Ôn tập hàm số bậc 3

Ôn tập hàm số bậc 3

ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC 3(Trung tâm Luyện thi đại học Vónh Viễn)Giả sử : y = ax3 + bx2 + cx + d với a ≠ 0 có đồ thò là (C). y’ = 3ax2 + 2bx + c, y” = 6ax + 2b1) y” = 0 ⇔ x = a3b− (a ≠ 0 )x = a3b− là hoành độ điểm uốn. Đồ thò hàm bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.2) Để vẽ đồ thò 1 hàm số bậc 3, ta cần biết các trường hợp sau :i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghòch biến) trên R (luôn luôn giảm)iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2⇒ hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2.Ngoài ra ta còn có :+ x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn.+ hàm số tăng trên (−∞, x1)+ hàm số tăng trên (x2, +∞)+ hàm số giảm trên (x1, x2)iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2⇒ hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có :+ hàm số giảm trên (−∞, x1)+ hàm số giảm trên (x2, +∞)+ hàm số tăng trên (x1, x2)3) Giả sử y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y = k(Ax + B)y’ + r x + q với k là hằng số khác 0;thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trò là y = r x + q4) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt⇔ <=0)2x(y).1x(y2x,1x biệt ânnghiệm ph 2 có 0'y5) Giả sử a > 0 ta có :i) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt > α⇔ <<α<<α=0)2x(y).1x(y0)(y2x1x thỏa biệt ânnghiệm ph 2 có 0'yii) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt < α⇔ <>αα<<=0)2x(y).1x(y0)(y2x1x thỏa biệt ânnghiệm ph 2 có 0'yTương tự khi a < 0 .6) Tiếp tuyến : Gọi I là điểm uốn. Cho M ∈ (C).Nếu M ≡ I thì ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M.Nếu M khác I thì ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M. Biện luận số tiếp tuyến qua 1 điểm N không nằm trên (C) ta có nhiều trường hợp hơn.7) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y(x0) = 0 (x0 là hoành độ điểm uốn)8) Biện luận số nghiệm của phương trình : ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1) (a ≠ 0) khi x = α là 1 nghiệm của (1).Nếu x = α là 1 nghiệm của (1), ta có ax3 + bx2 + cx + d = (x - α)(ax2 + b1x + c1)nghiệm của (1) là x = α với nghiệm của phương trình ax2 + b1x + c1 = 0 (2). Ta có các trường hợp sau:i) nếu (2) vô nghiệm thì (1) có duy nhất nghiệm x = αii) nếu (2) có nghiệm kép x = α thì (1) có duy nhất nghiệm x = αiii) nếu (2) có 2 nghiệm phân biệt ≠ α thì (1) có 3 nghiệm phân biệtiv) nếu (2) có 1 nghiệm x = α và 1 nghiệm khác α thì (1) có 2 nghiệm.v) nếu (2) có nghiệm kép ≠ α thì (1) có 2 nghiệmBÀI TẬP ÔN VỀ HÀM BẬC 3Cho họ đường cong bậc ba (Cm) và họ đường thẳng (Dk) lần lượt có phương trình là y = −x3 + mx2 − m và y = kx + k + 1.(I) PHẦN I. Trong phần này cho m = 3. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số.1) Gọi A và B là 2 điểm cực đại và cực tiểu của (C) và M là điểm bất kỳ trên cung AB với M khác A , Bø . Chứng minh rằng trên (C) ta tìm được hai điểm tại đó có tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến tại M với (C).2) Gọi ∆ là đường thẳng có phương trình y = 1. Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E ∈ ∆ với (C).3) Tìm E ∈ ∆ để qua E có ba tiếp tuyến với (C) và có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.4) Đònh p để trên (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng p, trong trường hợp này chứng tỏ trung điểm của hai tiếp điểm là điểm cố đònh.5) Tìm M ∈ (C) để qua M chỉ có một tiếp tuyến với (C).(II) PHẦN I I.Trong phần này cho tham số m thay đổi.6) Tìm điểm cố đònh của (Cm). Đònh m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố đònh này vuông góc nhau.7) Đònh m để (Cm) có 2 điểm cực trò. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trò.8) Đònh m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt. 9) Đònh m để : a) hàm số đồng biến trong (1, 2). b) hàm số nghòch biến trong (0, +∞).10) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng.11) Tìm điều kiện giữa k và m để (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt. Tìm k để (Dk) cắt (Cm) thành hai đoạn bằng nhau.12) Viết phương trình tiếp tuyến với (Cm) và đi qua điểm (-1, 1).13) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (Cm) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.BÀI GIẢIPHẦN I : m = 3Khảo sát và vẽ đồ thò (độc giả tự làm)1) Gọi n là hoành độ của M. Vì hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = 2 nên 0 < n < 2; y' = – 3x2 + 6x ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k1 = – 3n2 + 6n ∈ (0, 3] (vì n ∈ (0, 2)). Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k2 = 1k1− (với 0 < k1 ≤ 3). Hoành độ của tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến M là nghiệm của – 3x2 + 6x = 1k1− (= k2) ⇔ 3x2 – 6x 1k1− = 0. Phương trình này có a.c < 0, ∀ k1 ∈ (0, 3] nên có 2 nghiệm phân biệt, ∀ k1 ∈ (0, 3]. Vậy trên (C) luôn có 2 điểm phân biệt mà tiếp tuyến đó vuông góc với tiếp tuyến tại M.2) E (e, 1) ∈ ∆. Phương trình tiếp tuyến qua E có dạng y = h(x – e) + 1 (D). (D) tiếp xúc (C) ⇔ hệ =+−+−=−+−hx6x31)ex(h3n3x223 có nghiệm.⇒ Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là : – x3 + 3x2 – 3 = (– 3x2 + 6x)(x – e)+ 1 (1)⇔ – x3 + 3x2 – 4 = x(– 3x + 6)(x – e)⇔ (x – 2)(x2 – x – 2) = 3x(x – 2)(x – e)⇔ x = 2 hay x2 – x – 2 = 3x2 – 3ex⇔ x = 2 hay 2x2 – (3e – 1)x + 2 = 0 (2)(2) có ∆ = (3e – 1)2 – 16 = (3e – 5)(3e + 3)(2) có nghiệm x = 2 ⇔ 8 – 2(3e – 1) + 2 = 0 ⇔ e = 2Ta có ∆ > 0 ⇔ e < – 1 hay e > 35 .Biện luận :i) Nếu e < – 1 hay 35 < e < 2 hay e > 2⇒(1) có 3 nghiệm phân biệt ⇒ có 3 tiếp tuyến.ii) Nếu e = – 1 hay e = 35 hay e = 2⇒ (1) có 2 nghiệm ⇒ có 2 tiếp tuyến.iii) Nếu – 1 < e < 35 ⇒ (1) có 1 nghiệm ⇒ có 1 tiếp tuyến.Nhận xét : Từ đồ thò, ta có y = 1 là tiếp tuyến tại (2, 1) nên phương trình (1) chắc chắn có nghiệm x = 2, ∀ e.3) Vì y = 1 là tiếp tuyến qua E (e, 1), ∀ e và đường x = α không là tiếp tuyến nên yêu cầu bài toán.⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa : y'(x1).y'(x2) = – 1 ⇔−=+−+−>∨−<1)x6x3)(x6x3()2(củanghiệmlàx,x35e1e22212121⇔−=−−=−=+>−<1)2x)(2x(x.x91x.x21e3xx35ehay1e21212121⇔−=+−−>−<1]4)1e3(1[935ehay1e⇔ e = 2755 . Vậy E 1,27554) Tiếp điểm của tiếp tuyến (với (C)) có hệ số góc bằng p là nghiệm của : y' = p ⇔ 3x2 – 6x + p = 0 (3)Ta có ∆' = 9 – 3p > 0 ⇔ p < 3Vậy khi p < 3 thì có 2 tiếp tuyến song song và có hệ số góc bằng p. Gọi x3, x4 là nghiệm của (3).Gọi M3 (x3, y3); M4 (x4, y4) là 2 tiếp điểm. Ta có :1a2b2xx43=−=+126)xx(3)xx(2yy2423343343−=−+++−=+Vậy điểm cố đònh (1, –1) (điểm uốn) là trung điểm của M3M4.5) Cách 1 : Đối với hàm bậc 3 (a ≠ 0) ta dễ dàng chứng minh được rằng : ∀ M ∈ (C), ta có :i) Nếu M khác điểm uốn, ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M.ii) Nếu M là điểm uốn, ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M.Cách 2 : Gọi M(x0, y0) ∈ (C). Phương trình tiếp tuyến qua M có dạng :y = k(x – x0) 3x3x2030−+− (D)Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :3 2 2 3 20 0 03 3 ( 3 6 )( ) 3 3x x x x x x x x− + − = − + − − + −( 5 )⇔0)x6x3)(xx()xx(3xx20202303=+−−+−−−⇔0x6x3x3x3xxxx0xx2020020=+−−−++∨=−⇔0x3xx)x3(x2hayxx020020=+−+−=⇔0)3xx2)(xx(hayxx000=−+−= ⇔2x3xhayxx00−==Do đó, có đúng 1 tiếp tuyến qua M (x0, y0) ∈ (C)⇔1x2x3x000=⇔−=Suy ra, y0 = 1. Vậy M(1, –1) (điểm uốn). Nhận xét : vì x0 là 1 hoành độ tiếp điểm nên pt (5) chắc chắn có nghiệm kép là x0Phần II : Tham số m thay đổi. y' = – 3x2 + 2mx6) (Cm) qua (x, y), ∀m⇔ y + x3 = m (x2 – 1) , ∀m⇔=−=−==⇔=+=−1y1xhay1y1x0xy01x32Vậy (Cm) qua 2 điểm cố đònh là H(1, –1) và K(–1, 1).Vì y' = – 3x2 + 2mx nên tiếp tuyến với (Cm) tại H và K có hệ số góc lần lượt là :a1 = y'(1) = – 3 + 2m và a2 = y'(–1) = –3 – 2m. 2 tiếp tuyến tại H và K vuông góc nhau.⇔ a1.a2 = – 1 ⇔ 9 – 4m2 = – 1 ⇔ m = 210± .7) Hàm có cực trò ⇔ y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt.⇔ 3x2 = 2mx có 2 nghiệm phân biệt.⇔ x = 0 và x = 3m2 là 2 nghiệm phân biệt.⇔ m ≠ 0. Khi đó, ta có :'ym91x31mxm92y2−+−=và phương trình đường thẳng qua 2 cực trò là :mxm92y2−= (với m ≠ 0)8) Khi m ≠ 0, gọi x1, x2 là nghiệm của y' = 0, ta có :x1.x2 = 0 và x1 + x2 = 3m2⇒ y(x1).y(x2) = −− mxm92mxm922212= 2212m)xx(m92++− = 24mm274+−Với m ≠ 0, ta có y(x1).y(x2) < 0 ⇔ 241 027m− + <⇔ 233m427m2>⇔>Vậy (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.⇔ <=0)x(y).x(yx,xbiệtphânnghiệm2có0'y2121⇔ 233m >Nhận xét :i) Khi 233m −<thì phương trình y = 0 có 2 nghiệm âm và 1 nghiệm dương.ii) Khi 233m > thì phương trình y = 0 có 2 nghiệm dương và 1 nghiệm âm.9) a) Hàm đồng biến trên (1,2) ⇔ – 3x2 + 2mx ≥ 0, ∀x ∈ (1,2). Nếu m ≠ 0 ta có hoành độ 2 điểm cực trò là 0 và 3m2.i) Nếu m < 0 thì hàm chỉ đồng biến trên 0,3m2 . Vậy loại trường hợp m < 0ii) Nếu m = 0 ⇒ hàm luôn nghòch biến (loại).iii) Nếu m > 0 thì hàm chỉ đồng biến trên 3m2,0Do đó, ycbt ⇔ m > 0 và ⊂3m2,0]2,1[ ⇔ 3m23m2≥⇔≥b) Từ câu a, ta loại trường hợp m > 0. Khi m ≤ 0 ta có hàm số nghòch biến trên ∞−3m2, và hàm số cũng nghòch biến trên [0, +∞).Vậy để hàm nghòch biến trên [0, +∞) thì m ≤ 0.Ghi chú : nên lập bảng biến thiên để thấy rõ ràng hơn.10) y" = – 6x + 2m , y" = 0 ⇔ x = 3m(Cm) cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau.⇔ y = 0 có 3 nghiệm phân biệt và điểm uốn nằm trên trục hoành. ⇔=−+−>⇔=>0m9m.m27m233m03my233m23⇔±=⇔=−>263m0127m2233m211) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và (Dk) là – x3 + mx2 – m = kx + k + 1⇔ m(x2 – 1) = k(x + 1) + 1 + x3⇔ x + 1 = 0 ∨ m(x – 1) = k + 1 – x + x2⇔ x = – 1 hay x2 – (m + 1)x + k + m + 1 = 0 (11)a) Do đó, (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt⇔ (11) có 2 nghiệm phân biệt khác – 1⇔>++−+≠+++++0)1mk(4)1m(01mk1m12⇔ (*)−−<−−≠43m2mk3m2k2b) Vì (Dk) qua điểm K(–1,1) ∈ (Cm) nên ta có :(Dk) cắt (Cm) thành 2 đoạn bằng nhau.⇒ (Dk) qua điểm uốn − m27m2;3m3 của (Cm)⇒113mkm27m23++=−⇒)3m(927m27m2k3+−−= (**)Vậy ycbt ⇔ k thỏa (*) và (**).12) Phương trình tiếp tuyến với (Cm) đi qua (–1,1) có dạng : y = k(x + 1) + 1 (Dk)Vậy, phương trình hoành độ tiếp điểm của (Dk) và (Cm) là :– x3 + mx2 – m = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1 (12)⇔ m(x2 – 1) = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1 + x3⇔ x + 1 = 0 ∨ m(x – 1) = – 3x2 + 2mx + 1 – x + x2⇔ x = – 1 hay 2x2 + (1 – m)x – m – 1 = 0 (13)⇔ x = – 1 ∨ 21mx+= y' (–1) = – 2m – 3+++−=+21mm221m321m'y2 = 41(m2 – 2m – 3)Vậy phương trình của 2 tiếp tuyến qua (–1, 1) là :y = – (2m + 3)(x + 1) + 1y = 41(m2 – 2m – 3)(x + 1) + 1Nhận xét : Có 1 tiếp tuyến tại tiếp điểm (–1, 1) nên phương trình (12) chắc chắn có nghiệm kép là x = – 1 và phương trình (13) chắc chắn có nghiệm là x = – 1.13) Các tiếp tuyến với (Cm) tại tiếp điểm của hoành độ x có hệ số góc là :h = – 3x2 + 2mxTa có h đạt cực đại và là max khi 3ma2bx =−=(hoành độ điểm uốn)Vậy tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.Nhận xét : 3m3m3mx3mx2x322222≤+−−=+−Ghi chú : Đối với hàm bậc 3y = ax3 + bx2 + cx + d, ta có :i) Nếu a > 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.ii) Nếu a < 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất. PHẠM HỒNG DANH (Trung tâm Luyện thi đại học Vónh Viễn) . và có hệ số góc bằng p. Gọi x3, x4 là nghiệm của (3) .Gọi M3 (x3, y3); M4 (x4, y4) là 2 tiếp điểm. Ta có :1a2b2xx 43= −=+126)xx (3) xx(2yy24 233 433 43 =−+++−=+Vậy. 3x3x2 030 −+− (D)Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :3 2 2 3 20 0 03 3 ( 3 6 )( ) 3 3x x x x x x x x− + − = − + − − + −( 5 )⇔0)x6x3)(xx()xx(3xx2020 230 3=+−−+−−−⇔0x6x3x3x3xxxx0xx2020020=+−−−++∨=−⇔0x3xx)x3(x2hayxx020020=+−+−=⇔0)3xx2)(xx(hayxx000=−+−= ⇔2x3xhayxx00−==Do