Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 55 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
55
Dung lượng
3,35 MB
Nội dung
NGUYỄNVĂNTHIÊM THPT n Thành – Nghệ an HỆPHƯƠNGTRÌNH THPT n Thành – Nghệ An NguyễnVănThiêm– https://toanmath.com/ Phần MỘTSỐ LOẠI HỆPHƯƠNGTRÌNH THƯỜNG GẶP § HỆPHƯƠNGTRÌNHGIẢI BẰNG PHÉP THẾ Cách giảihệphươngtrình phép đưa nhiều ràng buộc ràng buộc, đưa hệ nhiều phươngtrìnhhệphươngtrình đưa hệphươngtrìnhphươngtrình Bởi vậy, cách làm tự nhiên nhất, theo quan điểm đưa phức tạp đơn giản Dấu hiệu nhận dạng hệphươngtrìnhgiải phép phươngtrình rút ẩn qua ẩn lại; việc vào những phươngtrình cho ta phươngtrình hay hệphươngtrìnhgiải Ví dụ Giảihệphươngtrình x y x y 3 x y ( Trích đề thi dự bị số 2, đề thi TS ĐH khối A năm 2005) GiảiHệphươngtrình cho tương đương với 2x y x y x x 3x 3x y y 2 x x 2x x 2x 6 x 3x 3x x x y y 2 3x y 6 x 6 x x x x 4 x2 2x x x x 2x 3x 3x y 3 y 3 y y 2 6 x 0 x 0 x NguyễnVănThiêm– https://toanmath.com/ Nhận xét Dấu hiệu nhận phươngpháp toán loại dễ thấy Tuy nhiên, ví dụ trên, khơng phải lựa chọn Chẳng hạn, viết phươngtrình thứ hai thành x y 1 x y đặt u x y 1; v x y Khi dạy tốn này, chúng tơi khơng qn nhắc nhở học sinh điều kiện phương trình, điều kiện phép biến đổi tương đương Ngồi ra, khuyến khích em tìm thêm cách giải khác Ví dụ Biết hệphươngtrình a x y x y b y x b có nghiệm với b Chứng minh a ( Đề thi ĐH Luật Hà nội năm 1999) GiảiPhươngtrình thứ hai hệ tương đương với y xb Thế vào phươngtrình thứ nhất, ta a x b x x 2ax 2ab x ab (*) +) Nếu a , phươngtrình (*) có ' ab 1 2a 2b ab 1 ' 7 , phươngtrình (*) vơ nghiệm Điều trái với giả thiết hệ có a nghiệm với giá trị b x y b +) Với a , hệphươngtrình tương đương với , x y b Lấy b ln có nghiệm 0;b với giá trị b Vậy a Nhận xét Nhờ phép thế, ta đưa điều kiện có nghiệm hệphươngtrình điều kiện có nghiệm phươngtrình bậc hai Khi dạy này, ý rèn luyện cho em học sinh kỹ lập luận logic Chúng ta phủ định mệnh đề chứa lượng từ với cách khơng với giá trị b Ví dụ Cho hệphươngtrình x y 3 x y m x y m tham sốGiảihệphươngtrình m Với giá trị m, hệ cho có ba nghiệm phân biệt GiảiHệphươngtrình tương đương với NguyễnVănThiêm– https://toanmath.com/ x y 2 x y x xy y m x y (I ) x y x y ( II ) x xy y m 1 Hệ (I) cho nghiệm x , y 2 y 1 x x Với m 1, ( II ) y 1 x x 1 1 Vậy hệ ban đầu có ba nghiệm ; , 0;1 , 1;0 2 2 2 Xét f x x x m x y Hệ ban đầu có ba nghiệm phân biệt phươngtrình f x có hai nghiệm phân biệt khác Nghĩa 1 m 1 f 2 m m Vậy m Ví dụ Giảihệphươngtrình x log8 y y log8 x log x log y ( Trích đề thi ĐH Tài kế toán Hà nội năm 2000) Giải Với điều kiện x 0, y , phươngtrình thứ hai tương đương với log x x y y Thế vào phươngtrình thứ ta log y y y log8 y 4log8 y y log8 y y log8 y log8 y Để ý: log8 y 2 log y 3 y , y log8 y nên phươngtrình tương đương với y y log8 y 4 y log8 y 2 log8 y log8 y log8 3 2 log8 y log8 y 3 NguyễnVănThiêm– https://toanmath.com/ log8 y 1 y log8 y y 1 1 Từ đó, hệ ban đầu có nghiệm 8;2 , ; 8 Nhận xét Ở ví dụ 4, ta rút x y khơng phải từ phươngtrình bậc hai ẩn mà từ phươngtrình logarit Ở ví dụ sau, để thực phép ta không rút ẩn mà biểu thức chứa ẩn Ví dụ Giảihệphươngtrình x x3 y x y x x xy x GiảiHệphươngtrình cho tương đương với x xy 2 x 1 x2 xy x 2 Thế xy (2) vào (1) ta phươngtrình x2 x 3x x 2 x 12 x3 48 x 64 x x x x x 4 Thay x vào phươngtrình (2) ta thấy không thoả mãn 17 Thay x 4 vào (2) ta y 17 Vậy hệphươngtrình cho có nghiệm 4; 4 Nhận xét Ví dụ sau đây, học rút ẩn sau thực bước phân tích biểu thức thành tích Ví dụ Giảihệphươngtrình xy x y x y x y y x x y Giải Điều kiện x 1, y Hệphươngtrình cho tương đương với NguyễnVănThiêm– https://toanmath.com/ x y x y 1 x y y x x y Do x y nên (1) tương đương với x y 1 2 Thế vào phươngtrình (2) ta y 1 y y 1 y ( y ) Từ suy y , x Vậy hệphươngtrình cho có nghiệm 4;2 Ví dụ Cho hệphươngtrình x ay a 2 x y x a) Tìm tất giá trị a để phươngtrình có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x1; y1 , x2 ; y2 hai nghiệm phân biệt hệphươngtrình trên, tìm giá trị lớn 2 (GTLN) biểu thức P x2 x1 y2 y1 Giải a Viết lại hệphươngtrình cho dạng 1 x a y 1 1 2 x y 2 (1) Phươngtrìnhphươngtrình đường thẳng qua A 0;1 , phươngtrình (2) phương 1 trình đường tròn tâm I ;0 , bán kính R 2 Hệphươngtrình có hai nghiệm khoảng cách từ I đến nhỏ bán kính R, tức a a2 3a 4a a b Nghiệm hệ toạ độ giao điểm đường thẳng đường tròn Giả sử M x1; y1 , Vậy hệphươngtrình cho có hai nghiệm a N x2 ; y2 M , N thuộc đường tròn nên MN R Từ ta có P MN Dấu xảy MN đường kính đường tròn, tức I a Khi đó, hệphươngtrình cho thành 2 x y 2 x y 2 x y x 5 x x NguyễnVănThiêm– https://toanmath.com/ 5 5 x x 5 y y 5 Nhận xét Đây loại hệphươngtrình có phươngtrình bậc hai ẩn, thông thường sử dụng phươngpháp Nhưng riêng này, phép làm cho toán trở nên phức tạp ý b), sử dụng phươngpháp đồ thị Dạy giải toán này, cho học sinh học sinh động tính linh hoạt sáng tạo giải tốn NguyễnVănThiêm– https://toanmath.com/ § HỆPHƯƠNGTRÌNH ĐỐI XỨNG KIỂU 1 Định nghĩa cách giảiHệphươngtrình hai ẩn đối xứng kiểu hệphươngtrình hai ẩn mà ta hốn đổi vị trí hai ẩn, hệ khơng đổi Dạng f ( x, y ) g x, y Trong đó, f x, y f y, x ; g x, y g y, x Cách giải: đặt x y s, xy p với điều kiện s p Tất nhiên, tốn đơn giản vậy, có tình huống, s, p khơng phải tổng, tích hai ẩn mà hai biểu thức đối xứng chứa ẩn Ở đây, đối xứng hiểu bình đẳng quan hệ đại sốMộtsố ví dụ Ví dụ Giảihệphươngtrình 2 x y xy 4 2 x y x y 21 ( Đề thi ĐHSP Hà nội khối B năm 2000) GiảiHệphươngtrình tương đương với x y xy x y xy 2 2 2 x y x y 21 x y xy x y 21 2 x y xy x y xy x y 2 xy xy x y 21 xy x y xy x y 3 xy Từ đó, hệ ban đầu có nghiệm 1; , 2;1 , 1; , 2; 1 Ví dụ GiảihệphươngtrìnhNguyễnVănThiêm– https://toanmath.com/ x y 1 y x xy x 0; y x xy y yx 78 ( Đề thi ĐH Hàng hải TP HCM năm 1999) Giải Với x 0, y , hệphươngtrình cho tương đương với x y xy x y xy 78 x y xy x y xy 78 Từ suy x y , xy hai nghiệm phươngtrình bậc hai t 7t 78 Suy x y 13 xy 6 xy 36 x y 13 Hệ có hai nghiệm 4;9 , 9, Ví dụ Cho hệphươngtrình x y k x y x y xy 1 Giảihệphươngtrình k=0 Tìm tất giá trị k để hệ có nghiệm Giải Với k , hệ trở thành x y x y xy Với điều kiện x y , hệ tương đương với x2 y x y xy x y xy x y xy Đặt x y u , xy v , hệ trở thành u u 2u v u u v v 1 NguyễnVănThiêm– https://toanmath.com/ Từ đó, hệ ban đầu có nghiệm 1; 1 , 1;1 , 1;1 Tìm k để hệ có nghiệm Điều kiện hệphươngtrình x y 2 x y Do vai trò x, y hai phươngtrình nên hệ có nghiệm x; y có nghiệm y; x Do đó, để hệ có nghiệm phải có x y Thay vào phươngtrình thứ hai hệ ta x k x x x x 1 Thay x trở lại cho ta k Nhưng với k , theo câu phươngtrình có đến ba nghiệm Vậy khơng tồn k để hệphươngtrình có nghiệm Nhận xét Trong lời giải ý ta sử dụng điều kiện cần đủ để giải biện luận hệphươngtrình có chứa tham số Tuy nhiên, học sinh hay gặp thiếu sót khơng kiểm tra điều kiện đủ Bài tốn giải dựa vào phân tích x y xy x 1 y 1 , đồng thức hay gặp Ví dụ Tìm m để hệphươngtrình sau có nghiệm x y a x y xy a Giải Điều kiện x 0, y I X x Đặt Y y Hệ (I) thành X Y a X Y a X Y a 2 2 X Y XY a XY a a X Y XY a a a (1) Hệ cho có nghiệm phươngtrình (1) có hai nghiệm khơng âm Điều có nghĩa Suy X , Y hai nghiệm phươngtrình t at 10 NguyễnVănThiêm– https://toanmath.com/ u v u v Hệphươngtrình * trở thành uv uv u v u v 3 (I) (II) uv uv u u Ta có: I v v u 1 u 2 II v 2 v 1 Vì u x u nên có x u u 2 thỏa mãn v v 1 x 2 x u x ta có (thỏa mãn ĐKXĐ) y v y y x 2 x 1 u 2 x ta có 1 (thỏa mãn ĐKXĐ) v y y 1 y Vậy hệphươngtrình cho có nghiệm: 1 1 1 1 1; , 1; , 1; , 1; 2 2 Ví dụ Giảihệphươngtrình 6 x x3 x y y 12 x 6 5 x x 1 y 11x 5 Giải Xét x khơng thoả mãn hệphươngtrình Với x , chia hai vế phươngtrình cho x ta 1 1 6 x x x y y 12 x 6 x x x x y y 12 2 5 x x y 11 5 x x y 11 x x2 x2 x 1 Đặt t x x t x x 41 NguyễnVănThiêm– https://toanmath.com/ Hệphươngtrình cho trở thành 6 t ty y 12 6t t y y 2 2 5t t y 5 t t y 11 Xét t thấy không thoả mãn hệ Với t , chia hai vế hệ cho t , ta y 1 y2 y y2 y y 6 t t t t t t2 5 y y2 y y t2 t2 t t y Đặt a y , b t t Hệphươngtrình trở thành a2 a ab 2 a 2b b a 2 a 3 a 3a a 5a 12 a a2 a 5 b b b Khi t 1 y t 2t 3t 2t t t y 2t y 2 y 2t t y 2t 1 x2 x x x 1 1 17 +) Với t , ta có y x x x x x 2 17 17 ;2, ;2, ;1 , ;1 Vậy hệ cho có nghiệm : 2 2 +) Với t , ta có y x Nhận xét Trong ví dụ 3, ẩn phụ tương đối khó phát Tuy nhiên, ta dựa vào nét đặc biệt hoi bố trí hệsố x , 6; x , 5 biểu thức chứa x: x3 x, x ; x 1 , x để nhận bước chia hai vế cho x để đưa hệ đơn giản với ẩn y t 42 NguyễnVănThiêm– https://toanmath.com/ Cách biến đổi tương đương đặt ẩn phụ hay gặp với hệphươngtrình chứa biểu thức mũ lơgarit Khi phát biểu thức lơgarit có mối liên hệ “khả nghi”, ta thực đại số hố đặt ẩn phụ Ví dụ Giảihệphươngtrình log x y 5log 32 x y x y x y Giải Điều kiện: x y 0, x y Hệphươngtrình tương đương với x y x y 2 2 x y x y a b2 x2 b2 ,y Đặt a x y , b x y , a 0, b ta suy x 2 Hệphươngtrình cho trở thành a b a b 2 1 a b2 a b2 4 2a 2b 2ab ab a b 2ab a b 2 2 a b 2 2a 2b 2ab 2 ab a b ab a b 2ab a b 2ab 2 2 2 2 ab a b ab 4a b 32ab 36 2ab 2 a b 2ab a b 2ab 2 2 2 a b 8ab ab a b 8ab a b 6ab a b 2ab a b a b 2ab ab ab ab a b a ab b ( a 0, b 0) Khi x y x x y x y y 2 x y 43 NguyễnVănThiêm– https://toanmath.com/ Vậy hệ có nghiệm 2; 2 Ví dụ Giảihệphươngtrình x y 17 x y x y log17 log GiảiHệphươngtrình cho tương đương với 3x y 3x y 17 (1) x y x y log17 log (2) Logarit hóa vế (1): log17 3x y log17 3x y Biến đổi (2) số 17: log17 x Đặt u log17 3x y log ; v log y x 17 2 y log17 3x y log log Khi đó, hệphươngtrình trở thành: x y 17 1 17 x 2y u 1 v u v 1 u v v u log log v 17 17 log17 3x y 3x y 3x x x y y x y 17 y log17 Vậy hệ có nghiệm 2;3 Nhận xét Điểm đáng ý hệ cấu trúc biểu thức lôgarit : 3x y ,3x y Hai biểu thức lại có mặt cách thuận lợi phươngtrình lại Việc biến đổi đưa hai lôgarit số tất yếu không khó khăn ẩn phụ chọn giống nhận xét nói trên: đặt biểu thức chứa lôgarit làm ẩn phụ Dưới đây, xét vài ví dụ đặt ẩn phụ để giảiphươngtrình lượng giác hóa Mộtphươngpháp thú vị, tạo đột phá dùng nhiều toán học Ví dụ Giảihệphươngtrình 4x x log 23 y log y x 1 log y 1 Giải Điều kiện 0 y x 2 | log x | 44 NguyễnVănThiêm– https://toanmath.com/ Đặt x cos , log y cos , , 0; Hệphươngtrình cho trở thành cos 2 cos cos cos 1 cos 1 cos sin cos sin cos sin 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos cos cos cos cos (*) 1 t2 Khi phươngtrình (*) Đặt t cos cos , t 2; cos cos thành t t ( t 3 2; ) t 2t t t sin 4 2 x x Không thoả mãn điều kiện ban đầu, hệphươngtrình vơ Khi y log y nghiệm Nhận xét Ban đầu, dễ nghĩ ẩn phụ x u , log y v , phươngtrình thứ chứa u , v Rõ ràng hai thức chứa dấu hiệu lượng giác hoá cách đặt ẩn phụ lời giải xuất Ngoài ra, dấu hiệu đặt sin, cosin thấy điều kiện xác định hệ Chúng ta nghĩ đến khả lượng giác hố biểu thức hệ có dạng ( hoặccó thể đưa dạng ) vế đẳng thức lượng giác u , u , uv , uv Ví dụ Giảihệphươngtrình x y 1 y z 2 z x 3 Giải Khơng tính tổng qt giả sử x số lớn ba số x, y, z Khi 3 x z x x 2 Đặt x cos t , t 0; 3 z cos t 2cos t , y 2cos2 2t cos 4t , 1 2cos2 4t cos8t 45 NguyễnVănThiêm– https://toanmath.com/ 2k t Từ ta có cos t cos8t t 2k 2 4 2 2 4 2 , , , , } Do điều kiện t 0; nên ta có t {0, 9 7 Vậy, hệ có nghiệm 1;1;1 , cos 2 4 8 1 2 4 8 ; cos ; cos , ; ; , cos ; cos ; cos hoán 9 2 2 7 vị chúng Nhận xét Bài dấu hiệu lượng giác ta nhận nhờ cấu trúc x tương ứng với công thức cos 2a 2cos a 46 NguyễnVănThiêm– https://toanmath.com/ §3 PHƯƠNGPHÁP HÀM SỐ I Cơ sở lý thuyết Chúng ta dựa vào kết luận sau Nếu hàm số y f x luôn đồng biến ln ln nghịch biến khoảng K ta có: a f u f v u v , u , v K b Phươngtrình f x m có nhiều nghiệm K Nếu f x hàm số đồng biến g x hàm số nghịch biến tập D phươngtrình f x g x có nhiều nghiệm D Nếu f x hàm số có đạo hàm đến cấp n f f k 1 x có nhiều m nghiệm k x có m nghiệm phươngtrình Ở đây, k n II Mộtsốphươngphápgiải thường dùng Biến đổi phươngtrình dạng f u f v Có thể khẳng định, với loại hệphươngtrìnhgiảiphươngpháp xét chiều biến thiên hàm số tần suất xuất loại hệ đề đề thi học sinh giỏi, đề thi đại học cao Phương pháp: - Biến đổi phươngtrình dạng f u f v - Chứng minh f t hàm số đồng biến nghịch biến miền xác định của nó, từ đến kết luận u v - Thế u v vào phươngtrình lại Tuy nhiên, cần lưu ý cho học sinh hàm số f t bào lựa chọn nhất, phải chọn hàm số để việc xét chiều biến thiên đơn giản bước giải sau phép thực Ngồi ra, việc chọn hàm số f t nói khơng phải lúc thuận lợi mà trước phải thực bước biến đổi Ví dụ Giảihệphươngtrình y y x3 x x x y y ( Đề thi HSG tỉnh Nghệ an 2010-2011) Giải Điều kiện 1 x 0 y Phươngtrình thứ hệ tương đương với y y x 1 x 1 (*) 47 NguyễnVănThiêm– https://toanmath.com/ Xét hàm số f t t t , t R, ta có Do f t ln ln đồng biến Phươngtrình (*) tương đương với f y f x 1 y x Thế vào phươngtrình thứ hai hệ, ta x x x x x x (**) Đặt t x x t x x ** t2 2 t2 t t 2t t 2 x 1 x x x2 x2 x 1 Với x ta có y , x 1 , ta có y Vậy hệ có nghiệm 1; , 1;0 Khi đó, Ví dụ Giảihệphươngtrình x x2 y y2 x x xy xy x Giải Điều kiện x xy * 1 x 1 x2 y y2 Xét hàm số f t t t , f ' t 1 t 1 t2 2 (3) 1 t2 t 1 t2 | t | t 1 t2 0 Hàm số f t ln ln đồng biến Khi 3 f x f y x y , vào phươngtrình (2) ta x 25 x x x x 4 x x x x 2 2 x x 3x x x 2 x 2 x x x 2 x y 1 +) x x x x 2 x x x 3 11 11 +) x x 2 x x y 2 x 11 3 11 Đối chiếu (*) ta có nghiệm hệ 1; 1 , ; 2 48 NguyễnVănThiêm– https://toanmath.com/ Nhận xét Hai ví dụ hai hệphươngtrình đại số mẫu mực với phươngphápgiải xét, từ việc chọn hàm số f t đến biến đổi sau thực phép đưa phươngtrình ẩn Ví dụ sau đây, hàm số việc xây dựng hàm số f t phức tạp Ví dụ Giảihệphươngtrình 3x x 1 y y x y x y 6 x y 1 2 x y x y 4 x y x y x y 1 x y Giải Điều kiện : x , y * x y 1 2 x y y x ( x y 0) Thay vào phươngtrình (1) ta x x x x 3x 1 x x 3 (3) Xét hàm số f t 2t t , t f ' t 4t Hàm số luôn đồng biến 0; Phươngtrình (3) viết thành f 3x f 2x x x x y 12 Vậy hệ có nghiệm 4;12 Nhận xét Thoạt tiên, nhiều người nhiều người nghĩ đến việc xây dựng hàm số f t từ phươngtrình thứ hình thức Thực tế chưa thể lầm Chúng ta thực biến đổi thành tích phươngtrình thứ hai, vào phươngtrình thứ nhất, cuối hàm số f t xây dựng để giảiphươngtrình ẩn số Tiếp theo, ta xét cách sử dụng phươngpháp để giảihệphươngtrình chứa mũ logarit Ví dụ Giảihệphươngtrình 22 x y x y x y x y x y x y y x 1 1 2 ( Đề thi HSG tỉnh Thanh Hoá 2011-2012) Giải Điều kiện: x y 0, x y * 1 22 x y x y x y x y x y x y (3) 12 Xét hàm số f t t t , t f ' t ln t t Hàm số f t đồng biến 0; t t Phươngtrình (3) f x y f x y x y Thế vào phươngtrình (2) ta y y 1 4 49 NguyễnVănThiêm– https://toanmath.com/ Đặt y 2t , (4) trở thành hệ t y 13 y 2t 1 Trừ vế hai phươngtrìnhhệ ta t y y 1 2 y 1 2t 1 2t 1 1 2 t y y 1 y 1 2t 1 2t 1 t , y Thế trở lại hệ ta y y 1 y 12 y y y 1 y y 1 y Với y x , thoả mãn (*) Vậy hệ có nghiệm 2;1 Ví dụ Giảihệphươngtrình y x2 x e y 1 3log x y 2log x y 2 1 2 Giải Điều kiện x 2y * x y 2 1 e x x 1 e y y 1 (3) Xét hàm số f t et t 1 , t f ' t et t 1 et et t Hàm số f t đồng biến 0; Phươngtrình (3) tương đương với t x y f x2 f y x2 y x y 3 log x y log x y x y x y (4) +) x y thay vào (4) x x Theo điều kiện ban đầu ta có x x x 2 Ta có x x x 27 x 46 3x x Phươngtrình vơ nghiệm +) x y thay vào phươngtrình (4) ta x 6 3 2.22 x x x y 4 , thoả mãn (*) Vậy hệphươngtrình cho có nghiệm 4; 4 Ví dụ Giảihệphươngtrình 50 NguyễnVănThiêm– https://toanmath.com/ x x x log y y y y xy x 0, y 1 2 ( Đề HSG tỉnh An giang 2008-2009 ) Giải 1 x3 x log x y y log y Xét hàm số f t t t log t , t (3) t t ln f t đồng biến 0; f ' t 3t Phươngtrình (3) f x f y x y Thế vào phươngtrình (2) ta 1 y x 1 y2 y 1 2 Vậy hệ có nghiệm 1; Nhận xét Qua ví dụ nêu, thấy khả nhận biết hàm số đơn điệu đặc trưng f t quan trọng Ngồi ra, phải có kỹ biến đổi đồng để biến đổi phươngtrình đến xây dựng hàm số đặc trương để giảiphươngtrình ẩn sau thực phép Chúng ta kết thúc mục hệ chứa tham số Ví dụ Tìm tất giá trị m để hệphươngtrình sau có nghiệm x3 12 x y y 16 2 x x y y m 1 2 Giải Điều kiện 2 x 0 y * 1 x3 12 x y 12 y (3) Xét hàm số f t t 12t , t 1; 2 Ta có f ' t 3t 12 t t 2;2 Hàm số f t nghịch biến 2; 2 Từ (*) ta thấy y 2 2; 2 Phươngtrình (3) f x f y x y Thay vào phươngtrình (2) ta 51 NguyễnVănThiêm– https://toanmath.com/ x2 x2 m 4 Hệphươngtrình cho có nghiệm phươngtrình (4) có nghiệm 2; 2 Xét hàm số g x x x , x 2; 2 g ' x 8x x 8 x2 4x 3 x g ' x x g 6, g 2 g 16 g x 16, max g x 2;2 2;2 Vậy hệphươngtrình cho có nghiệm 16 m Dự đốn tập nghiệm, chứng minh khơng nghiệm khác Đưa hệphươngtrình ẩn dạng f x Phương pháp: - Chỉ phươngtrình f ' x có k nghiệm, chứng tỏ f x có nhiều nhât k nghiệm - Liệt kê k nghiệm f x khẳng định tập nghiệm phươngtrình Từ suy tập nghiệm hệ Đúng ra, phươngphápgiảiphươngtrình ẩn số, chúng tơi trình bày sử dụng nhiều việc giảihệphươngtrình Ví dụ Giảihệphươngtrình y x x x 3 2 x y x y xy 3x y 1 2 ( Đề thi chọn HSG tỉnh Quảng Ngãi ) Giải Điều kiện 1 x (*) 2 x x2 y y x2 y 3 x2 y x y 3 x y x y y x ( điều kiện (*) suy x y ) Thay vào (1) có x x x x 3 2, x 1; 2 f x x2 x x x 1 f ' x 2x 1 x 1 2 x 1 f '' x x 1; x 1 x x x 52 NguyễnVănThiêm– https://toanmath.com/ Do f ' x đồng biến 1;2 phươngtrình f ' x có khơng q nghiệm 1 2 Mặt khác f ' nên f ' x có nghiệm Từ phươngtrình f x có nhiều hai nghiệm x x Mặt khác, ta có f f 1 nên phươngtrình (3) có hai nghiệm x 1 y 1; x y Vậy hệ có nghiệm 0;0 , 1;1 Ví dụ Giảihệphươngtrình x y x y log x y x y x y ( Đề thi HSG tỉnh Thanh Hoá 2009-2010) Giải Điều kiện x y x y x y Hệphươngtrình cho tương đương với x y x y 3 x y x y log x y x y x y log x y x y x y x y x y x y x y 3 (1) x y x y (2) 4 x y Đặt x y t , phươngtrình (3) thành 4t 4t Xét hàm số f t 4t 4t , t , f ' t 4t ln f ' t 4t ln t log 4 0 ln Vậy phươngtrình f ' t có nghiệm suy phươngtrình f x có nhiều hai nghiệm, tức (4) không hai nghiệm t 1 Lại thấy f 1 f nên (4) có hai nghiệm 1 2 53 NguyễnVănThiêm– https://toanmath.com/ x x y +) t kết hợp (1) ta có x y y x x y +) t ta có x y y 5 3 9 3 Vậy hệ có nghiệm ; , ; 2 2 4 4 Ví dụ Chứng minh hệphươngtrình x e e y ln có hai nghiệm phân biệt x, y thoả mãn x 1, y y y2 1 x 2013 2013 x 1 GiảiHệphươngtrình cho tương đương với y x 2013 e y2 1 y e x x ey x2 1 y2 1 t , t f t et t2 1 Xét hàm số f ' t et t t 1 1 2 Do f t đồng biến 1; 2 f x f y x y x Phươngtrình (1) thành e x Xét hàm số g x e x g ' x ex x2 x x2 1 x 2013 (3) 2013, x 1; 1 ; g '' x e x 3x x 1 x 54 NguyễnVănThiêm– https://toanmath.com/ Ta có lim g ' x , lim g ' x , g ' x liên tục 1; nên có x x 1 nghiệm x0 khoảng Từ ta kết luận phươngtrình g x có nhiều hai nghiệm 1; Rõ ràng g x liên tục 1; , lim g x , g e 2011 0, lim g ' x x 1 x Nên phươngtrình (3) có nghiệm thuộc 1;2 có nghiệm thuộc 2; Nghĩa (3) có hai nghiệm 1; Từ ta kết luận phươngtrình có (3) có hai nghiệm hệ có hai nghiệm 55 NguyễnVănThiêm– https://toanmath.com/ ...Phần MỘT SỐ LOẠI HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP § HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHÉP THẾ Cách giải hệ phương trình phép đưa nhiều ràng buộc ràng buộc, đưa hệ nhiều phương trình hệ phương trình đưa hệ phương. .. cộng đại số làm xuất phương trình đơn giản Phương pháp chung: - Giữ nguyên phương trình hệ - Cộng hay trừ vế hai phương trình, hay phương trình vào phương trình lại, để phương trình - Giải hệ bao... Vậy hệ phương trình cho ln có nghiệm nên đường thẳng y 23 Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/ Phần MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH § PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Kỹ biến đổi đại số