Tóm tắt một số công thức giải nhanh Toán 12 Nguyễn Văn Hiền

LÝ THUYẾT LUYỆN THI (ÁP DỤNG NHANH LÀM TRẮC NGHIỆM) CHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM SỐ THƢỜNG GẶP TXĐ: D  I HÀM BẬC BA y  ax3  bx2  cx  d (a  0) có đạo hàm y '  3ax2  2bx  c 1) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến: Cách 1: Tính y‟, giải pt: y‟ =0 Lập bảng biến thiên bảng xét dấu y‟ từ suy khoảng đồng biến; khoảng nghịch biến Chú ý: Nếu phương trình y‟=0 vô nghiệm có nghiệm kép a > ta kết luận hàm số đồng biến Còn a < ta kết luận hàm số nghịch biến Cách 2: Bấm Mode thử đáp án (Chú ý  a; b  Start a  0,001; And b  0,001; Step Cách 3: Shift   d  f ( x)  dx x X ba 29 CALC thử nhiều giá trị Nếu dương đồng biến, âm nghịch biến 2) Tìm điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) hàm số tìm xCĐ , xCT : Tính đạo hàm y‟, giải phương trình y‟=0 tìm x, lập BBT suy xCĐ , xCT Nếu phương trình: y‟=0 vô nghiệm có nghiệm kép ta kết luận hàm số cực trị 3) Tìm giá trị cực trị (giá trị cực đại, giá trị cực tiểu) hàm số tìm yCĐ , yCT : Tính đạo hàm y‟, giải phương trình y‟= tìm x, suy y (y có giá trị lớn yCĐ , y có giá trị bé yCT ) 4) Tìm điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) đồ thị hàm số tìm cặp số ( xCĐ ; yCĐ ),( xCT ; yCT ) : Tính đạo hàm y‟, giải phương trình y‟= tìm x, suy y, suy cặp số cần tìm 5) Tìm điểm uốn hay tâm đối xứng: tính y‟, tính y‟‟, giải pt: y ''   x   y   cặp số (x;y) 6) Tìm m để hàm số y  ax3  bx2  cx  d (a  0) đồng biến 7) Tìm m để hàm số y  ax3  bx2  cx  d (a  0) nghịch biến : Tính y‟, tính y' : Tính y‟, tính , cho y' 8) Tìm m để đồ thị hàm số y  ax3  bx2  cx  d (a  0) có cực trị (có CĐ, CT): tính y' , cho y' , cho   m y'   m y'   m 9) Tìm m để đồ thị hàm số y  ax3  bx2  cx  d (a  0) có cực trị (không có CĐ, CT): tính y' cho y'   m  y '( x0 )   y '( x0 )   m  ; Đạt cực tiểu x  x0    m  10) Hàm số đạt cực đại x  x0    y ''( x0 )   y ''( x0 )   y '( x0 )   m  Hàm số đạt cực trị x  x0    y ''( x0 )  11) Đồ thị hàm số y  ax3  bx2  cx  d (a  0) có tính chất: a) Luôn cắt trục hoành b) Luôn có tâm đối xứng (điểm uốn) c) Không có tiệm cận 12) Sự tương giao (số nghiệm số giao điểm) a) Giao với trục hoành (Ox): cho y = 0, bấm máy giải pt: ax3  bx2  cx  d   x  b) Giao với trục tung (Oy): cho x=0  y  d c) Giao với y  g ( x) : cho ax3  bx2  cx  d  g ( x)  x  NVH 0943277769 Trang 1/18 13) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y  ax3  bx2  cx  d (a  0) Ta tính yCĐ , yCT hàm số y  ax3  bx2  cx  d (a  0) - Cắt điểm phân biệt yCT  m  yCĐ - Cắt điểm phân biệt m  yCT m  yCĐ - Tiếp xúc hay có điểm chung m  yCT m  yCĐ 14) Nhận dạng đồ thị Nhận dạng đồ thị theo thứ tự dựa vào: hình dạng đồ thị thuộc hàm loại  dấu hệ số a  Cực trị (nghiệm phương trình y‟)  giao điểm với trục tung Oy  giao điểm với trục hoành Ox… (Đồ thị từ trái qua phải Đi lên đồng biến, xuống nghịch biến.) 15) Cho đồ thị hàm số: y  f  x  Đồ thị hàm số y  f  x  phần bên phải đồ thị hàm số y  f  x  phần đối xứng qua trục Oy Đồ thị hàm số y  f  x  phần trục hoành đồ thị hàm số y  f  x  phần đối xứng phần trục hoành đồ thị hàm số y  f  x  qua trục hoành Ox II HÀM BẬC TRÙNG PHƢƠNG y  ax4  bx2  c(a  0) TXĐ: D  1) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến: (Bấm máy giống hàm bậc 3) Lập bảng biến thiên bảng xét dấu y‟ từ suy khoảng đồng biến; khoảng nghịch biến 2) Tìm điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) hàm số tìm xCĐ , xCT : Tính đạo hàm y‟, giải phương trình y‟=0 tìm x, lập Bảng biến thiên suy xCĐ , xCT 3) Tìm giá trị cực trị (giá trị cực đại, giá trị cực tiểu) hàm số tìm yCĐ , yCT : Tính đạo hàm y‟, giải phương trình y‟=0 tìm x, suy y (y có giá trị lớn yCĐ , y có giá trị bé yCT ) 4) Tìm điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) đồ thị hàm số tìm cặp số ( xCĐ ; yCĐ ),( xCT ; yCT ) : Tính đạo hàm y‟, giải phương trình y‟=0 tìm x, suy y, suy cặp số cần tìm 5) Tìm điểm uốn: tính y‟, tính y‟‟, giải pt: y ''   x   y   cặp số (x;y) 6) Tìm m để hàm số y  ax4  bx2  c(a  0) có cực trị ( có CĐ, CT): cho a.b   m 7) Tìm m để hàm số y  ax4  bx2  c(a  0) có cực trị: cho a.b   m NVH 0943277769 Trang 2/18 a.b  a  8) Tìm m để hàm số y  ax4  bx2  c(a  0) có CĐ, CT): cho    m a  b  9) Tìm m để hàm số y  ax4  bx2  c(a  0) có CT tạo thành  vuông cân  8a  b3   m  10) Tìm m để hàm số y  ax4  bx2  c(a  0) có CT tạo thành   24a  b3   m  a.b  a  11) Tìm m để hàm số y  ax4  bx2  c(a  0) có CĐ, CT): cho    m a  b  12) Tìm m để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c(a  0) có điểm uốn: cho a.b   m 13) Tìm m để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c(a  0) điểm uốn: cho a.b   m 14) Đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c(a  0) có tính chất: a) Luôn có cực trị b) Nhận trục tung Oy làm trục đối xứng (không có tâm đối xứng) c) Không có tiệm cận 15) Sự tương giao (số nghiệm số giao điểm) a) Giao với trục hoành (Ox): cho y=0, bấm máy giải pt: ax4  bx2  c  xem x t bấm máy phương trình bậc hai với ẩn t Chú ý nhận t  b) Giao với trục tung (Oy): cho x=0  y  c c) Giao với y  g ( x) : cho ax4  bx2  c  g ( x)  x  16) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đths y  ax4  bx2  c(a  0) Ta tính yCĐ , yCT hàm số y  ax4  bx2  c(a  0) - Cắt điểm phân biệt yCT  m  yCĐ - Cắt điểm phân biệt m  yCT a < 0; m  yCĐ a > - Tiếp xúc hay có điểm chung m  yCT m  yCĐ - Đths y  ax4  bx2  c(a  0) nằm phía trục hoành yCT  (không cắt trục hoành) - Đths y  ax4  bx2  c(a  0) nằm phía trục hoành yCĐ  (không cắt trục hoành) 17) Nhận dạng đồ thị Nhận dạng đồ thị theo thứ tự dựa vào: hình dạng đồ thị thuộc hàm loại  dấu hệ số a  nghiệm phương trình y‟  giao điểm với trục tung Oy  giao điểm với trục hoành… (Đồ thị từ trái qua phải Đi lên đồng biến, xuống nghịch biến.) NVH 0943277769 Trang 3/18 III HÀM NHẤT THỨC y  ax  b ad  bc Có đạo hàm y '  cx  d (cx  d )2 1) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y  ax  b : cx  d TXĐ: D  Tính y '   d  \   c  ad  bc (cx  d )2 d   d   Nếu ad  bc   y '  suy hàm số đồng biến khoảng  ; ;   ; c   c   d   d   Nếu ad  bc   y '  suy hàm số nghịch biến khoảng  ; ;   ; c   c   2) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ad  bc   m Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  d a ; đường tiệm cận ngang y  c c  d a  3) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng  ;   c c 4) Tìm m để hàmsố y  5) Tìm m để hsố y  ax  b ad  bc đồng biến khoảng xác định:Tính y '  cho ad  bc   m cx  d (cx  d )2 ax  b ad  bc nghịch biến khoảng xác định:Tính y '  cho ad  bc   m cx  d (cx  d )2 ax  b 6) Tìm m để hàm số y  đồng biến khoảng  x0 ;   : cho cx  d ad  bc    m d  x0   c  ax  b đồng biến khoảng  ; x0  : cho cx  d ad  bc    m d  x0   c  7) Tìm m để hàm số y  ax  b 8) Tìm m để hàm số y  nghịch biến khoảng  x0 ;   : cho cx  d ad  bc    m d  x   c  ax  b 9) Tìm m để hàm số y  nghịch biến khoảng  ; x0  : cho cx  d ad  bc    m d  x0   c  10) Đồ thị hàm số y  ax  b có tính chất: cx  d  d a  b) Có tâm đối xứng  ;   c c a) Không có cực trị 11) Sự tương giao (số nghiệm số giao điểm) a) Giao với trục hoành (Ox): cho y=0, bấm máy giải pt: ax  b   x  b) Giao với trục tung (Oy): cho x=0  y  c) Giao với y  g ( x) : cho b  b  B  0;  d  d ax  b  g ( x)  ax  b  g ( x).(cx  d )  x  cx  d 12) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đths y  NVH 0943277769 b  b   A  ;0  a  a  ax  b d d d : cho m  m  ; Không cắt cho m  cx  d c c c Trang 4/18 13) Tìm m n để đường thẳng y  mx  n cắt đths y  ax  b ax  b điểm phân biệt: Lập pt: mx  n  cx  d cx  d Đưa phương trình bậc chứa tham số Cho    m  Chú ý: x  d nghiệm pt c 14) Nhận dạng đồ thị: Nhận dạng đồ thị theo thứ tự dựa vào: hình dạng đồ thị thuộc hàm loại  dấu y‟ (dấu ad-bc)  giao điểm với trục tung Oy  giao điểm với trục hoành Ox…  XÉT KHOẢNG ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm (a; b) / f(x) nghịch biến ( a, b) / f(x) nghịch biến ( a, b) + Nếu f / ( x)  x  (a, b) f(x) đồng biến khoảng Nếu f ( x)  x  (a, b) + Nếu f / ( x)  x  (a, b) f(x) đồng biến khoảng Nếu f ( x)  x  (a, b) Chú ý: Dấu xãy số hữu hạn điểm HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH * Tìm khoảng đồng biến nghịc biến hàm số y  f ( x) TXĐ Cách 1: Bấm Mode thử đáp án (Chú ý  a; b  start a  0,001; and b  0,001; step ba ) 29 Nếu f(x) tăng đồng biến, f(x) giảm đồng biến Cách 2: Bấm Shift   d  f ( x)  dx x X CALC thử giá trị khoảng Nếu dương đồng biến, âm nghịch biến Nên bấm CALC thử nhiều giá trị  TÌM GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ  x  D : f  x   M  Số M gọi GTLN hàm số y  f  x  D    x0  D : f  x0   M  x  D : f  x   m  Số m gọi GTNN hàm số y  f  x  D    x0  D : f  x0   m HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH Tìm GTLN – GTNN hàm số y  f ( x) đoạn  a; b Bấm MODE sau chọn (TABLE)  Nhập biểu thức f(x) vào máy  “=” nhập Start = a; End = b; Step ba  Dò kết 29 Tìm GTLN – GTNN hàm số y  f ( x) khoảng  a; b  Bấm MODE sau chọn (TABLE)  Nhập biểu thức f(x) vào máy  “=” nhập Start a  0,001; And b  0,001; Step NVH 0943277769 ba  Dò kết 29 Trang 5/18  TÌM CÁC ĐƢỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ y  f  x  lim f  x   y1  y  y1 TCN đồ thị hàm số y  f  x  ( Nhập hàm bấm CALC 1010 ) x  lim f  x   y2  y  y2 TCN đồ thị hàm số y  f  x  ( Nhập hàm bấm CALC 1010 ) x  lim f  x     x  x0 TCĐ đồ thị hàm số y  f  x  ( Nhập hàm bấm CALC ( x0  0,001) ) x  x0 lim f  x     x  x0 TCĐ đồ thị hàm số y  f  x  ( Nhập hàm bấm CALC ( x0  0,001) ) x  x0 ( Chú ý: Tìm TCĐ ta thường cho mẫu 0, giải pt đc: x  x0 Thay x  x0 vào tử tử không xác định x  x0 TCĐ Nếu tử xác định khác x  x0 TCĐ đồ thị hàm số.) Đạo hàm: y '  f '( x)  f ( x)  IV HÀM SỐ y   f ( x)    1 + Nếu  nguyên dương:  ĐK là: f ( x) xác định f ( x) xác định nghĩa hàm biểu thức  Hàm phân thức mẫu  + Nếu  nguyên âm:  ĐK là: f ( x)  + Nếu  không nguyên:  ĐK là: f ( x)  + Nếu   đồ thị hàm số nhận trục Ox làm tiệm cận ngang Nhận trục Oy làm tiệm cận đứng +   hàm số đồng biến   hàm số nghịch biến + Đồ thị hàm số qua điểm (1;1) V HÀM SỐ y  a x (0  a  1) TXĐ (; )  Tập giá trị (0; ) Đạo hàm y '  a x ln a Chiều biến thiên Tiệm cận Đồ thị a  1: hàm số đồng biến Nhận trục Ox làm tiệm cận ngang Luôn qua điểm (0;1) (1;a) Đồ thị nằm phía trục hoành VI HÀM SỐ y  log a x TXĐ Tập giá trị Đạo hàm Chiều biến thiên Tiệm cận Đồ thị  a  1: hàm số nghịch biến (0  a  1) (0; ) (; )  y'  x ln a a  1: hàm số đồng biến  a  1: hàm số nghịch biến Nhận trục Oy làm tiệm cận đứng Luôn qua điểm (1;0) (a;1) Đồ thị nằm phía bên phải trục tung + Đồ thị hàm số y  a x y  log a x(0  a  1) đối xứng qua đường thẳng y  x + ĐK hàm số NVH 0943277769 y  log a f ( x) ; y  ln f ( x) y  log f ( x) là: f ( x)  Trang 6/18 + Công thức đạo hàm: u   u '. u ;   u ' ;    u u  e   u '.e  a   u '.a ln a ;  ln u   uu' ;  co s u  (tan u ) '  u '  sin u  ' u  ' u ' ;  u '.cos u ; '  1 u '  u '.sin u ;  u   2u 'u  log u   u uln' a ; ' ' ; ' a u' ; cos u (cot u ) '  + Chú ý: a f ( x )  b  f ( x)  log a b ; log a f ( x)  b  f ( x)  ab ;(a  1) lim a x   ; x  0;(0  a  1) 0;(a  1) lim a x   ; x  ;(0  a  1) ;(a  1) lim (log a x)   ; x 0 ;(0  a  1) ;(a  1) lim (log a x)   x  0;(0  a  1) u ' sin u CHỦ ĐỀ 2: PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT 1) Công thức lũy thừa  Cho a > 0, b > m, n  Khi a m a n  a mn ; m am a ;    bm b ( a m ) n  a m n ;  an ; n a n a b     b a a  n ; a n  a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) (a  0)  Nếu a>1 a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x)  Nếu < a < a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) m am  a mn ; n a (ab)n  a n bn ; n am  a n ; n 2) Công thức lôgarit  Với điều kiện  a  1; b  0; m  0; n  ta có: log a b    a  b log a  log a a  aloga b  b log a b   log a b log a b  log a (m.n)  log a m  log a n ; log a b   log a a   log c b ;(0  a  1;0  c  1; b  0) log c a  log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x) với  a   Nếu a>1 log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)  Nếu 0 phương trình có hai nghiệm thực x1,2 = b   2a * Nếu  < phương trình có hai nghiệm phức x1,2 = b  i  2a Chú ý: + Nếu quỹ tích số phức z đƣờng tròn  x  a    x  b   R tâm I  a; b  bán kính R thì: z max  OI  R  a  b2  R z  OI  R  a  b2  R + Nếu tập hợp số phức z thõa mãn  x  a    x  b   R quỹ tích hình tròn tâm I  a; b  bkính R 2 HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH SỐ PHỨC: Bấm mode hình CMPLX Cộng trừ nhân chia nhập tính bình thường Tính môđun nhập shift hyp; NVH 0943277769 Số phức liên hợp bấm shift 2 (xuất conjg( ) Trang 12/18 CHỦ ĐỀ 5: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Hệ thức lượng tam giác vuông: Cho ABC vuông A ta có: A  Định lý Pitago : BC  AB  AC 2   AH2 = BH.CH  BC = 2AM c cos B  , a  b = a sinB = a.cosC, c 1   2 AH AB AC  AB AC = BC AH b  sin B  , a  BA  BH BC; CA  CH CB 2 B b tan B  , c c cot B  b  a  c = a sinC = a.cosB, * Định lý hàm số Côsin: b b  sin B cos C b h c‟ M b‟ H C a  b = c tanB = c.cot C a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA Các công thức tính diện tích - thể tích a/ Công thức tính diện tích tam giác: S  Hoặc S 1 a.b.c a.ha  a.b.sinC   pr 2 4R p  p  a  p  b  p  c  với p  Đặc biệt : * ABC vuông A: S  abc với a, b, c độ dài cạnh tam giác AB AC * ABC cạnh a: S  b/ Diện tích hình vuông: S = cạnh x cạnh d/ Diện tích hình thoi: S = f/ Diện tích hình thang: a2 c/ Diện tích hình chữ nhật: S = dài x rộng (chéo dài x chéo ngắn) e/ Diện tích hbhành: S = đáy x chiều cao (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao g/ Diện tích hình tròn: S   r h/ Thể tích khối tứ diện cạnh a: V  Chu vi đường tròn: C  2 r a3 12 k/ Thể tích khối chóp tam giác cạnh đáy a: V  a3 tan  12 (  góc cạnh bên mặt đáy) i/ Thể tích khối chóp tam giác cạnh đáy a: V  a3 tan  24 (  góc mặt bên mặt đáy) a3 j/ Thể tích khối chóp tứ giác có tất cạnh a: V  m/ Thể tích khối chóp tứ giác cạnh đáy a: V  a3 tan  n/ Thể tích khối chóp tứ giác cạnh đáy a: V  a3 tan  (  góc mặt bên mặt đáy) (  góc mặt bên mặt đáy) l/ Thể tích khối lăng trụ tam giác có tất cạnh a: V  a3 Chú ý: NVH 0943277769 Trang 13/18 1/ Đường chéo hình vuông cạnh a là: a Tam giác vuông cân hai cạnh góc vuông cạnh huyền chia Đường chéo hình lập phương cạnh a là: a Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c là: 2/ Đường cao tam giác cạnh a là: h  a  b2  c a 3/ Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên tạo với mp đáy góc nhau, mặt bên tam giác tạo với mp đáy góc nhau, hình chiếu đỉnh xuống mp đáy trùng với tâm đáy.(h/c tam giác đáy tam giác đều, h/c tứ giác đáy hv) 4/ Lăng trụ đứng lặng trụ có mặt bên hình chữ nhật 5/ Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác Lăng trụ tam giác lăng trụ đứng 6/ Góc cạnh bên mặt đáy góc hợp điềm: (Đỉnh, Điểm chung; Chân đƣờng cao) 7/ Góc mặt bên mặt đáy góc hợp điềm: (Đỉnh, Điểm M; Chân đƣờng cao) Với M giao điểm đường thẳng kẻ từ chân đường cao vuông góc với giao tuyến mặt bên mặt đáy  CÁC CÔNG THỨC THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ V  Sđáy h ( h: chiều cao) a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c Đường chéo d  a  b2  c (a,b,c ba kích thước) b) Thể tích khối lập phương V = a3 Đường chéo d  a (a độ dài cạnh) THỂ TÍCH KHỐI CHÓP V  Sđáy h ( h: chiều cao) S TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN VSABC SA SB SC  VSA ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' C' A' A B' C B 1 V  Sđáy h   r h 3 KHỐI NÓN Stp  S xq  Sđáy   rl   r Liên hệ NVH 0943277769 ( l  h2  r ) Trang 14/18 V  Sđáy h   r h S xq  2 rl  2 rh KHỐI TRỤ Stp  S xq  Sđáy   rl   r h Liên hệ (h  l ) r l V   R3 KHỐI CẦU S  4 R R CHỦ ĐỀ 6: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1) Một số phép toán vectơ          OM  x i  y j  z k  M ( x; y; z ) v  x i  y j  z k  v  ( x; y; z ) AB  ( xB  x A , yB  y A , z B  z A ) AB  AB   xB  x A    y B  y A    z B  z A  2 a   a1 , a2 , a3  , b   b1 , b2 , b3   a  b   a1  b1 , a2  b2 , a3  b3  k.a   ka1 , ka2 , ka3  a  a  a  a  a1  b1  a  b  a2  b2 a  b  3 a.b  a1 b1  a2 b2  a3 b3 10 a cp b  a  k b  11 a  b  a.b   a1.b1  a2 b2  a3 b3  a a a a a a  12 [a, b]   , ,   b2 b3 b3 b1 b1 b2  2 2 a1 a2 a3   b1 b2 b3 ( Tính tích có hƣớng: Bấm M0DE 8, bấm chọn (vecto A), bấm chọn 1:3, sau nhập tọa độ vecto A vào, bấm SHIFT 2 chọn (vecto B), bấm chọn 1:3, sau nhập tọa độ vecto B vào,bấm AC, bấm shift 5, bấm chọn (vecto A), bấm dấu nhân x, bấm shift 5, bấm chọn (vecto B), bấm dấu =, ta kết quả)  xA  xB y A  yB z A  zB  ; ; 2   13 M trung điểm A  M  14 G trọng tâm tam giác ABC 15 G‟ trọng tâm tứ diện ABCD  x  xB  xC y A  yB  yC z A  zB  zC   G A ; ;  3    x  xB  xC  xD y A  yB  yC  yD z A  zB  zC  zd   G ' A ; ;  3   16 Các tính chất ứng dụng tích có hƣớng:     *  a , b     b , a      NVH 0943277769    a , b   a b sin(a; b) Trang 15/18     * a b phương   a , b   0;       a b không phương  a , b          * a ; b c đồng phẳng   a , b  c  0;        a ; b c không đồng phẳng   a , b  c    * SABC   AB, AC  ShbhABCD   AB, AC  (ABCD hình bình hành) VkltABC A ' B 'C '   AB, AC  AA ' VktdABCD   AB, AC  AD VkhABCD A' B 'C ' D '   AB, AC  AA ' (Với: klt khối lăng trụ; ktd khối tứ diện; kh khối hộp) 2) Phƣơng trình mặt phẳng *) Phương trình mp() qua M(xo; yo; zo) có vtpt n  (A; B; C) là: A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = Nếu mp) có phương trình: Ax + By + Cz + D = ta có vtpt n  (A; B; C) *) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) là: x y z   1 a b c Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định tọa độ điểm qua véctơ pháp tuyến *) Vị trí tương đối hai mp (1) (2): ° ( ) // (  )  ° ( ) cắt ( )  A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 ° ( )  (  )  A1 B1 C1 D1    A2 B2 C2 D2 ° ( )  (  )  A1 A2  B1 B2  C1C2  *) Khoảng cách từ M(x0,y0,z0) đến (): Ax + By + Cz + D = là: d(M, )  Chú ý: mp Oxy có pt: z  0; *) Góc hai mặt phẳng: A1 B1 C1 D1    A2 B2 C2 D2 mp Oxz có pt: y  0; COS(( ), ( ))  Ax o  Byo  Cz o  D A  B2  C2 mp Oyz có pt: x  n1 n2 n1 n2 3) Phƣơng trình đƣờng thẳng  x  xo  a1t *) Phương trình tham số đường thẳng d qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp a = (a1;a2;a3) là: d : y  yo  a2 t ( t  ) z  z  a t o  *) Phương trình tắc d: d: x  xo y  yo z- z0   a a2 a3 Chú ý: Trục Ox, Oy, Oz qua O có vectơ phương: i  1;0;0  ; j   0;1;0  ; k   0;0;1 *) Góc đường thẳng: Gọi  góc d d‟ là: cos  ad ad / (0    90 ) ad ad / *) Vị trí tương đối đường thẳng d , d’: Ta thực hai bước + Tìm quan hệ vtcp a d , a d NVH 0943277769 / Trang 16/18  x0 + a1 t = x'0 + a'1 t'  + Tìm điểm chung d, d‟ cách xét hệ:  y0 + a t = y'0 + a'2 t' (I)  z + a t = z' + a' t'  Quan hệ Hệ (I) Vô số nghiệm Vô nghiệm Vị trí d , d‟ ad ; ad ' d d' Cùng phương d d' Có nghiệm Không d cắt d‟ Vô nghiệm phương d , d‟ chéo 4) Một số dạng toán thƣờng gặp Dạng 1: Chứng minh A,B,C ba đỉnh tam giác A,B,C ba đỉnh tam giác  AB; AC không phương  AB, AC   Dạng 2: Tìm D cho ABCD hình bình hành: ABCD hình bình hành  AD  BC Dạng 3: Chứng minh ABCD tứ diện: + Viết phương trình (BCD) + Thay tọa độ A vào phương trình mp(BCD) chứng minh A   BCD  Dạng 4: Tìm hình chiếu điểm M a H hình chiếu M mp()  Viết phương trình đường thẳng d qua M vuông góc (): ta có ad  n( )  Gọi H  d     H (theo t)  d mà H  ()  t = ?  tọa độ H b H hình chiếu M đƣờng thẳng d  d có vtcp ad  ?  Gọi H (theo t)  d , Tính MH Ta có: MH  ad  MH ad   t  ?  tọa độ H Dạng 5: Điểm đối xứng a Điểm M/ đối xứng với M qua mp()  Tìm hình chiếu H M mp() (dạng 4.a)   xM /  xH  xM  M đối xứng với M qua ()  H trung điểm MM   yM /  yH  yM   zM /  zH  zM / / b Điểm M/ đối xứng với M qua đƣờng thẳng d:  Tìm hình chiếu H M d (dạng 4.b)   xM /  xH  xM  M đối xứng với M qua d  H trung điểm MM   yM /  yH  yM   zM /  zH  zM / NVH 0943277769 / Trang 17/18  Dạng 6: Khoảng cách a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng : + Viết phương trình mp( ) chứa A   + Tìm giao điểm H  ( ) + Tính d(A, ) = AH Chú ý: Có thể sử dụng công thức: d  A;()    MA, u    Với M     u b) Khoảng cách đường thẳng  ( ) với    : + Lấy M  + d(,( ))  d( M,( )) c) Khoảng cách đường thẳng chéo , ’ : + Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa ‟ // + Lấy M  ' + d (,  )  d ( M ,( )) Chú ý: Có thể sử dụng công thức: d  ();( ')   u , u '  MM '   Với M     ;M'    ' u , u '    5) Phƣơng trình mặt cầu  S  :  x  a a Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R:   y  b    z  c   R2 2 Nếu mặt cầu có phương trình  S  : x2  y  z  2ax  2by  2cz  d  với ( a2  b2  c2  d  ) Ta có: Tâm I(a; b; c) R  a2  b2  c2  d b Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho  S  :  x  a 2   y  b 2   z  c 2  R2 (): Ax + By + Cz + D = Gọi d = d(I,()): khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mp()  d > R: (S)  () =   d = R: () tiếp xúc (S) H (H: tiếp điểm, (): tiếp diện) * Tìm tiếp điểm H (là hình chiếu vuông góc tâm I mp() ) + Viết phương trình đường thẳng d qua I vuông góc mp(): ta có ad  n( ) + H = d  () Gọi H (theo t)  d Ta có H  ()  t = ?  tọa độ H  S : x  a    y  b   z  c   R2 d < R: () cắt (S) theo đường tròn (C):     2  ( ) : Ax  By  Cz  D  * Tìm bán kính r tâm H đường tròn giao tuyến: + Bán kính r  R  d ( I , ( )) + Tìm tâm H ( hình chiếu vuông góc tâm I mp()) NVH 0943277769 Trang 18/18 ... a  0; b  z = bi gọi số ảo số ảo  Nếu b = z = a gọi số thực Số phức nghịch đảo z 1   Số phức liên hợp: z  a  bi z  Môđun số phức: | z | a  b2 Môđun số phức số thực không âm   ... : Tính đạo hàm y‟, giải phương trình y‟=0 tìm x, suy y, suy cặp số cần tìm 5) Tìm điểm uốn: tính y‟, tính y‟‟, giải pt: y ''   x   y   cặp số (x;y) 6) Tìm m để hàm số y  ax4  bx2 ...  TÌM GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ  x  D : f  x   M  Số M gọi GTLN hàm số y  f  x  D    x0  D : f  x0   M  x  D : f  x   m  Số m gọi GTNN hàm số y  f  x  D    x0