Full ly thuyet va cong thuc giai toan 12 cua thay hoang hai

Trang 1

I CONG THUC TINH NHANH THUONG GAP CUA THE TICH KHOI CHOP|

Tinh chat Hinh vé Vidu

Cho hình chóp đều Chohinh chop déu s.4øC có cạnh đáy bằng

SABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a3 Thể tích khối chóp là: a, cạnh bên bằng b Khí đó: a3 B a®°J2 6 `6 a’ 2 D a’ V3 3 4 ự sẻ |3(aV3) ~a _ 22 _.íy $.ABC — 12 A Cho hình chóp đều SABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mat day bang a 3 Khi do: |V =" tana 12 S.ABC

Cho hình chóp đều SABC có cạnh đáy bằng

a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bang 60° Thể tích khối chóp là: 3 3 A 4 v3 6 B 4 v2 12 3 3 c 4 v3 12 p 4 vô 12 a a3 V, asc = g5-tan 60° = —S= = |c] Cho hình chóp đều SABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng a Khi đó: |V $ ABC = an ø 3 2# t 24 n M

Cho hình chóp đều s.4BC có cạnh đáy bằng

2z, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60° Thể tích khối chóp là: a3 a3 A 3 B 5 c a3 D ave "42 ` 12 Va ane = Satan oo? = #3 — [A| Cho hình chóp đều S.ABC có bên bằng b và

góc giữa cạnh bên với

mat day bang a

Khi do:

Chohinh chop déu S.ABC có bên bằng a va

Trang 2

Thầy Hoàng Hải-0966405831 giainhanh.live.edu.vn Cho hình chop đều SABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b Khí đó: 8) x|4b° — 2a? Vasco 6

Cho hình chóp đều S.ABCD co canh đáy

bang a, cạnh bên bằng z5 Thể tích khối chóp là: 3 3 A, #42 p, 22 3 2 3 3 c, #2 4 p #3 6 2 4(aV5) -2a° a2 Vs asc = 6 = 2 = [B] Cho hình chóp đều SABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt day bang a Khí đó: V S ABCD = a’ V2 6 tana

Cho hình chóp déu s.ABCD CO canh đáy

bằng z, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

60° Thể tích khối chop la: 3/6 a3 A 4 B 6 6 c a6 D a2 3 6 V; asco = = 3? an 60° = “ » 3 vŠ _ Ta] Cho hình chóp đều SABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng a 3 Khí đó: |V, S.ABCD =" tana 6

Chohinh hop đều S.4BCD có cạnh đáy

bằng z2, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 45° Thể tích khối chớp là: a3 a3 A 3 B 6 3 3 c 4 v2 p 4 v2 3 6 nề V ascp = ( 2) A! tan 45° = 4 » =|cl Cho hình chóp đều SABCD có cạnh bên bằng ö, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng a Khí đó: 4a” tan a V, 3 3 (2+ tan? z) $ ABCD ”

Cho hình a đều S.4BCD có cạnh bên

Trang 3

Chohinh chop déu S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ở đáy của mặt bên bằng z với ae} 2-7 4'2 3 V § ABCD ” 6

Chohình chóp đều S.4BCD có cạnh đáy

bằng z, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60° Thểtích khối chóp là: Ao `6 p #93 ` 6 C a2x/2 D a2 `6 `3 a Vtan? 60° — 1 aJ2 Vs asep = 6 = 6 > Cho hình chop S.ABC có ba mặt phẳng (SAB), (SAC), (SBC) đôi một vuông góc và có diện tích lần lượt là S, ,S, ,S, Khí đó: (2s SS Vs asc = —

Cho hình chóp S.4EC có ba mat phang (SAB), (SAC), (SBC) đôi một vuông góc và

diện tích của các tam giác SAB,SBC,SCA lân lượt là 15em°?, 20cm” và 12em° Thểtích khối chóp là: A 20/2 B 20 C 8 D 22 V, SABC _ 252012 = 20/2 =[A] Cho hình chóp s.4BC có SA,SB,SC đôi một vuông góc Biết SA =a,SB =b,SC =c Khí đó: |V, , =

Cho hinh chop s.ABc co SA,SB,SC déi mét

vudng goc Biét SA=5, SB=4 Va SC=3 Thể tích khối chóp là: A 20 B 10 C 30 D 60 Khí đó: V, „ = c643 =10= Cho hình chóp S.4BC có SA,SE,SC đôi một vuông góc Biét AB=a,BC=b,CA=c V -A fe +b? —c? (a +c? —b? )(b° +e? =a° SABC 12 2

Cho hình chóp S.ABC có SA,SB,SC đôi một

Trang 4

Thầy Hoàng Hải-0966405831 giainhanh.live.edu.vn

II XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CÂU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP

1 Phương pháp chung

Bước 1: Xác định tâm cia da giac day:

- Tam giác đều: Giao của 3 đường trung tuyén

- Tam giác uuông: truns điểm của cạnh huuên

- tam giác thường: siao của 3 đường trung trực (ít gặp)

- Hình ouông, hình chữ nhật: siao điểm 2 đường chéo Bước 2: Kẻ (ả) qua tâm va vuéng géc uới đáu (trục của đáu)

Bước 3: Trong mặt phẳng chứa cạnh bên 0à trục (3) Kẻ trung trực (A) của cạnh bên, (A) cắt (4) ở I thì I là tâm

cia mat cau

2 Cac mo hinh thuong gap

Trang 5

Mô hình 5: Hình chóp đều S.ABCD +) Ưu tiên tính R = Sĩ +) Công thức: SN.SD = SISO

Mô hình 6: Hình chóp SABCD có ASAE cân,

(SAB}) 1 (.ABCD), ABCD là hình vuông (hình chữ nhật) +) Ưu tiên tính R = Sĩ +) Công thức: IS? = IŒ? +SŒ? III DIỆN TICH MAT CAU - THÊ TÍCH KHÔI CÂU 1 DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN - HÌNH VIÊN PHÂN - HÌNH QUẠT TRÒN +) Diện tích hình tròn bán kính R: S„ = xR? 2

+) Diện tích hình quạt trên: S„„ = “ — (radial)

+) Diện tích hình viên phân: 5 = eR +) Diên tích mặt cầu: S_ =4zR? +) Diện tích chỏm cầu chiều cao I¡: S_ =2zRh:=Z(zẺ +) +) Thếtích khối cầu: V,, = zR? +) Thể tích chỏm cầu: W_ = z# [A-$) = he + 3°) Ill MAT CAU NGOAI TIEP HINH HOP CHU NHAT - HINH LẬP PHƯƠNG

Trang 6

Thầy Hoàng Hải-0966405831 giainhanh.live.edu.vn - -~~~ft TỶ - ' A “ D ` : ‘| 'R b ' ` ` ' ` Se ` Ỷ -a>xr“ i - 7“ ' ' ~ ạ 4_ ` ’ 7 ' ` Ề = 4 ‡ ws : “a „ ' ‘ ~ ' ` 5s ‘ — Rem===== ‘ ' ‘ ` ' “vt? ` ' ` ' A BY, # * ebeceeeeeeeshboceeeeesessedt =» i : ' on ; c ' WS an ee # ' 4 D' +) Mặt cầu (S) tâm I ban kinh R, ndi tiép hinh lap phuong ABCD.A'B'C'D' canh a

- Tâm I la trung điểm của AC" (Hoặc lấy trung điểm của

đoạn thăng nốt tâm của 2 mặt đốt diện) - Bán kính R = h)ÍS +) Gọi (S; }.(Sa) là mặt cầu nột tiếp 0à ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A'B'C'D` cạnh a Ta có: 4 sak W=a R}, V;ạ= IV MẶT NÓN - KHÔI NÓN 1 Hình nón, khối nón: 1 na +) V =—7R°h M3 +) 5= TRÌ +) S,, = mR(R+1) 2 Hình nón cụt, khối nón cụt: +) S = m(R+r) +) S, =a (R? +r? +1(R+r)) +) Vy = s7h(R +r° +Rr) 3 Thiét dién

+) Thiết điện qua trục là tam giác ABC cân tại A va S,,.=Rh

+) Thiét dién qua dinh khéng chit truc la tam gidc cin SCD , thiệt điện cắt day theo day cung CD ta cé:

- Góc giữa thiết dién va day: (ACD,BCD) = AHO - Góc giữa trục 0à thiết điện: (AO,(ACD)) = OAH

- Khoảng cách từ tâm đáu đến thiết điện: d(O, (ACD)) =OK

Trang 7

4 Mat cau (S) tâm I bán kính R, ngoại tiếp hình nón bán kính r đường 2,.2 cao h R= h tr 2h

+) Trong các khối nón nội tiếp mặt cầu (S) tâm I, ban kính không đổi R Khối nón có thể tích lớn nhât khi h = aR = wep Khi đó V„ = =k

5 Mat cau (S ) tim I, ban kính r nột tiếp trong mat non (N ) ban kinh R, đường cao h, duong sinh 1 Ta co:

+) Dung tim I:

- Lay Ee AC sao cho OC =EC

- Qua E kẻ đường thẳng 0uông sóc uới AC bà cắt AO tại L thì L là tâm mat ciu noi tiép mat nón (N ) hR 1+R +) Ban kinh mat ciu (S$): r= V MAT TRU - KHOI TRU 1 CONG THUC CO BAN +) V,=2R*h, S, =2zrh, S, = 2xR(R+h)

+) Thiết điện 0uông sóc uới trục là đường tròn bán kinh R

+) Thiét điện chứa trục là hình chữ nhật ABCD điện tích S = 2h

+) Thiét dién song song voi trục là hình chữ nhật AEFI) có khoảng cách

giữa trục 0à thiết điện là d(OO',AEFD) =O[

x

+) Goi AB,CD Ia hai duéng kinh bat ki trén hai mat day cua hinh tru ta 6: Van = gABCD.O0'.s n (AB,CD )

Trang 8

+) A,B Tân lượt là các điểm trên các đường tròn đáu của hình trụ ta có:

a ° TT N

- Góc giữa AB oà trục OO': (AB,OO')= A'AB ` _ằ

Trang 9

VI TONG HOP CONG THUC

DIEN TICH MAT TRON XOAY - THE TICH KHOI TRON XOAY

Hình vẽ Công thức - Tính chất

Hình cầu +) Diện tích mặt cầu: 5= 4zR?

+) Thể tích khối cầu: V, = oak Chom cau +) Dién tich xung quanh: S.= 2zRh=z[rỶ +h) a h th +) Thétich: sh’| R-—|=—(h’ ) Thể zh|R 3 5 (it + Sr") +39’

Hinh non +) Diện tích đáy: S, = zR?

Trang 11

TOM TAT LY THUYET VA GIAI NHANH TOAN 12

PHAN 1 HAM SO

SU DONG BIEN NGHICH BIEN CUA HAM SO

1 Dinh nghia

V#.,z, € lC,øœ, <#, (K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng)

f(a ) < f(a ;) >y= f(a) đồng biến trên K đồ thị đi lên từ trái sang phải

f(a }> f(z,) >y= f(a )nghich biến trên K đồ thị đi xuống từ trái sang phải

Chú ý: + Nếu ƒ (z) >0 Vze (a: b) = hàm số ƒ(z ) đồng biến trên khoảng (a:b)

+ Néu f'( )

{

+ Nếu f(x ) dong bién trén khoang (a:b) => f'(z) >0 Vze (a:b)

+ Néu f(a) nghich bién trén khoang (a:b) => f'(z) <O0Vre (a:b)

2 Quy tắc và công thức tính đạo hàm

Quy tac tinh dao ham: Cho u = u(a): v= u(z): Œ : là hằng số ' Tổng, hiệu: (u + 0) =u'tv' !f Tích: (u v) =tuU+ưu =(C u) = Cu: Thương: Ge we aw TH = 2% U ư Đạo hàm hàm hợp: Nếu y = f(u), u= u(a) Sy =,u Bảng công thức tính đạo hàm:

x)<0, Vxe(a;b)=> hàm số ƒ(z) nghịch biến trên khoảng (a;)

x) = 0 Vae (a:b) => hàm số f(z) không đổi trên khoảng (a:b)

Trang 12

Thầy Hoàng Hải-0966405831 giainhanh.live.edu.vn ! 1 ' , (tan) C08? & (tanu) “= u ' _ 1 ,' _— ư (cotz) 7 sin’ x (cot) sin” u (c*) =c7 (c'} =u'c” (a’) =a’ lna (a) =u'a* Ina w ' ' (fe) =2 (np) =

(108, x) _ xIna (Io, |) ~ u.Ina Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức: a b l ac be ' ' x x HE ad—be _ th E e d f c ÿ ca +d (co +d) dx’ + cu + f (de’ + cx+ f) | Dao ham cap 2: + Dinh nghia: f" (x) = ll (x)Ï + Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t, la: a(t,) = f"(t,) * Một số chú ý: e Nếu hàm số ƒ (z) và ø(z) cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số f(z) +9(z) cũng đồng biến (nghịch biến) trên K Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu f(z)-9(2)

se Nếu hàm sốƒ (z) và 9(z) là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên

K thì hàm số ƒ(z).ø(z) cũng đồng biến (nghịch biến) trên K Tính chất này có thể

không đúng khi các hàm số ƒ (x) , g(a) không là các hàm số dương trên K

e Cho hàm số u = u(z) xác định với z € (a:b) va u(z) - (c 4) Hàm số f|#(x)|

cũng xác định với x € (a:b)

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Giả sử hàm số ƒ có đạo hàm trên I~

+ Nếu /ƒ!'{z) >0 với mọi z e # và ƒ'() = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm xeK thì

hàm số ƒ đồng biến trên #{

+ Nếu f'{z) <0 với mọi ze và ƒ'{z)= 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm z e

Trang 13

Chú ý: “ se 2 an + + b d ` + ^“ * Đối với hàm phân thức hữu tỉ y = ae 7 (: z -§) thi dau "=" khi xét dau dao cx + c

ham y’ không xảy ra

Giả sử U= ƒ(#) = ax + bạ” + cá + d => Ƒ (+) = 3a#” + e+e Ham số đồng biến trén R Hàm số nghịch biến trên a>0 a<0 lace face © f'(x)20VreR@ a=0 © f(x) <0VreR@ a=0 b=0 b=0 c>0 e<0 Trường hợp 2 thi hé sé c khác 0 vì khi a=b= e= 0thì ƒ(z) = đ

(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Óx thì không đơn điệu)

* Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài bằng Ì ta giải như sau:

+Bước 1: Tính = f' (a: m) = a#” + b# + e + Bước 3: Hàm số đơn điệu trên (z,:z,) <= =0 có 2 nghiệm phân biệt A>0 =l2u 6 + Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng ï © le, —2,| =Ì© (z, + TP) — 42.2, = ©S”—4P =l? (* *) + Bước 4: Giải (*) và giao với (* *) để suy ra giá trị m cần tìm CỰC TRỊ HÀM SỐ 1 Định nghĩa Giả sử hàm số ƒ xác định trên tập K và a, € K

+ x, là điểm cực tiểu của hàm số ƒ nếu tổn tại một khoảng (a;b) chứa z„ sao cho (a;b)K và f(a) > f(a,),Ve c (a:b) \ {z,}

Khi đó ƒ(x,) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm sốƒ

+z, là điểm cực đại của hàm số ƒ nếu tổn tại một khoảng (a:b) chứa z, sao cho (a;b)Kvà f(a) < ƒf(x,).Vz - (a:b) \ {x}

Khi đó ƒ(z,) được gọi là giá trị cực đại của hàm số ƒ

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị + Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K

Trang 14

Thầy Hoàng Hải-0966405831 giainhanh.live.edu.vn hàm y’ khéng xay ra Chú ý: “ + + 4 “ * Đối với hàm phân thức hữu tỉ ÿ = “ : c # -§) thì dấu "=" khi xét dấu đạo cx + C Giả sử y = f(x) = ax? + ba” +er+d=> f'(x)= 3az” + 2bz + e Hàm số đồng biến trên R Hàm số nghịch biến trên a>0 a<0 face face © f(z)>0:YzeR© a=0 © ƒf(z)<0:VzeR© a=0 b=0 b=0 c>0O e<0 Trường hợp 2 thì hệ số e khác 0 vì khi a =b = e= 0thì ƒ(z) = đ

(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Óx thì không đơn điệu)

* Với dạng toán tìm tham số m dé ham sé bac ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dai bang | ta giải như sau: +Bước 1: Tính = f'(z: m) = đã” + b# + e + Bước 93: Hàm số đơn điệu trên (z,:z,) <= =0 có 2 nghiệm phân biệt A>0 > * \ +0 ( +Buée 3: Ham sé don điệu trên khoảng có độ dài bằng ¡ <> le, -2,| =l<© (z, +2,) — 42,2, = ©S”-4P =l? (* *) + Bước 4: Giải (*) và giao với (* *) để suy ra giá trị m cần tìm CỰC TRỊ HÀM SỐ 1 Định nghĩa Giả sử hàm số ƒ xác định trên tập K và z¿ € K

+ x, là điểm cực tiểu của hàm số ƒ nếu tổn tại một khoảng (a;b) chứa z, sao cho

(a;b)K và f(a) > ƒ(*;).Vz E (a:b) \ {zx}

Khi đó ƒ(x,) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số ƒ

+a, là điểm cực đại của hàm số ƒ nếu tổn tại một khoảng (a:b} chứa z„ sao cho (a;b) =Kvà f(a) < f(x,).Yz r (a:b) \ {x}

Khi đó ƒ(z;) được gọi là giá trị cực đại của ham sé f

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị + Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K

Trang 15

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số + Nếu x, là điểm cực trị của hàm số thì điểm (z, f(z, )) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số ƒ 2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định Ii 1: Gia su ham sé y = f(z) dat cuc tri tai diém z¿ Khi đó, nếu y = f(a) có đạo hàm tại điểm z, thì ƒ'(z„) =0 Chú ý: + Dao ham f'(x) có thể bằng 0 tại điểm x„ nhưng hàm số ƒ không đạt cực trị tại điểm Xạ-

+ Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm

+_ Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0

hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm

3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2: Giả sử hàm số ƒ đạt cực trị tại điểm #¿ Khi đó, nếu hàm số ƒ có đạo hàm tại điểm a, thì f{%,)= 0 Nếu ƒ (z) > 0 trên khoảng (a, —h; x, ) va f’(x) < 0 trén khoang

(z;:z, + h) thi x, la mét điểm cực đại của hàm sổ f(a)

+ Néu f'(z) < 0 trén khoang (x, —h; 2, ) va f'(z) > 0 trén khoang (x, 5X, +h) thi

z„ là một điểm cực tiểu của hàm số f(a) Quy tắc tìm cực trị

Quy tắc 1:

+_ Bước 1: Tìm tập xác định Tìm ƒƑ (z)

+_ Bước 2: Tìm các điểm +, (2 = 1;2 ) mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

+_ Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu ƒ (z) Nếu ƒ'(z) đổi dấu khi đi

qua z, thì hàm số đạt cực trị tại z,

Dinh li 3: Gia su y = f(z) có dao ham cap 2 trong khoang (2, — h;#ạ + h) với h > 0

+ Néu f'(x,)=0, f"(x,) < 0 thì hàm số ƒ đạt cực đại tại z,, + Nếu ƒ(x¿)=0, ƒ'(z¿) > 0 thì hàm số ƒ đạt cực tiểu tại z,

Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 2:

+ Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f{z)

+ Bước 2: Tìm các nghiệm #, (2 = 1,2: ) cua phuong trinh f'(x) = 0 +_ Bước 3: Tính f" (x) va tinh f"(z,)

Trang 16

MOT SO DANG TOAN LIEN QUAN DEN CUC TRI HAM SO

I CUC TRI CUA HAM DA THUC BAC BA:

1, Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước

Bài toán tổng quat: Cho hàm số 1 = f(a: m) = a#Š + ba +cxr+d Tim tham sé m dé ham

số có cực đại, cực tiểu tại ®,#, thỏa mãn điều kiện /£ cho trước Phương pháp: +_ Bước 1: * Tập xác định: D = KR *_ Đạo hàm: = 3az” + 2bœ + e= Az” + Bz + Ơ + Bước 2:

Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu) © ' = 0 có hai nghiệm phân biệt và ¿ đổi dấu qua 2 nghiệm đó

ôâ phng trỡnh = Ö có hai nghiệm phân biệt

A = 3a #0 a#0

> 3 5 = =>meD

A, = B`~4AC = 4b —12ac > 0 bˆ — 3ac > 0 | + Bước 8: Gọi z,,z, là hai nghiệm của phương trình = 0 B 2b + + #) = “aA = ng Khi đó: ¡ đó Oe a t,t, =—=— - A 3a Bước 4: Biển đổi điều kiên J{ về dạng tổng Š và tích P Từ đó giải ra tìm được me D,

Trang 17

" Hàm số có hai cực tri cùng dấu âm A, >0 , ¬ an nen B

<> phuongtrinh = 0 có hai nghiệm âm phân biệt <> Z=ø,+8, = TT <0

>_ Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị ©, , 2, thoa man: © <a<2, địạ <#;, < @ a<2, <2, « Haicuc tri z,,2, thỏa mãn 2, <a@ <2, 3 <> (2, -a)(z,-a)<0@2,2,-a(2,+2,)+a° <0 " Haicuc tri z,,2, thoa man 2, <2, < a@ 2 (x, -a)(x,-a) >0 x,2,-a(a,+a,)+a >0 2 “ > : : m +, < 2# m+#ø, < 22 "_ Hai cực trị z,,z, thỏa mãn # <#, < #, (z, -ø)(#, — a) >0 ° = +2, > 2a @, +2, >2a a, @, ~ a(x, +2,)+@ >0 & ? > « Phuong trinh bac 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng —b - l¿ khi có 1 nghiệm là z = 3” có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi có 1 nghiệm là z = —j/— a a 2 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía,

khác phía so với một đường thẳng

Vi trí tương đối giữa 2 điểm vơi đưởng thăng:

Cho 2 điểm A(+,:„) B[z;:w,) và đường thăng A: a+b+e=0 Nếu (az, +by, + cÌ(az, +by, + c) <0 thì hai điểm 4, Ø năm về hai phía so vơi đưởng thăng A

Nếu (az, +, + c)(az, + by, + c) > 0 thihaidiém A, B nam cung

phia so véi dudng thang A Một số trưởng hợp đặc biệt:

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy

<> hàm số có 9 cực trị cùng dấu

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy

<©> hàm số có 3 cực trị trái dấu

<© phương trình # = 0 có hai nghiệm trái dấu

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox

Trang 18

Thầy Hoàng Hải-0966405831 giainhanh.live.edu.vn Dac biét: + Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox YooYor > 9 <> phuongtrinh = 0 có hai nghiệm phân biệt và Yoo + Yor > 0 Các điểm cực trị của dé thi nim cung vé phia dudi déi vdi truc Ox Yoo Yor > 9 <> phuongtrinh y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt va Yoo + Yor <9

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

(áp dụng khi không nhầm đươc nghiêm và viết được phương trình đường thang đi qua hai

điểm cực trị của đồ thị hàm sé)

Trang 19

MOT SO CONG THUC GIAI NHANH Dat: BAC =a vA 3 9 a —b A Ẩ dt |COtf — =—— Tổng quát: 2 8a A O x B C

Dữ kiện Công thức thỏa mãn ab < Ö Tam giác 4 8Œ vuông cân tại 4 bŠ = Sa

Tam giác 4Œ đều b® = 24a

Tam giác A BŒ có diện tích S, , = 5, 32a°(S,) +6’ =0

Tam giac ABC cé dién tich maz(S, ) bề 5S =/Í- ° 32a° Tam giác 4Œcó bán kính đường tròn nội tiếp PAApC — Tạ “mm 1+ fe -— Tam giác ABC c6 ban kinh đường tròn ngoại tiếp — 8a h A4BC =R R= sab Tam giac ABC cé độ dài cạnh BƠ = m, am, + 2b=0 Tam giác 4Œ có độ dài 1 = AC = n, 16a°n; — b* + Sab = 0

Tam giac ABC co cuc tri B.C € Ox b? = dac Tam giac ABC'cé 3 gécnhon b(Sa + b°) > 0

Tam giac ABC'cé trong tam O b? =6ac

Tam giac ABC'co trực tâm O bỀ + Sa — 4ae = 0 Tam giác 4 8Œ cùng điểm Ó tạo thành hình thoi b` = 2ac Tam giác 4 8Œ có Ó là tâm đường tròn nội tiếp bỀ — Sa — 4abe = 0 Tam giác 4 BŒ có Ó là tâm đường tròn ngoại tiếp bỀ — Sa — Sabc = 0

Tam giac ABC’ co canh BC = kAB=kAC bŸ j;? — Sa(k? — 4) =0 Truc hoanh chia tam giác A BC thành 2S 42 lac hai phân có diện tích bằng nhau

Tam giác ABŒcó điểm cực trị cách đều trục hoành b = Sạc

Đồ thị hàm số (Cc) -= a#! + bz” +e cắt trục Ox tai bề 100 = —ac

4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng 9

Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi dé thị

(C) -U= a#” + bz”+c và trục hoành có diện tích b> = ac

phần trên va phần dưới bằng nhau |

Phương trình đường tròn ngoại tiếp A4BC: #” +” — 2_A, clyt+e 2A =0

b 4a b 4a

Trang 20

GIA TRI LON NHAT - GIA TRI NHO NHAT

I Dinh nghia

Cho ham sé y = f(a) xác định trên tập D

Số MM goi là giá trí lớn nhất của hàm ơn số = trên D nế ƒ(z) < M,Vzc D :

+ Số M gọi là giá trị nhất của hàm số 1 f(a) rên D néu 3z € D, f(,) = M Ki hiéu: M = max f(x) f(z) =m VreD + Bố m goila gia tri nho nhat cua ham sé y = f(z) trén D néu: ( ) dz, € D,ƒ()=m Ki hiéu: m = min f(x)

2 Phuong phap tim GTLN,GTNN

* Tim GTLN, GTNN cua hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

+_ Bước 1: Tính f'(x) va tim các điểm @,,2,, ,.©,€D mà tại đó ƒ (z) = 0 hoặc hàm số không có đạo hàm

+ Bước 3: Lập bảng biến thiên và rồi suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số * Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

+ Bước 1:

* Ham sé da cho y = f(a) xac dinh va lién tuc trén doan | a:b |

* Tìm các điểm ,,, ,, trên khoảng (a:b), tại đó f'(z) = 0 hoặc f'(z) không xác định + Bước 2: Tính ƒ(a).ƒ(z,).f(z,) f(,).#(b) + Bước 3: Khi đó: + or ƒ(z)= ma |ƒ(s)).f(s,) /(s,).f().f(9)} * Tim GTLN, GTNN cua hàm số trên một khoảng * Bước I: Tính đạo hàm ƒ(z)

* Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm # € (a;b) của phương trình

ƒŒ) = 0 và tất cả các điểm øœ € (a;b) làm cho ƒf(z) không xác định

* Bước 3 Tính A = lim ƒ(z), B= lim f(z), f(z,), f(a,)

* Budc4 So sánh các giá trị tính được và kết luận Äƒ = max f(x), m= min f(z) Nếu giá trị lún nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

mụ/()=/)

max f(z) = f(b)

pin f(x) = f (0) max f(z) = f (a)

+ Néu y= f(a) déng bién trén [a:b | thi

Trang 21

DUONG TIEM CAN CUA DO THI HAM SO

1 Đường tiệm cận ngang

Cho hàm số = ƒ(#z) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a:+).(—ø;b) hoặc (—œ;+ø}) Đường thẳng y = y, 1a đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số = ƒ(z) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

lim f(x) = y,, lm f(x) = y,

2 Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng z = #„ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số = ƒ(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

lim ƒ(z) = +, lim f(x) = —, lim f(x)=—, lim f(x)=+ * - Xxx," XX #—>%g try ax+b Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng y = (c #0; ad—bc# 0) luôn có tiệm cận c7 + a * A Aa + ngang là = — và tiệm cận đứng z = —— C C KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 Sơ đồ khảo sát hàm số Cho ham sé y= f (x) * Tim tập xác định của hàm số * Sự biến thiên e Chiều biến thiên 1 Tính ' ii Tìm các nghiệm của phương trình ÿ'= 0 và các điểm tại đó ' không xác định iii Xét dấu y' vA suy ra các khoảng biến thiên của hàm số se Tìm cực trị (nếu cô) e Tìm các giới vô cực; các giới hạn tại +, — œ và tại các điểm mà hàm số không xác định

e Tìm các đường tiệm cận của hàm số (nếu cô) e Lap bang bién thiên

* D6 thi

e« Xác định giao điểm của (C) với Ox, Ĩy (nếu cơ)

«_ Vẽ đồ thị

Trang 22

Trang 24

Thầy Hoàng Hải-0966405831 giainhanh.live.edu.vn Phương trình ' = Ö có YR vA [\\: P| Th 1 nghiém “ý “¥ c) HAM SO NHAT BIEN y=2*" (c #0, ad—be #0) cx+d D=ad—bce>0 D=ad—be <0 _ 1 1 Ty _ => O O 1 | “Ð MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ Dạng 1: Từ đồ thị (C) “y= f(z) suy ra đồ thị (đ) y= (|): fiz khi x =0 Ta có v= s(e) =) khi « <0 vA y= f (|e) là ham chan nén dé thi (C') nhận Oy làm trục đối xứng * Cách vẽ (Œ') từ (C): + Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị (C): y = f(z) + Bỏ phần đồ thị bên trái Óy của (C), lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy Ví dụ: Từ đồ thi (C): y = f(x) =2° — 32 o* (C): y=2°-3e > suy ra đồ thị (c’) y= lel — 3|z| Biến đổi (C):

+ Bỏ phần đồ thị của (C) bên trái

Ớy, giữ nguyên (C) bên phải Oy | 1 (c’) (y= lel — 3|z|

1

+ Lấy đối xứng phần đồ thị được

Trang 25

Dang 2: Từ đồ thị (C) [y= f(a) suy ra d6 thi (Œ Tacó: y= |/(z) _ tụ -ƒ(z) khi f(x kha Hx * Cách vẽ (C') từ (C): + Giữ nguyên phần đồ thị phía trén Ox cia dé thi (C):y = f(z) + Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox cia (C), lay d6i xttng phan dé thi bi bo qua Ox Ví dụ: Từ đồ thị (C):= ƒ(x)=x`—3x un \ | |el»=e-s i ” Biến đổi (C): | 1Ð TT

suy ra d6 thi y = Je’ — 3a

+ Bỏ phan đồ thị của (C} dưới

Ox, giữ nguyên (C ) phía trên Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Oz —)] ỶỲ Chú ý với dạng: y = | /(|*|Ì ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị y = ƒ(|z|) và y = | f()| Ví dụ: Từ đồ thị ở (C):w= ƒ(+)= z`— 3z suy ra đồ thị (c'):v- af — ale 2

ự = |s[' —3|z[_ Biến đổi (C) để đượcđ = | AKT 7

Trang 26

giainhanh.live.edu.vn Thay Hoang Hai-0966405831 Vidu a) Ti dé thi (C): y = f(x) = 22° - 32° +1 b) Từ đổ thi (C): y = f(z) = =- rT zr suy ra đồ thị (Z):w=|z—1|(2z' - z- 1) đồ thị (c) ra do thi yer r-1 Suy , khi z € (1:+=) ^ sa _ |ƒ\z khi x >1 y=feaeot ona) =) | ee ef 2 kha ae (1 IS Đồ thị (C): Đồ thị (C):

+ Giữ nguyén (C) voi x2 1 + Bỏ phần đồ thị của (C} với x <1,

+ Bỏ (C) với z < 1 Lấy đối xứng phần

dé thi bi bo qua Ox giữ nguyên (Cc) v6i x>1

YA + Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua (C) Ox UA “ , N ‘ ` ‘ ` 1 ‘ \O 1 o > 1 x ‘ 1 ‘ ' ' í x V (C)

Nhân xét: Đối với hàm phân thức thì nên Nhân xét: Trong quá trình thực hiện phép

suy đồ thị nên lấy đối xứng các điểm đặc lấy đối xứng các đường tiệm cận để thực

biệt của (C): giao điểm với Ox, Oy, CD, CT | hién phép suy đồ thị một cách tương đối chính xác TIÊP TUYẾN 1 Tiếp tuyến : Cho hàm số y= ƒ(x), có đồ thị (C@ Tiếp tuyến của y= y' (2) (2 x #) + Y|-

đồ thi (C) tai diém M, (x,:¥,) E (C) có dạng:

Trong đó: Điểm M, (x,:y,) E(C) được gọi là tiếp điểm ( với Yo = f(2,)) k= f'(a,) là hệ số góc của tiếp tuyến

Trang 27

+ Số giao điểm của (C,) và (Œ,) bằng với số nghiệm

của phương trình (I)

+ Nghiệm z, của phương trình (1) chính là

hoành độ z, của giao điểm

+ Để tính tung độ , của giao điểm, ta thay hoành độ z,„ vào

y= f(a) hoặc y= g(a)

+ Điểm Ä⁄(xạ; vụ ) là giao điểm của (Œ,) và (Œ,)

DIEM DAC BIET CUA HO DUONG CONG

1 Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong

Xét họ đường cong (Œ, ) có phương trình ¿ = ƒ(z,m), trong đó ƒ là hàm đa thức theo biến z với m là tham số sao cho bậc của m không quá 9 Tìm những điểm cố định thuộc họ

đường cong khi ?n thay đổi?

Phương pháp giải:

+ Bước 1: Đưa phương trình y = f(x,m) vé dạng phương trình theo ẩn m có đạng sau: 4mm+ =0 hoặc Am” + Bm + Ở =0

+ Bưóc 2: Cho các hệ số bằng 0, ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình: A=0 A=0 hoặc 4 B =0 B=0 C=0 + Bưóc 3: Kết luận:

- Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong (Œ_) không có điểm cố định - Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (C_) 2 Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên:

Cho đường cong (C) có phương trình # = ƒ(z) (hàm phân thức) Hãy tìm những điểm có tọa độ nguyên của đường cong?

Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số nguyên

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số + Bước 2: Lập luận để giải bài toán

3 Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng:

Cho đường cong (C) có phương trình¿/ = ƒ(z) Tìm những điểm đối xứng nhau qua một

điểm, qua đường thẳng

Bài toán 1: Cho dé thj (C): y = Aa® + Ba’ + Cr+ Dtrén dé thj (C) tim nhiing cặp điểm

đối xứng nhau qua điểm I(z,,y,)- * Phương pháp giải:

+ Gọi M(a;Aa’ + Ba? + Ca+ DỊ N(b; Ab? + Bb? +Cb+ D) là hai điểm trên (C} đối

Trang 28

a+b= 2z,

+ Ta có ào va ¬

A(aỀ + bỀ)+ B(a’ +b’) + C(a+b)+2D =2y,

Giai hé phuong trinh tim dude a,b từ đó tìm được toạ độ M, N

Trường hợp đặc biệt : Cho đô thi (C): y= Ax’ + Ba” + Cz + D Trên đồ thị (C) tim

những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ * Phương pháp giải:

+ Goi M(a, Aa’ + Ba + Ca + D),.N(b, Ab® + Bb? +Cb+ D) là hai điểm trên (C)

đối xứng nhau qua gốc tọa độ Ta ee a+b=0

ta A(a’ + bŠ)+ B(a” + b°] + Ía + ð)+ 2D =0 `

+ Giải hệ phương trình tìm được a b từ dé tim dudc toa dé M,N

Bài toán 3: Cho đồ thị (C): y= Ax’ + Ba’ + Cx + D trên đồ thị (C) tìm những cặp điểm

đối xứng nhau qua đường thẳng đ: t = Ar+B * Phương pháp giải:

+ Goi M(a; Aa’ +Ba°+Ca+D), N(b; Ab’ +Bb’+Cb+D) la hai diém trén (C) déi

xứng nhau qua đường thẳng đ

led (1) vs -

+ Ta có: ——~ (với 7Ï là trung điểm của Ä/V và z4 là vectơ chỉ phương MN ua = 0 (2)

của đường thắng đ) Giải hệ phương trình tìm được M, N

4 Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách * Lý thuyết: + Cho hai điểm A(a,;y, );B(x,;y,) = AB= Ue, -2,) +(y, —# ) Cho điểm Ä/ (z,:, và đường thẳng d:Ax+By+C=0, thi khoang cach tt M đến đ là |Aa, + By, + C| + Cho ham phan thtie: y = h(M:4) a# + b F tiếp tuyến tại M cắt TCĐ, TƠN ở A và B thì M là trung cr +

điểm của AB

Diện tích tam giác 4B không đổi: Suz = lad sẻ bel c?

+,

% Các bài toán thường gặp:

Bài toán 1: Cho hàm số ụ = “S >” (cz 0 ad— be z 0) eó đồ thị (C) Hãy tìm trên (C) c# + d

Trang 29

+ Nếu 4 thuộc nhánh trái: z, <- ˆ yee y, =f(z,) c c C a A + a d d d + Nếu thuộc nhanh phai: «7, >-—-—=>2,=-—+B>-—; y, =f(z,).- C c c + Sau đó tính: 4” = (x, —a,) +(¥, - y,) = l(a + B)-(a - a) | + (0; - y,) - + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy sẽ tìm ra kết quả

Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số (CÌ có phương trình y = f(x) Tìm tọa độ điểm \\

thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất * Phương pháp giải:

+ Gọi Aƒ(z;y} và tổng khoảng cách từ A{ đến bai trục tọa độ là đ thi d= le + ly

+ Xét các khoảng cách từ Ä/ đến hai trục tọa độ khi Äƒ nằm ở các vị trí đặc biệt: Trên trục hoành, trên trục tung

+ Sau đó xét tổng quát, những điểm Ä/ có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc tung độ của Äƒ khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến

+ Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo

hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của đ

Bài toán 3: Cho đồ thị (C) có phương trình = f(x) Tim điểm M trén (C) sao cho khoảng cách từ M đến Ox bằng k lần khoang cach tu M dén trucOy

* Phương pháp giải:

Theo đầu bài ta có | = k|z| S i = he S ft = Ke

U= —Èkz f(a) = —kr

Bi toán 4: Cho đồ thị ham số (C) có phương - trình

y=f(x)= a (c0, ad —be # 0) Tìm tọa độ điểm AT trên (C) sao cho dé dai MI ngan cx+ nhất (với I là giao điểm hai tiệm cận) * Phương pháp giải: + Tiệm cận đứng # = —; tiệm cận ngang y = C o |]8 2 — a + on A + Ta tìm được tọa độ giao điểm (=! ® i hai tiém can CC 3

+ Goi M(a M’ y M ) la diém can tim Khi d6: [M* = (+, + ‘) + G — :] = 9(2,, ) MÔ MG + Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số ø để thu được kết quả

Bài toán ã: Cho dé thị hàm số (C) có phương trình y= f(x) va dudng thang d: Az+ Bụ+ Œ =0 Tìm điểm T trên (C) sao cho khoảng cách từ I dén d 1a ngắn nhất * Phương pháp giải:

+ Gọi Ƒ thuộc (Œ)= I{z,:1,): 1ạ = ƒŒ,)

Trang 30

PHAN II MU VA LOGARIT

LUY THUA VA HAM SO LUY THUA

1 KHAI NIEM LUY THUA

+ Lũy thừa với số mũ nguyên Cho ?# là một số nguyên dương

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc ø của a là tích của ? thừa số a a” =aa a(n thita sé)

Với a # 0

Ta gọi a là cơ số, là mũ số Và chú ý 0° và 0” không có nghĩa

+ Một số tính chất của lũy thừa

e Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa: a af =a"; =a a**- (a*)’ =a** - (ab)* =

a) FG) AG)

se Với mọi Ö < a <b, ta có: ø” <b”<>m >0; a” >b” <>rmn <0 e Chú ý:

+ Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên + Khi xét lũy thừa với số mũ 0Ú và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 + Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương + Phương trình +” = b Ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình x”“ =b như sau: e Trường hợp n lẻ: Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất e Trường hợp n chẵn:

+ Với b< 0, phương trình vô nghiệm

+ Với b= 0Ú, phương trình có một nghiệm z = 0

Trang 31

m

+ Na” = (x/a) | Va >0, nguyén dudng, m nguyén 7 dựa = "tla Va >0,n,mnguyén dương

+ Nếu P= thi Va? = da? Wa > 0.m,nnguyén dudng p,q nguyén nm mal” ; 2 HAM SO LUY THUA + Khai niém Xét hàm số + = z”, với œ là số thực cho trước Đặc biệt: Va Ham sé y = #z”, với œ€ ïS, được gọi là hàm số lũy thừa Chú ý

Tập xác định của hàm số lũy thừa y = #z” tùy thuộc vào giá trị của œ Cụ thể

s® Với œ nguyên dương, tập xác định là R

e Với œ nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là 'Đ\ {O}

đ Vi không nguyên, tập xác định (0; +0)

+ Khảo sát hàm số lũy thừa

% Tập xác định của hàm số lũy thừa = z7 luôn chứa khoảng (0; +00)

với mọi œ € R Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số y = 2* trén khoang nay

U=#”.œ>0 y=2" a<0

1 Tap xac dinh: (0:+=) 1 Tập xác định: (0 +00)

2 Su bién thién 2 Su bién thién

y'=aa*'>0 Vz>0 yl=aa*'<0 Vz»0

Giới hạn đặc biệt: CHới hạn đặc biệt:

lim z“ =0, lim # = + limx* =+, lim xế =0

230" z=>+@œ x0" x40

Tiệm cận: không có Tiệm cận:

Trang 32

Trang 33

Đồ thị của hàm số y4 a=l 0<#<l l a=0 aco, 0 l x Đồ thị của hàm số lũy thừa /= xZ luôn đi qua điểm 7 (1:1) Khảo sát hàm số mũ /=#, (a>0,a#]) ụ= a*,(a >1) y=a",(a<1) 1 Tap xac dinh: R 2 Su bién thién y'=a@ Ina>0,Vx

Ox la tiém can ngang 3 Bang bién thién Giới hạn đặc biệt: lim a” =0, lim a = +0 Oo 23+ Tiém can: Tập xác định: R Sự biến thiên ụ'= a Ìna<0.Vz Giới hạn đặc biệt: lim a” = +, 2-00 lim a* = 0 Tiém can:

Trang 34

Thầy Hoàng Hải-0966405831 giainhanh.live.edu.vn LOGARIT VA HAM SO LOGARIT

1 KHÁI NIỆM -TÍNH CHẤT VÀ QUY TẮT TÍNH LOGARIT

+ Khái niệm Logarit

Cho hai số dương a,b với a#1 Số œ thỏa mãn đẳng thức a“ = b được gọi là logarit cơ số

a cua b và được kí hiệu là log ở

œ=log b<Ð> q” =b

Không có logarit của số âm và số 0

Bảng tóm tắt công thức Mũ-loarrit thường gặp:

° (a) =a ° log, a =1,(0<a#1)

(a) * _ 1 s log a* = a,(0 <az 1)

a® 1

(2)" os log„a=—,(0<a# 1)

` ay ¢ log b* =a.log,b,(a,b>0,a#1)

a

+ (a) (0) =(a)" * log, 0= 5 le,"

* (a) (ð) =(ab) + log, b* =< log, b

° (a) _| 4 " (b0) e log b+ log c=log (bc)

(b) P |

œ - e log b—log c= log | ~

(a)* = {{(a) (Be N’) c 1 : (a“}Ý _ (a)” + log b= log, R ° 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

+ Bat phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a7 > b (hoặc 8` >b,q` <b,a` <b) với a >0,a #1 Ta xét bất phương trình có dạng a7 > b

e Nếu b <0, tập nghiệm của bất phương trình là R,vi a >bVreR

e Nếu ö > 0 thì bất phương trình tương đương với a* > ø°°” Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là z > log b

Trang 35

Ta minh họa bằng đồ thị sau: e Với a > 1, ta có đồ thị y y=a’ {a > 1) ý —Ù w log) e Với 0< a <1, ta có đồ thị y=b ` log, b + Bất phương trình logarit cơ bản " ụ =ứ” (Ú< œ< T1) ' x Bất phương trình logarit cơ bản có dạng log x >P (hoặc log x>b,log x<b,lÌog x<b) với a >0 a # Ì Xét bất phương trình log, # > ở

s Trường hợp a > 1, ta có: log # >b <> z >a’

e Trường hợp 0 < a <1, tacé: log x>be0<x<a’

Trang 36

Thầy Hoàng Hải-0966405831 giainhanh.live.edu.vn BAI TOAN LAI SUAT NGAN HANG

1 Lãi đơn: là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến gửi tiền ra

a) Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng 4 đồng với lãi đơn r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau ø+ kì hạn ( œ e Ñ * ) là:

Ss = A+nAr = A(1+nr)

2 Lãi kép: tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn dé tính lãi cho kì hạn sau

a) Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng 4 đồng với lãi kép r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau øœ kì hạn ( ø € Ñ * ) là: =] - SỐ n= Brier) A " S S,=A(1+r) —> r= fe —1 9 A=—” (1 + r)

3 Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian cố định a) Công thức tính: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền 4 đồng với lãi

kép r%/tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau ø tháng( n € N* )( nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là 6 Sor l 2 +1 8= “\(0 +r) - lí +r) —> r A= Sor : (1 + n)|(I + r) — 1

4 Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng:

a) Công thức tính: Gửi ngân hàng số tiền là 4 đồng với lãi suất z% /tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng Tính số tiền còn lại sau ø tháng là bao nhiêu? s,<afvery xt > Polat s | r

5 Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền là 4 đồng với lãi suất r%/tháng Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng ø tháng

Trang 37

S = AI _ r) — x0?) -1 r Để sau đúng n thang tra hết nợ thì S =0 nên A(i+r)' _xt?) 1, r ve A(1 + r) r (1 ~ r) -1

6 Bài toán tăng lương: Một người được lãnh lương khởi điểm là 4 đồng/tháng Cứ sau n

tháng thì lương người đó được tăng thêm r%/tháng Hỏi sau Èkn tháng người đó lĩnh được tất cả là bao nhiêu tiền? (1+r) -1 r Công thức tính: Tổng số tiền nhận được sau kn tháng là |S = Ak

7 Bài toán tăng trưởng dân số: Công thức tính tăng trưởng dân số =4 (1+r (m,n EZ m2 n) Trong đó: r% là tỉ lệ tăng dân số từ năm øœ đến năm m X_ dan sé nam m X dân số năm n Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân số là Lãi kép liên tục:

Gửi vào ngân hang 4 đồng với lãi kép r%/năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau

n năm (ne€Ñ'} là: 8, = 4(1+r) Giả sử ta chia mỗi năm thành zn kì hạn để tính

sa aes ae we o> iT NÓ CA“, « `

lãi và lãi suất mỗi kì hạn là —%_ thì số tiền thu được sau ? năm là:

1n

S = afi ` )

™m

Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là m — +0 , goi 1A hinh thtic 1ai kép tién

tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là:

Ø = ÁAc””| ( công thức tăng trưởng mũ)

Trang 38

Thầy Hoàng Hải-0966405831 giainhanh.live.edu.vn PHAN IIL

NGUYEN HAM - TICH PHAN - UNG DUNG TICH PHAN

I NGUYEN HAM

1 Nguyén ham

Dinh nghia: Cho ham sé f (x) xAc dinh trén K (J 1a khoảng, đoạn hay nửa khoảng)

Hàm số F(z) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(a) trén K nếu F1(z) = f(z) với mọi

z€ 1K Kí hiệu: [ ƒ()dz = F(z) + Ơ

Định lí:

1) Nếu F(z) la mét nguyén ham cua f (x) trên K thi véi méi hang sé C , ham sé

G(x) = F(+) + Œ cũng la mét nguyén ham cia f(z) trén K

2) Néu F(x) 1a mét nguyén ham cia ham sé f(x) trén K thi moi nguyén ham cia ƒ(z) trên K đều có dạng Ƒ(z] + Ở, với C là một hằng số

Do đó Ƒ(+) + Ơ,Œ € ïR là họ tất cả các nguyên hàm của ƒ(z} trên KÝ

2 Tính chất của nh hàm

» Nếu F() có đạo hàm thì: [đ(F(œ)) = F(œ) + Ở ° [Af (x) de kl f(x) de với k là hằng số khác 0

* [[7)* ø(e) Jae = J F(x) ax + J a(x) de

¢ Cong thite đổi biến số: Cho y = f(u) va u= g(a),

Néu | f(x)dx = F(x) +C thì [ ƒ(ø(2))g'(z)dz = [ ƒ(w)du = F(u)+ Ơ

3 Sự tồn tại của nguyên hàm

Trang 39

8 [coszdz = sin# + Œ 21 [cos(az + b)dz = —sin(ax +b) + Ở “i, 9, [sinzdz =—cosz + Œ 22 [sim(az+ b) da = —©os(az + b) +Œ -_l 10 [tanzdr= —Ìn | eos# |+Œ 23 [tan (ae + b)dx = — Imleos(az +bl+e a 11 [cotzdz= In | sinz | +Œ 24 [cotg(az +b)dx = 1 nisin (ax + bÌ| + c a

12 | L dư = tan# + Œ 25 ÍSGaaj an (e +8)+€ COS” # cos (ar +

13 | ——dzx =-cotr+C 26 Jaen =a tler +8) +0

sin’ & sin (az +

Trang 40

Định dạng
Số trang	104
Dung lượng	9,27 MB