0

TÓM tắt lý THUYẾT và CÔNG THỨC GIẢI NHANH TOÁN 12, NGUYỄN CHIẾN, NGUYỄN HỒNG QUÂN

82 592 0
  • TÓM tắt lý THUYẾT và CÔNG THỨC GIẢI NHANH TOÁN 12, NGUYỄN CHIẾN, NGUYỄN HỒNG QUÂN

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 12/07/2017, 21:36

để có kết quả cao trong kỳ thi sắp tới cần bổ sung kiến thức cơ bản và đây là tài liệu mà các bạn học sinh đang cần để hướng tới kỳ thi thpt quấc qia sắp tới,cuốn tài liệu tổng hợp lý thuyết và các cách giải cơ bản giành cho các bạn 12 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TểM TT Lí THUYT V GII NHANH TON 12 Nguyn Chin - Nguyn Hng Quõn PHặN HM S S NG BIN NGHCH BIN CA HM S x1, x K , x x ( K l khoõng hoc on hoc na khoõng) y f x ng bin trờn K th i lờn t trỏi sang phõi f x f x y f x nghch bin trờn K th i xung t trỏi sang phõi Chỳ ý: + N u f x 0, x a;b hm s f x ng bi n tr n khoõng a;b + N u f x 0, x a; b hm s f x nghch bi n trờn khoõng a;b + N u f x 0, x a;b hm s f x h ng i trờn khoõng a;b + N u f x ng bi n trờn khoõng a;b f x 0, x a;b + Nu f x nghch bi n trờn khoõng a;b f x 0, x a;b H f x1 f x 2 Quy tc v cụng thc tớnh ọo hm iL ie u O nT hi D u v Tớch: u.v u .v v .u C u C u ro up s/ Tng, hiu: u v Ta Quy tc tớnh o hm: Cho u u x ; v v x ; C : l hỡng s u u .v v .u C C u , v v2 u2 v u o hm hm hp: Nu y f u , u u x yx yu ux c om /g Thng: Bõng cụng thc tớnh ọo hm: ce bo ok ọo hm ca hm s cỗp C (C l hỡng s) x .x w w w fa ọo hm ca hm hp x .x u u (x 0) x x x x x oc 1 nh nghùa u u u u u u u u0 u sin x cos x sin u u.cos u cos x sin x cos u u.sin u Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674 Page | www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 tan x cos1 x tan u cosu cot x sin1 x cot u sin e e a a ln a ln x x1 e u.e a u.a ln a ln u uu log x x ln1 a u log u u.ln a u x u u x a u u x a Cụng thc tớnh nhanh o hm hm phõn thc: a b a c x d f ax bx c d e dx ex f dx ex f e f iL ie u o hm cp : b c O nT ax b ad bc ; cx d cx d x2 hi D x u u oc 2 H + nh nghùa: f x f x Ta + í nghùa c hc: Gia tc tc thi cỷa chuyn ng s f t tọi thi im t l: Nu hm s f x v g x cựng ng bin (nghch bin) tr n K thỡ hm s ro up * Mt s chỳ ý: s/ a t0 f t0 c om /g f x g x cỹng ng bin (nghch bin) tr n K Tớnh chỗt ny cũ th kh ng ỳng i vi hiu f x g x fa K thỡ hm s f x g x cỹng ng bin (nghch bin) tr n K Tớnh chỗt ny cũ th kh ng ỳng cỏc hm s f x , g x kh ng l cỏc hm s dỵng trờn K Cho hm s u u x , xỏc nh vi x a;b v u x c;d Hm s f u x cỹng xỏc nh vi x a;b Nu hm s f x v g x l cỏc hm s dỵng v cựng ng bin (nghch bin) tr n ce bo ok w w w Quy tc xột tớnh n iu ca hm s Giõ s hm s f cũ ọo hm trờn K hm s f ng bin trờn K Nu f ' x vi mi x K v f ' x chợ tọi mt s hu họn im x K thỡ Nu f ' x vi mi x K v f ' x chợ tọi mt s hu họn im x K thỡ hm s f nghch bin trờn K Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674 Page | www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Chỳ ý: * i vi hm phõn thc hu tợ y ax b d x thỡ dỗu " " xột dỗu ọo cx d c hm y khụng xõy Giõ s y f x ax bx cx d f x 3ax 2bx c Trỵng hp thỡ h s c khỏc vỡ a b c thỡ f x d oc f x 0; x a a b c H a a b c hi D f x 0; x Hm s nghch bin trờn O nT Hm s ng bin trờn iL ie u (ỵng thợng song song hoc trựng vi trýc Ox thỡ kh ng n iu) * Vi dng toỏn tỡm tham s m hm s c a n iu mt chiu trờn khoõng cũ di bng l ta giõi nh sau: Bỵc 1: Tớnh y f x ; m ax bx c s/ * up a x ; x y cú nghim phõn bit Ta Bỵc 2: Hm s n iu trờn Bỵc 3: Hm s n iu trờn khoõng cũ di bỡng l 4x1x l S2 4P l ro x1 x l x1 x * * c om /g Bỵc 4: Giõi * v giao vi * * suy giỏ tr m cổn tỡm CC TR HM S ce bo ok nh nghùa Giõ s hm s f xỏc nh tr n tờp K v x K + x0 l im cc tiu cỷa hm s f nu tn tọi mt khoõng a; b cha x cho a; b K v f x f x , x a;b \ x Khi ũ f x ỵc gi l giỏ tr cc tiu cỷa hm s f w fa 0 w a; b K v f x f x , x a;b \ x w + x l im cc ọi cỷa hm s f nu tn tọi mt khoõng a;b cha x cho 0 Khi ũ f x ỵc gi l giỏ tr cc ọi cỷa hm s f + im cc ọi v im cc tiu gi chung l im cc tr + Giỏ tr cc ọi v giỏ tr cc tiu gi chung l cc tr + im cc ọi v im cc tiu ỵc gi chung l im cc tr ca hm s v im cc tr phõi l mt im tờp hp K Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674 Page | www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 + Giỏ tr cc ọi v giỏ tr cc tiu ỵc gi chung l giỏ tr cc tr (hay cc tr) ca hm s + Nu x0 l im cc tr cỷa hm s thỡ im x ; f (x ) ỵc gi l im cc tr ca th hm s f iu kin cổn hm s ọt cc tr cũ ọo hm nh lớ 1: Giõ s hm s y f x ọt cc tr tọi im x Khi ũ, nu y f x ọo hm f x cú th bỡng tọi im x0 nhỵng hm s f kh ng ọt cc tr tọi H oc Chỳ ý: tọi im x thỡ f x im x0 Hm s cú th ọt cc tr tọi mt im m tọi ũ hm s kh ng cũ ọo hm Hm s chợ cú th ọt cc tr tọi mt im m tọi ũ ọo hm cỷa hm s bỡng hoc tọi ũ hm s kh ng cũ ọo hm iu in hm s ọt cc tr nh lớ 2: Giõ s hm s f ọt cc tr tọi im x Khi ũ, nu hm s f cũ ọo hm tọi O nT hi D v f x trờn khoõng x ; x h thỡ x l m t i m cỵc cỷa hm s f x N u f x trờn khoõng x h; x v f x trờn khoõng x ; x h thỡ x l m t i m cỵc ti u cỷa hm s f x 0 Ta iL ie u im x thỡ f ' x0 N u f x tr n khoõng x h; x 0 s/ 0 up Quy tc tỡm cc tr Quy tc 1: i 1;2; Bc 1: Tỡm tờp xỏc nh Tỡm f x Bc 2: Tỡm cỏc im x i c om /g ro m tọi ũ o hm ca hm s bng hoc hm s liờn tc nhng khụng cũ o hm i du i Bc 3: Lờp bõng bin thiờn hoc bõng xột dỗu f x Nu f x ce bo ok qua x i thỡ hm s ọt cc tr tọi x i Nu f x 0, f x thỡ hm s Nu f x 0, f x thỡ hm s nh lớ 3: Giõ s y f x cú ọo hm cồ p khoõng x h; x h vi h f ọt cc ọi tọi x 0 f ọt cc tiu tọi x fa w w w T nh lớ trờn, ta cũ mt quy tc khỏc tỡm cc tr ca hm s Quy tc 2: Bc 1: Tỡm tờp xỏc nh Tỡm f x Bc 2: Tỡm cỏc nghim x i i 1;2; cỷa phỵng trỡnh f x Bc 3: Tớnh f x v tớnh f x i Nu f x thỡ hm s f Nu f x thỡ hm s f i ọt cc ọi tọi im x i i ọt cc tiu tọi im xi Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674 Page | www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 MT S DNG TON LIấN QUAN N CC TR HM S I CC TR CA HM A THC BC BA: Tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu tha honh cho trc i to n t ng quat: Cho hm s y f x ; m ax bx cx d Tỡm tham s m hm s cú cc ọi, cc tiu tọi x 1, x thúa iu kin K cho trỵc oc Phng ph p: c 1: Tờp xỏc nh: D 2 ọo hm: y 3ax 2bx c Ax Bx C c 2: Hm s cú cc tr (hay cú hai cc tr, hai cc tr phõn bit hay cú cc ọi v cc tiu) y cú hai nghim phõn bit v y i dỗu qua nghim ũ phỵng trỡnh y cú hai nghim phõn bit iL ie u O nT A 3a a m D1 y B 4AC 4b 12ac b 3ac c 3: Gi x 1, x l hai nghim cỷa phỵng trỡnh y hi D H up s/ Ta B 2b x x A 3a Khi ũ: C c x x A 3a c 4: Bi n i i u ki n K v da ng t ng S v ti ch P T ú giõi tỡm ỵc m D2 ro c 5: K t luồn cỏc giỏ tr m thúa món: m D1 D2 c om /g * Chỳ ý: Hm s bờc ba: y ax bx cx d a Ta cú: y ' 3ax 2bx c iu kin Kt lun Hm s kh ng cũ cc tr Hm s cũ hai im cc tr b 3ac b 3ac ce bo ok iu kin hm s cú cc tr cựng du, trỏi du Hm s cú cc tr trỏi du phỵng trỡnh y cú hai nghim phõn bit trỏi dỗu ac Hm s cú hai cc tr cựng du w w w fa y phỵng trỡnh y cú hai nghim phõn bit cựng dỗu C P x 1.x A Hm s cú hai cc tr cựng du dng y B phỵng trỡnh y cú hai nghim dỵng phồn bit S x x A C P x x A Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674 Page | www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Hm s cú hai cc tr cựng du õm y ' B phỵng trỡnh y cú hai nghim õm phõn bit S x x A C P x x A Tỡm iu kin hm s cú hai cc tr x 1, x tha món: oc x1 x x1 x Hai cc tr x 1, x thúa x1 x Hai cc tr x 1, x thúa x1 x x x2 x x x1 x x x x x Hai cc tr x 1, x thúa x1 x iL ie u O nT x1 x x1.x x1 x hi D H x1 x s/ Phỵng trỡnh bờc cú nghim lờp thnh cỗp s cng b d , cú nghim lờp thnh cỗp s nhõn cú nghim l x 3a a ro cú nghim l x up Ta x x2 x x x1 x x x x x c om /g Tỡm iu kin th hm s cú c c im cc i, cc tiu nm cựng phớa, khỏc phớa so vi mt ng thng i tri tng i gia iờm vi ng th ng: v ỵng thởng : ax by c c ax by c thi hai im A, B nởm v ce bo ok Cho i m A x A; yA , B x B ; yB N u ax A byA B B hai phớa so vi ỵng thởng N u ax A byA c ax B byB c thi hai im A, B nởm cu ng phớa so vi ỵng thợng w w w fa Mt s trng hp c biờt: + Cỏc im cc tr cỷa th nỡm cựng v phớa i vi trc Oy hm s cú cc tr cựng dỗu phỵng trỡnh y cú hai nghim phõn bit cựng dỗu + Cỏc im cc tr cỷa th nỡm cựng v phớa i vi trc Oy hm s cú cc tr trỏi dỗu phỵng trỡnh y cú hai nghim trỏi dỗu + Cỏc im cc tr cỷa th nỡm cựng v phớa i vi trc Ox phỵng trỡnh y cú hai nghim phõn bit v yC yCT Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674 Page | www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 c bit: + Cỏc im cc tr cỷa th nỡm cựng v phớa trờn i vi trc Ox y y phỵng trỡnh y cú hai nghim phõn bit v C CT yC yCT Cỏc im cc tr cỷa th nỡm cựng v phớa di i vi trc Ox y y phỵng trỡnh y cú hai nghim phõn bit v C CT yC yCT oc + Cỏc im cc tr cỷa th nỡm v phớa i vi trc Ox phỵng trỡnh y cú hai nghim phõn bit v yC yCT hi D H (ỏp dung khụng nh m c nghiờm v vit c phng trỡnh ng thng i qua hai im cc tr ca th hm s) Hoc: Cỏc im cc tr cỷa th nỡm v phớa i vi trc Ox th cớt trýc Ox tọi im phõn bit O nT phỵng tri nh honh giao i m f x co nghi m phõn bi t (ỏp dung nh m c nghiờm) iL ie u Phng trỡnh ng thng qua c c im cc tr 2c 2b y.y y .y bc hoc g x 9ay hoc g x y g x x d 3y 9a 9a s/ b 3ac 4e 16e vi e a 9a up AB Ta Khoõng cỏch gia hai im cc tr ca th hm s c l II CC TR CA HM BC TRNG PHNG y ax bx c a c om /g ro MT S KT QU CặN NH Hm s cú mt cc tr ab Hm s cú ba cc tr ab a b a Hm s cũ ỳng mt cc tr v cc tr l cc ọi b a Hm s cú hai cc tiu v mt cc ọi b a Hm s cú mt cc tiu v hai cc ọi b w w w fa ce bo ok Hm s cũ ỳng mt cc tr v cc tr l cc tiu Giõ s hm s y ax bx c cú cc tr: A(0;c), B b b ; ,C ; 2a 4a 2a 4a tọo thnh tam giỏc ABC thúa d kin: ab Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674 Page | www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 MT S CễNG THC GII NHANH y A O Cụng thc tha ab H D kin Tam gi{c ABC vuụng c}n ti A b 8a b 24a 32a (S )2 b hi D Tam gi{c ABC u Tam gi{c ABC cú din tớch S ABC S Tam gi{c ABC cú din tớch max (S ) Ta Tam gi{c ABC cú b{n kớnh ng trũn ngoi tip Tam gi{c ABC cú d|i AB AC n0 ro c om /g ce bo ok Tam gi{c ABC cú O l| t}m ng trũn ngoi tip Tam gi{c ABC cú cnh BC kAB kAC Trc ho|nh chia tam gi{c ABC th|nh hai phn cú din tớch bng fa 8ab b 6ac b 8a 4ac b 2ac b 8a 4abc b 8a 8abc b k 8a(k 4) Tam gi{c ABC cựng im O to th|nh hỡnh thoi Tam gi{c ABC cú O l| t}m ng trũn ni tip b ac Tam giỏc ABC cũ im cc tr cỏch u trýc honh b 8ac th hm s C : y ax bx c cớt trýc Ox tọi w b 8a b 4ac b(8a b ) Tam gi{c ABC cú trng t}m O Tam gi{c ABC cú trc t}m O w R 16a 2n02 b 8ab Tam gi{c ABC cú cc tr B,C Ox Tam gi{c ABC cú gúc nhn im phồn bit lờp thnh cỗp s cng nh tham s hỡnh phợng gii họn bi th b3 a 8a am02 2b up Tam gi{c ABC cú d|i cnh BC m0 s/ RABC R w b2 iL ie u rABC r0 r b5 32a O nT S0 Tam gi{c ABC cú b{n kớnh ng trũn ni tip C : y ax C x B oc Tng quỏt: b cot 8a bx c v trýc honh cũ din tớch phổn tr n v phổn dỵi bỡng b2 100 ac b2 36 ac c y c b 4a b 4a 2 Phỵng trỡnh ỵng trủn ngoọi tip ABC : x y Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674 Page | www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GI TR LN NHầT - GI TR NH NHầT I nh nghùa Cho hm s y f x xỏc nh trờn tờp D f (x ) M , x D x D, f (x ) M Kớ hiu: M max f ( x) xD oc f (x ) m, x D x D, f (x ) m S m gi l giỏ tr nh nht cỷa hm s y f x trờn D nu: H Kớ hiu: m f (x ) x D Bc 1: Tớnh f x v tỡm cỏc im x1, x 2, , x n D m tọi ũ f x hoc hm s O nT hi D Phng phỏp tỡm GTLN,GTNN * Tỡm GTLN, GTNN ca hm s bng cỏch khõo sỏt trc tip iL ie u kh ng cũ ọo hm + Bc 2: Lờp bõng bin thi n v ri suy giỏ tr ln nhỗt, giỏ tr nhú nhỗt cỷa hm s * Tỡm GTLN, GTNN ca hm s tr n mt oọn Bc 1: Hm s ó cho y f x xỏc nh v liờn týc tr n oọn a;b s/ Ta Tỡm cỏc im x1, x 2, , x n trờn khoõng a;b , tọi ũ f x hoc f x kh ng xỏc nh Bc 2: Tớnh f a , f x1 , f x , , f x n , f b Bc 3: Khi ũ: up ro f x f x , f x , , f x , f a , f b max f x max f x , f x , , f x n , f a , f b c om /g a ,b a ,b n * Tỡm GTLN, GTNN ca hm s tr n mt hoõng Bc 1: Tớnh ọo hm f (x ) Tỡm tỗt cõ cỏc nghim x i (a;b) cỷa phỵng trỡnh ce bo ok Bc 2: f (x ) v tỗt cõ cỏc im i (a;b) lm cho f (x ) kh ng xỏc nh Bc Tớnh A lim f (x ) , B lim f (x ) , f (x i ) , f (i ) x a x b So sỏnh cỏc giỏ tr tớnh ỵc v kt luờn M max f (x ) , m f (x ) (a ;b ) fa Bc (a ;b ) w w w Nu giỏ tr ln nht (nhú nht) l A hoc B thỡ kt lun khụng cũ giỏ tr ln nht (nhú nht) f x f a a ;b + N u y f x ng bi n trờn a;b thỡ f x f b max a ;b f (x ) f b a ;b + N u y f x nghich bi n trờn a;b thỡ f (x ) f a max a ;b Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674 S M gi l giỏ tr ln nht cỷa hm s y f x trờn D nu: Page | www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 NG TIM CN CA TH HM S ng tim cn ngang Cho hm s y f (x ) xỏc nh trờn mt khoõng vụ họn (l khoõng dọng a; , ;b hoc ; ) ỵng thợng y y0 l ỵng tim cn ngang (hay tim cờn ngang) cỷa th hm s y f (x ) nu ớt nhỗt mt cỏc iu kin sau thúa món: lim f (x ) y0, lim f (x ) y0 x lim f (x ) , lim f (x ) , lim f ( x) , lim f ( x) x x0 x x Lu ý: Vi th hm phồn thc dọng y ax b cx d c 0; ad bc a d v tim cờn ng x c c lu n cũ tim cờn O nT ngang l y x x0 hi D x x H th hm s y f ( x) nu ớt nhỗt mt cỏc iu kin sau ỵc thúa món: oc ng tim cn ng ỵng thợng x x ỵc gi l ỵng tim cn ng (hay tim cờn ng) cỷa iL ie u KHO ST S BIN THIấN V V TH HM S S hõo sỏt hm s s/ Tỡm xỏc nh ca hm s S bin thi n Chiu bin thi n i Tớnh y ' up Ta Cho hm s y f x ro ii Tỡm cỏc nghim cỷa phỵng trỡnh y ' v cỏc im tọi ũ y ' khụng Tỡm cc tr (nu cũ) Tỡm cỏc gii v cc; cỏc gii họn tọi , v tọi cỏc im m hm s ce bo ok kh ng xỏc nh Tỡm cỏc ỵng tim cờn cỷa hm s (nu cũ) Lờp bõng bin thi n th Lit k cỏc im c bit ( im cc ọi, im cc tiu, tồm i xng,) Xỏc nh giao im cỷa (C) vi Ox, Oy (nu cũ) V th w w w fa c om /g xỏc nh iii Xột dỗu y ' v suy cỏc khoõng bin thi n cỷa hm s Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674 Page | 10 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 x www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 MT PHNG n kh{c v| cú gi{ vuụng gúc mp(P) c gi l| vộc t ph{p tuyn ca (P) (k 0) cng l| vộc t ph{p tuyn ca (P) Nu n l| vộc t ph{p tuyn ca (P) thỡ kn Phng trỡnh tng quỏt ca mp(P): qua M (x ; y0 ; z ) cú vộc t ph{p tuyn n (A; B;C ) l|: A(x x ) B(y y0 ) C (z z ) Khai trin ca phng trỡnh tng quỏt: oc Ax By Cz D (A,B,C khụng ng thi bng 0) Nhng trng hp ri ng ca phng trỡnh tng quỏt: Khong cỏch t im n mt phng: hi D O nT x y z a b c (P) cú phng trỡnh H (P) qua gc ta D=0 (P) song song hoc trựng (Oxy) A=B=0 (P) song song hoc trựng (Oyz) B=C=0 (P) song song hoc trựng (Ozx) A=C=0 (P) song song hoc cha Ox A=0 (P) song song hoc cha Oy B=0 (P) song song hoc cha Oz C=0 (P) ct Ox ti A(a;0;0), ct Oy ti B(0;b;0) v| ct Oz ti C(0;0;c) iL ie u Ta Ax By0 Cz0 D A2 B C s/ Cho M x ; y0 ; z v| (P ) : Ax By Cz D ; d(M ,(P )) up Chựm mt phng Tp hp tt c cc mt phng qua giao tuyn ca hai Gi d l| giao tuyn ca hai mt phng : A x B y C z D v| : A x B y C z D Khi ú nu P l| mt phng cha d thỡ mt phng P cú 1 ce bo ok dng c om /g ro mt phng v| ( ) c gi l| mt chựm mt phng 2 2 P : m.(A x B y C z D ) n.(A x B y C z D ) 0, 1 1 2 d P m2 n C[C DNG TO[N THNG GP VN 1: Vit phng trỡnh mt phng fa w w w lp phng trỡnh mt ph ng ta cn xỏc nh mt im thuc v mt VTPT ca nú Dng 1: i qua im M x ; y0 ; z cú TPT n A; B;C : : A x x B y y C z z 0 Dng 2: i qua im M x ; y0 ; z cú cp TCP a , b : Khi ú mt VTPT ca l n a ,b Dng 3: i qua im M x ; y0 ; z Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674 v| song song vi Page | 68 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 mt phng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 : Ax By Cz D 0: : A x x B y y C z z 0 0 Dng 4: i qua im khụng thng h|ng A, B,C Khi ú ta cú th xỏc nh mt VTPT ca l: n AB, AC Dng 5: i qua mt im M v| mt ng thng d khụng cha M : oc Trờn d ly im A v VTCP u Mt VTPT ca l: n AM , u H Dng 6: i qua mt im M , vuụng gúc vi ng thng d : ng thng ct d1, d2 : Xỏc nh cỏc VTCP a , b ca cỏc ng th ng d1, d2 Mt VTPT ca l: n a ,b iL ie u O nT Dng 7: i qua hi D VTCP u ca ng th ng d l mt VTPT ca Ly mt im M thuc d1 hoc d2 M Dng 8: cha ng thng d1 v| song song vi ng thng d2 ( d1, d2 chộo ) : Ta Xỏc nh cỏc VTCP a , b ca cỏc ng th ng d1, d2 Ly mt im M thuc d1 M up s/ Mt VTPT ca l: n a ,b ro Dng 9: i qua im M v| song song vi hai ng thng chộo d1, d2 : c om /g Xỏc nh cỏc VTCP a , b ca cỏc ng th ng d1, d2 Mt VTPT ca l: n a ,b Xỏc nh VTCP u ca d v VTPT n ca Mt VTPT ca l: n u, n Ly mt im M thuc d M Dng 11: i qua im M v| vuụng gúc vi hai mt phng ct , : Xỏc nh cỏc VTPT n , n ca v Mt VTPT ca l: n u , n Dng 12: i qua ng thng d cho trc v| c{ch im M cho trc mt khong k Dng 10: i qua mt ng thng d v| vuụng gúc vi mt mt phng : fa ce bo ok w w w cho trc: Gi s () cú phng trỡnh: Ax By Cz+D A2 B C Ly im A, B d A, B Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674 ( ta c hai phng trỡnh , ) Page | 69 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 T iu kin khong cỏch d(M,( )) k , ta c phng trỡnh 2, (bng cỏch cho giỏ tr mt n, tỡm cỏc n cũn li) Dng 13: l| tip xỳc vi mt cu S ti im H : Gi s mt cu S cú tõm I v bỏn kớnh R Mt VTPT ca l: n IH oc Gii h phng trỡnh , Cho hai mt phng P : Ax By Cz D v| P : Ax By Cz D A B C D A B C D P P P P A B C D A B C D n P n P n P n P AA BB CC iL ie u P // P O nT hi D Khi ú: P ct P A : B : C A : B : C H VN 2: V tr tng i ca hai mt phng s/ Ta VN 3: Khong cỏch t m t im n m t mt phng Khong c{ch gia hai mt phng song song Hỡnh chiu ca mt im tr n mt phng im i xng ca mt im qua mt phng Ax By0 Cz D ro d M 0,( ) up Khong cỏch t im M x ; y0 ; z n mt ph ng ( ) : Ax By Cz D A2 B C c om /g Khong cỏch gia hai mt ph ng song song bng khong cỏch t mt im bt kỡ trờn mt ph ng ny n mt ph ng Chỳ ý: Nu hai mt ph ng khụng song song thỡ khong cỏch gia chỳng bng ce bo ok MH , n cung phuong im H l hỡnh chiu ca im M trờn P H (P ) im M ' i xng vi im M qua P MM 2MH VN 4: Gúc gia hai mt phng fa cú phng trỡnh: : A x B y C z D : A x B y C z D Gúc gia , bng hoc bự vi gúc gia hai VTPT n , n w w w Cho hai mt ph ng , 1 1 2 2 cos ( ),( ) Chỳ ý: 00 ( ),( ) 900 ; n1.n2 n1 n2 A1A2 B1B2 C 1C A12 B12 C 12 A22 B22 C 22 ( ) ( ) A1A2 B1B2 C1C Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674 Page | 70 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 VN 5: V tr tng i gia mt phng v mt cu Phng trỡnh mt phng tip xỳc vi mt cu v S khụng cú im chung d(I ,( )) R tip xỳc vi S d(I ,( )) R l tip din oc tỡm to tip im ta cú th thc hin nh sau: Cho mt ph ng : Ax By Cz D v mt cu S : (x a )2 (y b)2 (z c)2 R2 Vit phng trỡnh ng th ng d i qua tõm I ca S v vuụng gúc vi H Tỡm to giao im H ca d v H l tip im ca S vi hi D ct S theo mt ng trũn d(I ,( )) R xỏc nh tõm H v bỏn kớnh r ca ng trũn giao tuyn ta cú th thc hin nh sau: Tỡm to giao im H ca d v Bỏn kớnh r ca ng trũn giao tuyn: r iL ie u H l tõm ca ng trũn giao tuyn ca S vi O nT Vit phng trỡnh ng th ng d i qua tõm I ca S v vuụng gúc vi R2 IH Ta NG THNG s/ I Phng trỡnh ca ng thng: 1) Vect ch phng ca ng thng: up énh ngha: Cho ng thng d Nu vect a v| cú gi{ song song hoc trựng vi ro ng phng d thỡ vect a c gi l| vect ch phng ca ng phng d Kớ hiu: c om /g a (a1;a2 ;a3 ) Chỳ : TCP ca d thỡ k a (k 0) cng l| 1) a l| TCP ca d ) Nu d i qua hai im A, B thỡ AB l| mt TCP ca d ce bo ok 3) Trc Ox cú vect ch phng a i (1; 0; 0) 4) Trc Oy cú vect ch phng a j (0;1; 0) 5) Trc Oz cú vect ch phng a k (0; 0;1) 2.Phng trỡnh tham s ca ng thng: fa Phng trỡnh tham s ca ng thng () i qua im M (x ; y0 ; z ) v| nhn a (a1;a2 ;a3 ) w l|m TCP l| : z a w ( ) w M0 O x x ta M ( x, y, z ) y () : y y ta z z ta t x Phng trỡnh ch nh tc ca ng thng: Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674 Page | 71 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phng trỡnh chớnh tc ca ng thng () i qua im M (x ; y0 ; z ) v| nhn a (a1;a2 ;a3 ) l|m TCP l| : y y0 a2 z z0 a3 II V tr tng i ca ng thng v mt phng : 1.V tr tng i ca ng thng v mt phng : PP HèNH HC ( ) M a n a ( ) n n M a a1 oc x x0 M a a H () : a ( ) hi D x x a t (1) nh l : Trong Kg Oxyz cho: ng thng () : y y a2t (2) cú TCP a (a1;a2 ;a3 ) z z a t (3) O nT v| qua M (x ; y0 ; z ) v| mt phng ( ) : Ax By Cz D cú TPT n (A; B;C ) () cat ( ) iL ie u Khi ú : a.n Aa1 Ba2 Ca a.n Aa Ba2 Ca Ax By Cz D M (P ) a.n Aa Ba2 Ca () ( ) Ax By Cz D M (P ) a ( ) ( ) a v| n cựng phng c om /g c bit: ro up s/ Ta () // ( ) a1 : a2 : a3 A : B : C a pt() tỡm x, y, z pt( ) ce bo ok PP I S: Mun tỡm giao im M ca v| ta gii h phng trỡnh: Th , , v|o phng trỡnh mp P v| rỳt gn da v dng: at b (*) d ct mp P ti mt im Pt * cú mt nghim t d song song vi P Pt * vụ nghim d nm P Pt * cú vụ s nghim t d vuụng gúc P a v| n cựng phng w w fa Suy ra: M x, y, z w n V tr tng i ca hai ng thng: PP HèNH HC V tr tng i ca hai ng thng khụng gian Cho hai ng thng: i qua M v| cú mt vect ch phng u1 Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674 Page | 72 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 i qua N v| cú mt vect ch phng u2 u1 , u2 u1 , MN // u , u ct u , u MN v| chộo u1 , u2 MN pt(1 ) tỡm pt(2 ) hi D PP I S: Mun tỡm giao im M ca (1 ) va ( ) ta gii h phng trỡnh : H oc u , u u , MN O nT x, y, z Suy ra: M x, y, z 3) V tr tng i gia ng thng v mt cu: Ta iL ie u x x a t (1) y y a t (2) v| mt cu S : (x a )2 (y b)2 (z c)2 R2 cú Cho ng thng d: z z a t (3) t}m I (a;b;c) , b{n kớnh R s/ PP HèNH HC up B Tớnh khong c{ch t t}m I ca mt cu S n ng thng d l| h d (I ,d ) IM a a ro B So s{nh d(I , d ) vi b{n kớnh R ca mt cu: tip xỳc S ct S ti hai im ph}n bit M , N c om /g Nu d(I , d ) R thỡ d khụng ct S Nu d(I , d ) R thỡ d Nu d(I , d ) R thỡ d v| MN vuụng gúc vi ce bo ok ng kớnh (b{n kớnh) mt cu 2, v|o phng trỡnh S v| rỳt gn a v phng trỡnh bc PP I S: Th , hai theo t * Nu phng trỡnh * cú mt nghim thỡ d tip xc S Nu phng trỡnh * cú hai nghim thỡ d ct S ti hai im ph}n bit M , N w w w fa Nu phng trỡnh * vụ nghim thỡ d khng ct S Chỳ ý: é tỡm ta M , N ta thay gi{ tr t v|o phng trỡnh ng thng d Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674 Page | 73 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 n1 ( A1 ; B1 ; C1 ) n2 ( A2 ; B2 ; C ) nh l : Trong Kg Oxyz cho hai mt phng , x{c nh bi phng trỡnh : ( ) : A1x B1y C 1z D1 ( ) : A2x B2y C 2z D2 Gi l| gúc gia hai mt phng ( ) & ( ) ta cú cụng thc: a 0 90 III Gúc khụng gian: Gúc gia hai mt phng: A1A2 B1B2 C 1C ( ) A B C A B C 2 2 2 2 a (a; b; c) H cos n ( A; B; C ) x x0 y y0 hi D Gúc gia ng thng v mt phng: Cho ng thng () : z z0 Ta A2 B C a b c a' b y y0 b' a1 (a; b; c) s/ z z0 up y y0 c z z0 ro a x x0 c om /g (2 ) : x x0 0 90 iL ie u Aa Bb Cc 3.Gúc gia hai ng thng : Cho hai ng thng : (1 ) : O nT a b c a v| mt phng ( ) : Ax By Cz D Gi l| gúc gia hai mt phng () & ( ) ta cú cụng thc: sin c' a ( a ' ; b' ; c ' ) 0 90 ce bo ok Gi l| gúc gia hai mt phng (1 ) & (2 ) ta cú cụng thc: cos aa ' bb ' cc ' a b c a '2 b '2 c '2 IV Khong cỏch: Khong cỏch t m t im n m t mt phng: Khong c{ch t im M n mt phng ( ) c tớnh bi : M ( x0 ; y ; z ) w w w fa Cho mt phng ( ) : Ax By Cz D v| im M (x ; y0 ; z ) d(M ; ) a H Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674 oc b Ax By0 Cz D A2 B C Page | 74 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khong cỏch t m t im n m t ng thng: Cho ng thng () i qua im M (x ; y0 ; z ) v| cú TCP u (a;b;c) Khi ú khong c{ch t im M1 n () c tớnh bi cụng thc: M1 u ( ) d(M 1, ) M M ; u u M ( x0 ; y ; z ) H Khong cỏch gia hai ng thng chộo nhau: oc nh l : Trong Kg Oxyz cho hai ng thng chộo : H (1 ) co VTCP u (a;b; c) va qua M0 (x ; y ; z ) (2 ) co VTCP u ' (a ' ;b ' ; c ' ) va qua M0' (x 0' ; y 0' ; z 0' ) O nT hi D u, u ' M M ' 0 Khi ú khong c{ch gia (1 ) va ( ) c tớnh bi cụng thc d (1, ) u; u ' u M u' ' iL ie u M0 Ta C[C DNG THNG GP VN 1: L p phng trỡnh ng thng up s/ lp phng trỡnh ng th ng d ta cn xỏc nh mt im thuc d v mt VTCP ca nú Dng 1: d i qua im M (x ; y0 ; z ) v| cú TCP a (a1;a2 ;a3 ) : c om /g ro x x a t o (d ) : y yo a2t z z a t o ( t R) Dng 2: d i qua hai im A, B : Mt VTCP ca d l AB Dng 3: d i qua im M (x ; y0 ; z ) v| song song vi ng thng cho trc: Vỡ d / / ce bo ok nờn VTCP ca cng l VTCP ca d cho trc: Vỡ d P Dng 4: d i qua im M (x ; y0 ; z ) v| vuụng gúc vi mt phng P nờn VTPT ca P cng l VTCP ca d Q : fa Dng 5: d l| giao tuyn ca hai mt phng P , w w w Cỏch 1: Tỡm mt im v mt VTCP (P ) (vi vic chn giỏ (Q ) Tỡm to mt im A d : bng cỏch gii h phng trỡnh tr cho mt n) Tỡm mt VTCP ca d : a nP , nQ Cỏch 2: Tỡm hai im A, B thuc d , ri vit phng trỡnh ng th ng i qua hai im ú Dng 6: d i qua im M (x ; y0 ; z ) v| vuụng gúc vi hai ng thng d1, d2 : Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674 Page | 75 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Vỡ d d1, d d2 nờn mt VTCP ca d l: a ad , ad Dng 7: d i qua im M (x ; y0 ; z ) , vuụng gúc v| ct ng thng H M 0H u Khi ú ng th ng d l ng th ng i qua M 0, H Cỏch 1: Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca M trờn ng th ng oc P Q Khi ú d H Cỏch 2: Gi P l mt ph ng i qua A v vuụng gúc vi d ; Q l mt ph ng i qua A v cha d Dng 8: d i qua im M (x ; y0 ; z ) v| ct hai ng thng d1, d2 : T ú suy phng trỡnh ng th ng d hi D Cỏch 1: Gi M1 d1, M2 d2 T iu kin M , M1, M th ng hng ta tỡm c M1, M Dng 9: d nm mt phng P v| ct c hai ng thng d1, d2 : Tỡm cỏc giao im iL ie u ca d cú th chn l a nP , nQ O nT Cỏch 2: Gi P (M 0, d1 ) , Q (M 0, d2 ) Khi ú d P Q Do ú, mt VTCP A d1 P , B d2 P Khi úd chớnh l ng th ng AB Khi ú up d P Q cha v d1, mt ph ng Q cha v d2 s/ Vit phng trỡnh mt ph ng P Ta Dng 10: d song song vi v| ct c hai ng thng d1, d2 : ro Dng 11: d l| ng vuụng gúc chung ca hai ng thng d1, d2 chộo nhau: ce bo ok c om /g MN d1 Cỏch 1: Gi M1 d1, M2 d2 T iu kin , ta tỡm c M , N Khi ú, d l MN d2 ng th ng MN Cỏch 2: Vỡ d d1 v d d2 nờn mt VTCP ca d cú th l: a ad , ad Lp phng trỡnh mt ph ng P cha d v d1, bng cỏch: + Ly mt im A trờn d1 + Mt VTPT ca P cú th l: nP a , ad w w w fa Tng t lp phng trỡnh mt ph ng Q cha d v d2 Khi ú d P Q Dng 12: d l| hỡnh chiu ca ng thng l n mt phng P : Lp phng trỡnh mt ph ng Q cha v vuụng gúc vi mt ph ng P bng cỏch: Ly M Vỡ Q cha v vuụng gúc vi P nờn nQ a , nP Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674 Page | 76 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khi ú d P Q Dng 13: d i qua im M, vuụng gúc vi d1 v| ct d2 : Cỏch 1: Gi N l giao im ca d v d2 T iu kin MN d1, ta tỡm c N Khi ú, d l ng th ng MN Cỏch 2: Vit phng trỡnh mt ph ng Q cha M Khi ú d P Q Vit phng trỡnh mt ph ng P qua M v vuụng gúc vi d1 H oc v d2 hi D VN 2: V tr tng i gia hai ng thng iL ie u O nT xột VTT gia hai ng th ng, ta cú th s dng mt cỏc phng phỏp sau: Phng phỏp hỡnh hc: Da vo mi quan h gia cỏc VTCP v cỏc im thuc cỏc ng th ng Phng phỏp i s: Da vo s nghim ca h phng trỡnh cỏc ng th ng VN 3: V tr tng i gia ng thng v mt phng s/ Ta xột VTT gia ng th ng v mt ph ng, ta cú th s dng mt cỏc phng phỏp sau: Phng phỏp hỡnh hc: Da vo mi quan h gia VTCP ca ng th ng v VTPT ca mt ph ng Phng phỏp i s: Da vo s nghim ca h phng trỡnh ng th ng v mt ph ng up VN 4: V tr tng i gia ng thng v mt cu c om /g ro xột VTT gia ng th ng v mt cu ta cú th s dng cỏc phng phỏp sau: Phng phỏp hỡnh hc: Da vo khong cỏch t tõm mt cu n ng th ng v bỏn kớnh Phng phỏp i s: Da vo s nghim ca h phng trỡnh ng th ng v mt cu VN 5: Khong cỏch Khong cỏch t i m M n ng thng d Cỏch 1: Cho ng th ng d i qua M v cú VTCP a ce bo ok .fa M M , a d(M , d ) a Cỏch 2: Tỡm hỡnh chiu vuụng gúc H ca M trờn ng th ng d w Cỏch 3: d M , d MH Gi N x ; y; z d Tớnh MN theo t (t tham s phng trỡnh ng w th ng d) Tỡm t MN nh nht w Khi ú N H Do ú d M , d MH Khong cỏch gia hai ng thng chộo Cho hai ng th ng chộo d1 v d2 Bit d1 i qua im M1 v cú VTCP a1 , d2 i qua im M Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674 Page | 77 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 d(d1, d2 ) v cú VTCP a a1, a2 M1M a1, a2 Chỳ ý: Khong cỏch gia hai ng th ng chộo d1, d2 bng khong cỏch gia d1 vi mt ph ng v song song vi d1 oc Khong cỏch gia hai ng thng song song Khong cỏch gia hai ng th ng song song bng khong cỏch t mt im thuc ng th ng ny n ng th ng Khong cỏch gia mt ng thng v mt mt phng song song song song vi nú bng khong cỏch t mt H Khong cỏch gia ng th ng d vi mt ph ng hi D im M bt kỡ trờn d n mt ph ng VN 6: Gúc G c gia hai ng thng Cho hai ng th ng d1, d2 ln lt cú cỏc VTCP a1, a2 O nT a1 a2 G c gia mt ng thng v mt mt phng Ta a1.a2 iL ie u Gúc gia d1, d2 bng hoc bự vi gúc gia a1, a2 cos a1, a2 Cho ng th ng d cú VTCP a (a1;a2 ;a3 ) v mt ph ng cú VTPT n (A; B;C ) Gúc gia up s/ ng th ng d v mt ph ng bng gúc gia ng th ng d vi hỡnh chiu d ' ca nú trờn Aa1 Ba2 Ca ro sin d,( ) c om /g A2 B C a12 a22 a 32 MT CU I Phng trỡnh mt cu: Phng trỡnh ch nh tc: ce bo ok S t}m I a;b;c , b{n kớnh R (z c) R Phng trỡnh ca mt cu l|: (S ) : (x a )2 (y b)2 2 Phng trỡnh c gi l| phng trỡnh chớnh tc ca mt cu fa 2 2 c bit: Khi I O thỡ (C ) : x y z R Phng trỡnh tng quỏt: w w w 2 Phng trỡnh : x y z 2ax 2by 2cz d vi a b2 c d l| phng trỡnh ca mt cu S cú t}m I a;b; c , b{n kớnh R a b c d 2 II Giao ca mt cu v mt phng: Cho mt phng ( ) v| mt cu S cú phng trỡnh : ( ) : Ax By Cz D (S ) : (x a )2 (y b )2 (z c )2 R2 Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674 cha d Page | 78 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Gi d(I ; ) l| khong c{ch t t}m mt cu S n mt phng Cho mt cu S I ; R v| mt phng P Gi H l| hỡnh chiu vuụng gúc ca I l n P d IH d I , P dR dR dR Mt phng tip xỳc mt cu P l| mt phng tip din t}m I v| b{n kớnh H: tip im Dng 2: S cú t}m I a;b;c v| i qua im A : iL ie u O nT hi D r R2 IH s/ Ta Dng 1: S cú t}m I a;b;c v| b{n kớnh R : S : (x a )2 (y b)2 (z c)2 R2 Phng phỏp: Khi ú b{n kớnh R IA up Dng 3: S nhn on thng AB cho trc l|m ng kớnh: ro Phng phỏp: T}m I l| trung im ca on thng xA xB c om /g AB : x I ; yI y A yB ; zI zA zB AB Dng 4: S i qua bn im A, B,C , D ( mt cu ngoi tip t din) B{n kớnh R IA ce bo ok Phng phỏp: Gi s S cú dng: x y z 2ax 2by 2cz d * Thay ln lt to ca c{c im A, B,C , D v|o * , ta c phng trỡnh Gii h phng trỡnh ú, ta tỡm c a,b, c, d Phng trỡnh mt cu S fa w Dng 5: S i qua ba im A, B,C v| cú t}m I nm tr n mt phng P cho trc: w w Phng phỏp: Gii tng t nh dng Dng 6: S cú t}m I v| tip xỳc vi mt cu T cho trc: Phng phỏp: {c nh t}m I v| b{n kớnh R ' ca mt cu T S dng iu kin tip xỳc ca hai mt cu tớnh b{n kớnh R ca mt cu S ( ột hai trng hp tip xỳc v| ngo|i) Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674 Page | 79 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 oc cú im chung thit din l| ng trũn cú ca mt cu v| H Mt cu v| mt phng khụng Mt phng ct mt cu theo www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Chỳ : i phng trỡnh mt cu S : x y z 2ax 2by 2cz d Cho hai mt cu S I , R v| S I , R I I R R S , S I I R R S , S ngo|i I I R R S , S tip xỳc I I R R S , S tip xỳc ngo|i R R I I R R S , S ct theo mt ng trũn Dng 7: it phng trỡnh mt cu S cú t}m I a;b;c , tip xỳc vi mt phng P cho trc Phng phỏp: B{n kớnh mt cu R d I ; P Dng 8: it phng trỡnh mt cu S cú t}m I a;b;c , ct mt phng P cho trc theo vi a b2 c d thỡ S cú t}m I a; b; c v| b{n kớnh R a b c d 1 2 2 2 2 2 1 1 2 O nT hi D Ta iL ie u giao tuyn l| mt ng trũn tho iu kin a ng trũn cú din tớch cho trc b ng trũn cú chu vi cho trc c ng trũn cú b{n kớnh cho trc Phng phỏp: T cụng thc din tớch ng trũn S r hoc chu vi ng trũn P r ta tỡm c b{n kớnh ng trũn giao tuyn r Tớnh d d I , P Tớnh b{n kớnh mt cu R d r Kt lun phng trỡnh mt cu c om /g ro up s/ cú t}m I a;b;c , ct mt phng P it phng trỡnh mt cu S Dng 8: cho trc theo giao tuyn l| mt ng trũn tho iu kin Phng phỏp: Ta cú b{n kớnh mt cu R d I ; P Kt lun phng trỡnh mt cu ce bo ok Dng 10: tip xỳc vi mt ng thng cho trc v| cú t}m it phng trỡnh mt cu S fa I a;b;c cho trc Phng phỏp it phng trỡnh mt cu S tip xỳc vi mt ng thng thuc v| cú t}m I thuc ng thng d cho trc w w ng thng tip xỳc vi mt cu S ta cú R d I, w Dng 11: M xo , yo , zo Phng phỏp ti tip im it phng trỡnh mt phng P i qua im M v| vuụng gúc vi ng thng To t}m I P l| nghim ca phng trỡnh Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674 2 2 oc H Page | 80 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Kt lun v phng trỡnh mt cu S Dng 12: it phng trỡnh mt cu S cú t}m I a;b;c v| ct ng thng B{n kớnh mt cu R IM d I, ti hai im oc A, B tho iu kin: a d|i AB l| mt hng s b Tam gi{c IAB l| tam gi{c vuụng c Tam gi{c IAB l| tam gi{c u {c nh d I , IH , vỡ IAB c}n ti I n n HB AB a B{n kớnh mt cu R iL ie u O nT hi D IH HB IH b B{n kớnh mt cu R sin 45o IH c B{n kớnh mt cu R sin 60o MT S DNG GII NHANH CC TR KHễNG GIAN H Phng phỏp Cho P v hai im A, B Tỡm M P MA MB + Nu A v B trỏi phớa so vi P ? M , A, B thợng hng M AB P Tỡm B ' l i xng cỷa B qua P up s/ Ta + Nu A v B cựng phớa so vi P M , A, B ' thợng hng M AB ' P c om /g ce bo ok Tỡm M P MA MB Cho im M x M ; yM ; z M + Nu A v B cựng phớa so vi P ro Cho P v hai im A, B max ? Tỡm B ' l i xng cỷa B qua P + Nu A v B trỏi phớa so vi P MA MB ' AB ' kh ng thuc P : 3xx cỏc trýc v mt phợng ta Vit fa phỵng trỡnh P qua M v cớt tia M y z 3yM 3z M Ox,Oy,Oz lổn lỵt tọi A, B,C cho w w w VO ABC nhú nhỗt? Vit phỵng trỡnh mt phợng P cha ỵng thợng d , cho khoõng cỏch t Qua A d P : n P u d , AM , u d im M d n P l ln nhỗt? Qua A P : n P AM Vit phỵng trỡnh mt phợng P qua A v cỏch M mt khõng ln nhỗt Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674 M , A, B thợng hng M AB P Page | 81 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Vit phỵng trỡnh mt phợng P cha Qua A d P : n P u d , u u d ỵng thợng d , cho P tọo vi ( kh ng song song vi d ) mt gũc ln nhỗt l ln nhỗt ? Lỗy A gi A l hỡnh chiu vu ng gũc cỷa ỵng thợng d song song vi v cỏch mt khoõng nhú nhỗt ? A trờn P mt phợng P cho trỵc cho hi D khoõng cỏch t im M cho trỵc n d l ln nhỗt ( AM khụng vuụng gúc O nT vi P ) ? Vit phỵng trỡnh ỵng thợng d i qua im A cho trỵc v nỡm Qua A d d: u d n P , AM , n P iL ie u mt phợng P cho trỵc cho khoõng cỏch t im M cho trỵc n d l nhú nhỗt ( AM khụng vuụng gúc trỵc , cho d nỡm tọo vi ỵng ro up qua im A P Qua A d d: u d n P , AM , n P s/ Vit phỵng trỡnh ỵng thợng d i Ta vi P ) ? cho P v thợng mt gũc nhú nhỗt vi cớt c om /g oc Vit phỵng trỡnh ỵng thợng d i qua im A cho trỵc v nỡm Qua A d: u d u Qua A d d: u d n P , AM H Cho / / P Vit phỵng trỡnh w w w fa ce bo ok nhỵng kh ng vu ng gũc vi P ? Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674 Page | 82 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ... u.e a u.a ln a ln u uu log x x ln1 a u log u u.ln a u x u u x a u u x a Cụng thc tớnh nhanh o hm hm phõn thc: a b a c x d f ax bx c d e dx ex f dx ex f e f iL ie u... www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 MT S CễNG THC GII NHANH y A O Cụng thc tha ab H D kin Tam gi{c ABC vuụng c}n ti A b 8a b 24a 32a (S )2 b hi D... ce bo ok h M ;d c om /g Cho im M x ; y0 w i up ro w C Bi toỏn tỡm im c bit, hoõng cỏch Lý thuyt: + Cho hai im A x1; y1 ; B x ; y2 l hai im tr n I d (1) (vi I l trung im cỷa MN v u d
- Xem thêm -

Xem thêm: TÓM tắt lý THUYẾT và CÔNG THỨC GIẢI NHANH TOÁN 12, NGUYỄN CHIẾN, NGUYỄN HỒNG QUÂN, TÓM tắt lý THUYẾT và CÔNG THỨC GIẢI NHANH TOÁN 12, NGUYỄN CHIẾN, NGUYỄN HỒNG QUÂN, TÓM tắt lý THUYẾT và CÔNG THỨC GIẢI NHANH TOÁN 12, NGUYỄN CHIẾN, NGUYỄN HỒNG QUÂN

Từ khóa liên quan