G -K=K,+K, =— + — =—.TémlaK= — (1), (2), ©) suy ra a7 ee

Qua thí dụ trên ta rút ra thuật toán như sau:

W(x) —Nj

e Thuật toán 2: Đề tim K = lim — xa ˆ X— a a cé dạng { n,m, k là các số tự nhiên, | <k <min(n, m) } Ta biến đổi:

Wf(x) —2/ g(x) _ Nữ (x) + h(x)” —h(x) „ h0) —Ñg¡@) +[hŒ)J

(x —a)* (x - —a)* (x - ~a)*

~ fi), 8)

Trang 25

Thuviendientu.org

(QAx), Q,(x) theo thứ tự là biểu thức liên hợp của 'ÿf(x) — h(x), h(x) —- t/g(x) ) Suy ra K = lim its) _ + lim 81%)

xa (x—a)*Q,(x) x8 (x-a)*Q,(x)

Thí dụ 26” Tìm giới hạn K = lim vcos 2x - 2x - VYiron? ax

x h0 xẢ

Lời giải

Goi A = cos2x — 2x = 1 — 2x + x?— x?- (1 — cos2x) = (1 — x)?— x’ 2sin’x <> A -(1-x)? =—x?- 2sin’x Goi B=+/1+2x? -— 4x = 1 —4x + 6x?- 4x? + x*— x4 + 4x)— 6x?— 1+ VI+2x? = (1+x)*— x* + 4x3- 6x?— 1+ VI+2x? <> (1+x)'- B= x!— 4x? + 6x? + 1 -V14 2x? _ — _ _4

Viết lại k~ In “A G1, 0) = x0 X x” (1)

_fn 2 _x2_ 3 : 2

Goi K, = lim YA =d=*) _ x) = lim A-(l-x) = lim x 2sin” xX

O0 X *20 x2(/A +I—x) *20x2(VA +I—x)

vie of sa) X —=Ì—¿& 1—2.1 3

=lim———-——~ =——“—=-~ >0 (/A+l-x) XVi-0+1I-0 2 (2)

4

Trang 26

Thuviendientu.org Lời giải 2) _3 2 tacé: J = im MOLt2xDL+ x ) Ÿú+390+3 ) 2 x0 xX"

Goi A = (1 + 2x)(1 +x?) =2x? + (x41 => A-(x4+1)= 2x’, limA =1

x0

Goi B= (1 = 3x)(I + 3x?) = 8x? + (x + 1)? => (x + 1)-B= -8x'3 limB = 1

x0 _3

Viét lai Jt = lim K, x0 nen Re x x" | (1)

2 3

Goi I = lim VA=(+D lim _A-@œ+ÙD_ _ = lim m-

x0 x" 0 x3(JA+x+1) xo9xi (JA +x 41) 2

= lim——————- = Ì (2)

0(JA 4x41) _

: 3_BR

Gọi J= lim G+D—ŸB _ lim (x+1)

x70 X 0 T(x +1? +(x + DYB 4+ VB? ] — 8x3 = iim £90 (x 41)? ++ RBs 17} _8 = lim (3) 29 [(x + j)2 man i 8 5 3 Ti HO ONE E 1), (2), 8 : =Í+]=Ì-—- =_—-_— + 3 3 K,= — & 5 tw Chu y: ,

1 Biểu thức h(x) được nội suy trong f(x), g(x) Việc phân tách bộ phận kép h(x) chỉ làm trên nháp, không cần trình bày trên bài làm (Các bạn theo dõi thí dụ 28)

2 Các hạng tử của h(x) chứa số mũ từ 0 đến k—l có mặt vừa vặn trong các biểu thức của f(x), g(x) Đó là tín hiệu để gọi h(x) Cần biết rằng một vài số hạng có thể ẩn (bị trung hoà bởi các số hạng) trong f,(x), øg;(x) [thí dụ (4), (6)]

Thí dụ 28 (Trở lại Thí dụ 24) Vi+2x -¥V143x

Tim giới hạn K = lim ——— a)

X”

Lời giải

v _ _3

Viét lai K = in| tax =U) | U4) ve]

: K0 X xi = lim =x’ x (x +3) x0| /14.2x ti, [+x +(L+x)¥V143x +3 (1+ 3x)! | f : Vass a z2 | NV L chê He la (3 2 ) m Vere V5 xi 178 ˆv„o ) eye SS mg (2

{om Yan ư (4) li» l2 — (2 ) be = Wes Vent

Rol we A2) xf Œ)

Trang 27

Thuviendientu.org -l x+3 ` = lim x0 Jis2x+1+x (1+x)? +(L+x)¥143x + ¥/(14 3x) 1 1 ¬5 ‹ 2 Irl+l 2 2

Kĩ thuật 7 Cọi số hạng vắng bằng tái hiện hệ thức cơ bản

lim wt ax =! 2a (5)

x—0 X n

{ 2 27/1 —2x —

Thi du 29” Tim K = lim X21 1998)V 1 = 2x = 1998 |

x0 x | Loi giai 2 Biến đổi: (x? +1998)V1—2x — 1998 _ (x? +1998)/1—2x —(x? +1998) + (x? + 1998) — 1998 x X = (X'+ 1998) via 2x-! X = K= i "` | = tim (2 + 1998) 12 = tims x X x = 1998(-2) +0= — 222° Tom lai K = _ %5 7 7 7

Lời bình 3: Trong thí dụ trên, điểm mấu chốt là bớt - thêm (x” + 1998) vào tử J1-2x -I

thức làm xuất hiện nhân tử ——————— dẫn đến sự thành công của lời giải

X

Qua thí dụ trên, ta nêu lên thuật toán như sau :

P(x)V14+ax + Q(x)

e Thuật toán 3: Giả stt F(x) = Để tìm lim F(), ta biến đổi:

F(x) = P(x )¥14+ ax — P(x) _ Pea) +060 = P(x) Vl+ax —1 + F(x)

X X X

với R6) = CC X 99) )

Suy ra: lim F(x) = — 2 lim P(x) + lim F,(x)

x0 n x70

Hang tir vang 6 day 14 P(x), da ’xung danh"'trong biéu thức giới han

Lời bình 4: Khác với phương pháp 1, nhan tử chung trong phương pháp “Tái hiện hệ thức cơ bản” không giản ước Khi tìm giới hạn, lim P(x) là một số xác định

Lời bình 5: Thơng thường ẩn x ở mẫu thức trong hệ thức cơ bản bị triệt tiêu khi

F(x) có dạng thương các căn thức (xem Thí Thí du —

—— +

+ Ip Sn PS CS) i ER om Vim (1) 179

Trang 28

Thuviendientu.org

Visxyi4 s+ -V1-x

Thí dụ 30” Tìm giới han A = lim z1 3

x SV4+x -18—x -Ÿ1-x Lời giải Gọi tử thức là T, mẫu thức là M, ta có: T= VL+xiL+ 4]l+Š =ÄfT—x ©T< 4ixxiÍI+Š4jL+Š =iJ1+ X4jL+Š ey Sa cŠ Ý 2Ÿ 3 2Ý 3 2Ý 3 -tlI+Š +i|I+Š =1 ~Ÿt^x +l 3 3 X X X xX <> T= 3144/14 —(W14+x -1) +4l1I+—|3H1+—-—I h- X 4 + 1s] -ÑT=x -1) Áp dụng cơ bản (5) có : lim-T = + L1 = xo0X 1.2 23 34 4 lim M 5 x30 ¥ 24

Tuong tu: lim— BAe ox 24 = —.Suy ra: A= 7% — = —

_

Chú ý: Chúng ta cũng sử dụng phương pháp này để tái hiện các “giới hạn cơ bản-quen thuộc” cịn lại được tích hợp trong các thí dụ về sau

Kĩ thuật 8 Áp dụng các giới hạn cơ bản - quen thuộc

Thí dụ 31) Tìm các giới hạn sau: lim, 2 lim I) x90 2X x0 sin5x Lời giải

1 Ta có lim 23% = ñm 2-5] = 3 jim SOX 3.) 23

Trang 29

Thuviendientu org

Lời bình: Chứng minh tương tự với moi a # 0,b = O ta cé:

sinax a , sinax a lim =—, lim— =— x0 bx b x¬09snbx b Thí dụ 32” Tìm các giới hạn sau:

i tim tan 20x 2 lim tan 9x

x30 |x x0 tan6x Lời giải tan 20x (20 tan20x llx 20 20 1 lim = lim} —-————_- = —-]-] = — x>0 11x x0 11 20x tanilx li 11 2 tim 120 9% _ inl 2 0 6x | _ Qa _ 3 x>+0ftanÓx * 706 Ox _ tan6x 6 2

Lời bình: Chứng minh tương tự với moi ab # 0 ta cé: tanax ai tanax =a

lim = —; lim " =

x0 bx b,x>0tanbx b

Thi du 33 Tim lim 1 =£083%

x0 x” Loi giai 2sin? 2* sin *

Ta có: lim 1 =2083% = jim —_2 = 2 jim] x-›ữ x” x0 x —2-] = 2.17 =?

2 x30 3x 2 2

2

Lời bình: Chứng minh tương tự với moi a # Ô ta có: lim + Cosa = >

x—> X l2 v2 Thí dụ 34” Tìm lim1—ÝŸ2X 1Ì x>0_ Ï—COSX Lời giải Số 1av¥2x? 4100 f 1-V2x? 410 x?

Viết lại: lm———————— = lim 5 : (1)

x0 1—cosx x0 X l—cosx

bò I-2x2+l 2 x? X? 1

Ta cé: lim ——————- = -— =~-l, lim = lim =—

x0 x? 2 xo0]—COSX *%02sin*x 2

2

Thay vào (1) cé fim Y2 +h Lt

x90 |—cosx 2

Thí dụ 35 Tim gidi han K = lim 12 S08%:082-Cos3x

x20 x?

181

Trang 30

Thuviendientu.org

Loi giai

Viét lai: 1 — cosxcos2xcos3x = (1 — cosx) + (cosx — cosxcos2x) +

+ (cosxcos2x — cosxcos2xcos3x) = (1 — cosx) + cosx(1 — cos2x) + cosxcos2x(1 — cos3x)

l[—cosx xL~€0S2x ae)

2 x2 x2

=>K= inl + COs + COS X Cos 2x

x0 X

Ta có lim——SO 5X ~ 8—,limcosbx =l(az0,bz0)

x0 x x0

Suy ra K = L + Ra + 1a =

2 2 7

Thí du 36 Tìm giới hạn K = lim (cos = cos a cose cos —-) aaa 2 9? 23 2n

Lời giải a COS —— 2n Trường hợp ï: a = k2n, ta có A=0 > K=0 a a a

Gọi A = cos — cos — cos —

2 2 2

(1)

Trường hop 2: a#k2n, sin a z0

a sin——

Ta có: COS—— = 2 nén A duoc viết lại a 2sin ¬n sin sin a a sin— 2 sin—~- ~ 2n-l a 2sin-^- 2n sina 2n-2 A= a 2sin —— n~l 2sin= 2sin—~ 2sin

2 2° 2

Chú ý rằrg khi n —> œ thì se — 0 nén suy ra: a 2n a sin —— n sina sina = lim a a (2) sina sina oa 2" sin —

Trang 31

| Thuviendientu.org Loi giai Goi A, = V3 733 _ = 2cos—— 2 3.2' = /2+A, = 2(1 + cos) = \ T Tt R A,= /2+A, = "— = ip : = 733 = 2cos— ™ 7

= /2+A = ,{2(1+ cos—~ => = 2cos

° \ 32) 3.24

Ay-t= ¥2+Ay_2 = ,{2(1+ cos y= 2.2cos? ; = 2cos x 3.2" An= J2+A,-, = 21-0 = p2sin? B= 2s =

3.2" Chú ý rằng khi n —> œ thì am 0 nên Suy ra:

sin ——

lim 2°A, = lim (2"*!sin =) = 2 tim 3:2" = 2“ Tóm lại K = 2

n—œ n—»m 32" 3 n¬mœ T 3 3

3.2"

BAI TAP

Bài 9 Tìm các giới hạn sau

Vx+7-V5-x? —5- x? X +X?-2 1 lim 2 lim — xi x>! sin(x— |) 3 lim ———————— 4") lim ————— x0 sinx x^0 |—cos4x x? 1 +tgx VƠ1+sinx

5đ limP x0 + —Ícos4x 6° lim Ý 8# x0 Ty" xì

=3 5 lag +5 x? 7 lim —————— 8® lim x! tg(x — 1) x0 /14xsinx — Vcos4x B.: 10 Tính các giới hạn sau: @

98 |1-—cos3x cos5x cos 7x l ⁄

Trang 32

Thuviendientu.org oso

Bai 11 Tim các giới hạn sau:

a lim {2 — = ; b lim(/ex' +3x7 ~V4x? ¬ xo+œ X x * x¬œ sin 3x + 2cosx Bài 12”), Tìm lim x?s 3x?+x+l3

Bài13 a Tìm lim VC0SX—Ÿcosx

x-›0 sin? x

> »b im -tanx) xo 2\ COS X

2

c im -cotx] (Đại học Luật Hà Nội, 88-89)

x>0\ sin 2x

Bài 14 Tìm lim Í — cos x.cos 2x.cOs 3X COS nx (n là số tự nhiên)

x0 x?

Bai 15 Cho a kz Tim cdc gidi han sau:

-1.K= imC———+———+ -+————)

~ 4cos? = 4? cos? & 2 4" cos? 2n

là a\ (1, a | :

2.K =lim (Stan) +[ zen) +t Stan 2

n>=sl\2 2 2° 2 22"

§ó HÀM SỐ LIÊN TỤC

Định nghĩa I (hàm số liên tục tại một điểm)

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; b) và xạe(a; b) Hàm số f được gọi là

liên tục tại điểm xạ nếu

lim f(x) = f(xạ)

Hàm số không liên tục tại xạ được gọi là gián đoạn tại điểm xo Định nghĩa 2 (ham số liên tục trên một đoạn)

a Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; b) Ta nói rằng hàm số f được gọi là

liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó

b Giả sử hàm số f xác định trên đoạn [a; b] Ta nói rằng hàm số f được gọi là liên tục trên đoạn [a; bị] nếu nó liên tục khoảng (a; b) và

lim f(x) = f(a), lim f(x) = f(b)

xa”

Nhận xét (*):

e Tổng, hiệu, tích, thương của các hàm liên tục tại một điểm là hàm liên tục tại điểm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu thức tại điểm ấy phải khác 0)

đâ Hm a thc v hàm phân thức hữu tỉ (hương của hai hàm đa thức) liên tục , trên từng tập xác định của chúng

184

Trang 33

‘Thuviendientu.org

Dinh lí I: Các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx lién tuc trên tập xác định của chúng

Định lí 2: (giá trị trung gian của hàm số liên 4

tục) Giá sử hàm số f xác định trên doan [a; b] ? y=ĐA) Néu f(a) z f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa

f(a) va f(b), tồn tại ít nhất một điểm ce(a; b) sao

cho f(c) = M Ý nghĩa

Gia sử hàm số f xác định trên đoạn [a; b] và M

là số thực nằm giữa f(a) và f(b), thì đường thẳng

_y =M cắt đồ thị hàm số y = f(x) ít nhất tại một điểm có hồnh độ ce(a; b)

* Đồ thị hàm số liên tục là một đường liền nét * Hệ quả: Giả sử hàm số f xác định trên đoạn [a; b]

Nếu f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm cec(a; b) sao cho f(c) = 0 (Hệ quả là một dấu hiệu nhận biết hàm liên tục có nghiệm)

b = 2 Š = —= wee eww = ` oom! > `— 2 — + z + ° " ` ^“ xl khi X z =] 2

Thi du 1 Xét tính liên tục của hàm s6 f(x) = 4 x +1 tại điểm x = —Ï

— 2, khi x = —] Lời giải 2 4° ° 2 X Với mọi x # —l ta có Í(x) = f(-1) =-2 Ta có lim f(x) = lim(x =1) = =2 x¬>- x—>-Il <> f(x)=x- I

=> lim f(x) = f(-1) => f(x) 1a ham sé lién tuc tai x = —-1

x-1

Thí dụ 2 Xét tính liên tục của hàm số f(x) = Ixl

Lời giải Tập xác định : R —x, khi x<0 Ta cé f(x) = x,khix>0

= Hàm số liên tục với mọi điểm x z 0 (nhận xét) (1)

lim f(x) = lim (—x) =0

Lai cé f(x) = 0 va 4*7° x70

lim f(x) = lim x =O

x0* x—»0*

= Hàm số liên tục tại x = 0 (2)

Từ (1), (2) kết luận hàm số liên tục trên R

Thí dụ 3° Chứng minh hàm s6 f(x) = J4 - 3x — x? liên tục trên đoạn [~4; ]]

Trang 34

Thuviendientu.org

Loi giai

= Hàm số đã cho xác định trên đoạn [-4; 1] ® Với mọi xạ€(l; 4) ta có

lim f(x) = lim ¥4—3x—x? = _/lim(4—3x —x?)

= 44—3xạ — Xã = f(X,) (1)

e lim f(x) =0= f(1) (2)

xi"

e lim f(x) =0= f(4) (3)

x4"

Từ (1), (2), (3) kết luận hàm số đã cho liên tục trên đoạn [—4; 1]

Thí dụ 4”), Tìm các điểm gián đoạn của hàm số :

13x 0 tan x a.Í(X)=——————— b f(x) = V4x7+4x+1 x+I x? ~] c f(x) = yay RM OF Xe! 2,khix =Ohoac x =1 Lời giải 13x 13x (2x +1) ~ [2x4+11 l

a Viết lại f(x) =

7

>, , =—+k

b Ta có xạ là điểm gián doan cua ham s6 <> ho 2 " Xo =-l

c Theo nhận xét (*) suy ra f(x) chỉ có thể gián đoạn tại x = 0 hoặc x = I

2 2

—= x= | là điểm liên tục, không phải là điểm gián đoạn của hàm số

x+] e limf(x) = lim 5

x0 x70 x

= +œ#f(l)— x =0 là điểm gián đoạn của hàm số

¬ sin——, khi x <1

Thi du 5", Xét tinh liên tục của hàm số f(x)= 4 _„, ¡

Trang 35

‘Thuviendientu.org

Lời giải

Với mọi x # Ì, ta có f(x) là hàm liên tục (nhận xét (*)) (1)

m Í tim f(x)= lim sin =]

Lại cé f(1) = sin= =1 va {7 xl | lim f(%) = lim Š— =

jx vot ở

= lim f(x) = 1 =f(1) Hàm số liên tục tại x = J (2) Từ (1), (2) kết luận hàm số liên tục trên R

Thí dụ 6” Chứng minh phương trình 3x” — x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm

thuộc khoảng (—1; 0)

| Lai giai

: Xét hàm số f(x) = 3x”— x + 1 Rõ ràng f(x) !à hàm liên tục trên đoạn [—l; 0] Lại cé f(-1) = -1 < 0, f(0) = 1 > 0 Theo hệ quả thì tồn tại ít nhất một điểm { ce(—1; 0) sao cho f(c) = 0 hay phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng

(~1; 0) (đpcm) ax” +bx +3, khi x < l

Thí dụ 7 Tìm a, b để hàm số f(x) = 4 5, khi x = I liên tục tại x = 1

2x—3b, khi x > Ì

Lời giải

Ta cé: lim f(x) = lim (ax? + bx +3) =a—b+3,

x1 - xl

lim f(x) = lim 1(2x — 3b) =2 — 3b

x1" xi”

x17

` ,.„ {a-b+3=5 =]

Điều đó xảy ra khi và chỉ khi {ˆ œ1,

2-3b=5 b=-1

Vay (a = —b = l) là cặp số duy nhất thoả mãn yêu cầu bài tốn

x? n Thí dụ 8”) Gọi g(x) = 14% toot 44 2 2? 2" g(x), khilvl<1 V5x—1,khilxl>l- Xét tính liên tục của hàm s6 f(x) = Lời giải x x? x"

B® Voi Ixl < 1 ta có — là tổng của cấp số nhân lùi vô

L e “

Trang 36

Thuviendientu.org 1_* 2 Theo nhận xét (*) — g(x) là hàm số liên hạn với u, = l,q= D nên g(x) = 2— 2 X tục với mọi x mà Ìx| < I

= f(x) liên tục với mọi x mà lxÍ < 1 (1) ® Với mọi x, xạ mà lxÌ > 1, Ixql > 1 ta có:

lim f(x) = lim V5x—l = 2j5xạ —1 = (xạ)

=> f(x) lién tục với mọi x, mà lxI>1 (2) e Tại x= l:

*f(1)=g(1)= V5-1 =2 (3)

*limf(x) = limA5x—1 = 44 =2 x1 x—>1* (4)

2 2

* lim f(x) = lim g(x) = lin —— = — =2 (5)

x71 xi" x21 2 —X 1

Từ (3), (4), (5) => lim f(x) = lim f(x) = f(1)

xe |” x17

=> f(x) lién tuc tai x = 1 (6) Từ (1), (2), (6) kết luận — f(x) 1a ham số liên tục trên R

BÀI TẬP

Bài 16 Xét tính liên tục của hàm số f(x) = V4—x? trên đoạn [—2; 2]

At? khi-lex#2

x°-x-2 Bai 17 Xét tinh lién tuc của ham s6 f(x) = ¢

Bài 18 Xét tính liên tục của hàm số f(x) = ‹

= oki x = —-lhoặc x = 2

V

[/I+4x —1

Bài 19 Tìm a để hàm số sau đây là liên tục f(x) = |

Bài 20 Chứng minh phương trình xỶ - 3x

(—2; 2) x Khix#0 iy 20 (2, khi x =0 „khix>l ax + 2, khi x tren R X,X<l

+ l =0 có ba nghiệm phân biệt thuộc

Bài 21 Chứng minh phương trình 2x” + 3x + 2 = 0 có nghiệm

Bài 22 Chứng minh rằng:

Nếu 2a + 3b + óc = O thì phương trình nghiệm thuộc khoảng | kz; “ +kz | 4

188

Định dạng
Số trang	36
Dung lượng	1,15 MB