tóm tắt lý thuyết và công thức giải toán 12 ôn thi tốt nghiệp

tóm tắt lý thuyết và công thức giải toán 12 ôn thi tốt nghiệp

TĨM TẮT KIẾN THỨC VÀ CƠNG THỨC GIẢI NHANH TỐN 12 SƯU TẤM & BIÊN SOẠN: NH PA Good luck to you MỤC LỤC Trang CHƯƠNG I: HÀM SỐ CHƯƠNG II: MŨ – LOG 21 CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN 27 CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC 45 CHƯƠNG V: KHỐI ĐA DIỆN 47 CHƯƠNG VI: HÌNH KG TỌA ĐỘ OXYZ 78 CHƯƠNG VII: GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH 101 BỔ SUNG: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 111 TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ GIÂI NHANH TỐN 12 Nguyễn Chiến - Nguyễn Hồng Qn PHỈN HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Đðnh nghïa x1, x  K , x  x ( K khoâng đoạn nửa khoâng)      f x   f x   y  f x  nghðch biến K đồ thð xuống tÿ trái sang phâi Chú ý: + N u f  x   0, x  a;b   hàm s f  x  đ ng bi n tr n khoâng a;b  + N u f   x   0, x   a; b   hàm s f  x  nghðch bi n khoâng a;b  + N u f  x   0, x  a;b   hàm s f  x  h ng đ i khoâng a;b  + N u f  x  đ ng bi n khoâng a;b   f  x   0, x  a;b  + Nếu f  x  nghðch bi n khoâng a;b   f  x   0, x  a;b  f x1  f x  y  f x đồng biến K đồ thð lên tÿ trái sang phâi 2 Quy tắc cơng thức tính đäo hàm   Quy tắc tính đạo hàm: Cho u  u x ; v  v x ; C : hìng số   u  v   Tích: u.v   u .v  v .u  C u   C u   Tổng, hiệu: u  v  u  u .v  v .u  C  C u   , v        v2 u2 v  u  Đạo hàm hàm hợp: Nếu y  f u , u  u x  yx  yu ux  Thương:      Bâng cơng thức tính đäo hàm: ọo hm ca hm s cỗp C (C hìng số) x   .x  x   .x   1 u   u   1       (x  0) x x   x  x 0 x   Đäo hàm hàm hợp   1 u   u    u  u u   u u  u0 u        sin x   cos x  sin u   u.cos u  cos x    sin x  cos u   u.sin u Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page |    tan x   cos1 x  tan u   cosu  cot x    sin1 x  cot u    sin e  e a   a ln a  ln x   x1 e   u.e a   u.a ln a  ln u   uu  log x   x ln1 a u  log u   u.ln a 2 x u x x a u u u u u x u a Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức: a    b  ax  b  ad  bc ;     cx  d  cx  d   x2  a    c x d    f  ax  bx  c  d    e     dx  ex  f  dx  ex  f   b    c e    f Đạo hàm cấp :  + Đðnh nghïa: f   x    f   x    + Ý nghïa học: Gia tốc tĀc thąi cûa chuyển động s  f t täi thąi điểm t là:     a t0  f  t0 * Một số ý:      Nếu hàm số f x g x đồng biến (nghðch biến) tr n K hàm số   f x g x cüng đồng biến (nghðch bin) tr n K Tớnh chỗt ny cũ th kh ng đối vĆi hiệu   f x g x       K hàm số f x  g x  cüng đồng bin (nghch bin) tr n K Tớnh chỗt ny cũ thể kh ng hàm số f x  , g x  kh ng hàm s dỵng trờn K Cho hm s u u  x  , xác đðnh vĆi x  a;b  u x   c;d  Hàm số f u  x   cüng xác đðnh vĆi x  a;b  Nếu hàm số f x v g x l cỏc hm s dỵng v đồng biến (nghðch biến) tr n Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Giâ sā hàm số f cò đäo hàm K    hàm số f đồng biến K    Nếu f ' x  vĆi x  K f ' x  chỵ täi số hĂu hän điểm x  K    Nếu f ' x  vĆi x  K f ' x  chỵ täi số hĂu hän điểm x  K hàm số f nghðch biến K Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | Chú ý: * Đối vĆi hàm phân thĀc hĂu tỵ y  ax  b d x thỡ dỗu " " xột dỗu ọo cx d  c hàm y  không xây   Giâ sā y  f x  ax  bx  cx  d  f  x  3ax  2bx  c Hàm số đồng biến    f  x  0; x  Hàm số nghðch biến  a        a    b    c     f  x  0; x     a        a   b c Trỵng hợp hệ số c khác a  b  c  f x d (ỵng thợng song song hoc trựng vi trýc Ox kh ng đĄn điệu) * Với dạng tốn tìm tham số m để hàm số c a đơn điệu chiều không cị độ dài l ta giõi nh sau: Bỵc 1: Tớnh y   f  x ; m  ax bx c Bỵc 2: Hm s đĄn điệu    a  x ; x   y  có nghim phõn bit * Bỵc 3: Hàm số đĄn điệu không cị độ dài bìng l   x1  x  l  x1  x   4x1x  l  S2  4P  l * * Bỵc 4: Giõi * v giao vĆi * * để suy giá trð m cỉn tìm CỰC TRỊ HÀM SỐ Đðnh nghïa Giâ sā hàm số f xác đðnh tr n têp K x  K   + x0 điểm cực tiểu cûa hàm số f tồn täi khoâng a; b chĀa x cho  a; b   K f x   f x  , x  a;b  \ x Khi ũ f x ỵc gọi giá trð cực tiểu cûa hàm số f 0   + x điểm cực đäi cûa hàm số f tồn täi khoâng a;b chĀa x cho  a; b   K f x   f x  , x  a;b  \ x  0   Khi đò f x ỵc gi l giỏ tr cc ọi cỷa hm s f + Điểm căc đäi điểm căc tiểu gọi chung điểm cực trð + Giá trð căc đäi giá trð căc tiểu gọi chung cực tr + im cc ọi v im cc tiu ỵc gọi chung điểm cực trð hàm số điểm căc trð phâi điểm têp hợp K Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | + Giá trð căc đäi giá trð căc tiểu ỵc gi chung l giỏ tr cc tr (hay cc trð) hàm số   + Nếu x0 điểm căc trð cûa hàm số điểm x ; f (x ) ỵc gi l im cc trð đồ thð hàm số f Điều kiện cæn để hàm số đät cực trð   cị đäo hàm   Đðnh lí 1: Giâ sā hàm số y  f x đät căc trð täi điểm x Khi đò, y  f x   täi điểm x f  x  Chú ý:    Đäo hàm f  x bìng täi điểm x0 nhỵng hm s f kh ng ọt cc tr täi điểm x0 Hàm số đät căc trð täi điểm mà täi đò hàm số kh ng cị đäo hàm Hàm số chỵ đät căc trð täi điểm mà täi đò đäo hàm cûa hàm số bìng hc täi đị hàm số kh ng cò đäo hàm Điều iện đủ để hàm số đät cực trð Đðnh lí 2: Giâ sā hàm số f đät căc trð täi điểm x Khi đò, hàm số f cò đäo hàm täi     f  x   khoâng x ; x  h  thỡ x l m t i m cỵc cỷa hàm s f x   N u f   x   khoâng x  h; x  f   x   khoâng  x ; x  h  thỡ x l m t i m cỵc ti u cûa hàm s f  x      điểm x f ' x0  N u f  x  tr n khoâng x  h; x 0 0 0 0 Quy tắc tìm cực trð Quy tắc 1:   i  1;2;   Bước 1: Tìm têp xác đðnh Tìm f  x  Bước 2: Tìm điểm x i mà täi đò đạo hàm hàm số hc hàm số liên tục khơng cị đạo hàm      đổi dấu Bước 3: Lờp bõng bin thiờn hoc bõng xột dỗu f  x Nếu f  x qua x i hàm số đät căc trð täi x i   Nếu f   x   0, f   x   hàm số Nếu f   x   0, f   x   hàm số   Đðnh lí 3: Giâ sā y  f x có đäo hàm cå p khoâng x  h; x  h vĆi h    0 f đät căc đäi täi x 0 f đät căc tiểu täi x Từ đðnh lí trên, ta cị quy tắc khác để tìm cực trð hàm số Quy tắc 2:    Bước 1: Tìm têp xác đðnh Tìm f  x  Bước 2: Tìm nghim x i i 1;2; cỷa phỵng trỡnh f  x   Bước 3: Tính f  x tính f  x i        Nếu f   x   hàm số f Nếu f   x   hàm số f   i đät căc đäi täi điểm x i i đät căc tiểu täi điểm xi Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | MỘT SỐ DÄNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ I CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước   ài to n t ng quat: Cho hàm số y  f x ; m  ax  bx  cx  d Tìm tham số m để hàm số có căc đäi, căc tiểu täi x 1, x thúa iu kin K cho trỵc Phng ph p:  ước 1:  Têp xác đðnh: D  2  Đäo hàm: y   3ax  2bx  c  Ax  Bx  C ước 2: Hàm số có căc trð (hay có hai căc trð, hai căc trð phân biệt hay có căc đäi căc tiểu)  y   có hai nghim phõn bit v y i dỗu qua nghim ũ phỵng trỡnh y có hai nghiệm phân biệt   A  3a  a     m  D1  y   B  4AC  4b  12ac  b  3ac       ước 3: Gọi x 1, x l hai nghim cỷa phỵng trỡnh y    B 2b  x  x   A   3a Khi đò:  C c x x     A 3a ước 4: Bi n đ i u ki n K v da ng t ng S ti ch P Tÿ giâi tỡm ỵc m D2 c 5: K t luån giá trð m thóa mãn: m  D1  D2   * Chú ý: Hàm số bêc ba: y  ax  bx  cx  d a  Ta có: y '  3ax  2bx  c Điều kiện Kết luận Hàm số kh ng cò căc trð Hàm số cò hai điểm căc trð b  3ac  b  3ac  Điều kiện để hàm số có cực trð dấu, trái dấu  Hàm số có cực trð trái dấu phỵng trỡnh y cú hai nghim phõn bit trỏi dỗu ac Hàm số có hai cực trð dấu  y phỵng trỡnh y cú hai nghim phõn bit cựng dỗu C 0 P  x 1.x   A  Hàm số có hai cực trð dấu dương y B phỵng trỡnh y cú hai nghim dỵng phồn biệt  S  x  x    A  C P  x x  0  A Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page |  Hàm số có hai cực trð dấu âm   y '  B phỵng trỡnh y có hai nghiệm âm phân biệt  S  x  x    A  C P  x x  0  A  Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trð x 1, x thỏa mãn: x1    x x1  x     x1  x  Hai căc trð x 1, x thóa mãn x1    x       x1   x     x1.x   x1  x      Hai căc trð x 1, x thóa mãn x1  x             x   x2    x x   x1  x      x  x  2 x  x  2     Hai căc trð x 1, x thóa mãn   x1  x       x   x2    x x   x1  x      x  x  2 x  x  Phỵng trỡnh bờc cú nghim lờp thnh cỗp s cng có nghiệm x  b d , cú nghim lờp thnh cỗp s nhõn cú nghiệm x   3a a Tìm điều kiện để đồ thð hàm số có c c điểm cực đại, cực tiểu nằm phía, khác phía so với đường thẳng i tri tương đ i giưa điêm vơi đương th ng:  v ỵng thởng : ax by  c   c ax  by  c   thi hai điểm A, B nëm v Cho m A x A; yA , B x B ; yB  N u ax A byA B B hai phớa so vi ỵng thëng     N u ax A  byA  c ax B  byB  c  thi hai điểm A, B nëm cu ng phía so vi ỵng thợng Mt s trng hp c biêt: + Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm phía trục Oy  hm s cú cc tr cựng dỗu phỵng trình y   có hai nghiệm phân biệt cựng dỗu + Cỏc im cc tr cỷa th nìm phía trục Oy  hm s cú cc tr trỏi dỗu phỵng trỡnh y cú hai nghim trỏi dỗu + Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm v phớa i vi trc Ox phỵng trỡnh y   có hai nghiệm phân biệt yC Đ yCT  Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | Đặc biệt: + Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm phía đối vi trc Ox y y phỵng trỡnh y   có hai nghiệm phân biệt  C Đ CT yC Đ  yCT  Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm phía trục Ox y y  phỵng trỡnh y cú hai nghiệm phân biệt  C Đ CT yC Đ  yCT  + Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm phía trục Ox phỵng trỡnh y cú hai nghim phân biệt yC Đ yCT  (áp dung không nh m đươc nghiêm viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trð đồ thð hàm số) Hoðc: Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm phía trục Ox  đồ thð cít trýc Ox täi điểm phân bit phỵng tri nh honh giao m f x  co nghi m phân bi t (áp dung nh m nghiêm) Phương trình đường thẳng qua c c điểm cực trð  2c 2b  y.y y .y  bc g  x   9ay  g x  y  g x   x  d  3y  9a  9a 3     Khoâng cách hai điểm cực trð đồ thð hàm số ậc AB  b  3ac 4e  16e vĆi e  a 9a II CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC TRÙNG PHƯƠNG y  ax  bx  c a  0 MỘT SỐ KẾT Q CỈN NHỚ  Hàm số có căc trð  ab   Hàm số có ba căc trð  ab  a  b  a   Hàm số cò căc trð căc trð căc đäi   b  a   Hàm số có hai căc tiểu căc đäi   b  a   Hàm số có căc tiểu hai căc đäi   b   Hàm số cò căc trð căc trð căc tiểu    Giâ sā hàm số y  ax  bx  c có căc trð: A(0;c), B      täo thành tam giác ABC thóa mãn dĂ kiện: ab  Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | b   b  ;   ,C   ;   2a 4a   2a 4a  MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH y Tổng quát:  b cot  8a A O x B C Công thức thỏa mãn ab  Dữ kiện Tam gi{c ABC vuông c}n A b  8a b  24a 32a (S )2  b  Tam gi{c ABC Tam gi{c ABC có diện tích S ABC  S Tam gi{c ABC có diện tích max (S ) S0   Tam gi{c ABC có b{n kính đường trịn nội tiếp rABC  r0 Tam gi{c ABC có b{n kính đường tròn ngoại tiếp r  b5 32a b2  b3   a 1    8a    b  8a RABC  R R Tam gi{c ABC có độ d|i cạnh BC  m0 am02  2b  Tam gi{c ABC có độ d|i AB  AC  n0 16a 2n02  b  8ab  Tam gi{c ABC có cực trị B,C  Ox Tam gi{c ABC có góc nhọn b  4ac b(8a  b )  Tam gi{c ABC có trọng t}m O Tam gi{c ABC có trực t}m O b  6ac b  8a  4ac  b  2ac b  8a  4abc  b  8a  8abc  b k  8a(k  4)  Tam gi{c ABC điểm O tạo th|nh hình thoi Tam gi{c ABC có O l| t}m đường trịn nội tiếp Tam gi{c ABC có O l| t}m đường trịn ngoại tiếp Tam gi{c ABC có cạnh BC  kAB  kAC Trục ho|nh chia tam gi{c ABC th|nh hai phần có diện tích b  ac Tam giác ABC cò điểm căc trð cách trýc hoành b  8ac   Đồ thð hàm số C : y  ax  bx  c cít trýc Ox täi im phồn bit lờp thnh cỗp s cng nh tham số để hình phỵng giĆi hän bći đồ thð C  : y  ax 8ab  bx  c trýc hồnh cị diện tích phỉn tr n v phổn dỵi bỡng b2 100 ac b2  36 ac 2   2     c y  c   0  b 4a   b 4a  2 Phỵng trỡnh ỵng trủn ngoọi tip ABC : x  y   Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | ng y  f  x  y  g  x  là: S    f ( x )  g( x ) dx  Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool Trong ó  ,  nghi%m nh3 nh"t l#n nh"t c+a ph ng trình f  x   g  x   a      b Phng pháp gii: B c Gi!i ph ng trình f  x   g  x   Gi! s* ta tìm c  ,  nghim nh( nht l"n nht ca ph ng trình  a      b  B c Lp b!ng xét du hàm s : f  x   g  x  o n  ;     B c D&a vào b!ng xét du tính tích phân: f ( x )  g( x ) dx  D0ng 3: Cho hai hàm s x  f  y  x  g  y  liên t(c  a; b  Khi ó di%n tích c+a hình ph/ng (H) gi#i hn b2i  th hai hàm s x  f  y  x  g  y  hai  ng th/ng y  a y  b là: b S   f ( y )  g( y ) dy y a (C ) : x  g ( y ) yb b (H ) ya a x O (C1 ) : x  f ( y ) Phng pháp gii: B c Lp b!ng xét du hàm s f  y   g  y  o n  a; b  b B c D&a vào b!ng xét du tính tích phân  f ( y )  g( y ) dy a D0ng 4: Cho hai hàm s x  f  y  x  g  y  liên t(c  a; b  Di%n tích hình ph/ng gi#i hn b2i  ng x  f  y  x  g  y  là: S    g1(y)  g2 (y) dy  Trong ó  ,  nghi%m nh3 nh"t l#n nh"t c+a ph ng trình f  y   g  y   a      b Phng pháp gii: B c Gi!i ph ng trình f  y   g  y   Gi! s* ta tìm c  ,  nghim nh( nht l"n nht ca ph ng trình  a      b  B c Lp b!ng xét du hàm s : f  y   g  y  o n  ;    B c D&a vào b!ng xét du tính tích phân:  f ( y )  g( y ) dy  Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool D0ng 5: tính din tích giAi h0n hàm s" trW lên ph+ng pháp chung vX ? th& r?i d@a vào ? th& Y tính Cách tính gi i hn ca hàm s: Cho hàm s y  f  x  , y  g  x  y  h  x  liên t(c  a; b  Khi ó di%n tích c+a hình ph/ng (H) gi#i hn b2i  th hàm s y  f  x  , y  g  x  y  h  x  là: S V#i: x2 x3 x1 x2  f  x   g  x  dx   h  x   g  x  dx + x1 nghi%m ph ng trình: f  x   g  x  + x2 nghi%m ph ng trình: f  x   h  x  + x nghi%m ph ng trình: h  x   g  x  Trong ó: a  x1  x2  x3  b Tóm l0i gi/i tốn ta th+=ng g;p d0ng sau:  y  f (x) b  Din ;ch S ca mi n gi i hn:  y   S   f ( x ) dx  x  a; x  b a   y  f (x) b  Din ;ch S ca mi n gi i hn:  y  g( x )  S   f ( x )  g( x ) dx  x  a; x  b a   x  f ( y) b  Din ;ch S ca mi n gi i hn:  x  g( y)  S   f ( y )  g( y ) dy  y  a; y  b a  Chú ý: ! tính di%n tích S ta phi tính tích phân (1) , mun v*y ta phi “phá” d"u giá tr tuy%t i   b b a a b b a a Nu f ( x)  , x  a ; b S   f ( x ) dx   f ( x )dx Nu f ( x)  , x  a ; b S   f ( x ) dx     f ( x )  dx  Mun “phá” d"u giá tr tuy%t i ta phi xét d"u c+a bi!u thc f(x) Th ng có hai cách làm nh sau : -Cách 1: Dùng nh lí “d"u c+a nh thc b*t nh"t” , nh lí “d"u c+a tam thc b*c hai” ! xét d"u bi!u thc f(x) ; ôi phi gii b"t ph ng trình f(x) , f(x) on a ; b -Cách 2: D&a vào  th ca hàm s y =f(x) o n a ; b ! suy d"u c+a f(x) on ó Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page ... 78 CHƯƠNG VII: GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH 101 BỔ SUNG: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 111 TĨM TẮT LÝ THUYẾT VÀ GIÂI NHANH TỐN 12 Nguyễn Chiến - Nguyễn...  ,C   ;   2a 4a   2a 4a  MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH y Tổng quát:  b cot  8a A O x B C Công thức thỏa mãn ab  Dữ kiện Tam gi{c ABC vuông c}n A b  8a b  24a 32a (S )2  b  Tam... Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com II.MUÕ - LOGARIT nh ngha công thc lu( th*a vàm+ a) L+y th*a C s" a S" mE  LuG thIa a Tr ng PTLC Vinschool   n  N* aR a  an  a.a a (n tha