Full ly thuyet va cong thuc giai toan 12 cua thay hoang hai

Khi đó ƒx, được gọi là giá trị cực tiểu của hàm sốƒ.. Khi đó ƒz, được gọi là giá trị cực đại của hàm số ƒ.. + Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.. + Điểm cực đại và

Trang 1

I CONG THUC TINH NHANH THUONG GAP CUA THE TICH KHOI CHOP|

SABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a3 Thể tích khối chóp là:

a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bang 60°

Cho hình chóp đều s.4BC có cạnh đáy bằng

2z, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60°

góc giữa cạnh bên với

mat day bang a

Khi do:

góc giữa cạnh bên với mặt đáy bằng 60

Trang 2

Thầy Hoàng Hải-0966405831 giainhanh.live.edu.vn

Cho hình chóp đều S.ABCD co canh đáy

bang a, cạnh bên bằng z5 Thể tích khối

Cho hình chóp déu s.ABCD CO canh đáy

bằng z, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

60° Thể tích khối chop la:

bằng z2, góc giữa mặt bên và mặt đáy

Cho hình a đều S.4BCD có cạnh bên

bằng a3, góc giữa mặt bên và mặt đáy

Trang 3

Chohình chóp đều S.4BCD có cạnh đáy

bằng z, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng

vudng goc Biét SA=5, SB=4 Va SC=3

Cho hình chóp S.ABC có SA,SB,SC đôi một

vuông góc Biếi ABø=.v/5,BC=13 và

AC = 410 Thể tích khối chóp là:

mg,

Trang 4

II XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CÂU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP

1 Phương pháp chung

Bước 1: Xác định tâm cia da giac day:

- Tam giác đều: Giao của 3 đường trung tuyén

- Tam giác uuông: truns điểm của cạnh huuên

- tam giác thường: siao của 3 đường trung trực (ít gặp)

- Hình ouông, hình chữ nhật: siao điểm 2 đường chéo

Bước 2: Kẻ (ả) qua tâm va vuéng géc uới đáu (trục của đáu)

Bước 3: Trong mặt phẳng chứa cạnh bên 0à trục (3) Kẻ trung trực (A) của cạnh bên, (A) cắt (4) ở I thì I là tâm

cia mat cau

2 Cac mo hinh thuong gap

s

+) Ưu tiên tính R= AI +) Công thức: Af = AN°+ AH?

Trang 5

Mô hình 6: Hình chóp SABCD có ASAE cân,

(SAB}) 1 (.ABCD), ABCD là hình vuông (hình chữ

+) Diện tích hình quạt trên: S„„ = “ — (radial)

+) Diện tích hình viên phân: 5 = eR

+) Mat cau (S) ABCD.A'B'C'D' biét AB=a,AD =b,AA'=c Ta cé: mgoại tiếp hình hộp chữ nhật

- Tâm I la trung diém cua AC"

Trang 6

- Tâm I la trung điểm của AC" (Hoặc lấy trung điểm của

đoạn thăng nốt tâm của 2 mặt đốt diện)

+) Thiết điện qua trục là tam giác ABC cân tại A va S,,.=Rh

+) Thiét dién qua dinh khéng chit truc la tam gidc cin SCD , thiệt điện cắt

day theo day cung CD ta cé:

- Góc giữa thiết dién va day: (ACD,BCD) = AHO

- Góc giữa trục 0à thiết điện: (AO,(ACD)) = OAH

- Khoảng cách từ tâm đáu đến thiết điện: d(O, (ACD)) =OK

https://www.facebook.com/thayhoanghai/?fref=ts

Trang 7

Khối nón có thể tích lớn nhât khi h = aR = wep Khi đó V„ = =k

5 Mat cau (S ) tim I, ban kính r nột tiếp trong mat non (N ) ban kinh

R, đường cao h, duong sinh 1 Ta co:

+) Dung tim I:

- Lay Ee AC sao cho OC =EC

- Qua E kẻ đường thẳng 0uông sóc uới AC bà cắt AO tại L thì L là tâm

mat ciu noi tiép mat nón (N )

+) Thiết điện 0uông sóc uới trục là đường tròn bán kinh R

+) Thiét điện chứa trục là hình chữ nhật ABCD điện tích S = 2h

+) Thiét dién song song voi trục là hình chữ nhật AEFI) có khoảng cách

giữa trục 0à thiết điện là d(OO',AEFD) =O[

x

+) Goi AB,CD Ia hai duéng kinh bat ki trén hai mat day cua hinh tru ta

6: Van = gABCD.O0'.s n (AB,CD )

+) Đặc biệt: Nếu AB L CD tacé: V,,.5 = s4BCDOO'

Trang 8

+) A,B Tân lượt là các điểm trên các đường tròn đáu của hình trụ ta có:

- Khoảng cách giữa AB uà OO': d(AB,OO')=O"H ; |

Trang 9

VI TONG HOP CONG THUC

DIEN TICH MAT TRON XOAY - THE TICH KHOI TRON XOAY

+) Thể tích khối cầu: V, = oak

+) Diện tích xung quanh: S_ = ~RI +)Diện tích toàn phần:

Trang 10

Trang 11

TOM TAT LY THUYET VA GIAI NHANH TOAN 12

PHAN 1 HAM SO

SU DONG BIEN NGHICH BIEN CUA HAM SO

1 Dinh nghia

V#.,z, € lC,øœ, <#, (K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng)

f(a ) < f(a ;) >y= f(a) đồng biến trên K đồ thị đi lên từ trái sang phải

f(a }> f(z,) >y= f(a )nghich biến trên K đồ thị đi xuống từ trái sang phải

Chú ý: + Nếu ƒ (z) >0 Vze (a: b) = hàm số ƒ(z ) đồng biến trên khoảng (a:b)

+ Néu f'( )

{

+ Nếu f(x ) dong bién trén khoang (a:b) => f'(z) >0 Vze (a:b)

+ Néu f(a) nghich bién trén khoang (a:b) => f'(z) <O0Vre (a:b)

2 Quy tắc và công thức tính đạo hàm

Quy tac tinh dao ham: Cho u = u(a): v= u(z): Œ : là hằng số

x)<0, Vxe(a;b)=> hàm số ƒ(z) nghịch biến trên khoảng (a;)

x) = 0 Vae (a:b) => hàm số f(z) không đổi trên khoảng (a:b)

Trang 12

se Nếu hàm sốƒ (z) và 9(z) là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên

K thì hàm số ƒ(z).ø(z) cũng đồng biến (nghịch biến) trên K Tính chất này có thể

không đúng khi các hàm số ƒ (x) , g(a) không là các hàm số dương trên K

e Cho hàm số u = u(z) xác định với z € (a:b) va u(z) - (c 4) Hàm số f|#(x)|

cũng xác định với x € (a:b)

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Giả sử hàm số ƒ có đạo hàm trên I~

+ Nếu /ƒ!'{z) >0 với mọi z e # và ƒ'() = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm xeK thì

hàm số ƒ đồng biến trên #{

+ Nếu f'{z) <0 với mọi ze và ƒ'{z)= 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm z e

Trang 13

ham y’ không xảy ra

Giả sử U= ƒ(#) = ax + bạ” + cá + d => Ƒ (+) = 3a#” + e+e

(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Óx thì không đơn điệu)

* Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài bằng Ì ta giải như sau:

+Bước 1: Tính = f' (a: m) = a#” + b# + e

Khi đó ƒ(x,) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm sốƒ

+z, là điểm cực đại của hàm số ƒ nếu tổn tại một khoảng (a:b) chứa z, sao cho (a;b)Kvà f(a) < ƒf(x,).Vz - (a:b) \ {x}

Khi đó ƒ(z,) được gọi là giá trị cực đại của hàm số ƒ

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K

IICLCMS:// VVVVVV.IQCCUUOURK.COITI/ LCIIOAY1TICOGđI1T1EI1G1/ ; IICI=LS

Trang 14

(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Óx thì không đơn điệu)

* Với dạng toán tìm tham số m dé ham sé bac ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dai bang | ta giải như sau:

+ x, là điểm cực tiểu của hàm số ƒ nếu tổn tại một khoảng (a;b) chứa z, sao cho

(a;b)K và f(a) > ƒ(*;).Vz E (a:b) \ {zx}

Khi đó ƒ(x,) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số ƒ

+a, là điểm cực đại của hàm số ƒ nếu tổn tại một khoảng (a:b} chứa z„ sao cho (a;b) =Kvà f(a) < f(x,).Yz r (a:b) \ {x}

Khi đó ƒ(z;) được gọi là giá trị cực đại của ham sé f

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K

IICC|J©2›»// WV VV VV PULL NYY CIICGVLIX7CII II C117 » II&L,I7L.2

Trang 15

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số

+ Nếu x, là điểm cực trị của hàm số thì điểm (z, f(z, )) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số ƒ

+ Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm

+_ Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0

hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm

3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2: Giả sử hàm số ƒ đạt cực trị tại điểm #¿ Khi đó, nếu hàm số ƒ có đạo hàm tại điểm a, thì f{%,)= 0 Nếu ƒ (z) > 0 trên khoảng (a, —h; x, ) va f’(x) < 0 trén khoang (z;:z, + h) thi x, la mét điểm cực đại của hàm sổ f(a)

+ Néu f'(z) < 0 trén khoang (x, —h; 2, ) va f'(z) > 0 trén khoang (x, 5X, +h) thi

z„ là một điểm cực tiểu của hàm số f(a)

Dinh li 3: Gia su y = f(z) có dao ham cap 2 trong khoang (2, — h;#ạ + h) với h > 0

+ Néu f'(x,)=0, f"(x,) < 0 thì hàm số ƒ đạt cực đại tại z,,

+ Nếu ƒ(x¿)=0, ƒ'(z¿) > 0 thì hàm số ƒ đạt cực tiểu tại z,

Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 2:

+ Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f{z)

+ Bước 2: Tìm các nghiệm #, (2 = 1,2: ) cua phuong trinh f'(x) = 0

+_ Bước 3: Tính f" (x) va tinh f"(z,)

* Néu {z,) < 0 thì hàm số ƒ đạt cực đại tại điểm Œ

* Nếu {z,) > 0 thì hàm số ƒ đạt cực tiểu tại điểm X,

Trang 16

MOT SO DANG TOAN LIEN QUAN DEN CUC TRI HAM SO

I CUC TRI CUA HAM DA THUC BAC BA:

1, Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước

Bài toán tổng quat: Cho hàm số 1 = f(a: m) = a#Š + ba +cxr+d Tim tham sé m dé ham

số có cực đại, cực tiểu tại ®,#, thỏa mãn điều kiện /£ cho trước

Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu)

«© phương trình ¿ = Ö có hai nghiệm phân biệt

A, = B`~4AC = 4b —12ac > 0 bˆ — 3ac > 0 |

+ Bước 8: Gọi z,,z, là hai nghiệm của phương trình = 0

me D,

Bước 5: Kết luận các giá trị m thỏa mãn: ?n = DAD,

* Chu y: Ham sé bac ba: y = ax*® + ba? + cx + d(a # 0)

Ta có: /' = 3a” + 2bz + e

Trang 17

<> phuongtrinh = 0 có hai nghiệm âm phân biệt <> Z=ø,+8, = TT <0

>_ Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị ©, , 2, thoa man:

« Haicuc tri z,,2, thỏa mãn 2, <a@ <2,

2 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía,

khác phía so với một đường thẳng

Vi trí tương đối giữa 2 điểm vơi đưởng thăng:

Cho 2 điểm A(+,:„) B[z;:w,) và đường thăng A: a+b+e=0

Nếu (az, +by, + cÌ(az, +by, + c) <0 thì hai điểm 4, Ø năm về

hai phía so vơi đưởng thăng A

Nếu (az, +, + c)(az, + by, + c) > 0 thihaidiém A, B nam cung

phia so véi dudng thang A

Một số trưởng hợp đặc biệt:

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy

<> hàm số có 9 cực trị cùng dấu

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy

<©> hàm số có 3 cực trị trái dấu

<© phương trình # = 0 có hai nghiệm trái dấu

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox

Trang 18

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

(áp dụng khi không nhầm đươc nghiêm và viết được phương trình đường thang đi qua hai

điểm cực trị của đồ thị hàm sé)

Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

đồ thị cắt trục Óx tại 3 điểm phân biệt

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3 là

a<0

+ Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại <> k <0”

a>0O + Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại <©> ' 0°

Trang 19

MOT SO CONG THUC GIAI NHANH

Tam giác A BŒ có diện tích S, , = 5, 32a°(S,) +6’ =0

Tam giac ABC co cuc tri B.C € Ox b? = dac

Tam giac ABC'cé 3 gécnhon b(Sa + b°) > 0

Tam giac ABC'co trực tâm O bỀ + Sa — 4ae = 0

Tam giác 4 8Œ cùng điểm Ó tạo thành hình thoi b` = 2ac

Tam giac ABC’ co canh BC = kAB=kAC bŸ j;? — Sa(k? — 4) =0

Truc hoanh chia tam giác A BC thành 2S 42 lac

hai phân có diện tích bằng nhau

Tam giác ABŒcó điểm cực trị cách đều trục hoành b = Sạc

Đồ thị hàm số (Cc) -= a#! + bz” +e cắt trục Ox tai bề 100

= —ac

Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi dé thị

(C) -U= a#” + bz”+c và trục hoành có diện tích b> = ac

Phương trình đường tròn ngoại tiếp A4BC: #” +” — 2_A, clyt+e 2A =0

Trang 20

GIA TRI LON NHAT - GIA TRI NHO NHAT

I Dinh nghia

Cho ham sé y = f(a) xác định trên tập D

Số MM goi là giá trí lớn nhất của hàm ơn số = trên D nế ƒ(z) < M,Vzc D :

+ Số M gọi là giá trị nhất của hàm số 1 f(a) rên D néu 3z € D, f(,) = M

Ki hiéu: M = max f(x)

f(z) =m VreD + Bố m goila gia tri nho nhat cua ham sé y = f(z) trén D néu:

Ki hiéu: m = min f(x)

2 Phuong phap tim GTLN,GTNN

* Tim GTLN, GTNN cua hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

+_ Bước 1: Tính f'(x) va tim các điểm @,,2,, ,.©,€D mà tại đó ƒ (z) = 0 hoặc hàm số không có đạo hàm

+ Bước 3: Lập bảng biến thiên và rồi suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

* Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

+ Bước 1:

* Ham sé da cho y = f(a) xac dinh va lién tuc trén doan | a:b |

* Tìm các điểm ,,, ,, trên khoảng (a:b), tại đó f'(z) = 0 hoặc f'(z)

* Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm # € (a;b) của phương trình

ƒŒ) = 0 và tất cả các điểm øœ € (a;b) làm cho ƒf(z) không xác định

* Bước 3 Tính A = lim ƒ(z), B= lim f(z), f(z,), f(a,)

* Budc4 So sánh các giá trị tính được và kết luận Äƒ = max f(x), m= min f(z) Nếu giá trị lún nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

mụ/()=/)

max f(z) = f(b)

pin f(x) = f (0) max f(z) = f (a)

+ Néu y= f(a) déng bién trén [a:b | thi

+Néu y= f(x) nghich bién trén | a:b | thi

Trang 21

DUONG TIEM CAN CUA DO THI HAM SO

1 Đường tiệm cận ngang

Cho hàm số = ƒ(#z) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a:+).(—ø;b) hoặc (—œ;+ø}) Đường thẳng y = y, 1a đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số = ƒ(z) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng y = (c #0; ad—bc# 0) luôn có tiệm cận

e Tìm các đường tiệm cận của hàm số (nếu cô)

e Lap bang bién thiên

* D6 thi

e« Xác định giao điểm của (C) với Ox, Óy (nếu cô)

«_ Vẽ đồ thị

Trang 22

Trang 23

2 KHAO SAT MOT SO HAM DA THUC VA PHAN THUC:

a) HAM SO BẬC BA y= az + bz” + cz + d (a z 0)

Phương trình ˆ = 0 có

2 nghiệm phân biệt

YA

Phương trình ˆ =0 có

Trang 24

+ Bỏ phần đồ thị của (C) bên trái

Ớy, giữ nguyên (C) bên phải Oy | 1 (c’) (y= lel — 3|z|

1

+ Lấy đối xứng phần đồ thị được

giữ qua y

Trang 25

suy ra d6 thi y = Je’ — 3a

Ox, giữ nguyên (C ) phía trên Ox

ự = |s[' —3|z[_ Biến đổi (C) để đượcđ = | AKT 7

thi (C’): y = |z[Ï — 3|z| Biến đổi

Trang 26

giainhanh.live.edu.vn Thay Hoang Hai-0966405831

+ Giữ nguyén (C) voi x2 1 + Bỏ phần đồ thị của (C} với x <1,

+ Bỏ (C) với z < 1 Lấy đối xứng phần

dé thi bi bo qua Ox giữ nguyên (Cc) v6i x>1

YA + Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua

(C)

Ox

UA

“ , N

suy đồ thị nên lấy đối xứng các điểm đặc lấy đối xứng các đường tiệm cận để thực

biệt của (C): giao điểm với Ox, Oy, CD, CT | hién phép suy đồ thị một cách tương đối chính xác

đồ thi (C) tai diém M, (x,:¥,) E (C) có dạng:

Trong đó: Điểm M, (x,:y,) E(C) được gọi là tiếp điểm ( với Yo = f(2,))

k= f'(a,) là hệ số góc của tiếp tuyến

2 Điều kiện tiếp xúc: Cho hai hàm số (Cc) y= f(a) va (C ) - ø(z)

9 *) có nghiệm

Đồ thị (Œ) và (Œ') tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình:

< Yo Cho hàm số y = f(x) c6 d6 thi (C,) va y = ø(z) có đồ thị (C,)

Phương trình hoành độ giao điểm của (C,) va (C,)

la f(x) = g(x) (1) Khi do:

Trang 27

+ Số giao điểm của (C,) và (Œ,) bằng với số nghiệm

của phương trình (I)

+ Nghiệm z, của phương trình (1) chính là

hoành độ z, của giao điểm

+ Để tính tung độ , của giao điểm, ta thay hoành độ z,„ vào

y= f(a) hoặc y= g(a)

+ Điểm Ä⁄(xạ; vụ ) là giao điểm của (Œ,) và (Œ,)

DIEM DAC BIET CUA HO DUONG CONG

1 Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong

Xét họ đường cong (Œ, ) có phương trình ¿ = ƒ(z,m), trong đó ƒ là hàm đa thức theo biến z với m là tham số sao cho bậc của m không quá 9 Tìm những điểm cố định thuộc họ

đường cong khi ?n thay đổi?

Phương pháp giải:

+ Bước 1: Đưa phương trình y = f(x,m) vé dạng phương trình

theo ẩn m có đạng sau: 4mm+ =0 hoặc Am” + Bm + Ở =0

+ Bưóc 2: Cho các hệ số bằng 0, ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình:

A=0 A=0

hoặc 4 B =0

B=0

C=0 + Bưóc 3: Kết luận:

- Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong (Œ_) không có điểm cố định

- Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (C_)

2 Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên:

Cho đường cong (C) có phương trình # = ƒ(z) (hàm phân thức) Hãy tìm những điểm

có tọa độ nguyên của đường cong?

Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số nguyên

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số

+ Bước 2: Lập luận để giải bài toán

3 Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng:

Cho đường cong (C) có phương trình¿/ = ƒ(z) Tìm những điểm đối xứng nhau qua một

điểm, qua đường thẳng

Bài toán 1: Cho dé thj (C): y = Aa® + Ba’ + Cr+ Dtrén dé thj (C) tim nhiing cặp điểm

đối xứng nhau qua điểm I(z,,y,)-

+ Gọi M(a;Aa’ + Ba? + Ca+ DỊ N(b; Ab? + Bb? +Cb+ D) là hai điểm trên (C} đối

xứng nhau qua điểm ï

Trang 28

a+b= 2z,

A(aỀ + bỀ)+ B(a’ +b’) + C(a+b)+2D =2y,

Giai hé phuong trinh tim dude a,b từ đó tìm được toạ độ M, N

Trường hợp đặc biệt : Cho đô thi (C): y= Ax’ + Ba” + Cz + D Trên đồ thị (C) tim

những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ

+ Goi M(a, Aa’ + Ba + Ca + D),.N(b, Ab® + Bb? +Cb+ D) là hai điểm trên (C)

đối xứng nhau qua gốc tọa độ

Ta ee a+b=0

ta A(a’ + bŠ)+ B(a” + b°] + Ía + ð)+ 2D =0 `

+ Giải hệ phương trình tìm được a b từ dé tim dudc toa dé M,N

Bài toán 3: Cho đồ thị (C): y= Ax’ + Ba’ + Cx + D trên đồ thị (C) tìm những cặp điểm

đối xứng nhau qua đường thẳng đ: t = Ar+B

+ Goi M(a; Aa’ +Ba°+Ca+D), N(b; Ab’ +Bb’+Cb+D) la hai diém trén (C) déi

xứng nhau qua đường thẳng đ

+ Ta có: ——~ (với 7Ï là trung điểm của Ä/V và z4 là vectơ chỉ phương

MN ua = 0 (2) của đường thắng đ) Giải hệ phương trình tìm được M, N

4 Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách

điểm của AB

Diện tích tam giác 4B không đổi: Suz = lad sẻ bel c?

+,

% Các bài toán thường gặp:

Bài toán 1: Cho hàm số ụ = “S >” (cz 0 ad— be z 0) eó đồ thị (C) Hãy tìm trên (C) c# + d

hai điểm A và B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất

d “ + +, ^ * > ~ * ,

+ (C ) có tiệm cận đứng # = =— do tính chất cua ham phân thức, đồ thị năm về hai phía

c của tiệm cận đứng Nên gọi hai số @,f 1a hai sé duong

Trang 29

+ Nếu 4 thuộc nhánh trái: z, <- ˆ yee y, =f(z,)

Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số (CÌ có phương trình y = f(x) Tìm tọa độ điểm \\

thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất

+ Gọi Aƒ(z;y} và tổng khoảng cách từ A{ đến bai trục tọa độ là đ thi d= le + ly

+ Xét các khoảng cách từ Ä/ đến hai trục tọa độ khi Äƒ nằm ở các vị trí đặc biệt: Trên trục hoành, trên trục tung

+ Sau đó xét tổng quát, những điểm Ä/ có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc tung độ của Äƒ khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến

+ Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo

hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của đ

Bài toán 3: Cho đồ thị (C) có phương trình = f(x) Tim điểm M trén (C) sao cho khoảng cách từ M đến Ox bằng k lần khoang cach tu M dén trucOy

Theo đầu bài ta có | = k|z| S i = he S ft = Ke

U= —Èkz f(a) = —kr

Bi toán 4: Cho đồ thị ham số (C) có phương - trình

y=f(x)= a (c0, ad —be # 0) Tìm tọa độ điểm AT trên (C) sao cho dé dai MI ngan

+ Gọi Ƒ thuộc (Œ)= I{z,:1,): 1ạ = ƒŒ,)

+ oang cách từ 1 đến đ là g(x.) = hod Vea B

A+B + Khao sat ham sé y = g(x) để tìm ra điểm ï thỏa mãn yêu cau

Trang 30

PHAN II MU VA LOGARIT

LUY THUA VA HAM SO LUY THUA

1 KHAI NIEM LUY THUA

+ Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho ?# là một số nguyên dương

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc ø của a là tích của ? thừa số a

a” =aa a(n thita sé)

Với a # 0

Ta gọi a là cơ số, là mũ số Và chú ý 0° và 0” không có nghĩa

+ Một số tính chất của lũy thừa

e Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:

a af =a"; =a a**- (a*)’ =a** - (ab)* =

s Nếu a >1 thì a“ > aŸ <&> œ > Ø;

se Với mọi Ö < a <b, ta có: ø” <b”<>m >0; a” >b” <>rmn <0

+ Với b< 0, phương trình vô nghiệm

+ Với b= 0Ú, phương trình có một nghiệm z = 0

+ Với b > 0, phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương là vb ,con

Trang 31

m

+ Na” = (x/a) | Va >0, nguyén dudng, m nguyén

7 dựa = "tla Va >0,n,mnguyén dương

+ Nếu P= thi Va? = da? Wa > 0.m,nnguyén dudng p,q nguyén

Tập xác định của hàm số lũy thừa y = #z” tùy thuộc vào giá trị của œ Cụ thể

s® Với œ nguyên dương, tập xác định là R

e Với œ nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là '§\ {O}

® Với œ không nguyên, tập xác định (0; +0)

+ Khảo sát hàm số lũy thừa

% Tập xác định của hàm số lũy thừa = z7 luôn chứa khoảng (0; +00)

với mọi œ € R Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số y = 2* trén khoang nay

1 Tap xac dinh: (0:+=) 1 Tập xác định: (0 +00)

y'=aa*'>0 Vz>0 yl=aa*'<0 Vz»0

lim z“ =0, lim # = + limx* =+, lim xế =0

Trang 32

Trang 33

Ox la tiém can ngang

3 Bang bién thién

Ox la tiém can ngang

Bang bién thién

Trang 34

LOGARIT VA HAM SO LOGARIT

1 KHÁI NIỆM -TÍNH CHẤT VÀ QUY TẮT TÍNH LOGARIT

+ Khái niệm Logarit

Cho hai số dương a,b với a#1 Số œ thỏa mãn đẳng thức a“ = b được gọi là logarit cơ số

a cua b và được kí hiệu là log ở

œ=log b<Ð> q” =b

Không có logarit của số âm và số 0

Bảng tóm tắt công thức Mũ-loarrit thường gặp:

a

° (a) _| 4 " (b0) e log b+ log c=log (bc)

+ Bat phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a7 > b (hoặc 8` >b,q` <b,a` <b) với a >0,a #1

Ta xét bất phương trình có dạng a7 > b

e Nếu b <0, tập nghiệm của bất phương trình là R,vi a >bVreR

e Nếu ö > 0 thì bất phương trình tương đương với a* > ø°°”

Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là z > log b

Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là z < log, ở.

Trang 35

Ta minh họa bằng đồ thị sau:

" ụ =ứ” (Ú< œ< T1) '

x

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng log x >P (hoặc log x>b,log x<b,lÌog x<b) với a >0 a # Ì

Xét bất phương trình log, # > ở

s Trường hợp a > 1, ta có: log # >b <> z >a’

e Trường hợp 0 < a <1, tacé: log x>be0<x<a’

Ta minh họa bằng đồ thị như sau

Trang 36

BAI TOAN LAI SUAT NGAN HANG

1 Lãi đơn: là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn

kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến gửi tiền ra

a) Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng 4 đồng với lãi đơn r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau ø+ kì hạn ( œ e Ñ * ) là:

Ss = A+nAr = A(1+nr)

(1 + r)

3 Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian cố định

a) Công thức tính: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền 4 đồng với lãi

4 Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng:

a) Công thức tính: Gửi ngân hàng số tiền là 4 đồng với lãi suất z% /tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng Tính số tiền còn lại sau ø tháng là bao nhiêu?

a) Công thức tính: Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có

Trang 37

6 Bài toán tăng lương: Một người được lãnh lương khởi điểm là 4 đồng/tháng Cứ sau n

tháng thì lương người đó được tăng thêm r%/tháng Hỏi sau Èkn tháng người đó lĩnh được tất cả là bao nhiêu tiền?

7 Bài toán tăng trưởng dân số:

Công thức tính tăng trưởng dân số

Gửi vào ngân hang 4 đồng với lãi kép r%/năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau

n năm (ne€Ñ'} là: 8, = 4(1+r) Giả sử ta chia mỗi năm thành zn kì hạn để tính

sa aes ae we o> iT NÓ CA“, « `

lãi và lãi suất mỗi kì hạn là —%_ thì số tiền thu được sau ? năm là:

1n

S = afi ` )

™m

Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là m — +0 , goi 1A hinh thtic 1ai kép tién

tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là:

Ø = ÁAc””| ( công thức tăng trưởng mũ)

HILLS] VV VV VV.,IŒGCCCLJUCJTX.CVOII1/ CỊ lay! wal iS! aly s FLO rmtlo

Trang 38

PHAN IIL

NGUYEN HAM - TICH PHAN - UNG DUNG TICH PHAN

I NGUYEN HAM

1 Nguyén ham

Dinh nghia: Cho ham sé f (x) xAc dinh trén K (J 1a khoảng, đoạn hay nửa khoảng)

Hàm số F(z) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(a) trén K nếu F1(z) = f(z) với mọi

z€ 1K Kí hiệu: [ ƒ()dz = F(z) + Ơ

Định lí:

1) Nếu F(z) la mét nguyén ham cua f (x) trên K thi véi méi hang sé C , ham sé

G(x) = F(+) + Œ cũng la mét nguyén ham cia f(z) trén K

2) Néu F(x) 1a mét nguyén ham cia ham sé f(x) trén K thi moi nguyén ham cia ƒ(z) trên K đều có dạng Ƒ(z] + Ở, với C là một hằng số

Do đó Ƒ(+) + Ơ,Œ € ïR là họ tất cả các nguyên hàm của ƒ(z} trên KÝ

2 Tính chất của nh hàm

» Nếu F() có đạo hàm thì: [đ(F(œ)) = F(œ) + Ở

° [Af (x) de kl f(x) de với k là hằng số khác 0

¢ Cong thite đổi biến số: Cho y = f(u) va u= g(a),

Néu | f(x)dx = F(x) +C thì [ ƒ(ø(2))g'(z)dz = [ ƒ(w)du = F(u)+ Ơ

3 Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số ƒ (z) liên tục trên #C đều có nguyên hàm trên #C

Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp

1.[0dy=Œ 2 [dz=z+C

Trang 39

12 | L dư = tan# + Œ 25 ÍSGaaj an (e +8)+€

COS” # cos (ar +

13 | ——dzx =-cotr+C 26 Jaen =a tler +8) +0

14 [(L+ tan” z]dz = tance +C 27 [(L+ tan (az +ð))dz = +tan(ar +6) +

Bảng nguyên hàm mở rộng

a+b

Trang 40

Định dạng
Số trang	104
Dung lượng	9,27 MB